สำหรับการกระจายความน่าจะเป็น${\displaystyle P}$โดยมีฟังก์ชันความหนาแน่นที่เป็นบวกและสามารถหาอนุพันธ์ได้${\displaystyle p}$บนเซตแบบนูน${\displaystyle {\mathcal {X}}\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ซึ่งมีขอบเขตที่กำหนดไว้${\displaystyle \partial {\mathcal {X}}}$การรวมกันของตัวดำเนินการ Langevin–Stein${\displaystyle {\mathcal {A}__{P}f=\nabla \cdot f+f\cdot \nabla \log p}$และชุดสไตน์แบบคลาสสิก

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{P}=\left\{f:{\mathcal {X}}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}\,{\Biggl \vert }\,\sup _{x\neq y}\max \left(\|f(x)\|,\|\nabla f(x)\|,{\frac {\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|}{\|xy\|}}\right)\leq 1,\;\langle f(x),n(x)\rangle =0\;\forall x\in \partial {\mathcal {X}}\right\}}$

ส่งผลให้เกิดความคลาดเคลื่อนแบบคลาสสิกของสไตน์ [ ^{1 ] ที่} นี่${\displaystyle \|\cdot \|}$หมายถึงบรรทัดฐานยุคลิดและ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ผลคูณภายในแบบยุคลิด ที่นี่${\displaystyle \|M\|=\textstyle \sup _{v\in \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}\|Mv\|}$คือค่าบรรทัดฐานตัวดำเนินการ ที่เกี่ยวข้อง สำหรับเมทริกซ์${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{d\times d}}$, และ${\displaystyle n(x)}$หมายถึง เวกเตอร์หน่วยตั้งฉากภายนอกกับ${\displaystyle \partial {\mathcal {X}}}$ณ สถานที่${\displaystyle x\in \partial {\mathcal {X}}}$. ถ้า${\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{d}}$จากนั้นเราจึงตีความ${\displaystyle \partial {\mathcal {X}}=\emptyset }$.

ในกรณีตัวแปรเดียว${\displaystyle d=1}$ความคลาดเคลื่อนของสไตน์แบบคลาสสิกสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำโดยการแก้โปรแกรมกำลังสองที่มีข้อจำกัดกำลังสอง^{[ 1 ]}

ความคลาดเคลื่อนของสไตน์ที่คำนวณได้เป็นครั้งแรกที่รู้จักกันคือ ความคลาดเคลื่อนของสไตน์แบบกราฟ (GSD) เมื่อกำหนดการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง${\displaystyle Q=\textstyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\delta (x_{i})}$เราสามารถกำหนดกราฟ ได้${\displaystyle G}$ด้วยชุดจุดยอด${\displaystyle V=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$และชุดขอบ${\displaystyle E\subseteq V\times V}$จากกราฟนี้ เราสามารถกำหนดเซตสไตน์ของกราฟได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{P}={\Big \{}f:{\mathcal {X}}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}&\,{\Bigl \vert }\,\max \left(\|f(v)\|_{\infty },\|\nabla f(v)\|_{\infty },{\textstyle {\frac {\|f(x)-f(y)\|_{\infty }}{\|x-y\|_{1}}}},{\textstyle {\frac {\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|_{\infty }}{\|x-y\|_{1}}}}\right)\leq 1,\\[8pt]&{\textstyle {\frac {\|f(x)-f(y)-{\nabla (x)}{(x-y)}\|_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\|x-y\|_{1}^{2}}}\leq 1},{\textstyle {\frac {\|f(x)-f(y)-{\nabla f(y)}{(x-y)}\|_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\|x-y\|_{1}^{2}}}\leq 1},\;\forall v\in \operatorname {supp} (Q_{n}),(x,y)\in E{\Big \}}.\end{aligned}}}$

การรวมกันของตัวดำเนินการ Langevin–Stein และเซต Stein ของกราฟเรียกว่าความคลาดเคลื่อน Stein ของกราฟ (GSD) GSD แท้จริงแล้วคือคำตอบของ โปรแกรมเชิงเส้นมิติจำกัดซึ่งมีขนาดเท่ากับ${\displaystyle E}$ต่ำถึงเชิงเส้นใน${\displaystyle n}$ซึ่งหมายความว่า GSD สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 1 ]}

