แอคชั่นของ Diracที่ถูกทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องอย่างง่ายในปริภูมิเวลาแบบยุคลิดที่มีระยะห่างแบบแลตทิซ${\displaystyle a}$และฟิลด์ดิแรก${\displaystyle \psi _{n}}$ที่จุดแลตติสทุกจุด ซึ่งกำหนดดัชนีโดย${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})}$มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle S=a^{4}\sum _{n\in \Lambda }{\bar {\psi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\gamma _{\mu }{\frac {\psi _{n+{\hat {\mu }}}-\psi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\psi _{n}{\bigg )}.}$

เฟอร์มิออนแบบสลับตำแหน่งถูกสร้างขึ้นจากสิ่งนี้โดยการทำการแปลงแบบสลับตำแหน่ง ไปยัง ฐานสนามใหม่${\displaystyle \psi _{n}'}$กำหนดโดย^{[ 3 ]}

${\displaystyle \psi _{n}=\gamma _{1}^{n_{1}}\gamma _{2}^{n_{2}}\gamma _{3}^{n_{3}}\gamma _{4}^{n_{4}}\psi '_{n}.}$

เนื่องจากเมทริกซ์ Diracยกกำลังสองได้เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ การแปลงที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งนี้จึงผสมส่วนประกอบสปิน ของเฟอร์มิออน ในลักษณะที่ซ้ำกันทุกๆ สองช่วงระยะห่างของแลตติส ผลของมันคือการทำให้ แอคชั่นในดัชนีสปินเนอร์ เป็นแนวทแยงซึ่งหมายความว่าแอคชั่นจะแยกออกเป็นสี่ส่วนที่แตกต่างกัน ส่วนหนึ่งสำหรับส่วนประกอบสปินเนอร์ Dirac แต่ละส่วน โดยกำหนดให้ส่วนประกอบหนึ่งในนั้นด้วย${\displaystyle \chi _{n}}$ซึ่งเป็นตัวแปร Grassmannที่ไม่มีโครงสร้างสปินส่วนประกอบอีกสามส่วนสามารถตัดทิ้งได้ ทำให้ได้แอคชั่นแบบสลับส่วนประกอบเดียว

${\displaystyle S=a^{4}\sum _{n}{\bar {\chi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\eta _{\mu }(n){\frac {\chi _{n+{\hat {\mu }}}-\chi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\chi _{n}{\bigg )},}$

ที่ไหน${\displaystyle {\hat {\mu }}}$เป็นเวกเตอร์หน่วยใน${\displaystyle \mu }$ทิศทางและฟังก์ชันเครื่องหมายแบบสลับกันนั้นกำหนดโดย${\displaystyle \eta _{i}(n)=(-1)^{\sum _{j<i}n_{j}}}$การแปลงแบบเหลื่อมเวลาเป็นส่วนหนึ่งของการแปลงประเภทที่ใหญ่กว่า${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow A_{n}\psi _{n}}$น่าพอใจ${\displaystyle A_{n}^{\dagger }\gamma _{\mu }A_{n+{\hat {\mu }}}=\Delta _{\mu }(n)\in U(1)^{\otimes 4}}$ร่วมกับเงื่อนไขความสอดคล้องที่จำเป็นบนแผ่นเพล็ต การแปลงทั้งหมดเหล่านี้เทียบเท่ากับการแปลงแบบสลับ^{[ 4 ]}เนื่องจากการเพิ่มจำนวนเฟอร์มิออน การกระทำแบบไร้เดียงสาเดิมอธิบายเฟอร์มิออนสิบหกตัว แต่เมื่อละทิ้งสำเนาสามในสี่ชุด การกระทำใหม่นี้จึงอธิบายเพียงสี่ตัว

เพื่อแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าแอคชั่นเฟอร์มิออนแบบสลับส่วนประกอบเดี่ยวอธิบายถึงเฟอร์มิออนดิแรกสี่ตัว จำเป็นต้องแบ่งแลตทิซออกเป็นไฮเปอร์คิวบ์และตีความฟิลด์กราสส์แมนน์ที่ไซต์ไฮเปอร์คิวบ์ทั้งสิบหกไซต์ใหม่ให้เป็นองศาอิสระ ทั้งสิบหก ของเฟอร์มิออนทั้งสี่ตัว ในทำนองเดียวกับการใช้คำว่า " รสชาติ"ในฟิสิกส์อนุภาค เฟอร์มิออนทั้งสี่ตัวนี้ถูกเรียกว่าเป็นรสชาติ ที่แตกต่างกัน ของเฟอร์มิออน ไซต์แลตทิซที่ถูกแบ่งจะถูกกำหนดดัชนีโดย${\displaystyle h_{\mu }}$ในขณะที่สำหรับแต่ละสิ่งเหล่านี้ ไซต์ไฮเปอร์คิวบ์ภายในจะถูกจัดทำดัชนีโดย${\displaystyle s_{\mu }}$ซึ่งส่วนประกอบของเวกเตอร์มีค่าเป็นศูนย์หรือหนึ่ง ในสัญลักษณ์นี้ เวกเตอร์แลตติซดั้งเดิมจะเขียนเป็น${\displaystyle n_{\mu }=2h_{\mu }+s_{\mu }}$เมทริกซ์${\displaystyle \Gamma ^{(s)}=\gamma _{1}^{s_{1}}\gamma _{2}^{s_{2}}\gamma _{3}^{s_{3}}\gamma _{4}^{s_{4}}}$ใช้เพื่อกำหนดฐานรสชาติสปินของเฟอร์มิออนแบบสลับ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \psi ^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}\Gamma _{\alpha t}^{(s)}\chi (2h+s),\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}{\bar {\chi }}(2h+s)(\Gamma ^{(s)\dagger })_{t\alpha }.}$

