ขนาดของผลกระทบ

ในทางสถิติขนาดผลกระทบ (effect size)คือการวัดเชิงปริมาณของขนาดของปรากฏการณ์^{[ 1 ]}อาจหมายถึงค่าของสถิติที่คำนวณจากตัวอย่างข้อมูลค่าของพารามิเตอร์หนึ่งตัวสำหรับประชากรสมมติ หรือสมการที่แสดงให้เห็นว่าสถิติหรือพารามิเตอร์นำไปสู่ค่าขนาดผลกระทบได้อย่างไร^{[ 1 ]}ตัวอย่างของขนาดผลกระทบ ได้แก่ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัว^{[ 2 ]}สัมประสิทธิ์การถดถอยในการถดถอย ความแตกต่างของ ค่าเฉลี่ยและความเสี่ยงของเหตุการณ์เฉพาะ (เช่น โรคหัวใจวาย) ขนาดผลกระทบเป็นเครื่องมือเสริมสำหรับการทดสอบสมมติฐานทางสถิติและมีบทบาทสำคัญใน การวิเคราะห์ กำลังทางสถิติเพื่อประเมินขนาดตัวอย่างที่จำเป็นสำหรับการทดลองใหม่^{[ 3 ]}การคำนวณขนาดผลกระทบเป็นพื้นฐานสำหรับการวิเคราะห์เมตา (meta-analysis ) ซึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่อให้ได้ขนาดผลกระทบรวมโดยอิงจากข้อมูลจากการศึกษาหลายๆ ครั้ง กลุ่มของวิธีการวิเคราะห์ข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับขนาดผลกระทบเรียกว่าสถิติการประมาณค่า

ขนาดผลกระทบ (effect size) เป็นองค์ประกอบสำคัญในการประเมินความน่าเชื่อถือของข้ออ้างทางสถิติ และเป็นรายการแรก (ขนาด) ในเกณฑ์ MAGICค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของขนาดผลกระทบมีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจากบ่งชี้ว่ามีความไม่แน่นอนมากน้อยเพียงใดในการวัดที่สังเกตได้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่มากเกินไปจะทำให้การวัดแทบไม่มีความหมาย ในการวิเคราะห์เมตา (meta-analysis) ซึ่งมีเป้าหมายเพื่อสรุปขนาดผลกระทบหลายๆ ค่าให้เป็นค่าประมาณเดียว ความไม่แน่นอนในขนาดผลกระทบของการศึกษาต่างๆ จะถูกนำมาใช้เพื่อถ่วงน้ำหนักการมีส่วนร่วมของการศึกษาแต่ละชิ้น ดังนั้นการศึกษาขนาดใหญ่จึงถือว่ามีความสำคัญมากกว่าการศึกษาขนาดเล็ก ความไม่แน่นอนในขนาดผลกระทบจะคำนวณแตกต่างกันสำหรับขนาดผลกระทบแต่ละประเภท แต่โดยทั่วไปแล้วจะต้องทราบเพียงขนาดตัวอย่างของการศึกษา ( N ) หรือจำนวนการสังเกต ( n ) ในแต่ละกลุ่มเท่านั้น

การรายงานขนาดผลกระทบหรือค่าประมาณของผลกระทบ (ค่าประมาณผลกระทบ [EE], ค่าประมาณของผลกระทบ) ถือเป็นแนวปฏิบัติที่ดีเมื่อนำเสนอผลการวิจัยเชิงประจักษ์ในหลายสาขา^{[ 4 ] [ 5 ]}การรายงานขนาดผลกระทบช่วยให้การตีความความสำคัญของผลการวิจัยง่ายขึ้น ซึ่งแตกต่างจากนัยสำคัญทางสถิติ [ ^{6 ]}ขนาดผลกระทบมีความสำคัญอย่างยิ่งในการวิจัยทางสังคมศาสตร์และ การแพทย์ โดยเฉพาะ ^{อย่าง} ยิ่ง การวิจัยทางการแพทย์ที่เน้นความสำคัญของขนาดของ ผลกระทบการรักษา โดย เฉลี่ย

ขนาดของผลกระทบอาจวัดได้ทั้งในเชิงสัมพัทธ์หรือเชิงสัมบูรณ์ ในขนาดของผลกระทบเชิงสัมพัทธ์นั้น จะเปรียบเทียบสองกลุ่มโดยตรง เช่นอัตราส่วนความน่าจะเป็นและความเสี่ยงเชิงสัมพัทธ์ค่าสัมบูรณ์ที่มากขึ้นมักบ่งชี้ถึงผลกระทบที่รุนแรงกว่าสำหรับขนาดของผลกระทบเชิงสัมบูรณ์ การวัดหลายประเภทสามารถแสดงได้ทั้งในรูปของค่าสัมบูรณ์หรือเชิงสัมพัทธ์ และสามารถใช้ร่วมกันได้เนื่องจากให้ข้อมูลที่แตกต่างกัน คณะทำงานที่มีชื่อเสียงใน วงการ วิจัยจิตวิทยาได้ให้คำแนะนำดังต่อไปนี้:

ควรนำเสนอขนาดผลกระทบสำหรับผลลัพธ์หลักเสมอ...หากหน่วยวัดมีความหมายในระดับปฏิบัติ (เช่น จำนวนบุหรี่ที่สูบต่อวัน) เรามักจะเลือกใช้การวัดที่ไม่เป็นมาตรฐาน (สัมประสิทธิ์การถดถอยหรือความแตกต่างเฉลี่ย) มากกว่าการวัดที่เป็นมาตรฐาน ( rหรือd ) ^{[ 4 ]}

เช่นเดียวกับการประมาณค่าทางสถิติขนาดผลกระทบที่แท้จริงจะแตกต่างจากขนาดผลกระทบที่สังเกตได้ ตัวอย่างเช่น ในการวัดความเสี่ยงของโรคในประชากร (ขนาดผลกระทบของประชากร) เราสามารถวัดความเสี่ยงภายในกลุ่มตัวอย่างของประชากรนั้น (ขนาดผลกระทบของกลุ่มตัวอย่าง) ข้อกำหนดสำหรับการอธิบายขนาดผลกระทบที่แท้จริงและที่สังเกตได้เป็นไปตามหลักปฏิบัติทางสถิติมาตรฐาน วิธีที่ใช้กันทั่วไปวิธีหนึ่งคือการใช้ตัวอักษรกรีก เช่น ρ [rho] เพื่อแสดงพารามิเตอร์ของประชากร และตัวอักษรละติน เช่นrเพื่อแสดงค่าสถิติที่สอดคล้องกัน หรืออีกวิธีหนึ่ง อาจวาง "หมวก" ไว้เหนือพารามิเตอร์ของประชากรเพื่อแสดงค่าสถิติ เช่น โดยที่เป็น ค่าประมาณของพารามิเตอร์${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle \rho }$

เช่นเดียวกับการตั้งค่าทางสถิติใดๆ ขนาดผลกระทบจะถูกประมาณด้วยข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างและอาจมีอคติได้ เว้นแต่ตัวประมาณขนาดผลกระทบที่ใช้จะเหมาะสมกับวิธีการสุ่มตัวอย่าง ข้อมูล และวิธีการวัด ตัวอย่างเช่น อคติในการตีพิมพ์ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อนักวิทยาศาสตร์รายงานผลลัพธ์เฉพาะเมื่อขนาดผลกระทบที่ประมาณได้มีขนาดใหญ่หรือมีนัยสำคัญทางสถิติ ผลที่ตามมาคือ หากนักวิจัยจำนวนมากทำการศึกษาที่มีกำลังทางสถิติต่ำ ขนาดผลกระทบที่รายงานจะมีแนวโน้มที่จะใหญ่กว่าผลกระทบที่แท้จริง (ของประชากร) หากมี^{[ 7 ]}อีกตัวอย่างหนึ่งที่ขนาดผลกระทบอาจบิดเบือนได้คือในการทดลองแบบหลายรอบ ซึ่งการคำนวณขนาดผลกระทบจะขึ้นอยู่กับการตอบสนองเฉลี่ยหรือรวมจากรอบการทดลอง^{[ 8 ]}