ค่าสูงสุดที่เกิดขึ้นในนิยามของความคลาดเคลื่อนของสไตน์สามารถประเมินได้ในรูปแบบปิดโดยใช้การเลือกเซตสไตน์แบบเฉพาะเจาะจง แท้จริงแล้ว ให้${\displaystyle {\mathcal {F}}_{P}=\{f\in H(K):\|f\|_{H(K)}\leq 1\}}$เป็นลูกบอลหน่วยในปริภูมิฮิลเบิร์ตเคอร์เนลแบบสร้างซ้ำ (ซึ่งอาจมีค่าเป็นเวกเตอร์)${\displaystyle H(K)}$ด้วยเคอร์เนลที่สร้างใหม่${\displaystyle K}$ซึ่งองค์ประกอบต่างๆ อยู่ในขอบเขตของตัวดำเนินการสไตน์${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}}$สมมติว่า

• สำหรับแต่ละค่าคงที่${\displaystyle x\in {\mathcal {X}}}$แผนที่${\displaystyle f\mapsto {\mathcal {A}}_{P}[f](x)}$เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบน${\displaystyle {\mathcal {F}}_{P}}$.
• ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim Q}[{\mathcal {A}}_{P}{\mathcal {A}}_{P}'K(X,X)]<\infty }$.

โดยที่ผู้ดำเนินการสไตน์${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}}$กระทำการตามอาร์กิวเมนต์แรกของ${\displaystyle K(\cdot ,\cdot )}$และ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}'}$ดำเนินการกับอาร์กิวเมนต์ที่สอง จากนั้นสามารถแสดงได้^{[ 4 ]}ว่า

${\displaystyle D_{P}(Q)={\sqrt {\mathbb {E} _{X,X'\sim Q}[{\mathcal {A}}_{P}{\mathcal {A}}_{P}'K(X,X')]}}}$,

โดยที่ตัวแปรสุ่ม${\displaystyle X}$และ${\displaystyle X'}$ในความคาดหวังนั้นเป็นอิสระต่อกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\textstyle Q=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\delta (x_{i})}$เป็นการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องบน${\displaystyle {\mathcal {X}}}$จากนั้นความคลาดเคลื่อนของสไตน์ก็จะอยู่ในรูปแบบปิด

${\displaystyle D_{P}(Q)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}{\mathcal {A}}_{P}{\mathcal {A}}_{P}'K(x_{i},x_{j})}}.}$

ความคลาดเคลื่อนของ Stein ที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้เรียกว่าความคลาดเคลื่อนของ Stein แบบเคอร์เนล^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}และการสร้างนี้เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีการฝังเคอร์เนลของการกระจายความน่าจะเป็น

อนุญาต${\displaystyle k:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\rightarrow \mathbb {R} }$เป็นเคอร์เนลที่สร้างซ้ำได้ สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็น${\displaystyle P}$โดยมีฟังก์ชันความหนาแน่นที่เป็นบวกและสามารถหาอนุพันธ์ได้${\displaystyle p}$บน${\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{d}}$การรวมกันของตัวดำเนินการ Langevin-Stein${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}f=\nabla \cdot f+f\cdot \nabla \log p}$และชุดสไตน์

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{P}=\left\{f\in H(k)\times \dots \times H(k):\sum _{i=1}^{d}\|f_{i}\|_{H(k)}^{2}\leq 1\right\},}$

เกี่ยวข้องกับเคอร์เนลการสร้างซ้ำที่มีค่าเป็นเมทริกซ์${\displaystyle K(x,x')=k(x,x')I_{d\times d}}$ส่งผลให้เกิดความคลาดเคลื่อนของ Stein ในระดับเคอร์เนลด้วย^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}{\mathcal {A}}_{P}'K(x,x')=\nabla _{x}\cdot \nabla _{x'}k(x,x')+\nabla _{x}k(x,x')\cdot \nabla _{x'}\log p(x')+\nabla _{x'}k(x,x')\cdot \nabla _{x}\log p(x)+k(x,x')\nabla _{x}\log p(x)\cdot \nabla _{x'}\log p(x')}$

ที่ไหน${\displaystyle \nabla _{x}}$(ตอบ)${\displaystyle \nabla _{x'}}$) ระบุความชันโดยสัมพันธ์กับอาร์กิวเมนต์ที่จัดทำดัชนีโดย${\displaystyle x}$(ตอบ)${\displaystyle x'}$)

กล่าวโดยสรุป หากเราใช้เคอร์เนลมัลติควอดริกผกผัน${\displaystyle k(x,x')=(1+(x-x')^{\top }\Sigma ^{-1}(x-x'))^{-\beta }}$ด้วยพารามิเตอร์${\displaystyle \beta >0}$และ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{d\times d}}$เมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน และถ้าเรากำหนด${\displaystyle u(x)=\nabla \log p(x)}$แล้วเราก็มี

