ในฟิสิกส์กฎการอนุรักษ์ระบุว่าคุณสมบัติที่วัดได้เฉพาะอย่างของระบบทางกายภาพ ที่แยกตัว จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อระบบวิวัฒนาการไปตามเวลา กฎการอนุรักษ์ที่แน่นอน ได้แก่การอนุรักษ์มวล-พลังงานการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมและการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้านอกจากนี้ยังมีกฎการอนุรักษ์โดยประมาณอีกมากมาย ซึ่งใช้กับปริมาณต่างๆ เช่นมวลพาริตี [ ^{1 ] จำนวน}เลปตอนจำนวนแบริออนความแปลกประหลาดไฮเปอร์ชาร์จเป็นต้น ปริมาณเหล่านี้ได้รับการอนุรักษ์ในกระบวนการทางฟิสิกส์บางประเภท แต่ไม่ใช่ทั้งหมด

กฎการอนุรักษ์ในระดับท้องถิ่นมักแสดงออกมาในรูปสมการความต่อเนื่อง ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณของปริมาณนั้นกับการ "เคลื่อนย้าย" ของปริมาณนั้น โดยระบุว่าปริมาณของปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ ณ จุดใดจุดหนึ่งหรือภายในปริมาตรใดปริมาตรหนึ่ง จะเปลี่ยนแปลงได้ก็ต่อเมื่อปริมาณของปริมาณที่ไหลเข้าหรือไหลออกจากปริมาตรนั้นเปลี่ยนแปลงไปเท่านั้น

จากทฤษฎีบทของ Noether สมมาตรที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกแบบจะนำไปสู่กฎการอนุรักษ์เฉพาะที่^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}ปริมาณอนุรักษ์อื่นๆ ก็สามารถมีอยู่ได้เช่นกัน

กฎการอนุรักษ์เป็นพื้นฐานสำคัญในการทำความเข้าใจโลกทางกายภาพ เนื่องจากกฎเหล่านี้อธิบายว่ากระบวนการใดบ้างที่สามารถเกิดขึ้นได้หรือไม่ได้ในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น กฎการอนุรักษ์พลังงานระบุว่าปริมาณพลังงานทั้งหมดในระบบที่แยกตัวออกมาจะไม่เปลี่ยนแปลง แม้ว่ามันอาจเปลี่ยนรูปไปก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ปริมาณรวมของสมบัติที่อยู่ภายใต้กฎนั้นจะคงที่ในระหว่างกระบวนการทางกายภาพ ในส่วนของฟิสิกส์คลาสสิก กฎการอนุรักษ์ได้แก่ การอนุรักษ์พลังงาน มวล (หรือสสาร) โมเมนตัมเชิงเส้น โมเมนตัมเชิงมุม และประจุไฟฟ้า ในส่วนของฟิสิกส์อนุภาค อนุภาคไม่สามารถสร้างหรือทำลายได้ ยกเว้นเป็นคู่ โดยที่อนุภาคหนึ่งเป็นอนุภาคปกติและอีกอนุภาคหนึ่งเป็นอนุภาคปฏิปักษ์ ในส่วนของสมมาตรและหลักการไม่เปลี่ยนแปลง ได้มีการอธิบายกฎการอนุรักษ์พิเศษสามข้อที่เกี่ยวข้องกับการผกผันหรือการกลับทิศทางของอวกาศ เวลา และประจุ

กฎการอนุรักษ์ถือเป็นกฎ พื้นฐาน ของธรรมชาติ ซึ่งมีการประยุกต์ใช้ในวงกว้างทั้งในฟิสิกส์ รวมถึงสาขาอื่นๆ เช่น เคมี ชีววิทยา ธรณีวิทยา และวิศวกรรมศาสตร์

กฎการอนุรักษ์ส่วนใหญ่เป็นกฎที่แน่นอนหรือเด็ดขาด กล่าวคือใช้ได้กับกระบวนการที่เป็นไปได้ทั้งหมด อย่างไรก็ตาม กฎการอนุรักษ์บางข้อเป็นกฎบางส่วน กล่าวคือใช้ได้กับบางกระบวนการแต่ใช้ไม่ได้กับกระบวนการอื่น