ดัชนีรสชาติ${\displaystyle t}$ครอบคลุมรสชาติทั้งสี่ ในขณะที่ดัชนีการหมุน${\displaystyle \alpha }$ครอบคลุมส่วนประกอบการหมุนทั้งสี่การเปลี่ยนฐาน นี้ จะเปลี่ยนการกระทำแบบส่วนประกอบเดียวบนโครงตาข่ายที่มีระยะห่าง${\displaystyle a}$เข้าสู่การกระทำของการหมุนและรสชาติด้วยระยะห่างของโครงตาข่ายที่มีประสิทธิภาพของ${\displaystyle b=2a}$มอบให้โดย

${\displaystyle S=b^{4}\sum _{h}{\bar {\psi }}_{n}{\bigg \{}\sum _{\mu }[(\gamma _{\mu }\otimes 1)\partial _{\mu }+{\tfrac {b}{2}}(\gamma _{5}\otimes \gamma _{5}\gamma _{\mu }^{T})\square _{\mu }]+m(1\otimes 1){\bigg \}}\psi _{h}.}$

ที่นี่${\displaystyle \partial _{\mu }}$และ${\displaystyle \square _{\mu }}$เป็นตัวย่อสำหรับอนุพันธ์และลาปลาเซียน ที่ถูกทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องอย่าง สมมาตร ตามลำดับ ในขณะเดียวกัน สัญกรณ์เทนเซอร์จะแยกเมทริกซ์สปินและเมทริกซ์รสชาติออกจากกัน${\displaystyle [(A\otimes B)\psi _{n}]^{t}(h)_{\alpha }=A_{\alpha }{}^{\beta }B^{t}{}_{t'}\psi ^{t'}(h)_{\beta }}$เนื่องจากเทอมจลน์และมวลเป็นแนวทแยงในดัชนีรสชาติ แอคชั่นจึงอธิบายถึงเฟอร์มิออนดิแรกแบบเสื่อมสภาพสี่ตัว เฟอร์มิออนเหล่านี้มีปฏิสัมพันธ์กันในสิ่งที่เรียกว่าปฏิสัมพันธ์การผสมรสชาติผ่านเทอมที่สอง ซึ่งเป็น ตัวดำเนินการมิติห้า ที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งหายไปในขีดจำกัดต่อเนื่องแอคชั่นนี้คล้ายกับแอคชั่นที่สร้างขึ้นโดยใช้เฟอร์มิออนวิลสันสี่ตัวมาก โดยมีเพียงความแตกต่างในโครงสร้างเทนเซอร์ของเทอมที่สอง ซึ่งสำหรับเฟอร์มิออนวิลสันจะเป็นแนวทแยงของสปินและรสชาติ${\displaystyle (1\otimes 1)}$.

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของเฟอร์มิออนแบบสลับตำแหน่ง ซึ่งไม่มีในเฟอร์มิออนแบบแลตทิซอื่นๆ เช่น เฟอร์มิออนวิลสัน คือ พวกมันมีสมมาตร ไครัลที่หลงเหลืออยู่แม้ ใน ขีดจำกัด ที่ไม่มีมวลสมมาตรที่หลงเหลืออยู่นี้ถูกอธิบายในฐานสปิน-เทสต์โดย

${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}\psi _{n},\ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }`{n}\rightarrow {\bar {\psi }}e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}.}$

การมีอยู่ของสมมาตรที่หลงเหลืออยู่นี้ทำให้เฟอร์มิออนแบบสลับตำแหน่งมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการใช้งานบางอย่าง เนื่องจากสามารถอธิบายการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติและความผิดปกติได้สมมาตรนี้ยังช่วยปกป้องเฟอร์มิออนไร้มวลจากการได้รับมวลเมื่อทำการปรับค่าใหม่ด้วย

