กฎของสเนลล์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อกฎของสเนลล์-เดส์การ์ตและกฎการหักเหของแสง ) เป็นสูตรที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างมุมตกกระทบและมุมหักเหเมื่อกล่าวถึงแสงหรือคลื่น อื่นๆ ที่ผ่านขอบเขตระหว่างตัวกลางไอโซโทรปิก สองชนิดที่แตกต่างกัน เช่น น้ำ แก้ว หรืออากาศ ในทางทัศนศาสตร์ กฎนี้ใช้ในการติดตามรังสีเพื่อคำนวณมุมการส่งผ่านหรือการหักเห และในทัศนศาสตร์เชิงทดลองเพื่อหาดัชนีหักเหของวัสดุ กฎนี้ยังใช้ได้กับวัสดุเมตาซึ่งทำให้แสงสามารถหักเห "ย้อนกลับ" ด้วยมุมหักเหติดลบและมี ดัชนี หักเหติดลบ

กฎระบุว่าสำหรับสื่อคู่หนึ่งที่กำหนด อัตราส่วนของไซน์ของมุมตกกระทบ และมุมหักเหจะเท่ากับดัชนีหักเหของสื่อที่สองเมื่อเทียบกับสื่อแรก ( ) ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของดัชนีหักเหของสื่อทั้งสอง หรือเทียบเท่ากับอัตราส่วนของความเร็วเฟสในสื่อทั้งสอง^{[ 1 ]}${\displaystyle \left(\theta _{1}\right)}$${\displaystyle \left(\theta _{2}\right)}$${\displaystyle n_{2,1}}$${\displaystyle \left({\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}\right)}$${\displaystyle \left({\tfrac {v_{1}}{v_{2}}}\right)}$

$${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=n_{2,1}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}}$$

กฎดังกล่าวเป็นผลมาจากหลักการเวลาน้อยที่สุดของแฟร์มาต์ซึ่งเป็นผลมาจากการแพร่กระจายของแสงในรูปของคลื่น

ปโตเลมีในเมืองอเล็กซานเดรียประเทศอียิปต์^{[ 2 ]}ได้พบความสัมพันธ์เกี่ยวกับมุมการหักเห แต่ความสัมพันธ์นั้นไม่ถูกต้องสำหรับมุมที่ไม่เล็ก ปโตเลมีมั่นใจว่าเขาได้พบกฎเชิงประจักษ์ที่ถูกต้อง ซึ่งส่วนหนึ่งเป็นผลมาจากการปรับเปลี่ยนข้อมูลของเขาเล็กน้อยเพื่อให้เข้ากับทฤษฎี (ดู: อคติในการยืนยัน ) ^{[ 3 ]}

ในที่สุดกฎนี้ก็ได้รับการตั้งชื่อตามสเนลล์แม้ว่านักวิทยาศาสตร์ชาวเปอร์เซียอิบน์ ซาห์ล จะเป็นผู้ค้นพบกฎนี้เป็นครั้งแรก ที่ ราชสำนัก แบกแดดในปี 984 ก็ตาม ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}ในต้นฉบับเรื่องOn Burning Mirrors and Lenses ซาห์ลได้ใช้กฎนี้เพื่อหาค่ารูปทรงเลนส์ที่รวมแสง โดยไม่มีความคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิต^{[ 8 ]}

อิบนุ อัล-ฮัยษัมในหนังสือทัศนศาสตร์ ของเขา (1021) เกือบจะค้นพบกฎการหักเหของแสงอีกครั้ง แต่เขาไม่ได้ทำขั้นตอนนี้^{[ 9 ]}