การศึกษาขนาดเล็กบางครั้งแสดงขนาดผลที่แตกต่างกัน ซึ่งมักจะใหญ่กว่าการศึกษาขนาดใหญ่ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าผลกระทบจากการศึกษาขนาดเล็ก ซึ่งอาจบ่งชี้ถึงอคติในการตีพิมพ์^{[ 9 ]}

ขนาดผลกระทบที่ได้จากตัวอย่างนั้นแตกต่างจากสถิติการทดสอบที่ใช้ในการทดสอบสมมติฐาน ตรงที่ขนาดผลกระทบจะประมาณความแข็งแกร่ง (ขนาด) ของความสัมพันธ์ที่ปรากฏให้เห็น แทนที่จะกำหนด ระดับ นัยสำคัญที่สะท้อนว่าขนาดของความสัมพันธ์ที่สังเกตได้นั้นอาจเกิดจากความบังเอิญหรือไม่ ขนาดผลกระทบไม่ได้กำหนดระดับนัยสำคัญโดยตรง หรือในทางกลับกัน หากขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่เพียงพอ การเปรียบเทียบทางสถิติที่ไม่เป็นศูนย์จะแสดงผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญทางสถิติเสมอ เว้นแต่ขนาดผลกระทบของประชากรจะเป็นศูนย์พอดี (และแม้ในกรณีนั้น ผลลัพธ์ก็จะมีนัยสำคัญทางสถิติในอัตราความผิดพลาดประเภทที่ 1 ที่ใช้) ตัวอย่างเช่น ค่า สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สันของตัวอย่างที่ 0.01 มีนัยสำคัญทางสถิติหากขนาดตัวอย่างคือ 1000 การรายงานเฉพาะค่าp ที่มีนัยสำคัญ จากการวิเคราะห์นี้อาจทำให้เข้าใจผิดได้ หากค่าสหสัมพันธ์ 0.01 เล็กเกินไปที่จะมีความสำคัญในแอปพลิเคชันเฉพาะนั้น ๆ

คำว่าขนาดผลกระทบ (effect size)อาจหมายถึง การวัดผลกระทบแบบมาตรฐาน (เช่นr , Cohen's dหรืออัตราส่วนความน่าจะเป็น ) หรือการวัดแบบไม่มาตรฐาน (เช่น ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกลุ่ม หรือสัมประสิทธิ์การถดถอยแบบไม่มาตรฐาน) โดยทั่วไปแล้ว การวัดขนาดผลกระทบแบบมาตรฐานจะใช้เมื่อ:

• ตัวชี้วัดของตัวแปรที่กำลังศึกษานั้นไม่มีความหมายในตัวเอง (เช่น คะแนนจากการทดสอบบุคลิกภาพบนมาตราส่วนที่ไม่ตายตัว)
• มีการนำผลลัพธ์จากหลายการศึกษามารวมกัน
• งานวิจัยบางส่วนหรือทั้งหมดใช้มาตรวัดที่แตกต่างกัน หรือ
• มีความต้องการที่จะสื่อถึงขนาดของผลกระทบเมื่อเทียบกับความแปรปรวนในประชากร

ในการวิเคราะห์แบบเมตา การใช้ขนาดผลกระทบมาตรฐานเป็นมาตรวัดทั่วไปที่สามารถคำนวณได้จากงานวิจัยต่างๆ แล้วนำมารวมกันเพื่อสรุปผลโดยรวม

การตีความขนาดผลกระทบว่าเล็กกลางหรือใหญ่ขึ้นอยู่กับบริบทเนื้อหาและคำจำกัดความเชิงปฏิบัติการ Jacob Cohen ^{[ 10 ]}แนะนำแนวทางการตีความที่พบได้ทั่วไปในหลายสาขา อย่างไรก็ตาม Cohen ก็ได้เตือนไว้เช่นกันว่า:

"คำว่า 'เล็ก' 'กลาง' และ 'ใหญ่' เป็นคำที่สัมพันธ์กัน ไม่เพียงแต่ระหว่างกันเองเท่านั้น แต่ยังสัมพันธ์กับสาขาวิทยาศาสตร์พฤติกรรม หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับเนื้อหาและวิธีการวิจัยเฉพาะที่ใช้ในการศึกษาใดๆ... ด้วยความสัมพันธ์เช่นนี้ จึงมีความเสี่ยงบางประการในการนำเสนอคำจำกัดความเชิงปฏิบัติการแบบเดิมสำหรับคำเหล่านี้เพื่อใช้ในการวิเคราะห์อำนาจในสาขาการศึกษาที่หลากหลายเช่นวิทยาศาสตร์พฤติกรรม อย่างไรก็ตาม ความเสี่ยงนี้ได้รับการยอมรับด้วยความเชื่อที่ว่า การจัดหาโครงสร้างอ้างอิงแบบเดิมทั่วไปนั้น จะได้ประโยชน์มากกว่าเสียประโยชน์ และแนะนำให้ใช้เฉพาะเมื่อไม่มีพื้นฐานที่ดีกว่าสำหรับการประมาณค่าดัชนี ES เท่านั้น" (หน้า 25)

Sawilowsky ^{[ 11 ]}แนะนำว่าควรแก้ไขกฎเกณฑ์ทั่วไปสำหรับขนาดผลกระทบ และขยายคำอธิบายให้ครอบคลุมถึงขนาดเล็กมากขนาดใหญ่มากและขนาดมหึมา Funder และ Ozer ^{[ 12 ]}แนะนำว่าควรตีความขนาดผลกระทบโดยอิงจากเกณฑ์มาตรฐานและผลที่ตามมาของการค้นพบ ซึ่งส่งผลให้มีการปรับคำแนะนำตามแนวทาง

Lenth ^{[ 13 ]}ตั้งข้อสังเกตสำหรับ ขนาดผลกระทบ ปานกลาง ว่า "คุณจะเลือก nเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงความแม่นยำหรือความน่าเชื่อถือของเครื่องมือของคุณ หรือความแคบหรือความหลากหลายของกลุ่มตัวอย่างของคุณ เห็นได้ชัดว่ามีการพิจารณาที่สำคัญถูกละเลยที่นี่ นักวิจัยควรตีความความสำคัญเชิงเนื้อหาของผลลัพธ์โดยการวางรากฐานในบริบทที่มีความหมายหรือโดยการวัดปริมาณการมีส่วนร่วมต่อความรู้ และคำอธิบายขนาดผลกระทบของ Cohen สามารถเป็นประโยชน์ในฐานะจุดเริ่มต้น" ^{[ 6 ]}ในทำนองเดียวกัน รายงานที่ได้รับการสนับสนุนจากกระทรวงศึกษาธิการของสหรัฐอเมริกาโต้แย้งว่าการใช้แนวทางการตีความของ Cohen อย่างแพร่หลายโดยไม่เลือกปฏิบัติอาจไม่เหมาะสมและทำให้เข้าใจผิดได้^{[ 14 ]}พวกเขาแนะนำว่าบรรทัดฐานควรขึ้นอยู่กับการกระจายของขนาดผลกระทบจากการศึกษาที่เปรียบเทียบได้ ดังนั้นผลกระทบเล็กน้อย (ในจำนวนสัมบูรณ์) อาจถือว่าใหญ่ได้หากผลกระทบนั้นใหญ่กว่าการศึกษาที่คล้ายคลึงกันในสาขา ดูความขัดแย้งของ Abelsonและความขัดแย้งของ Sawilowsky สำหรับประเด็นที่เกี่ยวข้อง^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

