ในฟิสิกส์พลาสมาเฮลิซิตี้แม่เหล็กคือการวัดการเชื่อมโยง การบิด และการบิดตัวของสนามแม่เหล็ก^{[ 1 ] [ 2 ]}

เฮลิซิตี้แม่เหล็กใช้ในการวิเคราะห์ระบบที่มีความต้านทานต่ำมาก รวมถึงสภาพแวดล้อมทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์หลายแห่ง เมื่อความต้านทานต่ำ เฮลิซิตี้แม่เหล็กจะถูกอนุรักษ์ไว้โดยประมาณในช่วงเวลาที่ยาวนาน พลวัตของเฮลิซิตี้แม่เหล็กมีความสำคัญในการศึกษาเปลวสุริยะและการปลดปล่อยมวลโคโรนา [ ^{3 ] มัน}มีความเกี่ยวข้องกับพลวัตของลมสุริยะ [ ^{4 ]}การอนุรักษ์โดยประมาณมีความสำคัญใน กระบวนการ ไดนาโมนอกจากนี้ยังมีบทบาทในการวิจัยฟิวชั่นรวมถึงการทดลอง^พินช์สนามย้อนกลับ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

เมื่อสนามแม่เหล็กมีเฮลิซิตี้แม่เหล็ก มันสามารถขับเคลื่อนการก่อตัวของโครงสร้างขนาดใหญ่จากโครงสร้างขนาดเล็กได้^{[ 10 ]}กระบวนการนี้เรียกว่าการถ่ายโอนผกผันในปริภูมิฟูริเยร์ในสามมิติ เฮลิซิตี้แม่เหล็กสนับสนุนการเติบโตไปสู่ขนาดที่ใหญ่ขึ้น ในทางตรงกันข้าม การไหลสามมิติจำนวนมากในกลศาสตร์ของไหลทั่วไปเป็นแบบปั่นป่วนและแสดงให้เห็นถึงการเรียงลำดับโดยตรงซึ่งกระแสน้ำวน ขนาดใหญ่ แตกตัวเป็นกระแสน้ำวนขนาดเล็กที่สลายตัวผ่าน ผลกระทบ ของความหนืดด้วยกระบวนการคู่ขนานแต่กลับกัน โครงสร้างแม่เหล็กเฮลิซิตี้ขนาดเล็กที่มีเฮลิซิตี้แม่เหล็กไม่เป็นศูนย์จะรวมกันเพื่อสร้างสนามแม่เหล็กขนาดใหญ่ พฤติกรรมนี้พบได้ในพลวัตของแผ่นกระแสเฮลิโอส เฟีย ร์^{[ 11 ]} ซึ่ง เป็น โครงสร้างแม่เหล็กขนาดใหญ่ในระบบสุริยะ