${\displaystyle (2.1)\quad {\mathcal {A}}_{P}{\mathcal {A}}_{P}'K(x,x')=-{\frac {4\beta (\beta +1)(x-x')^{\top }\Sigma ^{-2}(x-x')}{\left(1+(x-x')^{\top }\Sigma ^{-1}(x-x')\right)^{\beta +2}}}+2\beta \left[{\frac {{\text{tr}}(\Sigma ^{-1})+[u(x)-u(x')]^{\top }\Sigma ^{-1}(x-x')}{\left(1+(x-x')^{\top }\Sigma ^{-1}(x-x')\right)^{1+\beta }}}\right]+{\frac {u(x)^{\top }u(x')}{\left(1+(x-x')^{\top }\Sigma ^{-1}(x-x')\right)^{\beta }}}}$.

ความคลาดเคลื่อนของการแพร่กระจายของ Stein ^{[ 9 ]}ขยายตัวดำเนินการ Langevin Stein${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}f=\nabla \cdot f+f\cdot \nabla \log p=\textstyle {\frac {1}{p}}\nabla \cdot (fp)}$ไปยังคลาสของตัวดำเนินการ Stein แบบแพร่กระจาย${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}f=\textstyle {\frac {1}{p}}\nabla \cdot (mfp)}$แต่ละอันแสดงถึงการแพร่กระจายของอิโตะที่มี${\displaystyle P}$เนื่องจากเป็นการกระจายตัวแบบคงที่ ในที่นี้${\displaystyle m}$เป็นฟังก์ชันค่าเมทริกซ์ที่กำหนดโดยตัวสร้างอนันต์ของการแพร่กระจาย

ความคลาดเคลื่อนของ Stein เพิ่มเติมได้รับการพัฒนาสำหรับโดเมนที่มีข้อจำกัด^{[ 10 ]}โดเมนที่ไม่ใช่แบบยุคลิด^{[ 11 ] [ 12 ] [ 10 ]}โดเมนแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 13 ] [ 14 ]}ความสามารถในการปรับขนาดที่ดีขึ้น^{[ 15 ] [ 16 ]}และความคลาดเคลื่อนของ Stein ที่ปราศจากเกรเดียนต์ซึ่งอนุพันธ์ของความหนาแน่น${\displaystyle p}$ถูกหลีกเลี่ยง^{[ 17 ]}ยิ่งไปกว่านั้น แนวทางนี้ยังขยายไปสู่ ​​Gradient-Free Kernel Conditional Stein Discrepancy ซึ่งมุ่งเป้าไปที่การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข^{[ 18 ]}

ความคลาดเคลื่อนของสไตน์บางครั้งสามารถคำนวณได้ในสถานการณ์ที่ท้าทายซึ่งการกระจายความน่าจะเป็น${\displaystyle P}$ยอมรับฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น${\displaystyle p}$(โดยคำนึงถึงมาตรวัดอ้างอิงที่เหมาะสม)${\displaystyle {\mathcal {X}}}$) ของรูปแบบ${\displaystyle p(x)=\textstyle {\frac {1}{Z}}{\tilde {p}}(x)}$, ที่ไหน${\displaystyle {\tilde {p}}(x)}$และอนุพันธ์ของมันสามารถประเมินได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข แต่ค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานของมันคืออะไร${\displaystyle Z}$ไม่สามารถคำนวณหรือประมาณค่าได้ง่ายๆ เมื่อพิจารณา (2.1) เราสังเกตว่าการพึ่งพาของ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}{\mathcal {A}}_{P}K(x,x')}$บน${\displaystyle P}$เกิดขึ้นเฉพาะผ่านคำศัพท์เท่านั้น

${\displaystyle u(x)=\nabla \log p(x)=\nabla \log \left({\frac {{\tilde {p}}(x)}{Z}}\right)=\nabla \log {\tilde {p}}(x)-\nabla \log Z=\nabla \log {\tilde {p}}(x)}$

ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐาน${\displaystyle Z}$.