ตารางด้านล่างประกอบด้วยคำอธิบายสำหรับขนาดต่างๆ ของd , r , fและomegaตามที่ Jacob Cohen แนะนำไว้ในตอนแรก^{[ 10 ]}และต่อมาได้รับการขยายโดย Sawilowsky ^{[ 11 ]}และโดย Funder & Ozer ^{[ 12 ]}

มีมาตรวัดขนาดผลกระทบที่แตกต่างกันประมาณ 50 ถึง 100 แบบ มาตรวัดขนาดผลกระทบหลายประเภทสามารถแปลงเป็นประเภทอื่นได้ เนื่องจากหลายประเภทใช้ประมาณการแยกแยะความแตกต่างระหว่างสองการแจกแจง ดังนั้นจึงมีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์กัน ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สามารถแปลงเป็นค่า Cohen's d ได้ และในทางกลับกัน

ขนาดของผลกระทบเหล่านี้ประมาณปริมาณความแปรปรวนภายในการทดลองที่ "อธิบายได้" หรือ "รับมือได้" โดยแบบจำลองของการทดลอง ( ความแปรปรวนที่อธิบายได้ )

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สันซึ่งมักใช้สัญลักษณ์rและคิดค้นโดยคาร์ล เพียร์สันเป็นค่าที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการวัดขนาดผลกระทบเมื่อมีข้อมูลเชิงปริมาณแบบจับคู่ เช่น ในการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างน้ำหนักแรกเกิดกับอายุขัย ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์นี้ยังสามารถใช้ได้เมื่อข้อมูลเป็นแบบไบนารีค่า r ของเพียร์สัน มีค่าตั้งแต่ -1 ถึง 1 โดย -1 แสดงถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นลบที่สมบูรณ์แบบ 1 แสดงถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นบวกที่สมบูรณ์แบบ และ 0 แสดงว่าไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสองตัว

ตัวแปร ขนาดผลกระทบที่เกี่ยวข้องอีก^{ตัวหนึ่ง}คือr² ซึ่งเป็น สัมประสิทธิ์การกำหนด (เรียกอีกอย่างว่าR²หรือ " r -squared") คำนวณจากค่ากำลังสองของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สันrในกรณีของข้อมูลจับคู่ ค่านี้เป็นการวัดสัดส่วนของความแปรปรวนที่ตัวแปรทั้งสองมีร่วมกัน และมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 ตัวอย่างเช่น หากrเท่ากับ 0.21 สัมประสิทธิ์การกำหนดจะมีค่าเท่ากับ 0.0441 หมายความว่า 4.4% ของความแปรปรวนของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งนั้นมีร่วมกับตัวแปรอีกตัวหนึ่ง ค่า^r² จะเป็นบวกเสมอ ดังนั้นจึงไม่ได้แสดงทิศทางของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรทั้งสอง

ค่า Eta-squared อธิบายถึงอัตราส่วนของความแปรปรวนที่อธิบายได้ในตัวแปรตามโดยตัวแปรทำนาย ในขณะที่ควบคุมตัวแปรทำนายอื่นๆ ทำให้คล้ายคลึงกับค่า^r² Eta -squared เป็นตัวประมาณค่าความแปรปรวนที่อธิบายได้โดยแบบจำลองในประชากรที่มีอคติ (มันประมาณค่าขนาดผลกระทบเฉพาะในกลุ่มตัวอย่างเท่านั้น) การประมาณค่านี้มีจุดอ่อนเช่นเดียวกับ^{r² คือ}ตัวแปรเพิ่มเติมแต่ละตัวจะทำให้ค่าη² เพิ่มขึ้นโดยอัตโนมัติ นอกจากนี้ มันวัดความแปรปรวนที่อธิบายได้ของกลุ่มตัวอย่าง ไม่ใช่ประชากร ซึ่งหมายความว่ามันจะประมาณค่าขนาดผลกระทบสูงเกินไปเสมอ แม้ว่าอคติจะลดลงเมื่อกลุ่มตัวอย่างมีขนาดใหญ่ขึ้นก็ตาม $${\displaystyle \eta ^{2}={\frac {SS_{\text{Treatment}}}{SS_{\text{Total}}}}.}$$

ตัวประมาณค่าความแปรปรวนที่อธิบายได้ในประชากรที่มีอคติน้อยกว่าคือω ^{2 [ 18 ]}$${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {{\text{SS}}_{\text{treatment}}-df_{\text{treatment}}\cdot {\text{MS}}_{\text{error}}}{{\text{SS}}_{\text{total}}+{\text{MS}}_{\text{error}}}}.}$$

สูตรรูปแบบนี้จำกัดเฉพาะการวิเคราะห์ระหว่างกลุ่มตัวอย่างที่มีขนาดตัวอย่างเท่ากันในทุกเซลล์^{[ 18 ]}เนื่องจากมีอคติน้อยกว่า (แม้ว่าจะไม่ใช่ไม่มีอคติ) ω ²จึงดีกว่า η ²อย่างไรก็ตาม การคำนวณสำหรับการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนอาจไม่สะดวกกว่า รูปแบบทั่วไปของตัวประมาณค่าได้รับการเผยแพร่สำหรับการวิเคราะห์ระหว่างกลุ่มตัวอย่างและภายในกลุ่มตัวอย่าง การวัดซ้ำ การออกแบบแบบผสม และการทดลองแบบบล็อกสุ่ม^{[ 19 ]}นอกจากนี้ วิธีการคำนวณω ² บางส่วน สำหรับปัจจัยแต่ละตัวและปัจจัยรวมในการออกแบบที่มีตัวแปรอิสระมากถึงสามตัวได้รับการเผยแพร่แล้ว^{[ 19 ]}

^ค่าf²ของ Cohen เป็นหนึ่งในมาตรวัดขนาดผลกระทบหลายตัวที่ใช้ในบริบทของการทดสอบ FสำหรับANOVAหรือการถดถอยพหุ ตัวแปร ปริมาณความเอนเอียง ( ^{การประเมิน} ขนาดผลกระทบสูงเกินไปสำหรับ ANOVA) ขึ้นอยู่กับความเอนเอียงของการ วัด ความแปรปรวนที่อธิบายได้ (เช่นR² , η² , ω² ⁾

ค่าf² ซึ่งเป็นมาตรวัดขนาดผลกระทบสำหรับการ ^{วิเคราะห์}การถดถอยพหุตัวแปร ถูกกำหนดดังนี้: $${\displaystyle f^{2}={R^{2} \over 1-R^{2}}.}$$

ในทำนองเดียวกันf ²สามารถกำหนดได้ดังนี้: หรือ สำหรับแบบจำลองที่อธิบายโดยการวัดขนาดผลกระทบเหล่านั้น^{[ 20 ]}$${\displaystyle f^{2}={\eta ^{2} \over 1-\eta ^{2}}}$$$${\displaystyle f^{2}={\omega ^{2} \over 1-\omega ^{2}}}$$

การวัดขนาดผลกระทบสำหรับการถดถอยพหุแบบลำดับและการใช้ทั่วไปสำหรับการสร้างแบบจำลอง PLS ^{[ 21 ]}กำหนดไว้ดังนี้: โดยที่R ² _Aคือความแปรปรวนที่อธิบายได้โดยชุดของตัวแปรอิสระA หนึ่งตัวหรือมากกว่า และR ² _ABคือความแปรปรวนรวมที่อธิบายได้โดยAและอีกชุดของตัวแปรอิสระที่สนใจB หนึ่ง ตัว หรือมากกว่า ตามธรรมเนียม ขนาดผลกระทบ f ²ของ, , และเรียกว่าเล็กปานกลางและใหญ่ตามลำดับ^{[ 10 ]}${\displaystyle f^{2}}$$${\displaystyle f^{2}={R_{AB}^{2}-R_{A}^{2} \over 1-R_{AB}^{2}}}$$${\displaystyle 0.1^{2}}$${\displaystyle 0.25^{2}}$${\displaystyle 0.4^{2}}$

