แผนที่มาตรฐาน (หรือที่รู้จักกันในชื่อแผนที่ Chirikov–Taylorหรือแผนที่มาตรฐาน Chirikov ) เป็นแผนที่อลหม่าน ที่รักษาพื้นที่ จากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่งทับตัวเอง^{[ 1 ]}สร้างขึ้นจากพื้นผิวตัดของ Poincaréของตัวหมุนที่ถูกเตะและกำหนดโดย: ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}}$

โดยที่และถูกนำมาหาค่าโมดูลัส ${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle 2\pi }$

คุณสมบัติของความโกลาหลของแผนที่มาตรฐานได้รับการกำหนดขึ้นโดยบอริส ชิริคอฟในปี 1969

แผนภาพนี้แสดงพื้นผิวตัดของปวงกาเร (Poincaré's surface of section)ของการเคลื่อนที่ของระบบกลไกอย่างง่ายที่เรียกว่า " ตัวหมุนแบบถูกเตะ" (kicked rotator ) ตัวหมุนแบบถูกเตะประกอบด้วยแท่งที่ปราศจากแรงโน้มถ่วง สามารถหมุนได้อย่างไม่มีแรงเสียดทานในระนาบรอบแกนที่อยู่ตรงปลายด้านหนึ่ง และถูกเตะที่ปลายอีกด้านหนึ่งเป็นระยะๆ

แผนที่มาตรฐานเป็นพื้นผิวของส่วนที่ใช้การฉายภาพสโตรโบสโคปิกบนตัวแปรของตัวหมุนที่ถูกเตะ^{[ 1 ]}ตัวแปรและกำหนดตำแหน่งเชิงมุมของแท่งและโมเมนตัมเชิงมุมตามลำดับหลังจาก การเตะครั้งที่ nค่าคงที่Kวัดความเข้มของการเตะบนตัวหมุนที่ถูกเตะ ${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle p_{n}}$

แบบจำลองโรเตอร์แบบมีแรงกระแทก (kicked rotator)เป็นแบบจำลองที่ประมาณระบบที่ศึกษาในสาขากลศาสตร์ของอนุภาคฟิสิกส์เครื่องเร่งอนุภาคฟิสิกส์พลาสมาและฟิสิกส์ของแข็งตัวอย่างเช่นเครื่องเร่งอนุภาค แบบวงกลม เร่งอนุภาคโดยการใช้แรงกระแทกเป็นระยะขณะที่อนุภาคหมุนวนอยู่ในท่อลำแสง ดังนั้น โครงสร้างของลำแสงจึงสามารถประมาณได้ด้วยแบบจำลองโรเตอร์แบบมีแรงกระแทก อย่างไรก็ตาม แบบจำลองนี้มีความน่าสนใจจากมุมมองพื้นฐานในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เพราะเป็นแบบจำลองที่ง่ายมากของระบบอนุรักษ์ที่แสดงให้เห็นถึงความโกลาหลแบบแฮมิลโทเนียนดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการศึกษาการพัฒนาของความโกลาหลในระบบประเภทนี้

เนื่องจากแผนที่นี้เป็นเชิงเส้น จึง มีเพียง วงโคจร แบบคาบและแบบกึ่งคาบเท่านั้น ที่เป็นไปได้ เมื่อพล็อตลงในปริภูมิเฟส (ระนาบ θ– p ) วงโคจรแบบคาบจะปรากฏเป็นเส้นโค้งปิด และวงโคจรแบบกึ่งคาบจะปรากฏเป็นสร้อยคอของเส้นโค้งปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นโค้งปิดขนาดใหญ่กว่าอีกเส้นหนึ่ง ประเภทของวงโคจรที่สังเกตได้นั้นขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นของแผนที่ ${\displaystyle K=0}$

ความไม่เป็นเชิงเส้นของแผนที่เพิ่มขึ้นตามค่า Kและด้วยเหตุนี้จึงทำให้สามารถสังเกตพลวัตแบบอลวนได้สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่เหมาะสม ดังแสดงในรูป ซึ่งแสดงชุดของวงโคจรต่างๆ ที่อนุญาตให้เกิดขึ้นกับแผนที่มาตรฐานสำหรับค่าต่างๆ ของวงโคจรทั้งหมดที่แสดงเป็นแบบคาบหรือกึ่งคาบ ยกเว้นวงโคจรสีเขียวที่เป็นแบบอลวนและพัฒนาไปในบริเวณกว้างของปริภูมิเฟสในลักษณะของชุดจุดที่ดูเหมือนสุ่ม สิ่งที่น่าทึ่งเป็นพิเศษคือความสม่ำเสมออย่างมากของการกระจายตัวในบริเวณอลวน แม้ว่าสิ่งนี้อาจทำให้เข้าใจผิดได้: แม้แต่ภายในบริเวณอลวน ก็ยังมีเกาะเล็กๆ จำนวนอนันต์ที่ไม่เคยถูกเยี่ยมชมในระหว่างการวนซ้ำ ดังแสดงในภาพขยาย ${\displaystyle K>0}$

แผนที่มาตรฐานมีความสัมพันธ์กับแผนที่วงกลมซึ่งมีสมการวนซ้ำที่คล้ายกันเพียงสมการเดียว:

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+\Omega -K\sin(\theta _{n})}$

เมื่อเปรียบเทียบกับ

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle p_{n+1}=\theta _{n+1}-\theta _{n}}$

สำหรับแผนที่มาตรฐาน สมการจะถูกจัดเรียงใหม่เพื่อเน้นความคล้ายคลึงกัน โดยพื้นฐานแล้ว แผนที่วงกลมจะบังคับให้โมเมนตัมมีค่าคงที่

• ทฤษฎีบทของอุชิกิ

• แผนผังมาตรฐานที่MathWorld
• แผนที่มาตรฐาน Chirikovที่Scholarpedia
• เว็บไซต์ที่อุทิศให้กับบอริส ชิริคอฟ
• แอปเพล็ต Java แบบโต้ตอบสำหรับแสดงภาพวงโคจรของแผนที่มาตรฐานโดย Achim Luhn
• แอปพลิเคชัน Mac สำหรับแผนที่มาตรฐานโดย เจมส์ ไมส์
• แผนที่มาตรฐานแบบแอปเพล็ต JavaScript แบบโต้ตอบบน experiences.math.cnrs.fr