ปมตัด (Slice knot)คือปมทางคณิตศาสตร์ในปริภูมิ 3 มิติ ที่ล้อมรอบวงกลมที่ฝังอยู่ในปริภูมิ 4 มิติ

กล่าวกันว่าปมหนึ่ง เป็น ปมตัดเชิงโทโพโลยีหรือปมตัดเรียบถ้าปมนั้นเป็นขอบของ ดิสก์ ที่ฝังอยู่ในทรงกลม 4 มิติซึ่งมีลักษณะแบนราบหรือเรียบ ในระดับท้องถิ่น ตามลำดับ ในที่นี้เราใช้: ทรงกลม 3 มิติเป็นขอบ ของ ทรงกลม 4 มิติ ปม ตัดเรียบทุกปมเป็นปมตัดเชิงโทโพโลยี เพราะดิสก์ที่ฝังอยู่เรียบนั้นมีลักษณะแบนราบในระดับท้องถิ่น โดยทั่วไปแล้ว ปมตัดเรียบก็เรียกสั้น ๆ ว่าปมตัด ทั้งสองประเภทของปมตัดมีความสำคัญในโทโพโลยี 3 และ 4 มิติ ${\displaystyle K\subset S^{3}}$${\displaystyle B^{4}}$${\displaystyle S^{3}=\partial B^{4}}$${\displaystyle S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}:|\mathbf {x} |=1\}}$${\displaystyle B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}:|\mathbf {x} |\leq 1\}.}$

โดยทั่วไปแล้ว ปมที่ถูกตัดอย่างราบรื่นมักจะแสดงด้วยแผนภาพปมแบบริบบิ้นและยังเป็นคำถามที่เปิดกว้างว่ามีปมที่ถูกตัดอย่างราบรื่นใดบ้างที่ไม่ใช่ปมแบบริบบิ้น ("ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับปมริบบิ้นที่ถูกตัด")

เงื่อนไขที่ว่าพื้นผิวเรียบหรือแบนในระดับท้องถิ่นนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่งในคำจำกัดความ: สำหรับทุกปม เราสามารถสร้างกรวยเหนือปมนั้นได้ ซึ่งจะเป็นวงกลมในทรงกลม 4 มิติที่มีคุณสมบัติตามที่ต้องการ ยกเว้นว่ามันจะไม่เรียบหรือแบนในระดับท้องถิ่นที่จุดเอกฐาน (อย่างไรก็ตาม มันใช้ได้กับปมที่ไม่สำคัญ)

โปรดสังเกตว่า วงกลมในภาพประกอบด้านขวาไม่มีจุดตัดกันเองในปริภูมิ 4 มิติ จุดตัดกันเองเหล่านี้เกิดขึ้นเฉพาะในการฉายภาพไปยังปริภูมิสามมิติเท่านั้น ดังนั้น วงกลมจึงฝังตัวได้อย่างถูกต้องในทุกจุด ยกเว้นที่จุดเอกฐาน (วงกลมไม่ได้แบนราบในบริเวณนั้น)

ปมสองปมที่มีทิศทางเดียวกันจะเรียกว่าสอดคล้องกัน (concordant)ถ้าผลรวมที่เชื่อมต่อกันเป็นสไลซ์ (slice) ในทำนองเดียวกันกับที่กล่าวมาแล้ว เราแยกแยะความสอดคล้องกันทางโทโพโลยีและความสอดคล้องกันแบบเรียบ (smooth concordant) โดยใช้สัญลักษณ์ แทนภาพสะท้อนของโดยที่ทิศทางจะกลับกัน ความสัมพันธ์ 'สอดคล้องกัน' เป็นความสัมพันธ์สะท้อน (reflexive) เพราะเป็นสไลซ์สำหรับทุกปมนอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอด (transitive) กล่าวคือ ถ้าสอดคล้องกับและสอดคล้องกับแล้วก็สอดคล้องกับเนื่องจากความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์สมมาตร จึงเป็นความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation ) ชั้นสมมูล (equivalence classes) ร่วมกับผลรวมที่เชื่อมต่อกันของปมเป็นตัวดำเนินการ จะก่อให้เกิด กลุ่มอาเบเลียน (abelian group) ซึ่งเรียกว่ากลุ่ม ความสอดคล้องกันของปม (ทางโทโพโลยีหรือแบบเรียบ) (knot concordance group) องค์ประกอบที่เป็นกลางในกลุ่มนี้คือเซตของปมสไลซ์ (ทางโทโพโลยีหรือแบบเรียบ ตามลำดับ) ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$${\displaystyle K_{1}\sharp -K_{2}}$${\displaystyle -K_{2}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle K\sharp -K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle K_{3}}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{3}}$