สูตร ของ Cohen ยังสามารถนำไปใช้กับการวิเคราะห์ความแปรปรวนเชิงปัจจัย (ANOVA) โดยการทำงานย้อนกลับได้ดังนี้: ${\displaystyle {\hat {f}}}$$${\displaystyle {\hat {f}}_{\text{effect}}={\sqrt {(F_{\text{effect}}df_{\text{effect}}/N)}}.}$$

ในการออกแบบที่สมดุล (ขนาดตัวอย่างเท่ากันในทุกกลุ่ม) ของ ANOVA พารามิเตอร์ประชากรที่สอดคล้องกันคือ โดยที่μjแทนค่าเฉลี่ยประชากรภายใน กลุ่ม ^ที่jจากทั้งหมดKกลุ่ม และ_σ แทนค่าเบี่ยงเบน มาตรฐานประชากรที่เท่ากันภายในแต่ละกลุ่มSSคือผลรวมกำลังสองใน ANOVA ${\displaystyle f^{2}}$$${\displaystyle {SS(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{K})} \over {K\times \sigma ^{2}},}$$

อีกมาตรวัดหนึ่งที่ใช้กับความแตกต่างของค่าสหสัมพันธ์คือค่า Cohen's q ซึ่งเป็นความแตกต่างระหว่างค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยของ Pearson ที่แปลงด้วยวิธี Fisher แล้วสองค่า ในเชิงสัญลักษณ์คือ $${\displaystyle q={\frac {1}{2}}\log {\frac {1+r_{1}}{1-r_{1}}}-{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+r_{2}}{1-r_{2}}}}$$

โดยที่r ₁และr ₂คือค่าการถดถอยที่กำลังเปรียบเทียบกัน ค่าที่คาดหวังของqคือศูนย์ และความแปรปรวนของมันคือ โดยที่N ₁และN ₂คือจำนวนจุดข้อมูลในการถดถอยครั้งแรกและครั้งที่สองตามลำดับ $${\displaystyle \operatorname {var} (q)={\frac {1}{N_{1}-3}}+{\frac {1}{N_{2}-3}}}$$

ขนาดผลกระทบดิบที่เกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบสองกลุ่มนั้น โดยทั่วไปคำนวณจากความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของทั้งสองกลุ่ม อย่างไรก็ตาม เพื่อให้ง่ายต่อการตีความ จึงนิยมทำการปรับค่าขนาดผลกระทบให้เป็นมาตรฐาน ซึ่งมีหลักเกณฑ์ต่างๆ สำหรับการปรับค่ามาตรฐานทางสถิติที่แสดงไว้ด้านล่าง

ขนาดผลกระทบ (ประชากร) θที่อิงตามค่าเฉลี่ยมักจะพิจารณาความแตกต่างของค่าเฉลี่ยมาตรฐาน (SMD) ระหว่างประชากรสองกลุ่ม^{[ 22 ] : 78} โดยที่μ ₁คือค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มหนึ่งμ ₂คือค่าเฉลี่ยของประชากรอีกกลุ่มหนึ่ง และ σ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่อิงตามประชากรกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งหรือทั้งสองกลุ่ม $${\displaystyle \theta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sigma }},}$$

ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วค่าเฉลี่ยของประชากรจะไม่เป็นที่ทราบ และต้องประมาณค่าจากสถิติของกลุ่มตัวอย่าง วิธีการคำนวณขนาดผลกระทบโดยใช้ค่าเฉลี่ยมีหลายรูปแบบแตกต่างกันไปตามสถิติที่ใช้

รูปแบบการคำนวณขนาดผลกระทบนี้คล้ายกับการคำนวณ ค่าสถิติ t -testโดยมีความแตกต่างที่สำคัญคือ ค่าสถิติ t -test นั้นรวมปัจจัย χ² ไว้ด้วยซึ่งหมายความว่าสำหรับขนาดผลกระทบที่กำหนด ระดับนัยสำคัญจะเพิ่มขึ้นตามขนาดของกลุ่มตัวอย่าง ต่างจาก ค่าสถิติ t -test ตรงที่ขนาดผลกระทบมีจุดมุ่งหมายเพื่อประมาณ ค่าพารามิเตอร์ของประชากรและไม่ได้รับผลกระทบจากขนาดของกลุ่มตัวอย่าง ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

ค่า SMD ตั้งแต่ 0.2 ถึง 0.5 ถือว่าน้อย ค่า 0.5 ถึง 0.8 ถือว่าปานกลาง และค่าที่มากกว่า 0.8 ถือว่ามาก^{[ 23 ]}

ค่า Cohen's dถูกกำหนดให้เป็นผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยสองค่า หารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล กล่าวคือ $${\displaystyle d={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s}}.}$$

Jacob Cohenนิยามsซึ่งเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมไว้ดังนี้ (สำหรับตัวอย่างอิสระสองตัวอย่าง): ^{[ 10 ] : 67} โดยที่ความแปรปรวนของกลุ่มหนึ่งถูกกำหนดเป็น และในทำนองเดียวกันสำหรับกลุ่มอื่น $${\displaystyle s={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}$$$${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\sum _{i=1}^{n_{1}}(x_{1,i}-{\bar {x}}_{1})^{2},}$$

ผู้เขียนคนอื่นๆ เลือกการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แตกต่างกันเล็กน้อยเมื่ออ้างถึง "Cohen's d " โดยที่ตัวส่วนไม่มี "-2" ^{[ 24 ] [ 25 ] : 14} คำจำกัดความของ "Cohen's d " นี้เรียกว่า ตัวประมาณ ค่าความน่าจะเป็นสูงสุดโดย Hedges และ Olkin ^{[ 22 ]} และมีความสัมพันธ์กับ Hedges' gโดยปัจจัยการปรับขนาด (ดูด้านล่าง) $${\displaystyle s={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}}}}$$

สำหรับตัวอย่างที่จับคู่กันสองชุด วิธีการหนึ่งคือการพิจารณาการกระจายของคะแนนความแตกต่าง ในกรณีนั้นsคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการกระจายของคะแนนความแตกต่างนี้ (โปรดทราบว่า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนความแตกต่างขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างตัวอย่างที่จับคู่กัน) ซึ่งจะสร้างความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างค่าสถิติ t เพื่อทดสอบความแตกต่างในค่าเฉลี่ยของกลุ่มที่จับคู่กันสองกลุ่มและ ค่า d' ของ Cohen (คำนวณจากคะแนนความแตกต่าง): และ อย่างไรก็ตาม สำหรับตัวอย่างที่จับคู่กัน Cohen ระบุว่า d' ไม่ได้ให้ค่าประมาณที่ถูกต้องในการหาอำนาจการทดสอบสำหรับ d และก่อนที่จะค้นหาค่าในตารางที่ให้ไว้สำหรับ d ควรแก้ไขสำหรับ r ตามสูตรต่อไปนี้: ^{[ 26 ]}โดยที่ r คือความสัมพันธ์ระหว่างการวัดที่จับคู่กัน เมื่อขนาดตัวอย่างเท่ากัน ยิ่ง r สูง อำนาจการทดสอบความแตกต่างของการจับคู่ก็จะยิ่งสูงขึ้น $${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{{\text{SE}}_{diff}}}={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{\frac {{\text{SD}}_{diff}}{\sqrt {N}}}}={\frac {{\sqrt {N}}({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})}{SD_{diff}}}}$$$${\displaystyle d'={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{{\text{SD}}_{diff}}}={\frac {t}{\sqrt {N}}}}$$$${\displaystyle {\frac {d'}{\sqrt {1-r}}}.}$$