กฎนี้ถูกค้นพบอีกครั้งโดยThomas Harriotในปี ค.ศ. 1602 ^{[ 10 ]}อย่างไรก็ตาม เขาไม่ได้ตีพิมพ์ผลลัพธ์ของเขา แม้ว่าเขาจะติดต่อกับKeplerเกี่ยวกับเรื่องนี้ก็ตาม ในปี ค.ศ. 1621 นักดาราศาสตร์ชาวดัตช์Willebrord Snellius (1580–1626) หรือ Snell ได้พิสูจน์รูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เทียบเท่ากัน ซึ่งไม่ได้ตีพิมพ์ในระหว่างช่วงชีวิตของเขาRené Descartesได้พิสูจน์กฎนี้โดยอิสระโดยใช้ข้อโต้แย้งการอนุรักษ์โมเมนตัมแบบฮิวริสติกในแง่ของไซน์ในบทความLa Dioptrique ในปี ค.ศ. 1637 ของเขา และใช้มันเพื่อแก้ปัญหาทางแสงหลายประการPierre de Fermat ปฏิเสธวิธีแก้ปัญหาของ Descartes และได้วิธีแก้ปัญหาเดียวกันโดยอาศัยหลักการของเวลาที่น้อยที่สุด เพียงอย่างเดียว Descartes สมมติว่าความเร็วของแสงเป็นอนันต์ แต่ในการพิสูจน์กฎของ Snell เขายังสมมติว่ายิ่งตัวกลางมีความหนาแน่นมากเท่าใด ความเร็วของแสงก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น แฟร์มาต์สนับสนุนสมมติฐานที่ขัดแย้งกัน กล่าวคือ ความเร็วของแสงมีค่าจำกัด และการพิสูจน์ของเขาขึ้นอยู่กับว่าความเร็วของแสงจะช้าลงในตัวกลางที่มีความหนาแน่นมากกว่า^{[ 11 ] [ 12 ]}การพิสูจน์ของแฟร์มาต์ยังใช้ประโยชน์จากการคิดค้นความเท่าเทียมกันซึ่งเป็นกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่เทียบเท่ากับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ สำหรับการค้นหาค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด และเส้นสัมผัส^{[ 13 ] [ 14 ]}

ในหนังสือเรขาคณิตอันทรงอิทธิพลของเขา เดส์การ์ตส์ได้แก้ปัญหาที่อพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กาและปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรีย เคยศึกษามาก่อน โดยกำหนดให้เส้นตรง L จำนวน n เส้น และจุด P(L) บนแต่ละเส้นตรง จงหาตำแหน่งของจุด Q ที่ทำให้ความยาวของส่วนของเส้นตรง QP(L) เป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ ตัวอย่างเช่น เมื่อ n = 4 กำหนดให้เส้นตรง a, b, c และ d และจุด A บน a, B บน b และอื่นๆ จงหาตำแหน่งของจุด Q ที่ทำให้ผลคูณ QA*QB เท่ากับผลคูณ QC*QD เมื่อเส้นตรงไม่ขนานกันทั้งหมด ปัปปัสแสดงให้เห็นว่าตำแหน่งของจุดเป็นรูปกรวย แต่เมื่อเดส์การ์ตส์พิจารณา n ที่มากขึ้น เขาได้เส้นโค้งระดับลูกบาศก์และระดับที่สูงกว่า เพื่อแสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งระดับลูกบาศก์นั้นน่าสนใจ เขาแสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งเหล่านั้นเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในทางทัศนศาสตร์จากกฎของสเนลล์^{[ 15 ]}

ตามที่ Dijksterhuis กล่าวไว้^{[ 16 ]} “ในDe natura lucis et proprietate (1662) Isaac Vossiusกล่าวว่า Descartes ได้เห็นเอกสารของ Snell และคิดค้นการพิสูจน์ของตนเองขึ้นมา ปัจจุบันเรารู้แล้วว่าข้อกล่าวหานี้ไม่สมควรได้รับ แต่ก็มีการนำมาใช้หลายครั้งนับตั้งแต่นั้นมา” ทั้ง Fermat และ Huygens ต่างก็กล่าวหาซ้ำว่า Descartes ลอกเลียนแบบ Snell ในภาษาฝรั่งเศสกฎของ Snell บางครั้งเรียกว่า “la loi de Descartes” หรือบ่อยครั้งกว่าคือ “ loi de Snell-Descartes “

