ในทางสถิติค่าผิดปกติคือจุดข้อมูลที่แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากข้อมูลสังเกตอื่นๆ^{[ 1 ] [ 2 ]}ค่าผิดปกติอาจเกิดจากความแปรปรวนในการวัด บ่งชี้ถึงข้อมูลใหม่ หรืออาจเป็นผลมาจากข้อผิดพลาดในการทดลอง ซึ่งบางครั้งจะถูกตัดออกจากชุดข้อมูล^{[ 3 ] [ 4 ]} ค่าผิดปกติอาจเป็นสัญญาณของความเป็นไปได้ที่น่าตื่นเต้น แต่ก็อาจทำให้เกิดปัญหาอย่างร้ายแรงในการวิเคราะห์ทางสถิติ ได้ เช่นกัน

ค่าผิดปกติสามารถเกิดขึ้นได้โดยบังเอิญในทุกการแจกแจง แต่ค่าผิดปกติอาจบ่งชี้ถึงพฤติกรรมหรือโครงสร้างใหม่ๆ ในชุดข้อมูลข้อผิดพลาดในการวัดหรือว่าประชากรมีการแจกแจงแบบหางหนักในกรณีของข้อผิดพลาดในการวัด เราควรละทิ้งค่าผิดปกติเหล่านั้น หรือใช้สถิติที่ทนทานต่อค่าผิดปกติ ในขณะที่ในกรณีของการแจกแจงแบบหางหนัก ค่าผิดปกติจะบ่งชี้ว่าการแจกแจงนั้นมีความเบี่ยงเบน สูง และเราควรระมัดระวังอย่างมากในการใช้เครื่องมือหรือสัญชาตญาณที่สมมติว่าเป็นการแจกแจงแบบปกติสาเหตุที่พบบ่อยของค่าผิดปกติคือการผสมผสานของการแจกแจงสองแบบ ซึ่งอาจเป็นประชากรย่อยสองกลุ่มที่แตกต่างกัน หรืออาจบ่งชี้ถึง 'การทดลองที่ถูกต้อง' เทียบกับ 'ข้อผิดพลาดในการวัด' ซึ่งจำลองโดย แบบจำลอง แบบ ผสม

ในการสุ่มตัวอย่างข้อมูลขนาดใหญ่ส่วนใหญ่ จุดข้อมูลบางจุดจะอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของตัวอย่างมากกว่าที่ถือว่าสมเหตุสมผล นี่อาจเกิดจากข้อผิดพลาดเชิงระบบ โดยบังเอิญ หรือข้อบกพร่องในทฤษฎีที่สร้างกลุ่มการแจกแจงความน่าจะเป็น ที่สมมติ ขึ้น หรืออาจเป็นเพราะการสังเกตบางค่าอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของข้อมูลมาก ดังนั้น จุดข้อมูลที่ผิดปกติจึงอาจบ่งชี้ถึงข้อมูลที่ผิดพลาด กระบวนการที่ผิดพลาด หรือพื้นที่ที่ทฤษฎีบางอย่างอาจไม่ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ในตัวอย่างขนาดใหญ่ การมีค่าผิดปกติจำนวนเล็กน้อยนั้นเป็นสิ่งที่คาดหวังได้ (และไม่ได้เกิดจากสภาวะผิดปกติใดๆ)

ค่าผิดปกติ คือค่าสังเกตที่สูงที่สุดหรือต่ำที่สุดในกลุ่มตัวอย่าง ซึ่งอาจรวมถึงค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของกลุ่มตัวอย่างหรือทั้งสองอย่าง ขึ้นอยู่กับว่าค่าเหล่านั้นสูงมากหรือต่ำมากเป็นพิเศษ อย่างไรก็ตาม ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของกลุ่มตัวอย่างไม่จำเป็นต้องเป็นค่าผิดปกติเสมอไป เพราะค่าเหล่านั้นอาจไม่ได้อยู่ห่างจากค่าสังเกตอื่นๆ มากผิดปกติก็ได้