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างยิ่งประการหนึ่งเกี่ยวกับกฎการอนุรักษ์ในระดับท้องถิ่น คือ ทฤษฎีบทของ Noetherซึ่งระบุว่ามีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกฎการอนุรักษ์แต่ละข้อกับสมมาตรที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ของเอกภพตัวอย่างเช่น การอนุรักษ์พลังงานในระดับท้องถิ่นเป็นผลมาจากความสม่ำเสมอของเวลาและการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ในระดับท้องถิ่น เกิดจากความเป็นไอโซโทรปีของอวกาศ [ ^{2 ] [ 5 ] [ 4 ]}กล่าวคือ เนื่องจากไม่มีทิศทางของอวกาศที่ต้องการเป็นพิเศษ ที่น่าสังเกตคือ ไม่มีกฎการอนุรักษ์ใดที่เกี่ยวข้องกับ^การย้อนกลับของเวลาแม้ว่าจะมีกฎการอนุรักษ์ที่ซับซ้อนกว่าซึ่งรวมการย้อนกลับของเวลากับสมมาตรอื่นๆเป็นที่รู้จักก็ตาม

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของสมการอนุรักษ์ทางฟิสิกส์ที่เกิดจากสมมาตรซึ่งกล่าวกันว่าเป็นกฎที่แน่นอนหรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือไม่เคยมีหลักฐานใดพิสูจน์ได้ว่าถูกละเมิด:

สมมาตรที่แม่นยำอีกอย่างหนึ่งคือสมมาตร CPTซึ่งเป็นการกลับด้านพิกัดของอวกาศและเวลาพร้อมกัน รวมถึงการสลับอนุภาคทั้งหมดกับปฏิอนุภาคของมัน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเป็นสมมาตรแบบไม่ต่อเนื่องทฤษฎีบทของ Noetherจึงไม่สามารถนำมาใช้กับสมมาตรนี้ได้ ดังนั้น ปริมาณอนุรักษ์ คือพาริตี CPTจึงมักไม่สามารถคำนวณหรือกำหนดได้อย่างมีความหมาย

นอกจากนี้ยังมี กฎการอนุรักษ์ โดยประมาณซึ่งเป็นจริงโดยประมาณในสถานการณ์เฉพาะ เช่น ความเร็วต่ำ ช่วงเวลาสั้น หรือปฏิสัมพันธ์บางอย่าง

• การอนุรักษ์พลังงานกล (ระดับมหภาค) (ซึ่งเป็นจริงโดยประมาณสำหรับกระบวนการที่แทบไม่มีแรงเสียดทานหรือแรงสูญเสีย)
• การอนุรักษ์มวล (ขณะหยุดนิ่ง) (เป็นจริงโดยประมาณสำหรับความเร็วที่ไม่เป็นสัมพัทธภาพ )
• การอนุรักษ์จำนวนแบริออน (ดูความผิดปกติไครัลและสฟาเลอรอน )
• การอนุรักษ์จำนวนเลปตอน (ในแบบจำลองมาตรฐาน )
• การรักษารสชาติ (ถูกทำลายโดยปฏิกิริยาที่อ่อนแอ )
• การอนุรักษ์ความแปลกประหลาด (ถูกละเมิดโดยปฏิสัมพันธ์แบบอ่อน )
• การอนุรักษ์สมมาตรเชิงพื้นที่ (ถูกละเมิดโดยอันตรกิริยาแบบอ่อน )
• การอนุรักษ์ประจุ-พาริตี (ถูกละเมิดโดยอันตรกิริยาแบบอ่อน )
• การอนุรักษ์สมมาตรเวลา (ถูกละเมิดโดยปฏิสัมพันธ์แบบอ่อน )
• การอนุรักษ์สมมาตร CP (ถูกละเมิดโดยปฏิสัมพันธ์แบบอ่อน )
• การอนุรักษ์สมมาตร CPT (ในแบบจำลองมาตรฐาน )

