ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์อินทิกรัลของสเลเตอร์คืออินทิกรัลบางประเภทของผลคูณของฮาร์มอนิกทรงกลมสามตัว อินทิกรั ลเหล่านี้ เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติเมื่อใช้ ฐาน ฟังก์ชันเชิงตั้ง ฉากบน ทรงกลมหน่วยซึ่งแปลงรูปในลักษณะเฉพาะภายใต้การหมุนในสามมิติ อินทิกรัลเหล่านี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการคำนวณคุณสมบัติของอะตอมที่มีสมมาตรทรงกลมตามธรรมชาติ อินทิกรัลเหล่านี้ได้รับการนิยามไว้ด้านล่างพร้อมกับคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์บางประการ

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีควอนตัมของโครงสร้างอะตอมจอห์น ซี. สเลเตอร์ได้กำหนดอินทิกรัลของฮาร์มอนิกทรงกลมสามตัวเป็นสัมประสิทธิ์[ ^{1 ] สัมประสิทธิ์}เหล่านี้โดยพื้นฐานแล้วเป็นผลคูณของสัญลักษณ์ Wigner 3jm สอง ตัว ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')=\int d^{2}\Omega \ Y_{\ell }^{m}(\Omega )^{*}Y_{\ell '}^{m'}(\Omega )Y_{k}^{mm'}(\Omega )}$

อินทิกรัลเหล่านี้มีประโยชน์และจำเป็นเมื่อทำการคำนวณอะตอมใน รูปแบบ Hartree–Fock ซึ่ง ต้องการเมทริกซ์องค์ประกอบของตัวดำเนินการคูลอมบ์และตัวดำเนินการแลกเปลี่ยน สำหรับสูตรที่ชัดเจน สามารถใช้สูตรของ Gaunt สำหรับ พหุนามเลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้องได้

โปรดสังเกตว่า ผลคูณของฮาร์มอนิกทรงกลมสองตัวสามารถเขียนได้ในรูปของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ โดยการกระจายผลคูณดังกล่าวบน ฐาน ฮาร์มอนิกทรงกลมที่มีลำดับเดียวกัน

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}{\hat {A}}^{\ell ''}(\ell ,m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}$

จากนั้นจึงคูณและอินทิเกรต โดยใช้คุณสมบัติคู่ควบ และระมัดระวังเรื่องเฟสและการทำให้เป็นมาตรฐาน: ${\displaystyle Y^{*}}$

${\displaystyle \int Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}Y_{L}^{-M}d^{2}\Omega =(-1)^{m+m'}{\hat {A}}^{L}(\ell ,m,\ell ',m')=(-1)^{m}c^{L}(\ell ,-m,\ell ',ม').}$

เพราะฉะนั้น

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}(-1)^{m'}c^{\ell ''}(\ell ,-m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}$

สัมประสิทธิ์เหล่านี้เป็นไปตามเอกลักษณ์หลายประการ ซึ่งรวมถึง

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')&=c^{k}(\ell ,-m,\ell ',-m')\\&=(-1)^{mm'}c^{k}(\ell ',m',\ell ,m)\\&=(-1)^{mm'}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{2k+1}}}c^{\ell }(\ell ',m',k,m'-m)\\&=(-1)^{m'}{\sqrt {\frac {2\ell '+1}{2k+1}}}c^{\ell '}(k,mm',\ell ,m).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ,m)&=(2\ell +1)\delta _{k,0}.\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }\sum _{m'=-\ell '}^{\ell '}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')c^{k}(\ell ,m,{\tilde {\ell }},m')&=\delta _{\ell ',{\tilde {\ell }}}\cdot {\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{k}(\ell ,m+r,{\tilde {\ell }},m)&=\delta _{\ell ,{\tilde {\ell }}}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{q}(\ell ,m+r,\ell ',m)&=\delta _{k,q}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\end{aligned}}}$