การตีความสถิติอย่างง่ายๆ จากชุดข้อมูลที่มีค่าผิดปกติอาจทำให้เกิดความเข้าใจผิดได้ ตัวอย่างเช่น หากเราคำนวณ อุณหภูมิ เฉลี่ยของวัตถุ 10 ชิ้นในห้อง และ 9 ชิ้นมีอุณหภูมิระหว่าง 20 ถึง 25 องศาเซลเซียสแต่เตาอบมีอุณหภูมิ 175 องศาเซลเซียส ค่ามัธยฐานของข้อมูลจะอยู่ระหว่าง 20 ถึง 25 องศาเซลเซียส แต่ค่าเฉลี่ยจะอยู่ระหว่าง 35.5 ถึง 40 องศาเซลเซียส ในกรณีนี้ ค่ามัธยฐานสะท้อนอุณหภูมิของวัตถุที่สุ่มตัวอย่างได้ดีกว่า (แต่ไม่ใช่อุณหภูมิในห้อง) กว่าค่าเฉลี่ย การตีความค่าเฉลี่ยอย่างง่ายๆ ว่าเป็น "ตัวอย่างทั่วไป" ที่เทียบเท่ากับค่ามัธยฐานนั้นไม่ถูกต้อง ดังที่แสดงในกรณีนี้ ค่าผิดปกติอาจบ่งชี้ถึงจุดข้อมูลที่อยู่ในประชากร ที่แตกต่าง จากส่วนที่เหลือของชุด ตัวอย่าง

ตัวประมาณค่าที่สามารถรับมือกับค่าผิดปกติได้เรียกว่าตัวประมาณค่าที่แข็งแกร่ง: ค่ามัธยฐานเป็นสถิติที่แข็งแกร่งของแนวโน้มศูนย์กลางในขณะที่ค่าเฉลี่ยไม่ใช่^{[ 5 ]}

ในกรณีของข้อมูลที่มีการกระจายแบบปกติกฎสามซิกมาหมายความว่าโดยประมาณ 1 ใน 22 การสังเกตจะแตกต่างจากค่าเฉลี่ยมากกว่าสองเท่า ของค่า เบี่ยงเบนมาตรฐานและ 1 ใน 370 จะเบี่ยงเบนมากกว่าสามเท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน^{[ 6 ]}ในตัวอย่าง 1,000 การสังเกต การมีค่าสังเกตที่เบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยมากกว่าสามเท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เกินห้าค่า ถือว่าอยู่ในช่วงที่คาดหวังได้ ซึ่งน้อยกว่าสองเท่าของจำนวนที่คาดหวัง และอยู่ในช่วง 1 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนที่คาดหวัง – ดูการกระจายแบบปัวซง – และไม่ได้บ่งชี้ถึงความผิดปกติ อย่างไรก็ตาม หากขนาดตัวอย่างมีเพียง 100 การมีค่าผิดปกติเพียงสามค่าก็ถือเป็นเหตุให้ต้องกังวลแล้ว ซึ่งมากกว่า 11 เท่าของจำนวนที่คาดหวัง

โดยทั่วไป หากทราบลักษณะการกระจายตัวของประชากรล่วงหน้าก็สามารถทดสอบได้ว่าจำนวนค่าผิดปกติเบี่ยงเบนไปจากที่คาดหวังได้มากน้อย เพียงใด: สำหรับค่าตัดที่กำหนด (ดังนั้นตัวอย่างจะตกอยู่นอกเหนือค่าตัดด้วยความน่าจะเป็น p ) ของการกระจายตัวที่กำหนด จำนวนค่าผิดปกติจะมีการกระจายแบบทวินามที่มีพารามิเตอร์pซึ่งโดยทั่วไปสามารถประมาณได้ดีด้วยการกระจายแบบปัวซงที่มี λ = pnดังนั้น หากใช้การกระจายแบบปกติโดยมีค่าตัดที่ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยpจะมีค่าประมาณ 0.3% และด้วยเหตุนี้ สำหรับการทดลอง 1000 ครั้ง จึงสามารถประมาณจำนวนตัวอย่างที่มีค่าเบี่ยงเบนเกิน 3 ซิกมาได้ด้วยการกระจายแบบปัวซงที่มี λ = 3

ค่าผิดปกติอาจมีสาเหตุที่ผิดปกติได้หลายประการ อุปกรณ์วัดอาจเกิดความผิดปกติชั่วคราว อาจมีข้อผิดพลาดในการส่งหรือบันทึกข้อมูล ค่าผิดปกติเกิดขึ้นเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงพฤติกรรมของระบบ การกระทำที่ทุจริต ความผิดพลาดของมนุษย์ ความผิดพลาดของเครื่องมือ หรือเพียงแค่ความเบี่ยงเบนตามธรรมชาติในประชากร ตัวอย่างอาจปนเปื้อนด้วยองค์ประกอบจากภายนอกประชากรที่กำลังตรวจสอบ หรืออีกทางหนึ่ง ค่าผิดปกติอาจเป็นผลมาจากข้อบกพร่องในทฤษฎีที่สมมติขึ้น ซึ่งจำเป็นต้องมีการตรวจสอบเพิ่มเติมโดยนักวิจัย นอกจากนี้ การปรากฏของค่าผิดปกติในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งที่ผิดปกติปรากฏในชุดข้อมูลที่หลากหลาย ซึ่งบ่งชี้ว่ากลไกที่เป็นสาเหตุของข้อมูลอาจแตกต่างกันไปในแต่ละกรณี ( ปรากฏการณ์คิง )