ปริมาณรวมของปริมาณอนุรักษ์บางอย่างในจักรวาลอาจยังคงไม่เปลี่ยนแปลง หากปริมาณที่เท่ากันปรากฏขึ้นที่จุดAและหายไปพร้อมกันจากจุดB ที่แยกจากกัน ตัวอย่างเช่น ปริมาณพลังงานอาจปรากฏขึ้นบนโลกโดยไม่เปลี่ยนแปลงปริมาณรวมในจักรวาล หากพลังงานปริมาณเดียวกันหายไปจากบริเวณอื่นของจักรวาล รูปแบบการอนุรักษ์แบบ "ทั่วโลก" ที่อ่อนแอเช่นนี้ไม่ใช่กฎการอนุรักษ์ที่แท้จริง เพราะไม่เป็นไปตามกฎของลอเรนซ์ดังนั้นปรากฏการณ์เช่นข้างต้นจึงไม่เกิดขึ้นในธรรมชาติ^{[ 6 ] [ 7 ]}เนื่องจากทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษหากการปรากฏของพลังงานที่Aและการหายไปของพลังงานที่Bเกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิงเฉื่อย หนึ่ง พวกมันจะไม่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิงเฉื่อยอื่นที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับกรอบแรก ในกรอบที่เคลื่อนที่ เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นก่อนอีกเหตุการณ์หนึ่ง ไม่ว่าพลังงานที่Aจะปรากฏขึ้นก่อนหรือหลังจากที่พลังงานที่Bหายไป ในทั้งสองกรณี ในช่วงเวลานั้นพลังงานจะไม่ได้รับการอนุรักษ์

กฎการอนุรักษ์ที่เข้มงวดกว่านั้นกำหนดว่า การเปลี่ยนแปลงปริมาณของปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จะต้องมีการไหลหรือฟลักซ์ของปริมาณนั้นเข้าหรือออกจากจุดนั้น ตัวอย่างเช่น ปริมาณประจุไฟฟ้าณ จุดใดจุดหนึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงหากไม่มีกระแสไฟฟ้าเข้าหรือออกจากจุดนั้นซึ่งนำพาความแตกต่างของประจุไปด้วย เนื่องจากเกี่ยวข้องกับ การเปลี่ยนแปลงเฉพาะ ที่ อย่างต่อเนื่องเท่านั้น กฎการอนุรักษ์ที่เข้มงวดกว่านี้จึงเป็นแบบลอเรนซ์อินแวเรียนต์ กล่าวคือ ปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ในกรอบอ้างอิงหนึ่งจะอนุรักษ์ไว้ในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ทั้งหมด^{[ 6 ] [ 7 ]}นี่เรียกว่ากฎการอนุรักษ์เฉพาะที่^{[ 6 ] [ 7 ]}การอนุรักษ์เฉพาะที่ยังหมายถึงการอนุรักษ์ทั่วโลกด้วย กล่าวคือ ปริมาณรวมของปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ในเอกภพยังคงที่ กฎการอนุรักษ์ทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นเป็นกฎการอนุรักษ์เฉพาะที่ กฎการอนุรักษ์เฉพาะที่แสดงทางคณิตศาสตร์ด้วยสมการความต่อเนื่องซึ่งระบุว่าการเปลี่ยนแปลงของปริมาณในปริมาตรเท่ากับ "ฟลักซ์" สุทธิทั้งหมดของปริมาณผ่านพื้นผิวของปริมาตร ส่วนต่อไปนี้จะกล่าวถึงสมการความต่อเนื่องโดยทั่วไป

ในกลศาสตร์ต่อเนื่องรูปแบบทั่วไปที่สุดของกฎการอนุรักษ์ที่แม่นยำจะแสดงด้วยสมการความต่อเนื่องตัวอย่างเช่น การอนุรักษ์ประจุไฟฟ้าqคือ$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,}$$โดยที่∇⋅คือ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์ , ρคือความหนาแน่นของq (ปริมาณต่อหน่วยปริมาตร), jคือฟลักซ์ของq (ปริมาณที่ไหลผ่านพื้นที่หนึ่งหน่วยในหนึ่งหน่วยเวลา) และtคือเวลา

ถ้าเราสมมติว่าการเคลื่อนที่uของประจุเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของตำแหน่งและเวลาแล้ว$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{aligned}}}$$

