สมการการพาความร้อน-การแพร่กระจายสามารถได้มาอย่างตรงไปตรงมา^{[ 4 ]}จากสมการความต่อเนื่องซึ่งระบุว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณสเกลาร์ในปริมาตรควบคุมเชิงอนุพันธ์ นั้นกำหนดโดยการไหลและการแพร่กระจายเข้าและออกจากส่วนนั้นของระบบพร้อมกับการสร้างหรือการบริโภคใด ๆ ภายในปริมาตรควบคุม: $${\displaystyle {\frac {\บางส่วน c}{\บางส่วน t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,}$$ โดยที่j คือ ฟลักซ์รวมและRคือแหล่งกำเนิดปริมาตรสุทธิสำหรับcในสถานการณ์นี้มีแหล่งกำเนิดฟลักซ์สองแหล่ง แหล่งแรก คือ ฟลักซ์แบบแพร่ซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากการแพร่โดยทั่วไปจะประมาณได้ด้วยกฎข้อแรกของฟิก (Fick's first law ): $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{diff}}=-D\nabla c}$$ กล่าวคือ อัตราการไหลของสารที่แพร่กระจาย (เมื่อเทียบกับการเคลื่อนที่โดยรวม) ในส่วนใดส่วนหนึ่งของระบบจะเป็นสัดส่วนกับความชัน ของความเข้มข้นในบริเวณนั้น ประการที่สอง เมื่อมีการพาความร้อนหรือการไหลโดยรวม จะมีอัตราการไหลที่เกี่ยวข้องเรียกว่าอัตราการไหลแบบพาความร้อน (advective flux ) $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{adv}}=\mathbf {v} c}$$ ฟลักซ์รวม (ในระบบพิกัดคงที่) หาได้จากผลรวมของฟลักซ์ทั้งสองนี้: $${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\text{diff}}+\mathbf {j} _{\text{adv}}=-D\nabla c+\mathbf {v} c.}$$ เมื่อแทนค่าลงในสมการความต่อเนื่อง: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\nabla c+\mathbf {v} c\right)=R.}$$

ในสถานการณ์ทั่วไป ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายจะคงที่ ไม่มีแหล่งกำเนิดหรือแหล่งดูดซับ และสนามความเร็วจะอธิบายการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ (กล่าวคือ มีค่าไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์ ) จากนั้นสูตรจะลดรูปเหลือ: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c-\mathbf {v} \cdot \nabla c.}$$

ในกรณีนี้ สมการสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบการแพร่กระจาย อย่างง่ายได้ : $${\displaystyle {\frac {dc}{dt}}=D\nabla ^{2}c,}$$

โดยที่อนุพันธ์ของด้านซ้ายมือคืออนุพันธ์เชิงวัสดุของตัวแปรcในวัสดุที่ไม่เกิดปฏิกิริยากันD = 0 (ตัวอย่างเช่น เมื่ออุณหภูมิใกล้ศูนย์สัมบูรณ์ ก๊าซเจือจางจะมีค่าการแพร่ของมวล เกือบเป็นศูนย์ ) ดังนั้นสมการการขนส่งจึงเป็นเพียงสมการความต่อเนื่อง: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla c=0.}$$

การใช้การแปลงฟูริเยร์ทั้งในโดเมนเวลาและโดเมนพื้นที่ (กล่าวคือ ด้วยเคอร์เนลเชิงอินทิกรัล)${\displaystyle e^{i\omega t+i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$) และสามารถหา สมการลักษณะเฉพาะ ได้ดังนี้:$${\displaystyle i\omega {\tilde {c}}+\mathbf {v} \cdot i\mathbf {k} {\tilde {c}}=0\rightarrow \omega =-\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} ,}$$ ซึ่งให้คำตอบโดยทั่วไปดังนี้: $${\displaystyle c=f(\mathbf {x} -\mathbf {v} t),}$$ ที่ไหน${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้นี่คือพื้นฐานของการวัดอุณหภูมิสำหรับคอนเดนเซตโบส-ไอน์สไตน์ใกล้เคียง^{[ 6 ]}โดยใช้วิธีเวลาบิน^{[ 7 ]}

สมการการพาความร้อน-การแพร่กระจายแบบคงที่อธิบาย พฤติกรรม สภาวะคงที่ของระบบการพาความร้อน-การแพร่กระจาย^{[ 8 ]}ในสภาวะคงที่⁠ ∂ c / ∂ t ⁠ = 0ดังนั้นสมการที่จะแก้จึงกลายเป็นสมการอันดับสอง: $${\displaystyle \nabla \cdot (-D\nabla c+\mathbf {v} c)=R.}$$ ในมิติเชิงพื้นที่หนึ่งมิติ สมการสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(-D(x){\frac {dc(x)}{dx}}+v(x)c(x)\right)=R(x)}$$