เนื่องจาก d' ขึ้นอยู่กับ r การตีความขนาดผลกระทบจึงทำได้ยาก ดังนั้นในบริบทของการวิเคราะห์แบบจับคู่ เนื่องจากสามารถคำนวณ d' หรือ d (ประมาณด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมหรือของกลุ่มหรือจุดเวลา) ได้ จึงจำเป็นต้องระบุอย่างชัดเจนว่ากำลังรายงานค่าใด ในฐานะตัววัดขนาดผลกระทบ d (ประมาณด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมหรือของกลุ่มหรือจุดเวลา) จึงเหมาะสมกว่า เช่น ในการวิเคราะห์เมตา^{[ 27 ]}

ค่า Cohen's dมักใช้ในการประมาณขนาดตัวอย่างสำหรับการทดสอบทางสถิติ ค่า Cohen's d ที่ต่ำกว่าบ่งชี้ถึงความจำเป็นของขนาดตัวอย่างที่ใหญ่กว่า และในทางกลับกัน ซึ่งสามารถกำหนดได้ในภายหลังร่วมกับพารามิเตอร์เพิ่มเติมของ ระดับนัยสำคัญที่ต้องการและกำลังทางสถิติ^{[ 28 ]}

ในปี พ.ศ. 2519 Gene V. Glassได้เสนอตัวประมาณขนาดผลกระทบที่ใช้เพียงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มที่สอง^{[ 22 ] : 78} $${\displaystyle \Delta ={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s_{2}}}}$$

กลุ่มที่สองอาจถือได้ว่าเป็นกลุ่มควบคุม และกลาสแย้งว่า หากเปรียบเทียบการรักษาหลายวิธีกับกลุ่มควบคุม จะเป็นการดีกว่าที่จะใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คำนวณจากกลุ่มควบคุมเพียงอย่างเดียว เพื่อให้ขนาดของผลกระทบไม่แตกต่างกันภายใต้ค่าเฉลี่ยที่เท่ากันและความแปรปรวนที่แตกต่างกัน

ภายใต้สมมติฐานที่ถูกต้องว่าความแปรปรวนของประชากรเท่ากัน การประมาณค่าσ แบบรวม จะมีความแม่นยำกว่า

gของ Hedges ซึ่งเสนอโดยLarry Hedgesในปี 1981 ^{[ 29 ]} มีลักษณะคล้ายกับมาตรวัดอื่นๆ ที่อิงตามความแตกต่างมาตรฐาน^{[ 22 ] : 79} โดยที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมจะคำนวณดังนี้: $${\displaystyle g={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s^{*}}}}$$${\displaystyle s^{*}}$$${\displaystyle s^{*}={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}.}$$

อย่างไรก็ตาม ในฐานะตัวประมาณ ขนาดผลกระทบ ^ของประชากรθมันมีอคติ ถึงกระนั้นอคตินี้สามารถแก้ไขได้โดยประมาณโดยการคูณด้วยปัจจัย Hedges และ Olkin เรียกตัวประมาณที่มีอคติน้อยกว่านี้ว่าd [ ^{22 ]}แต่มันไม่เหมือนกับd ของ Cohen รูปแบบที่แน่นอนสำหรับปัจจัยการแก้ไขJ () เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแกมมา^{[ 22 ] : 104} นอกจากนี้ยังมีตัวแปรหลายระดับของ g ของ Hedges เช่น สำหรับใช้ในการทดลองควบคุมแบบสุ่มกลุ่ม (CRTs) ^{[ 30 ]} CRTs เกี่ยวข้องกับการสุ่มกลุ่ม เช่น โรงเรียนหรือห้องเรียน ไปยังเงื่อนไขต่างๆ และมักใช้ในการวิจัยทางการศึกษา $${\displaystyle g^{*}=J(n_{1}+n_{2}-2)\,\,g\,\approx \,\left(1-{\frac {3}{4(n_{1}+n_{2})-9}}\right)\,\,g}$$${\displaystyle g^{*}}$$${\displaystyle J(a)={\frac {\Gamma (a/2)}{{\sqrt {a/2\,}}\,\Gamma ((a-1)/2)}}.}$$

ตัวประมาณขนาดผลกระทบที่คล้ายกันสำหรับการเปรียบเทียบหลายรายการ (เช่นANOVA ) คือผลกระทบมาตรฐานรากกำลังสองเฉลี่ย Ψ: ^{[ 20 ]} โดยที่kคือจำนวนกลุ่มในการเปรียบเทียบ $${\displaystyle \Psi ={\sqrt {{\frac {1}{k-1}}\cdot \sum _{j=1}^{k}\left({\frac {\mu _{j}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}}$$

โดยพื้นฐานแล้ว นี่คือผลต่างโดยรวมของแบบจำลองทั้งหมดที่ปรับด้วยค่าเฉลี่ยกำลังสองราก ซึ่งคล้ายคลึงกับ dหรือg

นอกจากนี้ ยังมีการสรุปทั่วไปสำหรับการออกแบบปัจจัยหลายอย่าง^{[ 20 ]}

หากข้อมูลมี การกระจาย แบบเกาส์เซียนค่า gของHedges ที่ปรับขนาด แล้ว จะมีการกระจายแบบtที่ไม่เป็นศูนย์กลางโดยมีพารามิเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์กลางและ ระดับความเป็นอิสระ ( n ₁ + n ₂ − 2)ในทำนองเดียวกัน ค่า Δ ของ Glass ที่ปรับขนาดแล้วจะมีการกระจายโดยมีระดับความเป็นอิสระ n ₂ − 1${\textstyle {\sqrt {n_{1}n_{2}/(n_{1}+n_{2})}}\,g}$${\textstyle {\sqrt {n_{1}n_{2}/(n_{1}+n_{2})}}\theta }$

จากข้อมูลการแจกแจง สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของขนาดผลกระทบได้

ในบางกรณีจะใช้การประมาณค่าความแปรปรวนจากตัวอย่างขนาดใหญ่ ข้อเสนอแนะหนึ่งสำหรับความแปรปรวนของตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของ Hedges คือ^{[ 22 ] : 86} $${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}(g^{*})={\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}+{\frac {(g^{*})^{2}}{2(n_{1}+n_{2})}}.}$$

SSMD (แทนด้วย ) เป็นพารามิเตอร์ทางสถิติที่กำหนดให้คืออัตราส่วนของค่าเฉลี่ยต่อค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของความแตกต่างของค่าสุ่มสองค่าจากสองกลุ่ม สมมติว่ากลุ่มหนึ่งมีค่าสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนและอีกกลุ่มหนึ่งมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนความแปรปรวนร่วมระหว่างสองกลุ่มคือ จากนั้น SSMD สำหรับการเปรียบเทียบสองกลุ่มนี้จะถูกกำหนดเป็น^{[ 31 ]}${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mu _{1}}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \mu _{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{12}.}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{12}}}}.}$

ถ้าทั้งสองกลุ่มเป็นอิสระต่อกัน

${\displaystyle \beta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}.}$

ถ้ากลุ่มอิสระทั้งสองกลุ่มมีค่า ความแปรปรวน เท่ากัน${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{{\sqrt {2}}\sigma }}.}$

ระยะทาง Mahalanobis (D) เป็นการขยายทั่วไปของ Cohen's d แบบหลายตัวแปร ซึ่งคำนึงถึงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร^{[ 32 ]}

E ของ Subin ( ) เป็นขนาดผลกระทบที่มีขอบเขตสำหรับข้อมูลการประเมินซ้ำแบบจับคู่ โดยจะทำการปรับขนาดค่าเฉลี่ยของกำไรโดยใช้ค่าอ้างอิง คำนึงถึงความแตกต่างในคะแนนกำไรของแต่ละบุคคล และใช้การแปลง arctangent ที่มีขอบเขต มีวัตถุประสงค์เพื่อใช้ในการเปรียบเทียบแบบจับคู่ภายในกลุ่มในโอกาสการประเมินซ้ำ^{[ 33 ] [ 34 ]}${\displaystyle E_{HBG}}$

$${\displaystyle E_{HBG}={\frac {2}{\pi }}\arctan \left({\frac {J({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{k\,S_{ref}{\sqrt {1+\lambda \left({\frac {s_{D}}{S_{ref}}}\right)^{2}}}}}\right)}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle S_{ref}={\sqrt {\frac {s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{2}}}.}$$

