ในฟิสิกส์ (โดยเฉพาะทฤษฎีจลน์ของก๊าซ ) ความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์เป็นการเชื่อมโยงที่ไม่คาดคิดมาก่อนซึ่งเปิดเผยโดยอิสระโดยวิลเลียม ซัทเธอร์แลนด์ในปี 1904 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ในปี 1905 ^{[ 4 ]}และโดยมา เรียน สโมลูโชฟสกีในปี 1906 ^{[ 5 ]}ในงานของพวกเขาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์รูปแบบทั่วไปของสมการในกรณีคลาสสิกคือ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle D=\mu \,k_{\text{B}}T,}$$ ที่ไหน

• Dคือค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจาย ;
• μคือ "ความคล่องตัว" หรืออัตราส่วนของความเร็วการเคลื่อนที่สุดท้าย ของอนุภาค ต่อแรงที่กระทำμ = v / F ;
• k คือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์ ;
• Tคืออุณหภูมิสัมบูรณ์

สมการนี้เป็นตัวอย่างแรกๆ ของ ความสัมพันธ์ ระหว่างความผันผวนและการกระจายพลังงาน^{[ 7 ]} โปรดทราบว่าสมการข้างต้นอธิบายกรณีคลาสสิกและควรได้รับการแก้ไขเมื่อผลกระทบควอนตัมมีความเกี่ยวข้อง

รูปแบบพิเศษที่สำคัญและใช้งานบ่อยสองรูปแบบของความสัมพันธ์นี้ ได้แก่:

• สมการ Einstein–Smoluchowskiสำหรับการแพร่กระจายของอนุภาคที่มีประจุ : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}}}$$
• สมการสโตกส์-ไอน์สไตน์-ซัทเธอร์แลนด์สำหรับการแพร่ของอนุภาคทรงกลมผ่านของเหลวที่มีเลขเรย์โนลด์ ต่ำ :$${\displaystyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$$

ที่นี่

• qคือประจุไฟฟ้าของอนุภาค
• μqคือค่าเคลื่อนที่ทางไฟฟ้าของอนุภาคที่มีประจุ
• ηคือค่าความหนืดไดนามิก ;
• rคือรัศมีสโตกส์ของอนุภาคทรงกลม

หลักฐานของความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์สามารถพบได้ในเอกสารอ้างอิงหลายฉบับ ตัวอย่างเช่น ดูงานของRyogo Kubo [ ^{13 ] ต่อ}ไปนี้เป็นการพิสูจน์จากสถานะคงที่ของสมการการพาความร้อน-การแพร่กระจายที่มีความเร็วเป็นสัดส่วนกับแรงอนุรักษ์

สมมติว่า พลังงานศักย์ ภายนอกคงที่บางอย่างก่อให้เกิดแรงอนุรักษ์ (เช่น แรงไฟฟ้า) ต่ออนุภาคที่อยู่ที่ตำแหน่งหนึ่งเราสมมติว่าอนุภาคจะตอบสนองโดยการเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว(ดูแรงต้าน (ฟิสิกส์) ) ตอนนี้สมมติว่ามีอนุภาคจำนวนมากเช่นนี้ โดยมีความเข้มข้นเฉพาะที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง หลังจากเวลาผ่านไประยะหนึ่ง สมดุลจะเกิดขึ้น: อนุภาคจะรวมตัวกันรอบบริเวณที่มีพลังงานศักย์ต่ำที่สุดแต่ก็ยังคงกระจายออกไปบ้างเนื่องจากการแพร่ที่สมดุลแล้ว จะไม่มีการไหลสุทธิของอนุภาค: แนวโน้มของอนุภาคที่จะถูกดึงไปยังบริเวณที่มีพลังงานศักย์ต่ำกว่าเรียกว่ากระแสดริฟต์จะสมดุลอย่างสมบูรณ์กับแนวโน้มของอนุภาคที่จะกระจายออกไปเนื่องจากการแพร่ เรียกว่ากระแสการแพร่${\displaystyle U}$${\displaystyle F(\mathbf {x} )=-\nabla U(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle v(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

ฟลักซ์สุทธิของอนุภาคเนื่องจากกระแสน้ำดริฟต์คือ จำนวนอนุภาคที่ไหลผ่านตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งเท่ากับความเข้มข้นของอนุภาคคูณด้วยความเร็วเฉลี่ย$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {drift} }(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x} )=-\rho (\mathbf {x} )\mu (\mathbf {x} )\nabla U(\mathbf {x} ),}$$

ตาม กฎของฟิก (Fick's law ) การไหลของอนุภาคเนื่องจากกระแสการแพร่เป็นไปตามสมการ โดยเครื่องหมายลบหมายความว่าอนุภาคไหลจากบริเวณที่มีความเข้มข้นสูงไปยังบริเวณที่มีความเข้มข้นต่ำ$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }(\mathbf {x} )=-D(\mathbf {x} )\nabla \rho (\mathbf {x} ),}$$

ทีนี้มาพิจารณาเงื่อนไขสมดุลกัน ประการแรก ไม่มีกระแสไหลสุทธิ กล่าวคือประการที่สอง สำหรับอนุภาคจุดที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์กัน ความหนาแน่นสมดุลจะเป็นฟังก์ชันของพลังงานศักย์เฉพาะที่เท่านั้น กล่าวคือ ถ้าสองตำแหน่งมีค่าเท่ากันทั้งสองตำแหน่งก็จะมีค่าเท่ากันด้วย(เช่น ดูสถิติของแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง) นั่นหมายความว่า เมื่อใช้กฎ ลูกโซ่${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=0}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \nabla \rho ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\nabla U.}$$

ดังนั้น ณ สภาวะสมดุล: $${\displaystyle 0=\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=-\mu \rho \nabla U-D\nabla \rho =\left(-\mu \rho -D{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\right)\nabla U.}$$

เนื่องจากนิพจน์นี้เป็นจริงในทุกตำแหน่งจึงหมายถึงรูปแบบทั่วไปของความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์: ${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}.}$$

ความสัมพันธ์ระหว่างและสำหรับอนุภาคคลาสสิกสามารถจำลองได้โดยใช้สถิติของแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ โดยที่เป็นค่าคงที่ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนอนุภาคทั้งหมด ดังนั้น ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle U}$$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=Ae^{-{\frac {U(\mathbf {x} )}{k_{\text{B}}T}}},}$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}=-{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\rho .}$$

ภายใต้สมมติฐานนี้ การแทนสมการนี้ลงในความสัมพันธ์ทั่วไปของไอน์สไตน์จะได้: ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์แบบคลาสสิกของไอน์สไตน์$${\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}=\mu k_{\text{B}}T,}$$

• ปัจจัยสโมลูโชว์สกี้
• ค่าการนำไฟฟ้า (อิเล็กโทรไลติก)
• รัศมีสโตกส์
• หมายเลขการขนส่งไอออน

• เครื่องคำนวณความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์