ในแคลคูลัสเชิงสุ่มลอการิทึมเชิงสุ่มของเซมิมาร์ติงเกล โดยที่และคือเซมิมาร์ติงเกลที่กำหนดโดย^{[ 1 ]}ในแง่ของคนทั่วไป ลอการิทึมเชิงสุ่มของ จะวัดการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์สะสมใน ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\neq 0}$${\displaystyle Y_{-}\neq 0}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle dX_{t}={\frac {dY_{t}}{Y_{t-}}},\quad X_{0}=0.}$$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

กระบวนการที่ได้ข้างต้นมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ คำว่าลอการิทึมเชิงสุ่ม (stochastic logarithm)มาจากความคล้ายคลึงกันของกับลอการิทึมธรรมชาติกล่าวคือ ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสัมบูรณ์เทียบกับเวลา และแล้วจะแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบทีละขั้นตอนซึ่งมีคำตอบคือ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y)}$${\displaystyle \log(Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\neq 0}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\frac {dX_{t}}{dt}}={\frac {\frac {dY_{t}}{dt}}{Y_{t}}},}$$${\displaystyle X=\log |Y|-\log |Y_{0}|}$

• หากไม่มีสมมติฐานใดๆ เกี่ยวกับเซมิมาร์ติงเกล(นอกเหนือจาก) จะได้^{[ 1 ]}โดยที่คือส่วนต่อเนื่องของการแปรผันกำลังสองของและผลรวมจะขยายไปเหนือการกระโดด (นับได้) ของจนถึงเวลา${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\neq 0,Y_{-}\neq 0}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y)_{t}=\log {\Biggl |}{\frac {Y_{t}}{Y_{0}}}{\Biggl |}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\frac {d[Y]_{s}^{c}}{Y_{s-}^{2}}}+\sum _{s\leq t}{\Biggl (}\log {\Biggl |}1+{\frac {\Delta Y_{s}}{Y_{s-}}}{\Biggr |}-{\frac {\Delta Y_{s}}{Y_{s-}}}{\Biggr )},\qquad t\geq 0,}$$${\displaystyle [Y]^{c}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle t}$
• ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิตแล้ว ก็เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์ที่มีอัตราการเลื่อนคงที่${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y)_{t}=\log {\Biggl |}{\frac {Y_{t}}{Y_{0}}}{\Biggl |}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\frac {d[Y]_{s}^{c}}{Y_{s-}^{2}}},\qquad t\geq 0.}$$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$
• ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีการเปลี่ยนแปลงจำกัด แล้ว โดยที่ไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาได้ ตัวอย่างเช่นอาจเท่ากับ 1 บวกกับฟังก์ชันแคนเตอร์${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y)=\log {\Biggl |}{\frac {Y}{Y_{0}}}{\Biggl |}.}$$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

• ลอการิทึมสุ่มเป็นการดำเนินการผกผันกับ^{เลขชี้กำลัง}สุ่ม : ถ้าแล้วในทางกลับกัน ถ้า และแล้ว^{[ 1} ]${\displaystyle \Delta X\neq -1}$${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {E}}(X))=X-X_{0}}$${\displaystyle Y\neq 0}$${\displaystyle Y_{-}\neq 0}$${\displaystyle {\mathcal {E}}({\mathcal {L}}(Y))=Y/Y_{0}}$
• ต่างจากลอการิทึมธรรมชาติซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของณ เวลา เท่านั้น ลอการิทึมสุ่มไม่ได้ขึ้นอยู่กับเพียงแค่ ค่าของ ณ เวลาเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับประวัติทั้งหมดของค่าของในช่วงเวลาด้วย ด้วยเหตุนี้จึงต้องเขียนและไม่ใช่${\displaystyle \log(Y_{t})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y)_{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle [0,t]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y)_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y_{t})}$
• ลอการิทึมเชิงสุ่มของมาร์ติงเกลเฉพาะที่ซึ่งไม่เป็นศูนย์ เมื่อรวมกับลิมิตซ้ายแล้ว ก็ยังคงได้เป็นมาร์ติงเกลเฉพาะที่เช่นกัน
• สูตรและคุณสมบัติทั้งหมดข้างต้นใช้ได้กับลอการิทึมเชิงสุ่มของจำนวนเชิงซ้อนด้วย เช่น กัน${\displaystyle Y}$
• ลอการิทึมสุ่มยังสามารถกำหนดได้สำหรับกระบวนการที่ถูกดูดซับเป็นศูนย์หลังจากกระโดดไปที่ศูนย์ คำจำกัดความดังกล่าวมีความหมายจนถึงเวลาแรกที่ เข้าถึงอย่างต่อเนื่อง^{[ 2 ]}${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle 0}$

• บทกลับของสูตร Yor: ^{[ 1 ]}ถ้าไม่หายไปพร้อมกับขอบเขตด้านซ้ายแล้ว${\displaystyle Y^{(1)},Y^{(2)}}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}{\bigl (}Y^{(1)}Y^{(2)}{\bigr )}={\mathcal {L}}{\bigl (}Y^{(1)}{\bigr )}+{\mathcal {L}}{\bigl (}Y^{(2)}{\bigr )}+{\bigl [}{\mathcal {L}}{\bigl (}Y^{(1)}{\bigr )},{\mathcal {L}}{\bigl (}Y^{(2)}{\bigr )}{\bigr ]}.}$$
• ลอการิทึมสุ่มของ: ^{[ 2 ]}ถ้าแล้ว${\displaystyle 1/{\mathcal {E}}(X)}$${\displaystyle \Delta X\neq -1}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}{\biggl (}{\frac {1}{{\mathcal {E}}(X)}}{\biggr )}_{t}=X_{0}-X_{t}-[X]_{t}^{c}+\sum _{s\leq t}{\frac {(\Delta X_{s})^{2}}{1+\Delta X_{s}}}.}$$

• ทฤษฎีบทของ Girsanovสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: ให้เป็นมาตรวัดความน่าจะเป็นที่เทียบเท่ากับมาตรวัดความน่าจะเป็นอีกตัวหนึ่งให้ เป็นมาร์ติงเกลที่สามารถหาปริพันธ์ได้สม่ำเสมอซึ่งปิดโดยสำหรับเซมิมาร์ติงเกลสิ่งต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z_{\infty }=dQ/dP}$${\displaystyle U}$
  1. กระบวนการนี้มีความพิเศษภายใต้ เงื่อนไขดัง กล่าว${\displaystyle U}$${\displaystyle Q}$
  2. กระบวนการนี้มีความพิเศษภายใต้ เงื่อนไขดัง กล่าว${\displaystyle U+[U,{\mathcal {L}}(Z)]}$${\displaystyle P}$
• + หากเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งเหล่านี้เป็นจริง ค่า-drift ของจะเท่ากับค่า-drift ของ${\displaystyle Q}$${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U+[U,{\mathcal {L}}(Z)]}$

• เลขชี้กำลังสุ่ม