เฟอร์มิออนแบบสลับตำแหน่งจะถูกกำหนดเกจในแอคชั่นแบบองค์ประกอบเดียวโดยการแทรกฟิลด์เชื่อมโยงเข้าไปในแอคชั่นเพื่อให้มันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้เกจในลักษณะเดียวกับที่ทำกับแอคชั่นแลตติซของดิแรกแบบดั้งเดิม วิธีการนี้ไม่สามารถนำไปใช้กับแอคชั่นแบบสปิน-เทสต์ได้โดยตรง แต่ต้องใช้แอคชั่นแบบองค์ประกอบเดียวที่มีปฏิสัมพันธ์ร่วมกับฐานแบบสปิน-เทสต์ที่ดัดแปลงแล้ว${\displaystyle \psi ^{t}(h)_{\alpha }}$โดยที่เส้นวิลสันจะถูกแทรกระหว่างจุดแลตติสที่แตกต่างกันภายในไฮเปอร์คิวบ์เพื่อให้แน่ใจว่าไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้เกจ^{[ 6 ]}แอคชั่นที่ได้นั้นไม่สามารถแสดงออกมาในรูปแบบปิดได้ แต่สามารถขยายออกไปเป็นกำลังของระยะห่างของแลตติส ซึ่งนำไปสู่แอคชั่นดิแรกแบบมีปฏิสัมพันธ์ตามปกติสำหรับเฟอร์มิออนสี่ตัว พร้อมกับอนุกรมอนันต์ของตัวดำเนินการไบลิเนียร์เฟอร์มิออนที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งหายไปในขีดจำกัดต่อเนื่อง

เฟอร์มิออนแบบสลับตำแหน่งสามารถกำหนดได้ในปริภูมิโมเมนตัมโดยการแปลงแอคชั่นแบบองค์ประกอบเดี่ยวไปเป็นปริภูมิฟูริเยร์และแบ่งโซนบริลลูอิน ออก เป็นสิบหกบล็อก การเลื่อนบล็อกเหล่านี้ไปยังจุดกำเนิดจะได้เฟอร์มิออนแบบองค์ประกอบเดี่ยวจำนวนสิบหกชุด ซึ่งโมเมนตัมของพวกมันครอบคลุมครึ่งหนึ่งของช่วงโซนบริลลูอิน${\displaystyle -\pi /2\leq k_{\mu }\leq \pi /2}$สิ่งเหล่านี้สามารถจัดกลุ่มได้เป็น${\displaystyle 4\times 4}$เมทริกซ์ซึ่งเมื่อผ่านการแปลงเอกภาพและ การปรับ ขนาดโมเมนตัมเพื่อให้แน่ใจว่าโมเมนตัมจะครอบคลุมช่วงทั้งหมดอีกครั้ง${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ช่วง Brillouin ทำให้เกิดการกระทำของเฟอร์มิออนแบบสลับตำแหน่งในปริภูมิโมเมนตัม^{[ 7 ]}

${\displaystyle S=\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\bar {\psi }}(p){\bigg [}2i\sum _{\mu }\sin {\tfrac {p_{\mu }}{2}}(\gamma _{\mu }\otimes 1)+2m(1\otimes 1){\bigg ]}\psi (p).}$

สามารถแปลงกลับไปเป็นปริภูมิตำแหน่งได้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผัน แตกต่างจากแอคชั่นสปิน-รสชาติ แอคชั่นนี้ไม่ได้ผสมส่วนประกอบรสชาติเข้าด้วยกัน ทำให้ดูเหมือนว่าแอคชั่นนี้แยกเฟอร์มิออนทั้งสี่ออกจากกันได้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นจึงมีความสมบูรณ์${\displaystyle U(4)\otimes U(4)}$กลุ่มสมมาตรไครัล อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้เกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อแลกมาด้วยการสูญเสียความเป็นท้องถิ่นโดยที่ตัวดำเนินการ Dirac ในปริภูมิตำแหน่งจะเชื่อมต่อจุดแลตติสที่อยู่ห่างกันอย่างไม่จำกัด แทนที่จะจำกัดอยู่ภายในไฮเปอร์คิวบ์ ข้อสรุปนี้ยังเห็นได้ในตัวแพร่กระจายซึ่งไม่ต่อเนื่องที่ขอบของโซนบริลลูอิน