ในการสอบเทียบที่เผยแพร่ของวิธีการ ค่าพารามิเตอร์ที่แนะนำคือและ^{[ 33 ]}${\displaystyle \lambda =2.8759}$${\displaystyle k=0.5069}$

ในที่นี้และแทนค่าเฉลี่ยในสองโอกาสการประเมินและแทนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่สอดคล้องกันคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนกำไรรายบุคคล และคือปัจจัยการแก้ไขตัวอย่างขนาดเล็ก ในการประมาณเชิงปฏิบัติที่รายงานสำหรับวิธีนี้^{[ 33 ]}${\displaystyle {\bar {X}}_{1}}$${\displaystyle {\bar {X}}_{2}}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle s_{D}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J\approx 1-{\frac {3}{4n-5}}}$

ในการสอบเทียบที่เผยแพร่ ค่าสัมบูรณ์ของได้รับการตีความโดยใช้แถบเชิงประจักษ์ต่อไปนี้^{[ 33 ] [ 34 ]}${\displaystyle E_{HBG}}$

คู่มือการตีความที่เผยแพร่สำหรับค่าสัมบูรณ์ของ${\displaystyle E_{HBG}}$

ค่าสัมบูรณ์	การตีความ
0.00–0.49	ผลกระทบจำกัด
0.50–0.64	ผลกระทบเล็กน้อย
0.65–0.79	ผลกระทบที่สำคัญ
0.80–0.89	ผลกระทบที่รุนแรง
0.90–1.00	ผลกระทบที่รุนแรงมาก

มาตรวัดความสัมพันธ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับการทดสอบไคสแควร์ได้แก่สัมประสิทธิ์ PhiและCramér 's V (บางครั้งเรียกว่า Cramér's phi และใช้สัญลักษณ์φ _c ) Phi เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบจุดสองกลุ่มและ Cohen's dและประมาณขอบเขตของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัว (2 × 2) ^{[ 35 ]} Cramér's V อาจใช้กับตัวแปรที่มีมากกว่าสองระดับ

ค่า Phi สามารถคำนวณได้โดยการหาค่ารากที่สองของค่าสถิติไคกำลังสอง หารด้วยขนาดของกลุ่มตัวอย่าง

ในทำนองเดียวกัน ค่า Cramér's V คำนวณได้จากการหาค่ารากที่สองของค่าสถิติไคกำลังสอง หารด้วยขนาดของกลุ่มตัวอย่างและความยาวของมิติขั้นต่ำ ( kคือค่าที่น้อยกว่าระหว่างจำนวนแถวrหรือจำนวนคอลัมน์  c )

φ _cคือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรแยกกันสองตัว^{[ 36 ]}และสามารถคำนวณได้สำหรับค่าrหรือc ใดๆ ก็ได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากค่าไคกำลังสองมีแนวโน้มที่จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนเซลล์ ยิ่งความแตกต่างระหว่างrและc มาก เท่าใด V ก็ยิ่งมีแนวโน้มที่จะเข้าใกล้ 1 มากขึ้นเท่านั้น โดยไม่มีหลักฐานที่ชัดเจนของความสัมพันธ์ที่มีความหมาย

มาตรวัดขนาดผลกระทบอีกแบบหนึ่งที่ใช้สำหรับการทดสอบไคสแควร์คือ โอเมกาของโคเฮน ( ) ซึ่งกำหนดโดย โดย ที่p _{0 i}คือสัดส่วนของเซลล์^ที่i ภายใต้ H ₀ , p _{1 i}คือสัดส่วนของ เซลล์ ^ที่iภายใต้H ₁และmคือจำนวนเซลล์ ${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}{\frac {(p_{1i}-p_{0i})^{2}}{p_{0i}}}}}}$$

อัตราส่วน ความน่าจะเป็น ( Odds Ratioหรือ OR) เป็นขนาดผลกระทบอีกแบบหนึ่งที่มีประโยชน์ เหมาะสมเมื่อคำถามวิจัยมุ่งเน้นไปที่ระดับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรไบนารี สองตัว ตัวอย่างเช่น พิจารณาการศึกษาความสามารถในการสะกดคำ ในกลุ่มควบคุม นักเรียนสองคนสอบผ่านต่อนักเรียนหนึ่งคนที่สอบไม่ผ่าน ดังนั้นโอกาสที่จะสอบผ่านคือสองต่อหนึ่ง (หรือ 2/1 = 2) ในกลุ่มทดลอง นักเรียนหกคนสอบผ่านต่อนักเรียนหนึ่งคนที่สอบไม่ผ่าน ดังนั้นโอกาสที่จะสอบผ่านคือหกต่อหนึ่ง (หรือ 6/1 = 6) สามารถคำนวณขนาดผลกระทบได้โดยสังเกตว่าโอกาสที่จะสอบผ่านในกลุ่มทดลองสูงกว่าในกลุ่มควบคุมสามเท่า (เพราะ 6 หารด้วย 2 เท่ากับ 3) ดังนั้นอัตราส่วนความน่าจะเป็นคือ 3 สถิติอัตราส่วนความน่าจะเป็นอยู่ในมาตราส่วนที่แตกต่างจาก Cohen's dดังนั้น '3' นี้จึงไม่สามารถเปรียบเทียบกับ Cohen's dที่เท่ากับ 3 ได้

ความเสี่ยงสัมพัทธ์ (RR) หรือที่เรียกว่าอัตราส่วนความเสี่ยงคือความเสี่ยง (ความน่าจะเป็น) ของเหตุการณ์หนึ่งเมื่อเทียบกับตัวแปรอิสระบางตัว มาตรวัดขนาดผลกระทบนี้แตกต่างจากอัตราส่วนความน่าจะเป็นตรงที่มันเปรียบเทียบความน่าจะเป็นแทนที่จะเป็นความน่าจะเป็นแต่จะเข้าใกล้ค่าหลังมากขึ้นเมื่อความน่าจะเป็นมีค่าน้อย จากตัวอย่างข้างต้นความน่าจะเป็นที่ผู้ที่อยู่ในกลุ่มควบคุมและกลุ่มทดลองจะผ่านการทดสอบคือ 2/3 (หรือ 0.67) และ 6/7 (หรือ 0.86) ตามลำดับ ขนาดผลกระทบสามารถคำนวณได้เช่นเดียวกับข้างต้น แต่ใช้ความน่าจะเป็นแทน ดังนั้น ความเสี่ยงสัมพัทธ์คือ 1.28 เนื่องจากใช้ความน่าจะเป็นในการผ่านการทดสอบที่ค่อนข้างสูง จึงมีความแตกต่างมากระหว่างความเสี่ยงสัมพัทธ์และอัตราส่วนความน่าจะเป็น หาก ใช้ ความล้มเหลว (ความน่าจะเป็นที่ต่ำกว่า) เป็นเหตุการณ์ (แทนที่จะเป็นการผ่านการทดสอบ ) ความแตกต่างระหว่างมาตรวัดขนาดผลกระทบทั้งสองจะไม่มากขนาดนี้

แม้ว่ามาตรการทั้งสองจะมีประโยชน์ แต่ก็มีการใช้งานทางสถิติที่แตกต่างกัน ในการวิจัยทางการแพทย์อัตราส่วนความน่าจะเป็นมักใช้สำหรับการศึกษาแบบกรณีควบคุมเนื่องจากโดยปกติจะประมาณค่าความน่าจะเป็น ไม่ใช่ความน่าจะเป็น^{[ 37 ]} ความเสี่ยงสัมพัทธ์มักใช้ในการทดลองแบบสุ่มที่มีการควบคุมและการศึกษาแบบกลุ่มแต่ความเสี่ยงสัมพัทธ์มีส่วนทำให้เกิดการประเมินประสิทธิผลของการแทรกแซงสูงเกินไป^{[ 38 ]}