ข้อกำหนดพื้นฐานของความคลาดเคลื่อนแบบสไตน์คือ ต้องเป็นความแตกต่างทางสถิติ ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle D_{P}(Q)\geq 0}$และ${\displaystyle D_{P}(Q)=0}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle Q=P}$คุณสมบัตินี้สามารถแสดงให้เห็นว่าใช้ได้กับความคลาดเคลื่อนของ Stein แบบคลาสสิก^{[ 1 ]}และความคลาดเคลื่อนของ Stein แบบเคอร์เนล^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}โดยมีเงื่อนไขว่าเงื่อนไขความสม่ำเสมอที่เหมาะสมจะต้องเป็นจริง

คุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่า เมื่อเทียบกับการเบี่ยงเบนทางสถิติ คือการควบคุมการบรรจบกันซึ่งหมายความว่า${\displaystyle D_{P}(Q_{n})\rightarrow 0}$หมายความว่า${\displaystyle Q_{n}}$ลู่เข้าสู่${\displaystyle P}$ในความหมายที่ต้องระบุให้ชัดเจน ตัวอย่างเช่น ภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอที่เหมาะสม ทั้งความคลาดเคลื่อนของสไตน์แบบคลาสสิกและความคลาดเคลื่อนของสไตน์แบบกราฟต่างก็ได้รับการควบคุมการลู่เข้าแบบวาสเซอร์สไตน์ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle D_{P}(Q_{n})\rightarrow 0}$หมายความว่าเมตริก Wassersteinระหว่าง${\displaystyle Q_{n}}$และ${\displaystyle P}$ลู่เข้าสู่ศูนย์^{[ 1 ] [ 19 ] [ 9 ]} สำหรับความคลาดเคลื่อนของ Stein ของเคอร์เนลการควบคุมการลู่เข้าแบบอ่อนได้รับการสร้างขึ้น^{[ 8 ] [ 20 ]}ภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอของการกระจาย${\displaystyle P}$และแกนกลางที่สืบพันธุ์${\displaystyle K}$ซึ่งใช้ได้กับ (2.1) โดยเฉพาะ ตัวเลือกอื่นๆ ที่รู้จักกันดีของ${\displaystyle K}$เช่น ที่ใช้เคอร์เนลแบบเกาส์เซียน พิสูจน์ได้ว่าไม่มีการควบคุมการบรรจบกันที่อ่อนแอ^{[ 8 ]}

คุณสมบัติตรงข้ามกับการควบคุมการบรรจบกันคือการตรวจจับการบรรจบกันซึ่งหมายความว่า${\displaystyle D_{P}(Q_{n})\rightarrow 0}$เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle Q_{n}}$ลู่เข้าสู่${\displaystyle P}$ในแง่ที่ต้องระบุให้ชัดเจน ตัวอย่างเช่น ภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอที่เหมาะสม ความคลาดเคลื่อนของ Stein แบบคลาสสิกจะได้รับรูปแบบเฉพาะของการตรวจจับการบรรจบกันของค่าเฉลี่ยกำลังสอง^{[ 1 ] [ 9 ]}ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle D_{P}(Q_{n})\rightarrow 0}$เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle X_{n}\sim Q_{n}}$ลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยกำลังสอง${\displaystyle X\sim P}$และ${\displaystyle \nabla \log p(X_{m})}$ลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยกำลังสอง${\displaystyle \nabla \log p(X)}$สำหรับความคลาดเคลื่อนของเคอร์เนลสไตน์การตรวจจับการบรรจบกันของวาสเซอร์สไตน์ได้รับการสร้างขึ้น^{[ 8 ]}ภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอที่เหมาะสมบนการกระจาย${\displaystyle P}$และแกนกลางที่สืบพันธุ์${\displaystyle K}$.

กำหนดให้เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็น${\displaystyle P}$กำหนดไว้บนพื้นที่ที่วัดได้${\displaystyle {\mathcal {X}}}$งานของ การควอนไทเซชันคือการเลือกสถานะจำนวนน้อยๆ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathcal {X}}}$โดยที่การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องที่เกี่ยวข้อง${\textstyle Q^{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta (x_{i})}$เป็นการประมาณค่าที่แม่นยำของ${\displaystyle P}$ในความหมายที่ต้องระบุให้ชัดเจน

จุด Stein ^{[ 20 ]}เป็นผลมาจากการดำเนินการ หาปริมาณ ที่เหมาะสมที่สุดผ่านการลดความคลาดเคลื่อนของ Stein ให้เหลือน้อยที่สุด:

${\displaystyle (3.1)\quad {\underset {x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathcal {X}}}{\operatorname {arg\,min} }}\;D_{P}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta (x_{i})\right)}$

ภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอที่เหมาะสม สามารถแสดงได้^{[ 20 ]}ว่า${\displaystyle D_{P}(Q^{n})\rightarrow 0}$เช่น${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ดังนั้น หากความคลาดเคลื่อนของสไตน์ได้รับการควบคุมการบรรจบกัน ก็จะตามมาว่า${\displaystyle Q^{n}}$ลู่เข้าสู่${\displaystyle P}$การขยายผลลัพธ์นี้เพื่อให้สามารถเพิ่มประสิทธิภาพเชิงตัวเลขที่ไม่สมบูรณ์ได้ก็ได้รับการพัฒนาขึ้นเช่นกัน^{[ 20 ] [ 22 ] [ 21 ]}

อัลกอริทึมการเพิ่มประสิทธิภาพที่ซับซ้อนได้รับการออกแบบเพื่อดำเนินการควอนไทเซชันที่มีประสิทธิภาพโดยอิงจากความคลาดเคลื่อนของ Stein รวมถึงอัลกอริทึมการไหลของเกรเดียนต์ที่มุ่งเป้าไปที่การลดความคลาดเคลื่อนของ Stein ของเคอร์เนลให้เหลือน้อยที่สุดในพื้นที่ที่เหมาะสมของการวัดความน่าจะเป็น^{[ 23 ]}

หากอนุญาตให้พิจารณาการรวมกันแบบถ่วงน้ำหนักของมวลจุด จะสามารถประมาณค่าได้แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อเทียบกับ (3.1) เพื่อความง่ายในการอธิบาย สมมติว่าเราได้รับชุดสถานะ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {X}}}$จากนั้นจึงหาการรวมกันแบบถ่วงน้ำหนักที่เหมาะสมที่สุดของจุดมวล${\displaystyle \delta (x_{i})}$, เช่น

${\displaystyle Q_{n}:=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{*}\delta (x_{i}),\qquad w^{*}\in {\underset {w_{1}+\cdots +w_{n}=1}{\operatorname {arg\,min} }}\;D_{P}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\delta (x_{i})\right),}$

ซึ่งสามารถลดความคลาดเคลื่อนของ Stein ให้เหลือน้อยที่สุดสามารถหาได้ในรูปแบบปิดเมื่อใช้ความคลาดเคลื่อนของ Stein แบบเคอร์เนล^{[ 5 ]}ผู้เขียนบางคน^{[ 24 ] [ 25 ]}พิจารณาการกำหนดข้อจำกัดที่ไม่เป็นลบเพิ่มเติมให้กับน้ำหนัก เช่น${\displaystyle w_{i}\geq 0}$อย่างไรก็ตาม ในทั้งสองกรณี การคำนวณที่จำเป็นในการหาค่าน้ำหนักที่เหมาะสมที่สุดนั้น${\displaystyle w^{*}}$อาจเกี่ยวข้องกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีเงื่อนไขไม่ดีในเชิงตัวเลข ที่น่าสนใจคือ มีการแสดงให้เห็นแล้ว^{[ 21 ]}ว่าการประมาณค่าแบบโลภของ${\displaystyle Q_{n}}$โดยใช้การรวมกันแบบไม่ถ่วงน้ำหนักของ${\displaystyle m\ll n}$รัฐต่างๆ สามารถลดความต้องการในการคำนวณนี้ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อัลกอริทึมการ ลดจำนวนแบบโลภของสไตน์ (Stein thinning algorithm)

${\displaystyle Q_{n,m}:={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\delta (x_{\pi (i)}),\qquad \pi (m)\in {\underset {j=1,\dots ,n}{\operatorname {arg\,min} }}\;D_{P}\left({\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m-1}\delta (x_{\pi (i)})+{\frac {1}{m}}\delta (x_{j})\right)}$

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าตรงตามขอบเขตความคลาดเคลื่อน

${\displaystyle D_{P}(Q_{n,m})=D_{P}(Q_{n})+O\left({\sqrt {\frac {\log m}{m}}}\right).}$

การวางนัยทั่วไปของอัลกอริทึมโลภที่ไม่มองแคบและแบบมินิแบตช์ได้รับการพิสูจน์แล้ว^{[ 26 ]}ว่าให้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นในด้านคุณภาพการประมาณเมื่อเทียบกับต้นทุนการคำนวณ