แนวคิดเรื่องเฮลิซิตี้เกิดขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 ภายในพลศาสตร์ของไหล โดยที่ HK Moffattนักพลศาสตร์ของไหลชาวอังกฤษได้เชื่อมโยงความยุ่งเหยิงของ เส้น กระแสน้ำวนเข้ากับปริพันธ์อนุรักษ์ที่เขาเรียกว่าเฮลิซิตี้^{[ 12 ]}ในพลศาสตร์ของไหลแม่เหล็กนักฟิสิกส์ดาราศาสตร์ชาวดัตช์-อเมริกันLodewijk Woltjerได้พิสูจน์ว่าเฮลิซิตี้แม่เหล็กเป็นค่าคงที่ในอุดมคติ และมีลักษณะเฉพาะของสถานะพลังงานต่ำสุดที่เฮลิซิตี้คงที่ งาน ไดนาโมของWalter M. Elsasserนักธรณีฟิสิกส์ชาวเยอรมัน-อเมริกันได้วางรากฐานทางทฤษฎีเบื้องต้นสำหรับค่าคงที่ดังกล่าวในแม่เหล็กจักรวาล^{[ 13 ] [ 14 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1970 และ 1980 แนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมผ่านความก้าวหน้าในทฤษฎีความปั่นป่วน การทดลอง พลาสมา ในห้องปฏิบัติการ และโทโพโลยี Uriel Frischและผู้ร่วมงานได้ทำนายการถ่ายโอนย้อนกลับของเฮลิซิตี้แม่เหล็กไปสู่ขนาดที่ใหญ่ขึ้น ซึ่งต่อมาได้รับการยืนยันทางตัวเลขและตีความว่าเป็นเส้นทางสู่การจัดระเบียบตนเองใน ความปั่นป่วน ที่มีสนามแม่เหล็ก^{[ 15 ]}นักฟิสิกส์พลาสมาชาวอเมริกันJB Taylorได้นำเสนอทฤษฎีการผ่อนคลายสำหรับพลาสมาที่ถูกจำกัด โดยโต้แย้งว่าความต้านทาน ต่ำ ช่วยให้เกิดการผ่อนคลายอย่างรวดเร็วไปยังสถานะที่ปราศจากแรงซึ่งรักษาเฮลิซิตี้ไว้ เขาเน้นย้ำว่าในระหว่างการผ่อนคลาย "มีเพียงเฮลิซิตี้แม่เหล็กทั้งหมดเท่านั้นที่ยังคงอยู่" ^{[ 16 ] [ 17 ]}ในด้านโทโพโลยี นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Mitchell A. Berger และนักฟิสิกส์ดาราศาสตร์ชาวอเมริกันGeorge B. Fieldได้นำเสนอเฮลิซิตี้แม่เหล็กสัมพัทธ์เพื่อขยายค่าคงที่ไปยังปริมาตรที่มีฟลักซ์แม่เหล็กข้ามขอบเขต นักฟิสิกส์พลาสมาชาวอเมริกัน John M. Finn และThomas M. Antonsen Jr.ได้ให้ การแสดงออก ที่ไม่ขึ้นกับเกจที่ เทียบเท่ากัน โดยอธิบาย "คำจำกัดความที่ไม่ขึ้นกับเกจทั่วไป" ^{[ 18 ] [ 19 ]}

ตั้งแต่ทศวรรษ 1990 เป็นต้นมา เฮลิซิตี้แม่เหล็กกลายเป็นเครื่องมือสังเกตการณ์และการวินิจฉัยที่สำคัญในฟิสิกส์ดวงอาทิตย์และฟิสิกส์อวกาศนักฟิสิกส์ดวงอาทิตย์ชาวเยอรมัน Norbert Seehafer รายงานว่าเฮลิซิตี้ปัจจุบันในบริเวณที่มีกิจกรรมนั้น "ส่วนใหญ่เป็นลบในซีกโลกเหนือ" และ "เป็นบวกในซีกโลกใต้" ซึ่งเป็นการสร้างกฎเชิงประจักษ์ของซีกโลกที่กระตุ้นให้เกิดการวิจัยติดตามอย่างกว้างขวาง^{[ 20 ]}นักฟิสิกส์ดวงอาทิตย์ชาวอเมริกัน Alexei A. Pevtsov, Richard C. Canfield และThomas R. Metcalfได้ทำแผนที่รูปแบบเฮลิซิตี้ในบริเวณที่มีกิจกรรมและแสดงให้เห็นถึงความแปรผันตามละติจูด ซึ่งช่วยเชื่อมโยง การวัด โฟโตสเฟียร์กับพลวัตและการพุ่งออกของโคโรนา^{[ 21 ] [ 22 ]}การวิเคราะห์ลมสุริยะและเฮลิโอสเฟียร์ใช้เฮลิซิตี้เพื่อตีความโครงสร้างแม่เหล็กและการขนส่งขนาดใหญ่^{[ 23 ]}