ในหนังสือ Traité de la Lumièreที่ เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1678 คริสเตียน ฮุยเกนส์ได้แสดงให้เห็นว่ากฎของสเนลล์เกี่ยวกับไซน์นั้นสามารถอธิบายหรืออนุมานได้จากธรรมชาติของคลื่นแสง โดยใช้สิ่งที่เรารู้จักกันในปัจจุบันว่าหลักการของฮุยเกนส์-เฟรสเนล

ด้วยการพัฒนาทฤษฎีทางแสงและแม่เหล็กไฟฟ้าสมัยใหม่ กฎของสเนลล์จึงได้รับการกำหนดใหม่ ในปี 1962 นิโคลาส บลูมเบอร์เกนแสดงให้เห็นว่าที่ขอบเขตของตัวกลางที่ไม่เป็นเชิงเส้น กฎของสเนลล์สามารถเขียนในรูปแบบทั่วไปได้^{[ 17 ]}ในปี 2008 และ 2011 เมตาเซอร์เฟซพลาสมอนิกยังได้รับการสาธิตให้เปลี่ยนทิศทางการสะท้อนและการหักเหของลำแสงอีกด้วย^{[ 18 ] [ 19 ]}

กฎของสเนลล์ใช้เพื่อกำหนดทิศทางของรังสีแสงผ่านตัวกลางหักเหที่มีดัชนีหักเหแตกต่างกัน^{[ 20 ]}ดัชนีหักเหของตัวกลาง ซึ่งระบุด้วยและอื่นๆ จะใช้เพื่อแสดงปัจจัยที่ความเร็วของรังสีแสงลดลงเมื่อเดินทางผ่านตัวกลางหักเห เช่น แก้วหรือน้ำ เมื่อเทียบกับความเร็วในสุญญากาศ${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$

เมื่อแสงผ่านขอบเขตระหว่างตัวกลางสองชนิด การหักเหของแสงจะขึ้นอยู่กับดัชนีหักเหสัมพัทธ์ของตัวกลางทั้งสอง โดยมุมการหักเหจะแคบลงหรือกว้างขึ้น มุมเหล่านี้วัดเทียบกับเส้นปกติซึ่งแสดงเป็นเส้นตั้งฉากกับขอบเขต ในกรณีที่แสงเดินทางจากอากาศเข้าสู่น้ำ แสงจะหักเหเข้าหาเส้นปกติ เนื่องจากความเร็วของแสงลดลงในน้ำ ส่วนแสงที่เดินทางจากน้ำเข้าสู่อากาศจะหักเหออกห่างจากเส้นปกติ

การหักเหของแสงระหว่างสองพื้นผิวเรียกว่าการหักเหแบบย้อนกลับได้เพราะหากทุกเงื่อนไขเหมือนกัน มุมการหักเหของแสงจะเท่ากันสำหรับแสงที่เคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม

กฎของสเนลล์โดยทั่วไปใช้ได้เฉพาะกับตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกันหรือสะท้อนแสงได้ดี (เช่นแก้ว ) ใน ตัวกลางที่เป็นเนื้อ เดียวกันเช่นผลึก บางชนิด การหักเห สองทิศทาง อาจทำให้รังสีหักเหแยกออกเป็นสองรังสี คือ รังสี ปกติหรือ รังสี oซึ่งเป็นไปตามกฎของสเนลล์ และ รังสี พิเศษหรือ รังสี eซึ่งอาจไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกับรังสีตกกระทบ

เมื่อแสงหรือคลื่นอื่นที่เกี่ยวข้องเป็นคลื่นเอกรงค์ นั่นคือมีความถี่เดียว กฎของสเนลล์สามารถแสดงได้ในรูปของอัตราส่วนของความยาวคลื่นในตัวกลางทั้งสองและ:${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