ปมริบบิ้นทุกปมเป็นปมที่ถูกตัดอย่างราบรื่น เพราะ—ยกเว้นจุดเอกฐานของริบบิ้น—ปมนั้นได้ล้อมรอบวงกลมที่ฝังตัวอยู่แล้ว (ในปริภูมิ 3 มิติ) จุดเอกฐานของริบบิ้นอาจถูกเปลี่ยนรูปในบริเวณใกล้เคียงเล็กๆ ในปริภูมิ 4 มิติ เพื่อให้วงกลมนั้นฝังตัวอยู่ได้

มีปมไพรม์แบบ สไลซ์ ที่ ไม่ใช่ปมธรรมดา 21 ปม ที่มีจำนวนจุดตัดได้แก่, , , , , , , , , , , , , , , , , , และจนถึงจำนวนจุดตัดนี้ ไม่มีปมสไลซ์เชิงโทโพโลยีใดที่ไม่สามารถสไลซ์ได้อย่างราบรื่น^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่จำนวนจุดตัดที่ 11 เป็นต้นไป มีตัวอย่างเช่นปมคอนเวย์ (ตั้งชื่อตามจอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์ ) เป็นปมสไลซ์เชิงโทโพโลยีแต่ไม่สามารถสไลซ์ได้อย่างราบรื่น^{[ 2 ]}ในทางกลับกัน ปมคิโนชิตะ-เทราซากะ ซึ่งเป็นปมคอนเวย์ ที่เรียกว่า ' กลายพันธุ์ ' สามารถสไลซ์ได้อย่างราบรื่น ปมบิด ยกเว้นปมธรรมดาและปมสตีฟดอร์ไม่สามารถสไลซ์ได้^{[ 3 ]} ปมส ไลซ์เชิงโทโพโลยีและราบรื่นทั้งหมดที่มีจำนวนจุดตัดเป็นที่รู้จักแล้ว^{[ 4 ]} ปมชิ้นส่วนประกอบจนถึงจำนวนจุดตัด 12 นอกจากปมในรูปแบบและแล้ว ยังมีปมที่น่าสนใจอีกสองปมคือและ^{[ 5 ]}${\displaystyle cr(K)\leq 10}$${\displaystyle 6_{1}}$${\displaystyle 8_{8}}$${\displaystyle 8_{9}}$${\displaystyle 8_{20}}$${\displaystyle 9_{27}}$${\displaystyle 9_{41}}$${\displaystyle 9_{46}}$${\displaystyle 10_{3}}$${\displaystyle 10_{22}}$${\displaystyle 10_{35}}$${\displaystyle 10_{42}}$${\displaystyle 10_{48}}$${\displaystyle 10_{75}}$${\displaystyle 10_{87}}$${\displaystyle 10_{99}}$${\displaystyle 10_{123}}$${\displaystyle 10_{129}}$${\displaystyle 10_{137}}$${\displaystyle 10_{140}}$${\displaystyle 10_{153}}$${\displaystyle 10_{155}}$${\displaystyle 6_{1}}$${\displaystyle cr(K)\leq 12}$${\displaystyle K\sharp -K}$${\displaystyle 6_{1}\sharp 3_{1}\sharp -3_{1}}$${\displaystyle 3_{1}\sharp 8_{10}}$${\displaystyle 3_{1}\sharp 8_{11}}$

คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ได้กับปมสไลซ์เชิงโทโพโลยีและเรียบ: พหุนามอเล็กซานเดอร์ของปมสไลซ์สามารถเขียนได้เป็นพหุนามลอเรนต์ที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม (เงื่อนไขฟ็อกซ์-มิลเนอร์) ^{[ 6 ]}ส่งผลให้ดีเทอร์มิแนนต์ของปม ( ) เป็นจำนวนกำลังสอง ${\displaystyle \Delta (t)=f(t)f(t^{-1})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle =\Delta (-1)}$

ลายเซ็นเป็นค่าคงที่ของกลุ่มความสอดคล้อง และลายเซ็นของปมสไลซ์เป็นศูนย์ ยิ่งไปกว่านั้น แผนที่ลายเซ็นเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากกลุ่มความสอดคล้องไปยังจำนวนเต็ม กล่าวคือ ลายเซ็นของผลรวมของกลุ่มความสอดคล้องสองกลุ่มคือผลรวมของลายเซ็นทั้งสอง