ความคลาดเคลื่อนของ Stein ถูกนำมาใช้เป็นวัตถุประสงค์เชิงแปรผันในวิธีการ Bayesian เชิงแปรผัน [ ^{27 ] [ 28 ] เมื่อ} กำหนดชุดข้อมูล${\displaystyle \{Q_{\theta }\}_{\theta \in \Theta }}$ของการกระจายความน่าจะเป็นบน${\displaystyle {\mathcal {X}}}$โดยมีพารามิเตอร์ดังนี้${\displaystyle \theta \in \Theta }$เราสามารถค้นหาการกระจายในชุดข้อมูลนี้ที่ใกล้เคียงกับการกระจายที่ต้องการมากที่สุด${\displaystyle P}$ที่น่าสนใจ:

${\displaystyle {\underset {\theta \in \Theta }{\operatorname {arg\,min} }}\;D_{P}(Q_{\theta })}$

ข้อได้เปรียบที่เป็นไปได้ของความคลาดเคลื่อนของ Stein ในบริบทนี้^{[ 28 ]}เมื่อเปรียบเทียบกับ วัตถุประสงค์การแปรผัน Kullback–Leibler แบบดั้งเดิม คือ${\displaystyle Q_{\theta }}$ไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์เมื่อเทียบกับ${\displaystyle P}$เพื่อที่จะ${\displaystyle D_{P}(Q_{\theta })}$เพื่อให้มีความชัดเจน คุณสมบัตินี้สามารถใช้เพื่อหลีกเลี่ยงการใช้แบบจำลองการสร้างตามการไหลตัวอย่างเช่น ซึ่งกำหนดข้อจำกัดของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเพื่อบังคับใช้ความต่อเนื่องสัมบูรณ์ของ${\displaystyle Q_{\theta }}$และ${\displaystyle P}$.

ความคลาดเคลื่อนของสไตน์ (Stein discrepancy) ได้รับการเสนอให้เป็นเครื่องมือในการปรับแบบจำลองทางสถิติเชิงพารามิเตอร์ให้เข้ากับข้อมูล โดยมีชุดข้อมูลกำหนดไว้${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {X}}}$พิจารณาการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle Q^{n}=\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta (x_{i})}$สำหรับชุดพารามิเตอร์ที่กำหนด${\displaystyle \{P_{\theta }\}_{\theta \in \Theta }}$ของการกระจายความน่าจะเป็นบน${\displaystyle {\mathcal {X}}}$เราสามารถประมาณค่าของพารามิเตอร์ได้${\displaystyle \theta }$ซึ่งเข้ากันได้กับชุดข้อมูลโดยใช้ตัวประมาณความคลาดเคลื่อนของ Stein ขั้นต่ำ^{[ 29 ]}

${\displaystyle {\underset {\theta \in \Theta }{\operatorname {arg\,min} }}\;D_{P_{\theta }}(Q^{n}).}$

แนวทางนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกรอบการประมาณระยะทางขั้นต่ำโดยที่ "ระยะทาง" นั้นถูกแทนที่ด้วยความคลาดเคลื่อนของสไตน์ หรืออีกทางหนึ่งคือแนวทางแบบเบย์เซียนทั่วไปในการประมาณค่าพารามิเตอร์${\displaystyle \theta }$สามารถพิจารณาได้^{[ 4 ]}โดยที่กำหนดให้มี การแจกแจง ความน่าจะเป็นก่อนหน้าที่มีฟังก์ชันความหนาแน่น${\displaystyle \pi (\theta )}$,${\displaystyle \theta \in \Theta }$(โดยคำนึงถึงมาตรวัดอ้างอิงที่เหมาะสม)${\displaystyle \Theta }$) เราสร้างค่าความน่าจะเป็นภายหลังแบบทั่วไปโดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

${\displaystyle \pi ^{n}(\theta )\propto \pi (\theta )\exp \left(-\gamma D_{P_{\theta }}(Q^{n})^{2}\right),}$

สำหรับบางคน${\displaystyle \gamma >0}$ต้องระบุหรือกำหนดเพิ่มเติม

ความคลาดเคลื่อนของสไตน์ยังถูกใช้เป็นสถิติการทดสอบสำหรับการทดสอบความเหมาะสม^{[ 6 ] [ 7 ]}และการเปรียบเทียบโมเดลตัวแปรแฝง^{[ 30 ]} เนื่องจากการทดสอบดังกล่าวมีค่าใช้จ่ายในการคำนวณเป็นกำลังสองของขนาดตัวอย่าง จึงได้มีการพัฒนาทางเลือกอื่นที่มีเวลาการทำงานเชิงเส้น (เกือบ) ^{[ 31 ] [ 15 ]}