ในทางคณิตศาสตร์โครงสร้างเรียบบนแมนิโฟลด์ช่วยให้สามารถกำหนดแนวคิดของฟังก์ชันเรียบ ได้อย่างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โครงสร้างเรียบช่วยให้ สามารถทำการ วิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์บนแมนิโฟลด์ได้^{[ 1 ]}

โครงสร้างเรียบบนแมนิโฟลด์คือ ชุดของแอตลาสเรียบที่สมมูลกันอย่างราบรื่น ในที่นี้แอตลาสเรียบสำหรับแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีคือแอตลาสสำหรับที่แต่ละฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านเป็นแผนที่เรียบและแอตลาสเรียบสองชุดสำหรับจะสมมูลกันอย่างราบรื่นก็ต่อเมื่อการรวมกัน ของแอตลาสทั้งสองชุดนั้น เป็นแอตลาสเรียบสำหรับ อีกด้วยสิ่งนี้ทำให้เกิดความสัมพันธ์สมมูลตาม ธรรมชาติ บนเซตของแอตลาสเรียบ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M.}$

แมนิโฟลด์เรียบคือ แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีพร้อมกับโครงสร้างเรียบบนแม นิโฟลด์นั้น${\displaystyle M}$${\displaystyle M.}$

โดยการรวมแผนที่ ทั้งหมด ที่อยู่ในโครงสร้างเรียบเข้าด้วยกัน เราจะได้แผนที่เรียบสูงสุดแผนที่นี้ประกอบด้วยแผนที่ทุกแผนที่ที่เข้ากันได้กับโครงสร้างเรียบนั้น มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติระหว่างโครงสร้างเรียบและแผนที่เรียบสูงสุด ดังนั้น เราอาจมองว่าโครงสร้างเรียบเป็นแผนที่เรียบสูงสุด และในทางกลับกัน

โดยทั่วไป การคำนวณด้วยแผนที่ขนาดใหญ่ที่สุดของแมนิโฟลด์นั้นค่อนข้างยุ่งยาก สำหรับการใช้งานส่วนใหญ่ การเลือกแผนที่ขนาดเล็กกว่าก็เพียงพอแล้ว ตัวอย่างเช่น หากแมนิโฟลด์นั้นเป็นแบบกะทัดรัดก็สามารถหาแผนที่ที่มีแผนภูมิเพียงจำนวนจำกัดได้

ถ้าและเป็นแอตลาสสูงสุดสองแอตลาสบนโครงสร้างเรียบสองโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกับและจะกล่าวได้ว่าสมมูลกันหากมีการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเช่นนั้น${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle f:M\to M}$${\displaystyle \mu \circ f=\nu .}$

ในปี 1956 จอห์น มิลนอร์ได้แสดงให้เห็นว่าทรงกลม 7 มิติมีโครงสร้างเรียบที่ไม่เทียบเท่ากับโครงสร้างเรียบมาตรฐาน ทรงกลมที่มีโครงสร้างเรียบที่ไม่เป็นมาตรฐานนี้เรียกว่าทรงกลมแปลกใหม่

แมนิโฟลด์ E8เป็นตัวอย่างหนึ่งของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่ไม่ยอมรับโครงสร้างเรียบ ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าทฤษฎีบทของ Rokhlinใช้ได้เฉพาะกับโครงสร้างเรียบเท่านั้น ไม่ใช่กับแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีโดยทั่วไป

ข้อกำหนดเรื่องความเรียบของฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านสามารถลดทอนลงได้ โดยกำหนดให้แผนที่การเปลี่ยนผ่านต้องมีอนุพันธ์ต่อเนื่องได้เพียง ครั้ง หรือสามารถเพิ่มทอนให้เข้มงวดขึ้นได้ โดยกำหนดให้แผนที่การเปลี่ยนผ่านต้องเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงจริง ดังนั้นจึงให้ โครงสร้างแบบวิเคราะห์เชิงจริง หรือเชิงจริงบนแมนิโฟลด์ แทนที่จะเป็นโครงสร้างแบบเรียบ ในทำนองเดียวกันโครงสร้างเชิงซ้อนสามารถกำหนดได้โดยกำหนดให้แผนที่การเปลี่ยนผ่านต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k}}$

• กรอบเรียบ  – การวางนัยทั่วไปของฐานเรียงลำดับของปริภูมิเวกเตอร์หน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• แผนที่แอตลาส (โทโพโลยี)  – ชุดแผนภูมิที่อธิบายแมนิโฟลด์