• ดังนั้น กลุ่มความสอดคล้องจึงมีองค์ประกอบที่มีอันดับ อนันต์ : ลายเซ็นของปมสามแฉกคือ ±2 และลายเซ็นของชั้นความสอดคล้องของผลรวมที่เชื่อมต่อกันของปมสามแฉกคือและดังนั้นจึงไม่ใช่ 0${\displaystyle n}$${\displaystyle \pm 2n}$
• กลุ่มความสอดคล้องยังประกอบด้วยองค์ประกอบอันดับ 2 ด้วย: ปมรูปเลขแปด เป็นปมแอมฟิไครัลและผกผันได้ดังนั้นเราจึงมีในกลุ่มความสอดคล้องเราพบเนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของปมรูปเลขแปดคือ 5 ซึ่งไม่ใช่จำนวนกำลังสอง ปมนี้จึงไม่ใช่ปมสไลซ์ และเป็นผลให้ลำดับของมันในกลุ่มความสอดคล้องคือ 2 แน่นอนว่า ปมที่มีลำดับจำกัดในกลุ่มความสอดคล้องจะมีลายเซ็นเป็น 0 เสมอ${\displaystyle 4_{1}}$${\displaystyle 4_{1}=-4_{1}}$${\displaystyle 4_{1}\sharp 4_{1}=4_{1}\sharp -4_{1}=0}$

สำหรับกลุ่มความสอดคล้องทั้งสองแบบ ยังไม่ทราบว่ามีองค์ประกอบที่มีอันดับจำกัดอยู่ หรือไม่${\displaystyle >2}$

ในทางกลับกัน ตัวแปรคงที่ที่มีคุณสมบัติแตกต่างกันสำหรับตัวแปรความสอดคล้องสองแบบนั้นมีอยู่: ปมที่มีพหุนามอเล็กซานเดอร์ที่ไม่สำคัญ ( ) จะถูกตัดทางโทโพโลยีเสมอ แต่ไม่จำเป็นต้องตัดอย่างราบรื่น (ปมคอนเวย์เป็นตัวอย่างหนึ่ง) ตัวแปรคงที่ s ของ Rasmussen จะหายไปสำหรับการตัดอย่างราบรื่น แต่โดยทั่วไปจะไม่หายไปสำหรับปมที่ตัดทางโทโพโลยี^{[ 7 ]}${\displaystyle \Delta (t)=1}$

นอกเหนือจากคำจำกัดความข้างต้นของความสอดคล้องโดยใช้ปมแบบตัดแล้ว ยังมีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันอีกประการหนึ่ง ปมสองปมที่มีทิศทางและจะสอดคล้องกันหากเป็นขอบของทรงกระบอก (แบนราบหรือเรียบในระดับท้องถิ่น) (ในปริภูมิ 4 มิติ) ทิศทางของปมทั้งสองต้องสอดคล้องกับทิศทางของทรงกระบอก ซึ่งแสดงไว้ในรูปที่สาม ขอบของมีสองอัน ที่มี ทิศทางต่างกัน^{[ 8 ]}ดังนั้นจึงแสดงรูปใบไม้สามแฉกสะท้อนสองอันเป็นขอบของทรงกระบอก การเชื่อมต่อปมทั้งสองโดยการตัดแถบออกจากทรงกระบอกจะได้แผ่นดิสก์ แสดงให้เห็นว่าสำหรับปมทั้งหมด ผลรวมที่เชื่อมต่อกันเป็นปมแบบตัด ในคำจำกัดความทั้งสอง ปมจะเป็นปมแบบตัดก็ต่อเมื่อมันสอดคล้องกับปมแบบไม่สำคัญ ${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle C=S^{1}\times [0,1]}$${\displaystyle S^{3}\times [0,1]}$${\displaystyle S^{3}\times [0,1]}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle K\sharp -K}$

สามารถอธิบายเรื่องนี้ได้ด้วยภาพแรกที่อยู่ด้านบนของบทความนี้: หากตัดวงกลมเล็กๆ ที่จุดต่ำสุดเฉพาะที่ทางด้านซ้ายล่างออก ขอบของพื้นผิว ณ ตำแหน่งนั้นจะเป็นปมที่ไม่สำคัญ และพื้นผิวจะเป็นทรงกระบอก ที่ปลายอีกด้านของทรงกระบอกเราจะมีปมแบบตัด หากวงกลม (หรือทรงกระบอก) ถูกฝังอย่างราบรื่น มันจะสามารถเปลี่ยนรูปเล็กน้อยไปสู่ตำแหน่งที่เรียกว่าตำแหน่งมอร์สได้

