โซ่สปิน เป็น แบบจำลองประเภทหนึ่งในฟิสิกส์เชิงสถิติโซ่สปินถูกสร้างขึ้นมาเพื่อจำลอง ระบบ แม่เหล็กซึ่งโดยทั่วไปประกอบด้วยอนุภาคที่มีสปิน แม่เหล็ก อยู่ที่ตำแหน่งคงที่บนโครงตาข่ายตัวอย่างต้นแบบคือแบบจำลองควอนตัมไฮเซนเบิร์กปฏิสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งต่างๆ ถูกจำลองโดยตัวดำเนินการที่กระทำกับสองตำแหน่งที่แตกต่างกัน ซึ่งมักจะเป็นตำแหน่งที่อยู่ติดกัน

อาจมองได้ว่าเป็นแบบจำลองเชิงสถิติแบบควอนตัมเช่นแบบจำลองไอซิงในแง่ที่ว่าพารามิเตอร์ที่อธิบายสปินในแต่ละไซต์จะถูกยกระดับจากตัวแปรที่รับค่าในชุดแบบไม่ต่อเนื่อง (โดยทั่วไปคือซึ่งแทน 'สปินขึ้น' และ 'สปินลง') ไปเป็นตัวแปรที่รับค่าในปริภูมิเวกเตอร์ (โดยทั่วไปคือสปิน 1/2 หรือ การแสดงแบบสองมิติของ) ${\displaystyle \{+1,-1\}}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

ตัวอย่างต้นแบบของโซ่สปินคือแบบจำลองไฮเซนเบิร์ก ซึ่งอธิบายโดยเวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์กในปี 1928 ^{[ 1 ]}แบบจำลองนี้เป็นแบบจำลองแลตติซหนึ่งมิติของอนุภาคคงที่ที่มีสปิน 1/2 เวอร์ชันที่เรียบง่าย ( แบบจำลอง แอนติเฟอร์โรแมกเนติก XXX) ได้รับการแก้ไข นั่นคือสเปกตรัมของแฮมิลโทเนียนของแบบจำลองไฮเซนเบิร์กได้รับการกำหนดโดยฮันส์ เบเทอโดยใช้สมมติฐานของเบเทอ [ ^{2 ] ปัจจุบัน} คำว่าสมมติฐานของเบเทอถูกใช้โดยทั่วไปเพื่ออ้างถึงสมมติฐานหลายอย่างที่ใช้ในการแก้ปัญหาที่สามารถแก้ได้อย่างแม่นยำในทฤษฎีโซ่สปิน เช่น สำหรับแบบจำลองไฮเซนเบิร์กแบบอื่นๆ (XXZ, XYZ) และแม้แต่ในทฤษฎีแลตติซทางสถิติ เช่น สำหรับแบบจำลองหกจุดยอด

อีกหนึ่งห่วงโซ่สปินที่มีการประยุกต์ใช้ทางฟิสิกส์คือแบบจำลองฮับบาร์ดซึ่งนำเสนอโดยจอห์น ฮับบาร์ดในปี พ.ศ. 2506 ^{[ 3 ]} แบบจำลองนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำโดยเอลเลียต ลีบและฟา-เย่ว์ วูในปี พ.ศ. 2511 ^{[ 4 ]}

อีกตัวอย่างหนึ่งของ (คลาสของ) โซ่สปินคือแบบจำลอง Gaudinซึ่งอธิบายและแก้ไขโดยMichel Gaudinในปี 1976 ^{[ 5 ]}

โครงสร้างแลตทิซนี้อธิบายได้ด้วยกราฟที่มีเซตของจุดยอดและเซตของเส้นเชื่อม ${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$

แบบจำลองนี้มีพีชคณิตลี ที่เกี่ยวข้อง โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตลีนี้สามารถถือได้ว่าเป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายเชิงซ้อนที่ มีมิติจำกัดใดๆ ก็ได้ หรือโดยทั่วไปยิ่งกว่านั้น ก็สามารถถือได้ว่าเป็นพีชคณิตลีใดๆ ก็ได้ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}:={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

แต่ละจุดยอดจะมีตัวแทนของพีชคณิตลีที่เกี่ยวข้องซึ่งมีป้ายกำกับว่า นี่คือการขยายความเชิงควอนตัมของแบบจำลองแลตติซเชิงสถิติ โดยที่แต่ละจุดยอดจะมี 'ตัวแปรสปิน' ที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V_{v}}$