$${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$$

กฎของสเนลล์สามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี

ที่มาจากการหลักการของแฟร์มาต์

กฎของสเนลล์สามารถอนุมานได้จากหลักการของแฟร์มาต์ซึ่งกล่าวว่าแสงเดินทางตามเส้นทางที่ใช้เวลาน้อยที่สุด โดยการหาอนุพันธ์ของความยาวเส้นทางแสง จะพบ จุดนิ่งซึ่งแสดงเส้นทางที่แสงเดินทาง (มีบางสถานการณ์ที่แสงไม่เป็นไปตามหลักการของแฟร์มาต์โดยไม่เดินทางตามเส้นทางที่ใช้เวลาน้อยที่สุด เช่น การสะท้อนในกระจก (ทรงกลม)) ในการเปรียบเทียบแบบคลาสสิก พื้นที่ที่มีดัชนีหักเห ต่ำ จะแทนด้วยชายหาด พื้นที่ที่มีดัชนีหักเห สูง จะแทนด้วยทะเล และวิธีที่เร็วที่สุดสำหรับผู้ช่วยชีวิตบนชายหาดที่จะไปถึงคนที่กำลังจมน้ำในทะเลคือการวิ่งไปตามเส้นทางที่สอดคล้องกับกฎของสเนลล์

ดังแสดงในรูปทางด้านขวา สมมติว่าดัชนีหักเหของตัวกลางที่ 1 และตัวกลางที่ 2 คือและตามลำดับ แสงเข้าสู่ตัวกลางที่ 2 จากตัวกลางที่ 1 ผ่านจุด O${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}}$คือมุมตกกระทบคือมุมหักเหเมื่อเทียบกับเส้นตั้งฉาก${\displaystyle \theta _{2}}$

ความเร็วเฟสของแสงในตัวกลางที่ 1 และตัวกลางที่ 2 คือและตามลำดับ โดยที่คือความเร็วของแสงในสุญญากาศ${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}$${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}$${\displaystyle c}$

ให้Tเป็นเวลาที่แสงใช้ในการเดินทางจากจุด Q ผ่านจุด O ไปยังจุด P โดยที่a , b , ℓและxเป็นไปตามที่แสดงในรูปด้านขวา โดย ที่ xเป็นพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลงได้$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(\ell -x)^{2}}}{v_{2}}}\\&={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}}}{v_{2}}}\end{aligned}}}$$

เพื่อลดค่าให้น้อยที่สุด เราสามารถหาอนุพันธ์ได้ และกำหนดให้เป็น 0 เพื่อหาจุดนิ่ง$${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(\ell -x)}{v_{2}{\sqrt {(\ell -x)^{2}+b^{2}}}}}}$$

โปรดทราบว่า ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

และ${\displaystyle {\frac {\ell -x}{\sqrt {(\ell -x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$

ดังนั้น,

$${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}&={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}\\{\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}&={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}\\n_{1}\sin \theta _{1}&=n_{2}\sin \theta _{2}\end{aligned}}}$$

เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางที่มีดัชนีหักเหสูงกว่าไปยังตัวกลางที่มีดัชนีหักเหต่ำกว่า กฎของสเนลล์ดูเหมือนจะกำหนดในบางกรณี (เมื่อใดก็ตามที่มุมตกกระทบมีขนาดใหญ่พอ) ว่าค่าไซน์ของมุมหักเหจะต้องมากกว่าหนึ่ง ซึ่งเป็นไปไม่ได้ และในกรณีเช่นนี้ แสงจะถูกสะท้อนกลับโดยสมบูรณ์โดยขอบเขต ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการสะท้อนกลับภายในทั้งหมดมุมตกกระทบที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งยังคงส่งผลให้เกิดรังสีหักเหเรียกว่ามุมวิกฤตในกรณีนี้ รังสีหักเหจะเดินทางไปตามขอบเขตระหว่างตัวกลางทั้งสอง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาแสงที่เคลื่อนที่จากน้ำไปยังอากาศด้วยมุมตกกระทบ 50° ดัชนีหักเหของน้ำและอากาศมีค่าประมาณ 1.333 และ 1 ตามลำดับ ดังนั้นกฎของสเนลล์จึงให้ความสัมพันธ์ดังนี้

$${\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {1.333}{1}}\cdot \sin \left(50^{\circ }\right)=1.333\cdot 0.766=1.021,}$$

ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้เป็นจริง มุมวิกฤตθ คือค่าของθ ที่ทำให้θ เท่ากับ 90°:

$${\displaystyle \theta _{\text{crit}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \theta _{2}\right)=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=48.6^{\circ }.}$$