นักวิทยาศาสตร์ได้ถกเถียงกันถึงวิธีการที่ดีที่สุดในการกำหนดและวัดเฮลิซิตี้ในระบบเปิดที่สมจริง และวิธีการตีความตัวแทนเฉพาะที่ ปัจจุบันเฮลิซิตี้แม่เหล็กสัมพัทธ์เป็นวิธีการมาตรฐานสำหรับปริมาตรที่มีฟลักซ์ข้ามขอบเขต ในขณะที่เฮลิซิตี้กระแสและตัวแทนอื่นๆ จะถูกใช้เมื่อไม่สามารถวัดแบบสามมิติได้อย่างสมบูรณ์^{[ 18 ] [ 19 ] [ 24 ]}การอภิปรายที่กำลังดำเนินอยู่กล่าวถึง ประเด็น เกจและว่าความหนาแน่นของเฮลิซิตี้เฉพาะที่ที่มีความหมายสามารถกำหนดได้ในความปั่นป่วน ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างอ่อนหรือไม่ ซึ่งนำไปสู่การเสนอการวัดเฉพาะที่ที่ไม่ขึ้นกับเกจและการวินิจฉัยเชิงตัวเลขที่ดีขึ้น^{[ 25 ]}ในทฤษฎีไดนาโมการอนุรักษ์เฮลิซิตี้แม่เหล็กจำกัดการเติบโตของสนามขนาดใหญ่ การวิจัยเกี่ยวกับฟลักซ์เฮลิซิตี้และขอบเขตเปิดชี้ให้เห็นว่าฟลักซ์ดังกล่าวสามารถผ่อนคลายข้อจำกัดเหล่านี้ได้ ซึ่งเป็นมุมมองที่พัฒนาขึ้นในการสร้างแบบจำลองไดนาโมทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}

โดยทั่วไป เฮลิซิตี้ของสนามเวกเตอร์ เรียบ ที่จำกัดอยู่ในปริมาตรคือการวัดขอบเขตที่เส้นสนามพันและม้วนรอบกันและกัน^{[ 29 ] [ 2 ]}มันถูกนิยามว่าเป็นปริมาตร อินทิกรัลเหนือผลคูณสเกลาร์ของ และ เคิร์ลของมัน:${\displaystyle H^{\mathbf {f} }}$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {f} }}$$${\displaystyle H^{\mathbf {f} }=\int _{V}{\mathbf {f} }\cdot \left(\nabla \times {\mathbf {f} }\right)\ dV.}$$

เฮลิซิตี้แม่เหล็กคือเฮลิซิตี้ของศักยภาพเวกเตอร์แม่เหล็กโดยที่คือสนามแม่เหล็ก ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งจำกัดอยู่ในปริมาตรเฮลิซิตี้แม่เหล็กสามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 5 ]}${\displaystyle H^{\mathbf {M} }}$${\displaystyle {\mathbf {A} }}$${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle H^{\mathbf {M} }=\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV.}$$

เนื่องจากศักยภาพเวกเตอร์แม่เหล็กไม่คงที่ภายใต้การแปลงเกจเฮลิซิตี้แม่เหล็กจึงขึ้นอยู่กับเกจโดยทั่วไป ผลที่ตามมาคือ เฮลิซิตี้แม่เหล็กของระบบทางกายภาพไม่สามารถวัดได้โดยตรง ภายใต้เงื่อนไขบางประการ เราสามารถวัดเฮลิซิตี้ปัจจุบันของระบบได้ และเมื่อเงื่อนไขเพิ่มเติมครบถ้วนแล้ว ก็สามารถอนุมานเฮลิซิตี้แม่เหล็กได้^{[ 30 ]}

เฮลิซิตี้แม่เหล็กมีหน่วยเป็นกำลังสองของฟลักซ์แม่เหล็ก : Wb ² ( เวเบอร์กำลังสอง) ในหน่วย SIและ Mx ² ( แม็กซ์เวลล์กำลังสอง) ในหน่วยเกาส์เซียน^{[ 31 ]}

เฮลิซิตี้ปัจจุบัน หรือเฮลิซิตี้ของสนามแม่เหล็กที่ถูกจำกัดอยู่ในปริมาตรสามารถแสดงได้เป็น โดย ที่คือความหนาแน่นของกระแส^{[ 32 ]} ต่างจากเฮลิซิตี้แม่เหล็ก เฮลิซิตี้ของกระแสไม่ใช่ค่าคงที่ในอุดมคติ มัน จะไม่ถูกอนุรักษ์ไว้แม้ว่าความต้านทานไฟฟ้าจะเป็นศูนย์ก็ตาม ${\displaystyle H^{\mathbf {J} }}$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle V}$$${\displaystyle H^{\mathbf {J} }=\int _{V}{\mathbf {B} }\cdot {\mathbf {J} }\ dV}$$${\displaystyle {\mathbf {J} }=\nabla \times {\mathbf {B} }}$