ในมิติพื้นที่หนึ่งมิติ สามารถกำหนดรูปแบบเป็นสมการ ไฮเปอร์โบลิก กึ่งเชิงเส้นลำดับ แรกเอกพันธุ์ได้ดังนี้ : ^{[ 8 ] : 43}$${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=0}$$โดยที่ตัวแปรตามyเรียกว่าความหนาแน่นของปริมาณอนุรักษ์และA ( y )เรียกว่า เมทริก ซ์จาโคเบียนปัจจุบันและ มีการใช้ สัญลักษณ์ตัวห้อยสำหรับอนุพันธ์ย่อยกรณีทั่วไปของตัวแปรที่ไม่เป็นเอกพันธ์:$${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=s}$$สมการนี้ไม่ใช่สมการอนุรักษ์ แต่เป็นสมการสมดุล ทั่วไป ที่อธิบายระบบที่มีการสูญเสียพลังงานตัวแปรตามyเรียกว่าปริมาณที่ไม่ได้รับการอนุรักษ์และเทอมที่ไม่เป็นเอกพันธ์s ( y , x , t )คือแหล่งกำเนิดหรือการสูญเสียพลังงาน ตัวอย่างเช่น สมการสมดุลประเภทนี้ ได้แก่สมการนาเวียร์-สโตกส์ของ โมเมนตัมและพลังงาน หรือสมดุลเอนโทรปี สำหรับ ระบบแยกเดี่ยวทั่วไป

ในปริภูมิหนึ่ง มิติ สมการอนุรักษ์คือ สมการไฮเปอร์โบลิกแบบกึ่งเชิงเส้น อันดับหนึ่งซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ใน รูป ของการเคลื่อนที่ได้ :$${\displaystyle y_{t}+a(y)y_{x}=0}$$โดยที่ตัวแปรตามy ( x , t )เรียกว่าความหนาแน่นของ ปริมาณ อนุรักษ์ (สเกลาร์) และa ( y )เรียกว่าสัมประสิทธิ์กระแสซึ่งโดยปกติจะสอดคล้องกับอนุพันธ์ย่อยในปริมาณอนุรักษ์ของความหนาแน่นกระแสของปริมาณอนุรักษ์j ( y ) : ^{[ 8 ] : 43}$${\displaystyle a(y)=j_{y}(y)}$$

ในกรณีนี้ เนื่องจากกฎลูกโซ่ใช้ได้:$${\displaystyle j_{x}=j_{y}(y)y_{x}=a(y)y_{x}}$$สมการอนุรักษ์สามารถเขียนให้อยู่ในรูปความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าได้:$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$

ในพื้นที่ที่มีมากกว่าหนึ่งมิตินิยามก่อนหน้านี้สามารถขยายไปเป็นสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบได้ดังนี้:$${\displaystyle y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0}$$

โดยที่ปริมาณอนุรักษ์คือy ( r , t ) , ⋅หมายถึงผลคูณสเกลาร์ , ∇คือ ตัวดำเนินการ นาบลาซึ่งในที่นี้หมาย ถึง เกรเดียนต์และa ( y )คือเวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์กระแส ซึ่งสอดคล้องกับไดเวอร์เจนซ์ของความหนาแน่นกระแสเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณอนุรักษ์j ( y ) ในทำนองเดียวกัน$${\displaystyle y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0}$$

กรณีนี้ใช้ได้กับสมการความต่อเนื่อง :$${\displaystyle \rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$

ในที่นี้ ปริมาณอนุรักษ์คือมวลโดยมีความหนาแน่นρ ( r , t )และความหนาแน่นกระแสρu ซึ่งเหมือนกับความหนาแน่นโมเมนตัมในขณะที่u ( r , t )คือ ความเร็ว การไหล

ในกรณีทั่วไปสมการอนุรักษ์อาจเป็นระบบของสมการประเภทนี้ ( สมการเวกเตอร์ ) ในรูปแบบ: ^{[ 8 ] : 43}$${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0} }$$โดยที่yเรียกว่า ปริมาณ อนุรักษ์ ( เวกเตอร์ ) ∇yคือเกรเดียนต์ของมัน 0 คือเวกเตอร์ศูนย์และA ( y )เรียกว่าจาโคเบียนของความหนาแน่นกระแส ในความเป็นจริง เช่นเดียวกับกรณีสเกลาร์ก่อนหน้านี้ ในกรณีเวกเตอร์A ( y ) มักจะสอดคล้องกับจาโคเบียนของเมทริกซ์ความหนาแน่นกระแสJ ( y ) :$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )}$$และสมการอนุรักษ์สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบดังนี้:$${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} }$$