ความแตกต่างของความเสี่ยง (RD) บางครั้งเรียกว่าการลดความเสี่ยงสัมบูรณ์ คือความแตกต่างของความเสี่ยง (ความน่าจะเป็น) ของเหตุการณ์ระหว่างสองกลุ่ม เป็นมาตรวัดที่มีประโยชน์ในการวิจัยเชิงทดลอง เนื่องจาก RD บอกคุณถึงขอบเขตที่การแทรกแซงเชิงทดลองเปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หรือผลลัพธ์ จากตัวอย่างข้างต้น ความน่าจะเป็นสำหรับผู้ที่อยู่ในกลุ่มควบคุมและกลุ่มทดลองที่ผ่านคือ 2/3 (หรือ 0.67) และ 6/7 (หรือ 0.86) ตามลำดับ ดังนั้นขนาดผลกระทบของ RD คือ 0.86 − 0.67 = 0.19 (หรือ 19%) RD เป็นมาตรวัดที่เหนือกว่าสำหรับการประเมินประสิทธิผลของการแทรกแซง^{[ 38 ]}

มาตรวัดหนึ่งที่ใช้ในการวิเคราะห์กำลังเมื่อเปรียบเทียบสัดส่วนอิสระสองกลุ่มคือ  ค่า h ของโคเฮน ซึ่งนิยามได้ดังนี้ โดย ที่p ₁และp ₂คือสัดส่วนของตัวอย่างสองกลุ่มที่กำลังเปรียบเทียบ และ arcsin คือการแปลงค่าด้วยฟังก์ชัน arcsine $${\displaystyle h=2(\arcsin {\sqrt {p_{1}}}-\arcsin {\sqrt {p_{2}}})}$$

เพื่อให้สามารถอธิบายความหมายของขนาดผลกระทบให้กับบุคคลภายนอกวงการสถิติได้ง่ายขึ้น จึงได้มีการออกแบบขนาดผลกระทบแบบภาษาทั่วไป (Common Language Effect Size) ตามชื่อที่บ่งบอกไว้ เพื่อสื่อสารความหมายในภาษาอังกฤษธรรมดา โดยใช้เพื่ออธิบายความแตกต่างระหว่างสองกลุ่ม และได้รับการเสนอและตั้งชื่อโดย Kenneth McGraw และ SP Wong ในปี 1992 ^{[ 39 ]}พวกเขาใช้ตัวอย่างต่อไปนี้ (เกี่ยวกับความสูงของชายและหญิง): "ในการจับคู่แบบสุ่มระหว่างชายและหญิงวัยหนุ่มสาว ความน่าจะเป็นที่ชายจะสูงกว่าหญิงคือ 0.92 หรือพูดให้ง่ายกว่านั้นก็คือ ในการนัดเดทแบบไม่รู้จักกัน 92 ครั้งจาก 100 ครั้งในกลุ่มคนหนุ่มสาว ชายจะสูงกว่าหญิง" ^{[ 39 ]}เมื่ออธิบายค่าประชากรของขนาดผลกระทบแบบภาษาทั่วไป

เดลต้าของคลิฟฟ์หรือซึ่งเดิมพัฒนาโดยนอร์แมน คลิฟฟ์เพื่อใช้กับข้อมูลเชิงลำดับ^{[ 40 ]}เป็นการวัดความถี่ที่ค่าในการกระจายหนึ่งมีค่ามากกว่าค่าในการกระจายที่สอง ที่สำคัญคือ ไม่จำเป็นต้องมีข้อสมมติใดๆ เกี่ยวกับรูปร่างหรือการกระจายของการกระจายทั้งสอง ${\displaystyle d}$

ค่าประมาณตัวอย่างกำหนดโดย: โดยที่การแจกแจงทั้งสองมีขนาดและโดยมีจำนวนรายการและตามลำดับ และคือวงเล็บไอเวอร์สันซึ่งมีค่าเป็น 1 เมื่อเนื้อหาเป็นจริง และ 0 เมื่อเป็นเท็จ ${\displaystyle d}$$${\displaystyle d={\frac {\sum _{i,j}[x_{i}>x_{j}]-[x_{i}<x_{j}]}{mn}}}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle d}$มีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับสถิติ Mann–Whitney Uอย่างไรก็ตาม เครื่องหมายของสถิตินี้บ่งบอกถึงทิศทางของความแตกต่าง เมื่อกำหนดค่า Mann–Whitney แล้วจะได้ว่า: ${\displaystyle U}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle d={\frac {2U}{mn}}-1}$$

หนึ่งในขนาดผลกระทบที่ง่ายที่สุดสำหรับการวัดว่าสัดส่วนแตกต่างจาก 50% มากน้อยเพียงใดคือค่า g ของ Cohen ^{[ 10 ] : 147} ค่านี้ใช้วัดว่าสัดส่วนแตกต่างจาก 50% มากน้อยเพียงใด ตัวอย่างเช่น หาก 85.2% ของการจับกุมในคดีขโมยรถยนต์เป็นเพศชาย ขนาดผลกระทบของเพศต่อการจับกุมเมื่อวัดด้วยค่า g ของ Cohen คือโดยทั่วไป: ${\displaystyle g=0.852-0.5=0.352}$

${\displaystyle g=P-0.50{\text{ or }}0.50-P\quad ({\text{directional}}),}$

${\displaystyle g=|P-0.50|\quad ({\text{nondirectional}}).}$

หน่วยของค่า g ของ Cohen นั้นเข้าใจง่ายกว่า (เป็นสัดส่วน) เมื่อเทียบกับค่าขนาดผลกระทบอื่นๆ บางค่า บางครั้งอาจใช้ร่วมกับ การทดสอบแบบ ทวิ นาม

ช่วงความเชื่อมั่นของขนาดผลกระทบมาตรฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่วงความเชื่อมั่นของ Cohen และอาศัยการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นของพารามิเตอร์ความไม่เป็นศูนย์กลาง ( ncp ) วิธีการทั่วไปในการสร้างช่วงความเชื่อมั่นของncp คือการหาค่า ncpวิกฤตที่ทำให้สถิติที่สังเกตได้ตรงกับควอนไทล์ ส่วนหาง α /2 และ (1 −  α /2) แพ็กเกจ MBESS ใน SAS และ R มีฟังก์ชันสำหรับหาค่าncpวิกฤต ${\displaystyle {d}}$${\displaystyle f^{2}}$

สำหรับกลุ่มเดียวMแทนค่าเฉลี่ยของตัวอย่างμแทนค่าเฉลี่ยของประชากรSD แทนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างσ แทน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และnคือขนาดตัวอย่างของกลุ่ม ค่า tใช้เพื่อทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและ  _{ค่าพื้นฐาน}μbaselineโดยปกติμbaselineจะเป็นศูนย์ ในกรณีของสองกลุ่มที่เกี่ยวข้องกัน กลุ่มเดียวจะถูกสร้างขึ้นจากความแตกต่างในคู่ของตัวอย่าง ในขณะที่SDและσแทนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างและประชากรของความแตกต่าง ไม่ใช่ภายในสองกลุ่มเดิม และสูตรของ Cohen $${\displaystyle t:={\frac {M-\mu _{\text{baseline}}}{\text{SE}}}={\frac {M-\mu _{\text{baseline}}}{{\text{SD}}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\sqrt {n}}\left({\frac {M-\mu }{\sigma }}\right)+{\sqrt {n}}\left({\frac {\mu -\mu _{\text{baseline}}}{\sigma }}\right)}{\frac {\text{SD}}{\sigma }}}}$$$${\displaystyle ncp={\sqrt {n}}\left({\frac {\mu -\mu _{\text{baseline}}}{\sigma }}\right)}$$$${\displaystyle d:={\frac {M-\mu _{\text{baseline}}}{\text{SD}}}}$$