เฮลิซิตี้แม่เหล็กเป็นปริมาณที่ขึ้นอยู่กับเกจ เนื่องจากสามารถกำหนดใหม่ได้โดยการเพิ่มเกรเดียนต์เข้าไป ซึ่งเป็นการเปลี่ยนเกจ อย่างไรก็ตาม สำหรับขอบเขตที่เป็นตัวนำไฟฟ้าอย่างสมบูรณ์หรือระบบเป็นคาบโดยไม่มีฟลักซ์แม่เหล็กสุทธิ เฮลิซิตี้แม่เหล็กที่อยู่ในโดเมนทั้งหมดจะไม่ขึ้นอยู่กับเกจ^{[ 32 ]}กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกเกจ เฮลิซิตี้สัมพัทธ์ที่ไม่ขึ้นอยู่กับเกจได้รับการกำหนดสำหรับปริมาตรที่มีฟลักซ์แม่เหล็กที่ไม่เป็นศูนย์บนพื้นผิวขอบเขต^{[ 11 ]}${\displaystyle \mathbf {A} }$

คำว่า เฮลิซิตี้ สะท้อนให้เห็นว่า วิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคของไหลในของไหลที่มีความเร็วและความหมุนวนนั้นก่อให้เกิดรูปทรงเกลียวในบริเวณที่มีค่าเฮลิซิตี้จลน์ ต่ำ เมื่อ เฮลิซิตี้จลน์ต่ำ เกลียวที่เกิดขึ้นจะเป็นเกลียวขวา เมื่อเฮลิซิตี้จลน์ต่ำ จะเป็นเกลียวซ้าย พฤติกรรมนี้คล้ายคลึงกับพฤติกรรมของเส้นสนามแม่เหล็กอย่างมาก ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle \textstyle H^{K}=\int \mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}dV\neq 0}$${\displaystyle \textstyle H^{K}>0}$${\displaystyle \textstyle H^{K}<0}$

บริเวณที่เฮลิซิตี้แม่เหล็กไม่เป็นศูนย์อาจมีโครงสร้างแม่เหล็กประเภทอื่น ๆ เช่น เส้นสนามแม่เหล็กแบบเกลียว เฮลิซิตี้แม่เหล็กเป็นการขยายแนวคิดเชิงโทโพโลยีของจำนวนการเชื่อมโยงไปยังปริมาณเชิงอนุพันธ์ที่จำเป็นในการอธิบายสนามแม่เหล็ก^{[ 11 ]}โดยที่จำนวนการเชื่อมโยงอธิบายว่าเส้นโค้งเชื่อมโยงกันกี่ครั้ง เฮลิซิตี้แม่เหล็กจะอธิบายว่าเส้นสนามแม่เหล็กเชื่อมโยงกันกี่เส้น^{[ 5 ]}

เฮลิซิตี้แม่เหล็กเป็นสัดส่วนกับผลรวมของปริมาณทางโทโพโลยี ได้แก่ การบิดและการคืบสำหรับเส้นสนามแม่เหล็ก การบิดคือการหมุนของท่อฟลักซ์รอบแกนของมัน และการคืบคือการหมุนของแกนท่อฟลักซ์เอง การแปลงทางโทโพโลยีสามารถเปลี่ยนแปลงการบิดและการคืบได้ทีละอย่าง แต่จะรักษาผลรวมของมันไว้ เนื่องจากท่อฟลักซ์แม่เหล็ก ซึ่งเป็นกลุ่มของวง เส้นสนามแม่เหล็กปิดมีแนวโน้มที่จะไม่ตัดกันในของไหลแม่เหล็กไฟฟ้า เฮลิซิตี้แม่เหล็กจึงได้รับการอนุรักษ์ไว้อย่างดี

เฮลิซิตี้แม่เหล็กมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเฮลิซิตี้กลศาสตร์ของไหลซึ่งเป็นปริมาณที่สอดคล้องกันสำหรับเส้นการไหลของของไหล และพลวัตของพวกมันเชื่อมโยงกัน^{[ 10 ] [ 33 ]}