สิ่งนี้มีประโยชน์เพราะจุดวิกฤตที่สัมพันธ์กับฟังก์ชันรัศมี r มีความหมายทางเรขาคณิต ที่จุดอานม้า ส่วนประกอบที่ไม่สำคัญจะถูกเพิ่มหรือทำลาย (การเคลื่อนที่ของแถบ หรือที่เรียกว่าการรวมตัวและการแยกตัว) สำหรับปมแบบแผ่น การเคลื่อนที่ของแถบเหล่านี้สามารถเกิดขึ้นได้ไม่จำกัดจำนวน ในขณะที่สำหรับปมแบบริบบิ้น จะเกิดได้เฉพาะการรวมตัวเท่านั้น และไม่อนุญาตให้เกิดการแยกตัว

ในภาพประกอบด้านขวา คำอธิบายทางเรขาคณิตของความสอดคล้องถูกหมุนไป 90° และพารามิเตอร์ r ถูกเปลี่ยนชื่อเป็น t ชื่อนี้เหมาะสมอย่างยิ่งกับการตีความเวลาของ "ภาพยนตร์" พื้นผิว

นิยามที่คล้ายคลึงกันกับนิยามของปมแบบตัดเฉือน (slice knots) สามารถทำได้กับพื้นผิวที่มีจีนัส (genus ) ที่ใหญ่กว่า ดังนั้น จีนัส4 มิติ (หรือเรียกว่า 'จีนัสแบบตัดเฉือน') ของปมจึงถูกกำหนดให้เป็นจีนัสที่เล็กที่สุดของพื้นผิวที่ฝังอยู่ในปริภูมิ 4 มิติ โดยที่ปมเป็นขอบเขต เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ เราแยกแยะจีนัส 4 มิติเชิงโทโพโลยีและจีนัส 4 มิติแบบเรียบ ปมที่มีจีนัส 4 มิติเป็น 0 คือปมแบบตัดเฉือน เพราะดิสก์ ซึ่งเป็นพื้นผิวที่ง่ายที่สุด มีจีนัสเป็น 0 จีนัส 4 มิติจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจีนัส ของปมเสมอ เพราะค่าคงที่นี้ถูกกำหนดโดยใช้พื้นผิว Seifert ซึ่งฝังอยู่ในปริภูมิสามมิติอยู่แล้ว

ตัวอย่างของปมที่มีค่าแตกต่างกันสำหรับ 4-genus ทางโทโพโลยีและเรียบจะแสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้ ปมคอนเวย์ 11n34 เป็นตัวอย่างแรกในตารางปมสำหรับปมสไลซ์ทางโทโพโลยีแต่ไม่เรียบ ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เมื่อพิจารณาจากค่าในตาราง เราอาจสรุปได้ว่า 4-genus แบบเรียบและทางโทโพโลยีจะแตกต่างกัน 1 เสมอ เมื่อไม่เท่ากัน อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณี และความแตกต่างอาจมีขนาดใหญ่มากได้^{[ 9 ]}ถึงกระนั้น (ณ ปี 2017) ก็ยังไม่ทราบว่ามี ปม สลับที่มีความแตกต่าง > 1 หรือ ไม่ ^{[ 10 ]}

	${\displaystyle 10_{139}}$	${\displaystyle 10_{145}}$	${\displaystyle 10_{152}}$	${\displaystyle 10_{154}}$	${\displaystyle 10_{161}}$	${\displaystyle 11n34}$
สกุลที่ 4 (เรียบ)	4	2	4	3	3	1
4 สกุล (ด้านบน)	3	1	3	2	2	0

• เดล รอลฟ์เซน: ปมและการเชื่อมโยง , ตีพิมพ์หรือล้มเหลว, 1976, บทที่ 8.E
• Charles Livingston: ทฤษฎีปม , Carus Mathematical Monographs, 1993
• ชาร์ลส์ ลิฟวิงสตัน: การสำรวจความสอดคล้องของปมแบบคลาสสิกบทที่ 7 ใน "คู่มือทฤษฎีปม" สำนักพิมพ์เอลเซเวียร์ ปี 2005

• ปีเตอร์ ไทค์เนอร์ : ปมแบบแบ่งส่วน: ทฤษฎีปมในมิติที่ 4

• ความสอดคล้องของลิงก์  – ความสัมพันธ์สมมูลของลิงก์ที่อ่อนกว่าไอโซโทปี แต่แข็งแกร่งกว่าโฮโมโทปี