สูตรในปริภูมิโมเมนตัมและปริภูมิตำแหน่งแตกต่างกันเนื่องจากใช้คำจำกัดความของรสนิยมที่แตกต่างกัน โดยที่คำจำกัดความในปริภูมิโมเมนตัมไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความเฉพาะที่ในปริภูมิตำแหน่ง คำจำกัดความทั้งสองนี้จะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่ออยู่ในขีดจำกัดต่อเนื่อง เท่านั้น สมมาตรไครัลยังคงอยู่แม้ว่าจะมีความเป็นไปได้ในการจำลองเฟอร์มิออนในปริภูมิโมเมนตัมเพียงตัวเดียว เนื่องจากความเป็นท้องถิ่นเป็นหนึ่งในข้อสมมติของทฤษฎีบทนีลเซน-นิโนมิยะที่กำหนดว่าทฤษฎีจะประสบกับการเพิ่มจำนวนเฟอร์มิออนหรือไม่ การสูญเสียความเป็นท้องถิ่นทำให้สูตรนี้ใช้งานได้ยากสำหรับการจำลอง

ในขีดจำกัดต่อเนื่องตัวดำเนินการ Dirac เฟอร์มิออนแบบสลับจะลดลงเหลือตัวดำเนินการ Dirac ต่อเนื่องแบบสี่เท่า${\displaystyle D=D_{1}\otimes 1}$ดังนั้นค่าไอเกนของมันจึงมีความซ้ำซ้อนสี่เท่า ด้วยเหตุนี้${\displaystyle [\det D]^{1/4}=\det D_{1}}$ความเสื่อมนี้จะถูกทำลายลงด้วยการผสมรสชาติที่ระยะห่างของโครงตาข่ายที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle a\neq 0}$แม้ว่าการจำลองจะแสดงให้เห็นว่าค่าไอเกนยังคงกระจุกตัวอยู่ประมาณกลุ่มละสี่ค่าก็ตาม นี่เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดเทคนิครากที่สี่โดยการจำลองเฟอร์มิออนเดี่ยวโดยการแทนที่ดีเทอร์มิแนนต์ของตัวดำเนินการ Dirac แบบสลับด้วยรากที่สี่ในฟังก์ชันพาร์ติชัน

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}U\det[D_{\text{stag}}]e^{-S_{\text{gauge}}}\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \int {\mathcal {D}}U(\det[D_{\text{stag}}])^{1/4}e^{-S_{\text{gauge}}}.}$

เฟอร์มิออนที่ได้เรียกว่าเฟอร์มิออนแบบสลับราก และใช้ในการจำลองเฟอร์มิออนแบบสลับส่วนใหญ่ รวมถึงโดยความร่วมมือของ MILC ปัญหาทางทฤษฎีในการใช้เฟอร์มิออนแบบสลับรากคือ ยังไม่ชัดเจนว่าจะให้ขีดจำกัดต่อเนื่องที่ถูกต้องหรือไม่ นั่นคือ การมีรากจะเปลี่ยนคลาสความเป็นสากลของทฤษฎีหรือ ไม่ ^{[ 10 ]}หากเป็นเช่นนั้น ก็ไม่มีเหตุผลที่จะคิดว่าเฟอร์มิออนแบบสลับรากนั้นดีในการอธิบายทฤษฎีสนามต่อเนื่อง คลาสความเป็นสากลโดยทั่วไปจะถูกกำหนดโดยมิติของทฤษฎีและโดยสมมาตรที่ทฤษฎีนั้นเป็นไปตาม ปัญหาของเฟอร์มิออนแบบสลับรากคือ พวกมันสามารถอธิบายได้ด้วยการกระทำที่ไม่ใช่แบบโลคอล เท่านั้น ซึ่งการจำแนกความเป็นสากลจะไม่สามารถใช้ได้อีกต่อไป เนื่องจากภาวะไม่เป็นโลคัลหมายถึงการละเมิด ความเป็นเอกภาพ เฟอร์ มิออนแบบสลับรากจึงไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ที่ระยะห่างของแลตทิซที่ไม่เป็นศูนย์ แม้ว่านี่จะไม่ใช่ปัญหาหากภาวะไม่เป็นโลคัลหายไปในคอนติเนียม พบว่าภายใต้สมมติฐานที่สมเหตุสมผล เทคนิครากที่สี่จะกำหนดทฤษฎีที่สามารถปรับค่าใหม่ได้ ซึ่งในทุกอันดับของทฤษฎีการรบกวนจะสร้างทฤษฎีเอกภาพแบบโลคัลขึ้นมาใหม่โดยมีจำนวนควาร์ก เบาที่ถูกต้อง ในคอนติเนียม ยังคงเป็นคำถามที่เปิดอยู่ว่าสิ่งนี้เป็นจริงโดยไม่ใช้การรบกวนหรือไม่ อย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งทางทฤษฎี^{[ 11 ]}และการเปรียบเทียบเชิงตัวเลขกับเฟอร์มิออนแลตทิซอื่น ๆ บ่งชี้ว่าเฟอร์มิออนแบบสลับรากอยู่ในกลุ่มความเป็นสากลที่ถูกต้อง^{[ 12 ]}