เฮลิซิตี้แม่เหล็ก${\displaystyle H^{\mathbf {M} }}$คือเฮลิซิตี้ของศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ที่ไหน${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$สนามแม่เหล็กที่เกี่ยวข้องนั้นถูกจำกัดอยู่ในปริมาตรหนึ่งหรือไม่${\displaystyle V}$เฮลิซิตี้แม่เหล็กสามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 5 ]}$${\displaystyle H^{\mathbf {M} }=\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV.}$$

เนื่องจากศักยภาพเวกเตอร์แม่เหล็กไม่คงที่ภายใต้การแปลงเกจเฮลิซิตี้แม่เหล็กจึงขึ้นอยู่กับเกจโดยทั่วไป ผลที่ตามมาคือ เฮลิซิตี้แม่เหล็กของระบบทางกายภาพไม่สามารถวัดได้โดยตรง ภายใต้เงื่อนไขบางประการ เราสามารถวัดเฮลิซิตี้ปัจจุบันของระบบได้ และเมื่อเงื่อนไขเพิ่มเติมครบถ้วนแล้ว ก็สามารถอนุมานเฮลิซิตี้แม่เหล็กได้^{[ 30 ]}

เฮลิซิตี้แม่เหล็กมีหน่วยเป็นกำลังสองของฟลักซ์แม่เหล็ก : Wb ² ( เวเบอร์กำลังสอง) ในหน่วย SIและ Mx ² ( แม็กซ์เวลล์กำลังสอง) ในหน่วยเกาส์เซียน^{[ 31 ]}

ค่าเฮลิซิตี้ปัจจุบัน หรือเฮลิซิตี้${\displaystyle H^{\mathbf {J} }}$ของสนามแม่เหล็ก${\displaystyle \mathbf {B} }$จำกัดอยู่ในปริมาตร${\displaystyle V}$สามารถแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle H^{\mathbf {J} }=\int _{V}{\mathbf {B} }\cdot {\mathbf {J} }\ dV}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\mathbf {J} }=\nabla \times {\mathbf {B} }}$คือความหนาแน่นกระแส^{[ 32 ]}ต่างจากเฮลิซิตี้แม่เหล็ก เฮลิซิตี้กระแสไม่ใช่ค่าคงที่ในอุดมคติ มันจะไม่ถูกอนุรักษ์ไว้แม้ว่าความต้านทานไฟฟ้าจะเป็นศูนย์ก็ตาม

ในช่วงปลายทศวรรษ 1950 Lodewijk WoltjerและWalter M. Elsässerค้นพบความไม่แปรเปลี่ยนในอุดมคติของเฮลิซิตี้แม่เหล็ก โดยอิสระ ^{[ 34 ] [ 35 ]}นั่นคือการอนุรักษ์เมื่อความต้านทานเป็นศูนย์ ต่อไปนี้เป็นโครงร่างการพิสูจน์ของ Woltjer สำหรับระบบปิด

ใน พลศาสตร์ แม่เหล็กไฟฟ้าในอุดมคติการเปลี่ยนแปลงตามเวลาของสนามแม่เหล็กและศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กสามารถแสดงได้โดยใช้สมการการเหนี่ยวนำดังนี้ $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=\nabla \times ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }),\quad {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}={\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }+\nabla \Phi ,}$$ ตามลำดับ โดยที่${\displaystyle \nabla \Phi }$เป็นศักย์สเกลาร์ที่กำหนดโดยเงื่อนไขเกจ ดูหัวข้อ การพิจารณาเกจการเลือกเกจเพื่อให้ศักย์สเกลาร์เป็นศูนย์${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} }$การเปลี่ยนแปลงของเฮลิซิตี้แม่เหล็กในปริมาตรตามเวลา${\displaystyle V}$กำหนดโดย: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}&=\int _{V}\left({\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\cdot {\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\right)dV\\&=\int _{V}({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} })\cdot {\mathbf {B} }\ dV+\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot \left(\nabla \times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)dV.\end{aligned}}}$$ ผลคูณดอทของตัวถูกอินทิเกรตในพจน์แรกเป็นศูนย์ เนื่องจาก${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ตั้งฉากกับผลคูณไขว้${\displaystyle {\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }}$พจน์ที่สองสามารถอินทิเกรตได้ทีละส่วนเพื่อให้ได้ $${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=\int _{V}\left(\nabla \times {\mathbf {A} }\right)\cdot {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\ dV+\int _{\partial V}\left({\mathbf {A} }\times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {S} }$$ โดยที่พจน์ที่สองคือปริพันธ์พื้นผิวเหนือพื้นผิวขอบเขต${\displaystyle \partial V}$ของระบบปิด ผลคูณดอทในตัวอินทิกรัลของพจน์แรกเป็นศูนย์เพราะ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$ตั้งฉากกับ${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t.}$พจน์ที่สองก็หายไปเช่นกัน เพราะการเคลื่อนที่ภายในระบบปิดไม่มีผลต่อศักย์เวกเตอร์ภายนอก ดังนั้นที่พื้นผิวขอบเขต${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t=\mathbf {0} }$เนื่องจากศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้น $${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=0,}$$ และเฮลิซิตี้แม่เหล็กจะถูกอนุรักษ์ไว้ในอุดมคติ ในทุกสถานการณ์ที่เฮลิซิตี้แม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจ เฮลิซิตี้แม่เหล็กจะถูกอนุรักษ์ไว้ในอุดมคติโดยไม่จำเป็นต้องเลือกเกจเฉพาะเจาะจง${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} .}$