ไม่มีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่ตายตัวว่าสิ่งใดถือเป็นค่าผิดปกติ การพิจารณาว่าการสังเกตใดเป็นค่าผิดปกติหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับดุลพินิจส่วนตัวเป็นหลัก^{[ 7 ]}

มีวิธีการตรวจจับค่าผิดปกติหลายวิธี ซึ่งบางวิธีถือว่ามีความหมายเหมือนกับการตรวจจับค่าแปลกใหม่^{[ 3 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}บางวิธีเป็นแบบกราฟิก เช่นแผนภาพความน่าจะเป็นปกติบางวิธีเป็นแบบอิงตามแบบจำลองแผนภาพกล่องเป็นแบบผสมผสาน

วิธีการที่ใช้แบบจำลองซึ่งนิยมใช้ในการระบุข้อมูลนั้น สันนิษฐานว่าข้อมูลมาจากการแจกแจงแบบปกติ และระบุข้อมูลที่ถือว่า "ไม่น่าจะเป็นไปได้" โดยพิจารณาจากค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

• เกณฑ์ของโชเวเนต์
• การทดสอบของ Grubbs สำหรับค่าผิดปกติ
• การทดสอบQของดิกสัน
• ASTM E178: แนวปฏิบัติมาตรฐานสำหรับการจัดการกับข้อสังเกตที่ผิดปกติ^{[ 12 ]}
• ระยะทางมาฮาลาโนบิสและค่าเลเวอเรจมักถูกใช้เพื่อตรวจหาค่าผิดปกติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการพัฒนาแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้น
• เทคนิคตามปริภูมิย่อยและความสัมพันธ์สำหรับข้อมูลเชิงตัวเลขมิติสูง^{[ 11 ]}

มีการเสนอให้กำหนดขีดจำกัดของข้อผิดพลาดในการสังเกตการณ์ชุดหนึ่ง ซึ่งหากเกินกว่าขีดจำกัดนี้ การสังเกตการณ์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดมากขนาดนั้นอาจถูกปฏิเสธได้ โดยมีเงื่อนไขว่าต้องมีการสังเกตการณ์ดังกล่าวจำนวนมาก หลักการที่เสนอเพื่อแก้ปัญหานี้คือ การสังเกตการณ์ที่เสนอควรถูกปฏิเสธเมื่อความน่าจะเป็นของระบบข้อผิดพลาดที่ได้จากการเก็บรักษาการสังเกตการณ์เหล่านั้นมีค่าน้อยกว่าความน่าจะเป็นของระบบข้อผิดพลาดที่ได้จากการปฏิเสธการสังเกตการณ์เหล่านั้น คูณด้วยความน่าจะเป็นของการสังเกตการณ์ที่ผิดปกติจำนวนดังกล่าว และไม่เกินกว่านั้น (อ้างอิงจากหมายเหตุบรรณาธิการในหน้า 516 ของ Peirce (ฉบับปี 1982) จากA Manual of Astronomy 2:558 โดย Chauvenet) ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

วิธีการอื่นๆ จะระบุค่าผิดปกติโดยพิจารณาจากมาตรวัดต่างๆ เช่นช่วงควาร์ไทล์ตัวอย่างเช่น ถ้าและคือควาร์ไทล์ล่างและควาร์ไทล์ บน ตามลำดับ เราสามารถกำหนดให้ค่าผิดปกติคือค่าสังเกตใดๆ ที่อยู่นอกช่วงนั้นได้ ${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle Q_{3}}$

${\displaystyle {\big [}Q_{1}-k(Q_{3}-Q_{1}),Q_{3}+k(Q_{3}-Q_{1}){\big ]}}$

สำหรับค่าคงที่ที่ไม่เป็นลบบางค่าจอ ห์น ทูคีย์เสนอการทดสอบนี้ โดยที่บ่งชี้ถึง "ค่าผิดปกติ" และบ่งชี้ถึงข้อมูลที่ "ผิดปกติมาก" ^{[ 17 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k=1.5}$${\displaystyle k=3}$