ในช่วงปลายทศวรรษ 1950 Lodewijk WoltjerและWalter M. Elsässerค้นพบความไม่แปรเปลี่ยนในอุดมคติของเฮลิซิตี้แม่เหล็ก โดยอิสระ ^{[ 34 ] [ 35 ]}นั่นคือการอนุรักษ์เมื่อความต้านทานเป็นศูนย์ ต่อไปนี้เป็นโครงร่างการพิสูจน์ของ Woltjer สำหรับระบบปิด

ใน พลศาสตร์ แม่เหล็กไฟฟ้าในอุดมคติการเปลี่ยนแปลงตามเวลาของสนามแม่เหล็กและศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กสามารถแสดงได้โดยใช้ สม การการเหนี่ยวนำดังนี้ ตาม ลำดับ โดยที่เป็นศักย์สเกลาร์ที่กำหนดโดยเงื่อนไขเกจ ดูการพิจารณาเกจการเลือกเกจเพื่อให้ศักย์สเกลาร์เป็นศูนย์การเปลี่ยนแปลงตามเวลาของเฮลิซิตี้แม่เหล็กในปริมาตรหนึ่งๆจะกำหนดโดย: ผลคูณดอทในตัวอินทิกรัลของพจน์แรกเป็นศูนย์เนื่องจากตั้งฉากกับผลคูณไขว้พจน์ที่สองสามารถอินทิเกรตโดยส่วนเพื่อให้ได้ โดยที่พจน์ที่สองเป็นอินทิกรัลพื้นผิวเหนือพื้นผิวขอบของระบบปิด ผลคูณดอทในตัวอินทิกรัลของพจน์แรกเป็นศูนย์เนื่องจากตั้งฉากกับพจน์ที่สองก็เป็นศูนย์เช่นกันเพราะการเคลื่อนที่ภายในระบบปิดไม่มีผลต่อศักย์เวกเตอร์ภายนอก ดังนั้นที่พื้นผิวขอบเนื่องจากศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้น และเฮลิซิตี้แม่เหล็กจึงได้รับการอนุรักษ์ในอุดมคติ ในทุกสถานการณ์ที่เฮลิซิตี้แม่เหล็กไม่แปรเปลี่ยนภายใต้เกจ เฮลิซิตี้แม่เหล็กจะได้รับการอนุรักษ์ในอุดมคติโดยไม่จำเป็นต้องเลือกเกจเฉพาะ$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=\nabla \times ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }),\quad {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}={\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }+\nabla \Phi ,}$$${\displaystyle \nabla \Phi }$${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} }$${\displaystyle V}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}&=\int _{V}\left({\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\cdot {\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\right)dV\\&=\int _{V}({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} })\cdot {\mathbf {B} }\ dV+\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot \left(\nabla \times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)dV.\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\mathbf {B} }}$${\displaystyle {\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }}$$${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=\int _{V}\left(\nabla \times {\mathbf {A} }\right)\cdot {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\ dV+\int _{\partial V}\left({\mathbf {A} }\times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {S} }$$${\displaystyle \partial V}$${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t.}$${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t=\mathbf {0} }$$${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=0,}$$${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} .}$

เฮลิซิตี้แม่เหล็กยังคงได้รับการอนุรักษ์ไว้โดยประมาณที่ดีแม้จะมีความต้านทานเล็กน้อยแต่มีค่าจำกัด ในกรณีนั้นการเชื่อมต่อแม่เหล็กจะกระจายพลังงาน^{[ 11 ] [ 5 ]}