ในตัวกลางที่คลื่นแพร่กระจายหลายชนิด ความเร็วของคลื่นจะเปลี่ยนแปลงไปตามความถี่หรือความยาวคลื่น เช่นเดียวกับการแพร่กระจายของแสงในสารโปร่งใสส่วนใหญ่ ยกเว้นสุญญากาศ ตัวกลางเหล่านี้เรียกว่าตัวกลางกระจายแสง ผลที่ได้คือ มุมที่กำหนดโดยกฎของสเนลล์จะขึ้นอยู่กับความถี่หรือความยาวคลื่นด้วย ดังนั้น รังสีที่มีความยาวคลื่นผสมกัน เช่น แสงขาว จะกระจายหรือแผ่กระจายออกไป การกระจายแสงในแก้วหรือน้ำเช่นนี้เป็นที่มาของรุ้งและปรากฏการณ์ทางแสง อื่นๆ ซึ่งความยาวคลื่นต่างกันปรากฏเป็นสีต่างกัน

ในเครื่องมือทางแสง การกระจายแสงนำไปสู่ความคลาดเคลื่อนของสีซึ่งเป็นการเบลอที่ขึ้นอยู่กับสี และบางครั้งอาจเป็นปัจจัยจำกัดความละเอียด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกล้องโทรทรรศน์แบบหักเหแสงก่อนการประดิษฐ์เลนส์วัตถุแบบไร้ความคลาดเคลื่อนของสี

ในตัวกลางนำไฟฟ้า ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าและดัชนีหักเหมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น มุมหักเหและเวกเตอร์คลื่นจึงเป็นจำนวนเชิงซ้อนเช่นกัน ซึ่งหมายความว่า ในขณะที่พื้นผิวที่มีเฟสจริงคงที่คือระนาบที่มีเวกเตอร์ตั้งฉากทำมุมเท่ากับมุมหักเหกับเวกเตอร์ตั้งฉากของพื้นผิว พื้นผิวที่มีแอมพลิจูดคงที่นั้นตรงกันข้ามกับระนาบที่ขนานกับพื้นผิว เนื่องจากระนาบทั้งสองนี้โดยทั่วไปไม่ทับซ้อนกัน จึงกล่าวได้ว่าคลื่นนั้นไม่เป็นเนื้อเดียวกัน^{[ 24 ]}คลื่นหักเหจะลดทอนแบบเอกซ์โพเนนเชียล โดยมีเลขชี้กำลังเป็นสัดส่วนกับส่วนจินตภาพของดัชนีหักเห^{[ 25 ] [ 26 ]}

• เส้นโค้งบราคิสโตโครน– เส้นโค้งที่ลดระดับลงเร็วที่สุดโดยไม่มีแรงเสียดทานสำหรับการพิสูจน์อย่างง่ายโดยจาคอบ เบอร์นูลลี 
• แคลคูลัสของการแปรผัน– แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์บนปริภูมิฟังก์ชัน 
• การคำนวณการลดทอนของคลื่นวิทยุในชั้นบรรยากาศ– การลดทอนสัญญาณในระบบโทรคมนาคม Pages displaying short descriptions of redirect targets
• คลื่นเอวาเนสเซนต์– ประเภทของสนามที่การไหลสุทธิของพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นศูนย์ Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ทัศนศาสตร์แฮมิลตัน– การกำหนดสูตรของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต 
• รายการดัชนีหักเห
• สมการอินเตอร์เฟอโรเมตริกแบบ N ช่อง
• การสะท้อน (ฟิสิกส์) – "การกระเด้งกลับ" ของคลื่นที่บริเวณรอยต่อ 
• หน้าต่างของสเนลล์– ปรากฏการณ์ใต้น้ำที่เกิดจากกฎของสเนลล์ 
• ดัชนีหักเหกับความยาวคลื่นของแสง– ความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ระหว่างดัชนีหักเหและความยาวคลื่น 

• กฎการหักเหของแสงของสเนลล์ (หน้าคลื่น)โดย ทอดด์ โรว์แลนด์โครงการสาธิตของวูลฟราม