ในโดเมน ต่างๆเช่นสถิติการประมวลผลสัญญาณการเงินเศรษฐศาสตร์การผลิตเครือข่ายและการขุดข้อมูลงานการตรวจจับความผิดปกติอาจใช้วิธีการอื่นๆ บางวิธีอาจใช้ระยะทางเป็นเกณฑ์[ ^{18 ] [ 19 ]}และใช้ความหนาแน่นเป็นเกณฑ์ เช่นLocal Outlier Factor (LOF) ^{[ 20 ]}บางวิธีอาจใช้ระยะทางไปยังเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด k ตัวเพื่อติดป้ายกำกับ ^{ข้อมูล}ว่าเป็นค่าผิดปกติหรือไม่ผิดปกติ^{[ 21 ]}

การทดสอบ Thompson Tau ที่ได้รับการดัดแปลงเป็นวิธีการที่ใช้ในการพิจารณาว่ามีค่าผิดปกติในชุดข้อมูลหรือ ไม่ ^{[ 22 ]}จุดแข็งของวิธีการนี้อยู่ที่การคำนึงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล และให้โซนการปฏิเสธที่กำหนดทางสถิติ ดังนั้นจึงเป็นวิธีการที่เป็นกลางในการพิจารณาว่าจุดข้อมูลใดเป็นค่าผิดปกติ^{[ 23 ]} วิธีการทำงาน: ขั้นแรก จะคำนวณค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล ต่อมาจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ระหว่างแต่ละจุดข้อมูลกับค่าเฉลี่ย ประการที่สาม จะกำหนดพื้นที่การปฏิเสธโดยใช้สูตร:

${\displaystyle {\text{บริเวณการปฏิเสธ}}{=}{\frac {{t_{\alpha /2}}{\left(n-1\right)}}{{\sqrt {n}}{\sqrt {n-2+{t_{\alpha /2}^{2}}}}}}}$;

โดย ที่ δ คือค่าวิกฤตจากการแจกแจงแบบt ของนักเรียนที่มี องศาอิสระn - 2, nคือขนาดตัวอย่าง และ s คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง ในการตรวจสอบว่าค่าใดเป็นค่าผิดปกติหรือไม่ ให้คำนวณ δ ถ้าδ > บริเวณปฏิเสธ แสดงว่าจุดข้อมูลนั้นเป็นค่าผิดปกติ ถ้าδ ≤ บริเวณปฏิเสธ แสดงว่าจุดข้อมูลนั้นไม่ใช่ค่าผิดปกติ ${\displaystyle \scriptstyle {t_{\alpha /2}}}$${\displaystyle \scriptstyle \delta =|(X-mean(X))/s|}$

การทดสอบ Thompson Tau ที่ปรับปรุงแล้วใช้เพื่อค้นหาค่าผิดปกติทีละค่า (ค่าδ ที่มากที่สุด จะถูกลบออกหากเป็นค่าผิดปกติ) กล่าวคือ หากพบว่าจุดข้อมูลใดเป็นค่าผิดปกติ จุดข้อมูลนั้นจะถูกลบออกจากชุดข้อมูล และทำการทดสอบอีกครั้งด้วยค่าเฉลี่ยและขอบเขตการปฏิเสธใหม่ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปจนกว่าจะไม่มีค่าผิดปกติเหลืออยู่ในชุดข้อมูล

งานวิจัยบางชิ้นยังได้ตรวจสอบค่าผิดปกติสำหรับข้อมูลนาม (หรือข้อมูลเชิงหมวดหมู่) ด้วย ในบริบทของชุดตัวอย่าง (หรืออินสแตนซ์) ในชุดข้อมูล ความยากของอินสแตนซ์จะวัดความน่าจะเป็นที่อินสแตนซ์จะถูกจำแนกผิด ( โดยที่yคือป้ายกำกับคลาสที่กำหนด และxแทนค่าคุณลักษณะอินพุตสำหรับอินสแตนซ์ในชุดฝึกอบรมt ) ^{[ 24 ]}ในอุดมคติแล้ว ความยากของอินสแตนซ์จะคำนวณโดยการรวมค่าของสมมติฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมดH : ${\displaystyle 1-p(y|x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}IH(\langle x,y\rangle )&=\sum _{H}(1-p(y,x,h))p(h|t)\\&=\sum _{H}p(h|t)-p(y,x,h)p(h|t)\\&=1-\sum _{H}p(y,x,h)p(h|t).\end{aligned}}}$