เฮลิซิตี้แม่เหล็กยังคงได้รับการอนุรักษ์ไว้โดยประมาณที่ดีแม้จะมีความต้านทานเล็กน้อยแต่มีค่าจำกัด ในกรณีนั้นการเชื่อมต่อแม่เหล็กจะกระจายพลังงาน^{[ 11 ] [ 5 ]}

โครงสร้างเกลียวขนาดเล็กมีแนวโน้มที่จะสร้างโครงสร้างแม่เหล็กขนาดใหญ่ขึ้น สิ่งนี้เรียกว่าการถ่ายโอนผกผันในปริภูมิฟูริเยร์ ซึ่งตรงข้ามกับการถ่ายทอดพลังงาน โดยตรง ในการไหลของไฮโดรไดนามิกแบบปั่นป่วนสามมิติ ความเป็นไปได้ของการถ่ายโอนผกผันดังกล่าวได้รับการเสนอครั้งแรกโดยUriel Frischและผู้ร่วมงาน^{[ 10 ]}และได้รับการตรวจสอบผ่านการทดลองเชิงตัวเลขหลายครั้ง^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}ด้วยเหตุนี้ การมีอยู่ของเฮลิซิตี้แม่เหล็กจึงเป็นคำอธิบายที่เป็นไปได้สำหรับการดำรงอยู่และการรักษาโครงสร้างแม่เหล็กขนาดใหญ่ในจักรวาล

ข้อโต้แย้งต่อไปนี้สำหรับการถ่ายโอนผกผันเป็นไปตาม Frisch et al. ^{[ 10 ]}โดยอิงจาก "เงื่อนไขความสามารถในการรับรู้" สำหรับสเปกตรัมฟูริเยร์ของเฮลิซิตี้แม่เหล็ก${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}={\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ที่ไหน${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$คือค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่เวกเตอร์คลื่น${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ของสนามแม่เหล็ก${\displaystyle {\mathbf {B} }}$และในทำนองเดียวกันสำหรับ${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}}$โดยที่เครื่องหมายดอกจันหมายถึงค่าสังยุคเชิงซ้อนเงื่อนไขความเป็นไปได้คือการประยุกต์ใช้ความไม่เท่าเทียมกันของโคชี-ชวาร์ซและให้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}\right|\leq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|{\mathbf {k} }|}},}$$ กับ${\textstyle E_{\mathbf {k} }^{M}={\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$สเปกตรัมพลังงานแม่เหล็ก เพื่อให้ได้อสมการนี้ ให้ใช้ความสัมพันธ์${\displaystyle |{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }|=|{\mathbf {k} }||{\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }|}$, กับ${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }}$ส่วนโซเลนอยด์ของศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กที่แปลงฟูริเยร์แล้วตั้งฉากกับเวกเตอร์คลื่น เนื่องจาก${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }=i{\mathbf {k} }\times {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }}$ปัจจัย 2 ไม่ปรากฏใน Frisch et al. ^{[ 10 ]}เนื่องจากเฮลิซิตี้แม่เหล็กถูกกำหนดไว้ที่นั่นเป็น${\textstyle {\frac {1}{2}}\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV}$.

พิจารณาสถานะเริ่มต้นที่ไม่มีสนามความเร็วและมีสนามแม่เหล็กปรากฏอยู่เฉพาะที่เวกเตอร์คลื่นสองตำแหน่งเท่านั้น${\displaystyle \mathbf {p} }$และ${\displaystyle \mathbf {q} }$สมมติว่าสนามแม่เหล็กเป็นแบบเกลียวสมบูรณ์ซึ่งทำให้เงื่อนไขความเป็นไปได้นั้นถึงจุดอิ่มตัว${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {p} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|{\mathbf {p} }|}}}$และ${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {q} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|{\mathbf {q} }|}}}$หากพลังงานและเฮลิซิตี้แม่เหล็กทั้งหมดถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์คลื่นอื่น${\displaystyle \mathbf {k} }$การอนุรักษ์เฮลิซิตี้แม่เหล็กและพลังงานรวม${\displaystyle E^{T}=E^{M}+E^{K}}$ผลรวมของพลังงานแม่เหล็กและพลังงานจลน์ จะได้ว่า $${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M},}$$$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{T}+E_{\mathbf {q} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}.}$$

เนื่องจากสถานะเริ่มต้นไม่มีพลังงานจลน์ จึงสรุปได้ว่า${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$ถ้าหากว่าแทนที่จะเป็นเช่นนั้น${\displaystyle |\mathbf {k} |>\max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$, แล้ว $${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M}={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{\frac {2\left(E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}\right)}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|\mathbf {k} |}},}$$ ซึ่งจะขัดกับเงื่อนไขความเป็นไปได้ ดังนั้น${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ${\displaystyle |{\mathbf {p} }|=|{\mathbf {q} }|}$โดยที่ทิศทางของสนามแม่เหล็กจะถูกถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์คลื่นที่มีขนาดเล็กกว่า ซึ่งสอดคล้องกับขนาดเชิงพื้นที่ที่ใหญ่กว่า