ตัวอย่างเช่น กรณีนี้ใช้ได้กับสมการออยเลอร์ (พลศาสตร์ของไหล) ในกรณีที่ของเหลวไม่สามารถอัดได้ง่ายๆ สมการจะเป็นดังนี้:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\,,&{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s&=\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$$

ที่ไหน:

• uคือเวกเตอร์ความเร็วการไหล โดยมีส่วนประกอบอยู่ในปริภูมิ N มิติ u , u , ..., u ,
• s คือ ความดันจำเพาะ(ความดันต่อหน่วยความหนาแน่น ) ที่ให้พจน์แหล่งกำเนิด

สามารถแสดงได้ว่าปริมาณอนุรักษ์ (เวกเตอร์) และเมทริกซ์ความหนาแน่น กระแส สำหรับสมการเหล่านี้คือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} &={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};&\mathbf {J} &={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\end{aligned}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle \otimes }$หมายถึง ผล คูณภายนอก

สมการอนุรักษ์มักจะสามารถแสดงในรูปแบบอินทิกรัลได้เช่นกัน ข้อดีของรูปแบบหลังคือต้องการความเรียบของคำตอบน้อยลง ซึ่งปูทางไปสู่รูปแบบอ่อนขยายคลาสของคำตอบที่ยอมรับได้ให้รวมถึงคำตอบที่ไม่ต่อเนื่อง^{[ 8 ] : 62–63}โดยการอินทิเกรตในโดเมนปริภูมิ-เวลาใดๆ รูปแบบความหนาแน่นกระแสในปริภูมิ 1 มิติ:$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$และโดยใช้ทฤษฎีบทของกรีนรูปแบบปริพันธ์คือ:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0}$$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับปริภูมิหลายมิติแบบสเกลาร์ รูปแบบอินทิกรัลจะเป็นดังนี้:$${\displaystyle \oint \left[y\,d^{N}\mathbf {r} +j(y)\,dt\right]=0}$$โดยที่การรวมเส้นจะดำเนินการตามขอบเขตของโดเมนในลักษณะทวนเข็มนาฬิกา^{[ 8 ] : 62–63}

นอกจากนี้ ด้วยการกำหนดฟังก์ชันทดสอบφ ( r , t ) ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องทั้งในเวลาและพื้นที่ โดยมีขอบเขตจำกัดจะสามารถหาฟอร์มอ่อน ได้โดยอาศัย เงื่อนไขเริ่มต้นในพื้นที่ 1 มิติจะเป็นดังนี้: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\left[\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\right]dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx}$$

ในรูปแบบอ่อน อนุพันธ์ย่อยทั้งหมดของความหนาแน่นและความหนาแน่นกระแสจะถูกส่งต่อไปยังฟังก์ชันทดสอบ ซึ่งภายใต้สมมติฐานก่อนหน้านี้จะเรียบเพียงพอที่จะยอมรับอนุพันธ์เหล่านี้ได้^{[ 8 ] : 62–63}

• คงที่ (ฟิสิกส์)
• โมเมนตัม
  • สมการโมเมนตัมของโคชี
• พลังงาน
  • การอนุรักษ์พลังงานและกฎข้อที่หนึ่งของเทอร์โมไดนามิกส์
• ระบบอนุรักษ์นิยม
• ปริมาณที่อนุรักษ์ไว้
  • เฮลิซิตี้บางประเภทจะถูกอนุรักษ์ไว้ในขีดจำกัดที่ไม่มีการสูญเสียพลังงาน ได้แก่เฮลิซิตี้ทางอุทกพลศาสตร์เฮลิซิตี้ทางแม่เหล็กและครอสเฮลิซิตี้
• หลักการของการเปลี่ยนแปลงได้
• กฎการอนุรักษ์ของเทนเซอร์ความเครียด-พลังงาน
• ตัวแปรคงที่ของรีมันน์
• ปรัชญาฟิสิกส์
• หลักการเผด็จการ
• สมการการพาความร้อน-การแพร่กระจาย
• ความสม่ำเสมอของธรรมชาติ

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับกฎหมายการอนุรักษ์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• กฎหมายการอนุรักษ์ – บทที่ 11–15 ในตำราเรียนออนไลน์