ในทางปฏิบัติ การกำหนดสูตรนี้เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากHอาจมีค่าเป็นอนันต์ และการคำนวณก็ไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดสำหรับอัลกอริทึมจำนวนมาก ดังนั้น ความยากของปัญหาจึงสามารถประมาณได้โดยใช้เซตย่อยที่หลากหลาย: ${\displaystyle p(h|t)}$${\displaystyle L\subset H}$

${\displaystyle IH_{L}(\langle x,y\rangle )=1-{\frac {1}{|L|}}\sum _{j=1}^{|L|}p(y|x,g_{j}(t,\alpha ))}$

สมมติฐานที่ได้จากการเรียนรู้ด้วยอัลกอริธึมที่ฝึกฝนบนชุดข้อมูลฝึกฝนtพร้อมพารามิเตอร์ไฮเปอร์นั้นอยู่ที่ใดความยากของอินสแตนซ์จะให้ค่าต่อเนื่องเพื่อพิจารณาว่าอินสแตนซ์นั้นเป็นอินสแตนซ์ที่ผิดปกติหรือไม่ ${\displaystyle g_{j}(t,\alpha )}$${\displaystyle g_{j}}$${\displaystyle \alpha }$

การเลือกวิธีการจัดการกับค่าผิดปกติควรขึ้นอยู่กับสาเหตุ ตัวประมาณค่าบางตัวมีความไวต่อค่าผิดปกติสูง โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประมาณค่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม

แม้ว่าแบบจำลองการแจกแจงปกติจะเหมาะสมกับข้อมูลที่กำลังวิเคราะห์อยู่ก็ตาม คาดว่าจะพบค่าผิดปกติสำหรับขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่ และไม่ควรละทิ้งค่าผิดปกติโดยอัตโนมัติหากเป็นเช่นนั้น^{[ 25 ]} แต่ควรใช้วิธีการที่ทนทานต่อค่าผิดปกติเพื่อสร้างแบบจำลองหรือวิเคราะห์ข้อมูลที่มีค่าผิดปกติเกิดขึ้นตามธรรมชาติ^{[ 25 ]}

เมื่อตัดสินใจว่าจะลบค่าผิดปกติออกหรือไม่ ต้องพิจารณาถึงสาเหตุ ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ หากต้นกำเนิดของค่าผิดปกติสามารถระบุได้ว่าเป็นข้อผิดพลาดในการทดลอง หรือหากสามารถระบุได้ว่าจุดข้อมูลที่ผิดปกตินั้นผิดพลาด โดยทั่วไปแล้วแนะนำให้ลบออก^{[ 25 ] [ 26 ]}อย่างไรก็ตาม การแก้ไขค่าที่ผิดพลาดนั้นเป็นสิ่งที่พึงปรารถนามากกว่า หากเป็นไปได้

ในทางกลับกัน การลบจุดข้อมูลเพียงเพราะเป็นค่าผิดปกติถือเป็นแนวปฏิบัติที่เป็นที่ถกเถียงกัน ซึ่งมักถูกนักวิทยาศาสตร์และอาจารย์สอนวิทยาศาสตร์หลายคนไม่เห็นด้วย เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วจะทำให้ผลลัพธ์ทางสถิติไม่ถูกต้อง^{[ 25 ] [ 26 ]}แม้ว่าเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์จะให้วิธีการที่เป็นกลางและเชิงปริมาณสำหรับการปฏิเสธข้อมูล แต่ก็ไม่ได้ทำให้แนวปฏิบัตินั้นมีความถูกต้องทางวิทยาศาสตร์หรือระเบียบวิธีมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในชุดข้อมูลขนาดเล็กหรือในกรณีที่ไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่ามีการกระจายแบบปกติ การปฏิเสธค่าผิดปกติเป็นที่ยอมรับได้มากกว่าในพื้นที่การปฏิบัติที่ทราบแบบจำลองพื้นฐานของกระบวนการที่กำลังวัดและการกระจายปกติของข้อผิดพลาดในการวัดอย่างมั่นใจ