ซึ่งสามารถอินทิเกรตได้หนึ่งครั้งในตัวแปรพื้นที่xเพื่อให้ได้:

$${\displaystyle D(x){\frac {dc(x)}{dx}}-v(x)c(x)=-\int _{x}R(x')dx'}$$

ในกรณีที่ D ไม่เป็นศูนย์ นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งแบบไม่เอกพันธุ์ที่มีสัมประสิทธิ์แปรผันในตัวแปร c(x):

$${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$ โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์คือ: $${\displaystyle f(x)={\frac {v(x)}{D(x)}}}$$ และ: $${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{D(x)}}\int _{x}R(x')\,dx'}$$ ในทางกลับกัน ในตำแหน่งxที่D = 0พจน์การแพร่กระจายอันดับแรกจะหายไป และคำตอบจะกลายเป็นเพียงอัตราส่วน:

$${\displaystyle c(x)={\frac {1}{v(x)}}\int _{x}R(x')\,dx'}$$

เมื่อแรงเกี่ยวข้องกับพลังงานศักยภาพF = −∇ U (ดูแรงอนุรักษ์ ) คำตอบ สภาวะคงที่ของสมการข้างต้น (เช่น0 = R = ⁠ ∂ c / ∂ t ⁠ ) คือ: $${\displaystyle c\propto \exp \left(-D^{-1}\zeta ^{-1}U\right)}$$ (โดยสมมติว่าDและζคงที่) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีอนุภาคมากขึ้นในบริเวณที่มีพลังงานต่ำกว่า โปรไฟล์ความเข้มข้นนี้คาดว่าจะสอดคล้องกับการกระจายแบบโบลต์ซมันน์ (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือการวัดของกิบบส์ ) จากสมมติฐานนี้ความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์สามารถพิสูจน์ได้: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle D\zeta =k_{\mathrm {B} }T.}$$

สมการการพาความร้อน-การแพร่ (โดยที่R = 0 ) สามารถมองได้ว่าเป็นสมการฟอกเกอร์-พลังค์ซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่แบบสุ่มที่มีค่าสัมประสิทธิ์การแพร่Dและค่าเบี่ยงเบนvตัวอย่างเช่น สมการนี้สามารถอธิบายการเคลื่อนที่แบบบราวน์ของอนุภาคเดี่ยว โดยที่ตัวแปรcอธิบายถึงการกระจายความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะอยู่ในตำแหน่งที่กำหนด ณ เวลาที่กำหนด เหตุผลที่สามารถใช้สมการในลักษณะนั้นได้ก็เพราะว่าไม่มีความแตกต่างทางคณิตศาสตร์ระหว่างการกระจายความน่าจะเป็นของอนุภาคเดี่ยวกับการกระจายความเข้มข้นของกลุ่มอนุภาคจำนวนอนันต์ (ตราบใดที่อนุภาคเหล่านั้นไม่ปฏิสัมพันธ์กัน)

สมการ Langevinอธิบายการพา การแพร่ และปรากฏการณ์อื่นๆ ในลักษณะสุ่มอย่างชัดเจน รูปแบบที่ง่ายที่สุดรูปแบบหนึ่งของสมการ Langevin คือเมื่อ "เทอมเสียงรบกวน" เป็นแบบเกาส์เซียนในกรณีนี้ สมการ Langevin จะเทียบเท่ากับสมการการพาและการแพร่ อย่างไรก็ตาม สมการ Langevin เป็นแบบทั่วไปมากกว่า^{[ 11 ]}

ในฟิสิกส์เซมิคอนดักเตอร์สมการนี้เรียกว่าสมการดริฟต์-ดิฟฟิวชัน คำว่า "ดริฟต์" เกี่ยวข้องกับกระแสดริฟต์และความเร็วดริฟต์โดยปกติสมการจะเขียนดังนี้: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}&=-D_{n}\nabla nn\mu _{n}\mathbf {E} \\{\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}&=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} \\{\frac {\บางส่วน n}{\บางส่วน t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R\\{\frac {\บางส่วน p}{\บางส่วน t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R\end{aligned}}}$$ ที่ไหน

• nและpคือความเข้มข้น (ความหนาแน่น) ของอิเล็กตรอนและโฮลตามลำดับ
• q > 0คือประจุพื้นฐาน
• JnและJpคือกระแสไฟฟ้าที่เกิดจากอิเล็กตรอนและโฮล
• ⁠J n − q ⁠และ ⁠J p / q ⁠คือ "กระแสอนุภาค" ที่สอดคล้องกันของอิเล็กตรอนและโฮลลำดับ
• Rแทนการสร้างและการรวมตัวของพาหะ ( R > 0สำหรับการสร้างคู่อิเล็กตรอน-โฮล, R < 0สำหรับการรวมตัว)
• Eคือเวกเตอร์สนามไฟฟ้า
• ${\displaystyle \mu _{n}}$และ${\displaystyle \mu _{p}}$คือค่าการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนและโฮล

สัมประสิทธิ์การแพร่และค่าการเคลื่อนที่สัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์ดังที่แสดงไว้ข้างต้น: $${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&={\frac {\mu _{n}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\\D_{p}&={\frac {\mu _{p}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\end{aligned}}}$$ โดยที่k คือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์และTคืออุณหภูมิสัมบูรณ์กระแสดริฟต์และกระแสการแพร่หมายถึงสองพจน์ในนิพจน์สำหรับJแยกกัน ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}}{-q}}&=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}}{q}}&=p\mu _{p}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{diff}}}}{q}}&=-D_{p}\nabla p.\end{aligned}}}$$

สมการนี้สามารถแก้ได้พร้อมกับสมการของปัวซง ด้วย วิธีเชิงตัวเลข^{[ 14 ]}

ตัวอย่างผลลัพธ์ของการแก้สมการการแพร่แบบดริฟต์แสดงอยู่ทางด้านขวา เมื่อแสงส่องไปยังจุดศูนย์กลางของสารกึ่งตัวนำ ตัวนำจะถูกสร้างขึ้นตรงกลางและแพร่ไปยังปลายทั้งสองข้าง สมการการแพร่แบบดริฟต์ถูกแก้ในโครงสร้างนี้ และการกระจายความหนาแน่นของอิเล็กตรอนแสดงอยู่ในรูป จะเห็นได้ว่ามีการไล่ระดับของตัวนำจากจุดศูนย์กลางไปยังปลายทั้งสองข้าง