โครงสร้างเกลียวขนาดเล็กมีแนวโน้มที่จะสร้างโครงสร้างแม่เหล็กขนาดใหญ่ขึ้น สิ่งนี้เรียกว่าการถ่ายโอนผกผันในปริภูมิฟูริเยร์ ซึ่งตรงข้ามกับการถ่ายทอดพลังงาน โดยตรง ในการไหลของไฮโดรไดนามิกแบบปั่นป่วนสามมิติ ความเป็นไปได้ของการถ่ายโอนผกผันดังกล่าวได้รับการเสนอครั้งแรกโดยUriel Frischและผู้ร่วมงาน^{[ 10 ]}และได้รับการตรวจสอบผ่านการทดลองเชิงตัวเลขหลายครั้ง^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}ด้วยเหตุนี้ การมีอยู่ของเฮลิซิตี้แม่เหล็กจึงเป็นคำอธิบายที่เป็นไปได้สำหรับการดำรงอยู่และการรักษาโครงสร้างแม่เหล็กขนาดใหญ่ในจักรวาล

ข้อโต้แย้งต่อไปนี้สำหรับการถ่ายโอนผกผันเป็นไปตาม Frisch et al. ^{[ 10 ]}โดยอิงจาก "เงื่อนไขความสามารถในการทำให้เป็นจริง" สำหรับสเปกตรัมฟูริเยร์ของเฮลิซิตี้แม่เหล็กโดยที่คือสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่เวกเตอร์คลื่นของสนามแม่เหล็กและในทำนองเดียวกันสำหรับ โดยที่ เครื่องหมายดอกจัน แสดงถึงค่าสังยุคเชิงซ้อนเงื่อนไขความสามารถในการทำให้เป็นจริงเป็นการประยุกต์ใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy–Schwarzและให้ผลลัพธ์ เป็นสเปกตรัมพลังงานแม่เหล็ก เพื่อให้ได้ความไม่เท่าเทียมกันนี้ ให้ใช้ความสัมพันธ์โดยที่ส่วนโซเลนอยด์ของศักยภาพเวกเตอร์แม่เหล็กที่แปลงฟูริเยร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์คลื่น เนื่องจากปัจจัย 2 ไม่ปรากฏใน Frisch et al. ^{[ 10 ]}เพราะเฮลิซิตี้แม่เหล็กถูกกำหนดไว้ในนั้นเป็น ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}={\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\mathbf {B} }}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}}$$${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}\right|\leq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|{\mathbf {k} }|}},}$$${\textstyle E_{\mathbf {k} }^{M}={\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle |{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }|=|{\mathbf {k} }||{\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }|}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }=i{\mathbf {k} }\times {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV}$

พิจารณาสถานะเริ่มต้นที่ไม่มีสนามความเร็วและมีสนามแม่เหล็กปรากฏอยู่เฉพาะที่เวกเตอร์คลื่นสองตัวคือ และสมมติว่าสนามแม่เหล็กเป็นแบบเฮลิซิตี้สมบูรณ์ที่ทำให้เงื่อนไขการเกิดขึ้นเป็นไปได้อิ่มตัวและถ้าพลังงานและเฮลิซิตี้แม่เหล็กทั้งหมดถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์คลื่นอื่นการอนุรักษ์เฮลิซิตี้แม่เหล็กและพลังงานรวม ซึ่งเป็นผลรวมของพลังงานแม่เหล็กและพลังงานจลน์ จะได้ ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {p} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|{\mathbf {p} }|}}}$${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {q} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|{\mathbf {q} }|}}}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle E^{T}=E^{M}+E^{K}}$$${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M},}$$$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{T}+E_{\mathbf {q} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}.}$$

เนื่องจากสถานะเริ่มต้นไม่มีพลังงานจลน์ จึงสรุปได้ว่าถ้าหากเป็น แล้วซึ่ง จะขัดกับเงื่อนไขความเป็นไปได้ ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับเฮลิซิตี้แม่เหล็กจะถูกถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์คลื่นที่เล็กลง ซึ่งสอดคล้องกับมาตราส่วนเชิงพื้นที่ที่ใหญ่ขึ้น ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$${\displaystyle |\mathbf {k} |>\max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$$${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M}={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{\frac {2\left(E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}\right)}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|\mathbf {k} |}},}$$${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$${\displaystyle |{\mathbf {p} }|=|{\mathbf {q} }|}$

• ทฤษฎีบทของวอลต์เจอร์

• หน้าHelicityของ AA Pevtsov
• หน้าผลงานตีพิมพ์ของมิทช์ เบอร์เกอร์