ปริภูมิฮิลเบิร์ต สำหรับระบบทั้งหมด ซึ่งอาจเรียกว่าปริภูมิสถานะคือผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิการแสดงแทนที่แต่ละจุดยอด: ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{v\in V}V_{v}.}$$

แฮมิลโทเนียนจึงเป็นตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ต ในทฤษฎีโซ่สปิน อาจมีแฮมิลโทเนียนหลายตัวที่สลับที่กันได้ ซึ่งทำให้สามารถหาค่าเฉพาะของตัวดำเนินการได้พร้อมกัน

มีแนวคิดเรื่องความสามารถในการหาคำตอบที่แน่นอนสำหรับโซ่สปิน ซึ่งมักกล่าวกันว่าเป็นการกำหนดสเปกตรัมของแบบจำลอง ในแง่ที่แม่นยำ หมายถึงการกำหนดเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะพร้อมกันของปริภูมิฮิลเบิร์ตสำหรับแฮมิลโทเนียนของระบบ ตลอดจนค่าลักษณะเฉพาะของแต่ละเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สัมพันธ์กับแต่ละแฮมิลโทเนียน

ตัวอย่างต้นแบบและตัวอย่างเฉพาะของโซ่สปินไฮเซนเบิร์กเรียกว่าโมเดลสปิน 1/2 ไฮเซนเบิร์ก XXX ^{[ 6 ]}

กราฟนี้เป็นโครงข่ายแบบคาบ 1 มิติที่มี ไซต์จำนวน n ไซต์ กล่าวคือ กำหนดให้เป็นและองค์ประกอบของคือโดยที่ ระบุด้วย${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V=\{1,\cdots ,N\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \{n,n+1\}}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle 1}$

พีชคณิตลีที่เกี่ยวข้องคือ. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}__{2}}$

ณ ตำแหน่งนี้มีปริภูมิฮิลเบิร์ตที่เกี่ยวข้องซึ่งมีโครงสร้างสมมาตรกับการแสดงผลแบบสองมิติของ(และด้วยเหตุนี้จึงมีโครงสร้างสมมาตรกับ อีกด้วย) ปริภูมิฮิลเบิร์ตของการกำหนดค่าระบบคือซึ่งมีมิติ ${\displaystyle n}$${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}__{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{n=1}^{N}h_{n}}$${\displaystyle 2^{N}}$

กำหนดให้ตัวดำเนินการบนการแสดงผลสองมิติของให้แทนตัวดำเนินการบนซึ่งทำหน้าที่เหมือนบนและเหมือนเอกลักษณ์ บนอีก โดยที่. สามารถเขียนได้ชัดเจนว่า โดยที่ 1 หมายถึงเอกลักษณ์ ${\displaystyle A}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}__{2}}$${\displaystyle A^{(n)}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle h_{m}}$${\displaystyle m\neq n}$$${\displaystyle A^{(n)}=1\otimes \cdots \otimes \underbrace {A} _{n}\otimes \cdots \otimes 1,}$$

โดยพื้นฐานแล้ว แฮมิลโทเนียนคือการแปลงเชิงเส้นตรงแบบโดย มีการรวมผลบวกโดยนัยเหนือดัชนีและ โดยที่คือเมทริกซ์ของเปาลี แฮมิ ล โทเนียนมี ความสมมาตรภายใต้การกระทำของ ตัวดำเนินการสปินรวมทั้งสามตัว${\displaystyle H=\sum _{n=1}^{N}\sigma _{i}^{(n)}\sigma _{i}^{(n+1)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}__{2}}$${\displaystyle \sigma _{i}=\sum _{n=1}^{N}\sigma _{i}^{(n)}}$

ปัญหาหลักจึงอยู่ที่การหาค่าสเปกตรัม ( ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะใน) ของแฮมิลโทเนียน ซึ่งแก้ได้ด้วยวิธีการของ Bethe ansatz ทางพีชคณิต ที่ค้นพบโดยHans Betheและได้รับการศึกษาเพิ่มเติมโดยLudwig Faddeev ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

• แบบจำลองควอนตัมไฮเซนเบิร์ก
• แบบจำลองอิโนเซมต์เซฟ
• แบบจำลอง Haldane–Shastry
• แบบจำลองควอนตัมเกาดิน

• แบบจำลองโครงตาข่าย (ฟิสิกส์)
• แก้ไขได้แน่นอน

• โซ่หมุนใน nLab