คือค่าประมาณจุดของ $${\displaystyle {\frac {\mu -\mu _{\text{baseline}}}{\sigma }}.}$$

ดังนั้น,

${\displaystyle {\tilde {d}}={\frac {ncp}{\sqrt {n}}}.}$

n ₁หรือn ₂คือขนาดตัวอย่างตามลำดับ $${\displaystyle t:={\frac {M_{1}-M_{2}}{{\text{SD}}_{\text{within}}/{\sqrt {\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}}},}$$

โดยที่ $${\displaystyle {\text{SD}}_{\text{within}}:={\sqrt {\frac {{\text{SS}}_{\text{within}}}{{\text{df}}_{\text{within}}}}}={\sqrt {\frac {(n_{1}-1){\text{SD}}_{1}^{2}+(n_{2}-1){\text{SD}}_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}.}$$$${\displaystyle ncp={\sqrt {\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}{\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sigma }}}$$

และค่าของโคเฮน คือค่าประมาณจุดของ$${\displaystyle d:={\frac {M_{1}-M_{2}}{SD_{\text{within}}}}}$$${\displaystyle {\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sigma }}.}$

ดังนั้น, $${\displaystyle {\tilde {d}}={\frac {ncp}{\sqrt {\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}}.}$$

การทดสอบ ANOVA แบบทางเดียวใช้การแจกแจง F แบบไม่ศูนย์กลางในขณะที่หากกำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรแล้วการทดสอบเดียวกันจะใช้การแจกแจงไคกำลังสองแบบไม่ศูนย์กลาง ${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle F:={\frac {{\frac {{\text{SS}}_{\text{between}}}{\sigma ^{2}}}/{\text{df}}_{\text{between}}}{{\frac {{\text{SS}}_{\text{within}}}{\sigma ^{2}}}/{\text{df}}_{\text{within}}}}}$$

สำหรับ ตัวอย่างที่ j แต่ละ ตัวภายในกลุ่มที่i X _{i , j}ให้กำหนด $${\displaystyle M_{i}(X_{i,j}):={\frac {\sum _{w=1}^{n_{i}}X_{i,w}}{n_{i}}};\;\mu _{i}(X_{i,j}):=\mu _{i}.}$$

ในขณะที่, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{SS}}_{\text{between}}/\sigma ^{2}&={\frac {{\text{SS}}\left(M_{i}(X_{i,j});i=1,2,\dots ,K,\;j=1,2,\dots ,n_{i}\right)}{\sigma ^{2}}}\\&={\text{SS}}\left({\frac {M_{i}(X_{i,j}-\mu _{i})}{\sigma }}+{\frac {\mu _{i}}{\sigma }};i=1,2,\dots ,K,\;j=1,2,\dots ,n_{i}\right)\\&\sim \chi ^{2}\left({\text{df}}=K-1,\;ncp=SS\left({\frac {\mu _{i}(X_{i,j})}{\sigma }};i=1,2,\dots ,K,\;j=1,2,\dots ,n_{i}\right)\right)\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ทั้งncp ( s ) ของFและequate ${\displaystyle \chi ^{2}}$$${\displaystyle {\text{SS}}\left(\mu _{i}(X_{i,j})/\sigma ;i=1,2,\dots ,K,\;j=1,2,\dots ,n_{i}\right).}$$

ในกรณีที่มี กลุ่ม อิสระ Kกลุ่มที่มีขนาดเท่ากัน ขนาดตัวอย่างทั้งหมดคือN  :=  n · K${\displaystyle n:=n_{1}=n_{2}=\cdots =n_{K}}$$${\displaystyle {\text{Cohens }}{\tilde {f}}^{2}:={\frac {{\text{SS}}(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{K})}{K\cdot \sigma ^{2}}}={\frac {{\text{SS}}\left(\mu _{i}(X_{i,j})/\sigma ;i=1,2,\dots ,K,\;j=1,2,\dots ,n_{i}\right)}{n\cdot K}}={\frac {ncp}{n\cdot K}}={\frac {ncp}{N}}.}$$

การ ทดสอบ tสำหรับกลุ่มอิสระสองกลุ่มเป็นกรณีพิเศษของการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียว (ANOVA) โปรดทราบว่าพารามิเตอร์ความไม่เป็นศูนย์กลางของ F ไม่สามารถเปรียบเทียบกับพารามิเตอร์ความไม่เป็นศูนย์กลางของt ที่สอดคล้องกันได้ อันที่จริง, และ${\displaystyle ncp_{F}}$${\displaystyle ncp_{t}}$${\displaystyle ncp_{F}=ncp_{t}^{2}}$${\displaystyle {\tilde {f}}=\left|{\frac {\tilde {d}}{2}}\right|}$

• สถิติการประมาณค่า
• นัยสำคัญทางสถิติ
• ค่า Z-factorซึ่งเป็นมาตรวัดขนาดผลกระทบทางเลือก

• Aaron, B., Kromrey, JD, & Ferron, JM (พฤศจิกายน 1998). การเทียบดัชนีขนาดผลกระทบแบบ r และแบบ d: ปัญหาของสูตรที่แนะนำกันโดยทั่วไป บทความนำเสนอในการประชุมประจำปีของสมาคมวิจัยการศึกษาแห่งฟลอริดา ออร์แลนโด รัฐฟลอริดา(หมายเลขบริการถ่ายเอกสาร ERIC ED433353)
• Bonett, DG (2008). "ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับการเปรียบเทียบเชิงเส้นมาตรฐานของค่าเฉลี่ย" วิธีการทางจิตวิทยา 13 ( 2): 99– 109. doi : 10.1037/1082-989x.13.2.99 . PMID  18557680 .
• Bonett, DG (2009). "การประมาณค่าความแตกต่างเชิงเส้นมาตรฐานของค่าเฉลี่ยด้วยความแม่นยำที่ต้องการ" วิธี การทางจิตวิทยา14 (1): 1– 5. doi : 10.1037/a0014270 . PMID  19271844 .
• Brooks, ME; Dalal, DK; Nolan, KP (2013). "ขนาดผลกระทบของภาษาทั่วไปเข้าใจง่ายกว่าขนาดผลกระทบแบบดั้งเดิมหรือไม่?" วารสารจิตวิทยาประยุกต์ 99 ( 2): 332– 340. doi : 10.1037/a0034745 . PMID  24188393 .
• Cumming, G.; Finch, S. (2001). "บทนำเกี่ยวกับการทำความเข้าใจ การใช้ และการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นที่อิงตามการแจกแจงแบบศูนย์กลางและแบบไม่ศูนย์กลาง" การวัดทางการศึกษาและจิตวิทยา61 (4): 530– 572. doi : 10.1177/0013164401614002 . S2CID  120672914 .
• Kelley, K (2007). "ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับขนาดผลกระทบมาตรฐาน: ทฤษฎี การประยุกต์ใช้ และการนำไปใช้"วารสารซอฟต์แวร์สถิติ 20 ( 8): 1– 24. doi : 10.18637/jss.v020.i08 .
• Lipsey, MW และ Wilson, DB (2001). การวิเคราะห์เมตาเชิงปฏิบัติ . Sage: Thousand Oaks, CA.

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับขนาดของผลกระทบ

คำอธิบายเพิ่มเติม

• ขนาดผลกระทบ (ES)
• EffectSizeFAQ.com
• EstimationStats.comแอปพลิเคชันบนเว็บสำหรับสร้างกราฟแสดงขนาดผลกระทบ
• การวัดขนาดผลกระทบ
• การคำนวณและการตีความขนาดผลกระทบด้วย ViSta เก็บถาวรเมื่อ 2014-12-27 ที่Wayback Machine
• แพ็คเกจ effsize สำหรับโครงการ R เพื่อการคำนวณทางสถิติ