แนวทางทั่วไปสองวิธีในการตัดค่าผิดปกติออกคือการตัดทิ้ง (หรือการเล็ม) และการกรองค่าผิดปกติการเล็มจะทิ้งค่าผิดปกติ ในขณะที่การกรองค่าผิดปกติจะแทนที่ค่าผิดปกติด้วยข้อมูล "ไม่น่าสงสัย" ที่ใกล้เคียงที่สุด^{[ 27 ]}การตัดออกอาจเป็นผลมาจากกระบวนการวัด เช่น เมื่อการทดลองไม่สามารถวัดค่าสุดขั้วดังกล่าวได้อย่างสมบูรณ์ ส่งผลให้ข้อมูลถูกตัดทอน^{[ 28 ]}

ใน ปัญหา การถดถอยแนวทางอื่นอาจเป็นการยกเว้นเฉพาะจุดที่มีอิทธิพลมากต่อสัมประสิทธิ์ที่ประมาณการไว้ โดยใช้มาตรวัดเช่น ระยะทาง ของCook ^{[ 29 ]}

หากมีการยกเว้นข้อมูลจุดใดจุดหนึ่ง (หรือหลายจุด) จากการวิเคราะห์ข้อมูลจะต้องระบุให้ชัดเจนในรายงานฉบับต่อๆ ไป

ควรพิจารณาความเป็นไปได้ที่การกระจายข้อมูลพื้นฐานจะไม่เป็นแบบปกติโดยประมาณ โดยมี " ^หางที่หนา " ตัวอย่างเช่น เมื่อสุ่มตัวอย่างจากการกระจายแบบ Cauchy [ ^{30 ]}ความแปรปรวนของตัวอย่างจะเพิ่มขึ้นตามขนาดของตัวอย่าง ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจะไม่ลู่เข้าเมื่อขนาดของตัวอย่างเพิ่มขึ้น และคาดว่าจะมีค่าผิดปกติในอัตราที่สูงกว่าการกระจายแบบปกติมาก แม้แต่ความแตกต่างเล็กน้อยในความหนาของหางก็สามารถสร้างความแตกต่างอย่างมากในจำนวนค่าสุดขั้วที่คาดหวังได้

แนวทางการเป็นสมาชิกเซตพิจารณาว่าความไม่แน่นอนที่สอดคล้องกับ การวัดครั้งที่ iของเวกเตอร์สุ่มที่ไม่ทราบค่าxนั้นแสดงด้วยเซตX (แทนที่จะเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) หากไม่มีค่าผิดปกติเกิดขึ้นxควรอยู่ในส่วนที่ตัดกันของX ทั้งหมด เมื่อมีค่าผิดปกติเกิดขึ้น ส่วนที่ตัดกันนี้อาจว่างเปล่า และเราควรผ่อนปรนเซตX จำนวนเล็กน้อย (ให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้) เพื่อหลีกเลี่ยงความไม่สอดคล้องกัน^{[ 31 ]}สามารถทำได้โดยใช้แนวคิดของส่วนที่ตัดกันแบบผ่อนปรน q ดังที่แสดงในรูป ส่วนที่ตัดกันแบบผ่อนปรน qสอดคล้องกับเซตของx ทั้งหมด ที่อยู่ในทุกเซตยกเว้นqเซตX ที่ไม่ตัดกับ ส่วนที่ตัดกันแบบผ่อนปรน qอาจถูกสงสัยว่าเป็นค่าผิดปกติ

ในกรณีที่ทราบสาเหตุของค่าผิดปกติ อาจเป็นไปได้ที่จะรวมผลกระทบนี้เข้ากับโครงสร้างแบบจำลอง เช่น โดยการใช้แบบจำลอง Bayes แบบลำดับชั้นหรือ แบบ จำลองผสม^{[ 32 ] [ 33 ]}

ในการวิเคราะห์แบบกลุ่มข้อมูลที่ผิดปกติสามารถบิดเบือนผลลัพธ์ได้อย่างมาก ดังนั้น การจัดการกับข้อมูลที่ผิดปกติจึงเป็นประเด็นที่มีการถกเถียงกันอย่างมาก

การวิเคราะห์คลัสเตอร์อาศัยการวัดระยะทางเป็นอย่างมาก มีการเสนอแนะว่าระยะทางแมนฮัตตัน น่าจะจัดการกับค่าผิดปกติได้ดีกว่า ระยะทางยูคลิดเนื่องจากไม่มีการยกกำลังสองของค่าความแตกต่างที่มากเกินสัดส่วน^{[ 34 ]}

วิกิมีเดียคอมมอน ส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับOutliers

• เรนเซ, จอห์น. "คนนอก" . แมทเวิลด์ .
• Balakrishnan, N.; Childs, A. (2001) [1994], "Outlier" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• การทดสอบ Grubbsตามที่อธิบายไว้ในคู่มือ NIST