ในทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์การย้อนกลับของเวลาคือคุณสมบัติของกระบวนการที่กฎเกณฑ์ควบคุมยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อทิศทางของลำดับการกระทำถูกกลับ ทิศทาง

กระบวนการเชิงกำหนด (deterministic process)จะย้อนกลับได้เมื่อเวลาเปลี่ยนไป หากกระบวนการที่ย้อนกลับแล้วนั้นสอดคล้องกับสมการพลวัต เดียวกัน กับกระบวนการดั้งเดิม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สมการเหล่านั้นไม่เปลี่ยนแปลงหรือสมมาตรภายใต้การเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของเวลา ส่วนกระบวนการเชิงสุ่ม (stochastic process)จะย้อนกลับได้ก็ต่อเมื่อคุณสมบัติทางสถิติของกระบวนการนั้นเหมือนกับคุณสมบัติทางสถิติของข้อมูลที่ย้อนกลับแล้วจากกระบวนการเดียวกัน

ในทางคณิตศาสตร์ระบบพลวัตจะเรียกว่าสามารถย้อนกลับได้ตามเวลา หากการวิวัฒนาการไปข้างหน้าเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกล่าวคือ สำหรับทุกสถานะ จะมีการแปลง ( การผกผัน ) π ซึ่งให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างการวิวัฒนาการย้อนกลับตามเวลาของสถานะหนึ่งกับการวิวัฒนาการไปข้างหน้าตามเวลาของอีกสถานะหนึ่งที่สอดคล้องกัน โดยกำหนดโดยสมการตัวดำเนินการ:

${\displaystyle U_{-t}=\pi \,U_{t}\,\pi }$

ดังนั้น โครงสร้างใดๆ ที่ไม่ขึ้นกับเวลา (เช่นจุดวิกฤตหรือตัวดึงดูด ) ซึ่งเกิดจากพลวัต จะต้องสมมาตรในตัวเอง หรือมีภาพสมมาตรภายใต้การผกผัน π

ในทางฟิสิกส์กฎการเคลื่อนที่ของกลศาสตร์คลาสสิกแสดงให้เห็นถึงความสามารถในการย้อนกลับของเวลา ตราบใดที่ตัวดำเนินการ π กลับทิศทางโมเมนตัมคู่ควบของอนุภาคทั้งหมดในระบบ กล่าวคือ( สมมาตร T ) ${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {-p} }$

อย่างไรก็ตามใน ระบบ กลศาสตร์ควอนตัมแรงนิวเคลียร์อ่อนไม่ได้คงที่ภายใต้สมมาตร T เพียงอย่างเดียว หากมีปฏิสัมพันธ์อ่อนอยู่ การเปลี่ยนแปลงแบบย้อนกลับได้ก็ยังคงเป็นไปได้ แต่เฉพาะในกรณีที่ตัวดำเนินการ π เปลี่ยนเครื่องหมายของประจุ ทั้งหมด และพาริตีของพิกัดเชิงพื้นที่ด้วย ( สมมาตร Cและสมมาตร P ) ความสามารถในการย้อนกลับของสมบัติที่เชื่อมโยงกันหลายประการนี้เรียกว่าสมมาตร CPT

กระบวนการทางเทอร์โมไดนามิกอาจผันกลับได้หรือผันกลับไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของเอนโทรปีในระหว่างกระบวนการ อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่ากฎพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังกระบวนการทางเทอร์โมไดนามิกนั้นสามารถผันกลับได้ตามเวลา (กฎการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกและกฎของอิเล็กโทรไดนามิก) ^{[ 1 ]}ซึ่งหมายความว่าในระดับจุลภาค หากเราติดตามอนุภาคทั้งหมดและระดับความเป็นอิสระทั้งหมด กระบวนการของระบบหลายอนุภาคจะผันกลับได้ทั้งหมด อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์ดังกล่าวเกินความสามารถของมนุษย์ (หรือปัญญาประดิษฐ์ ) และคุณสมบัติระดับมหภาค (เช่น เอนโทรปีและอุณหภูมิ) ของระบบหลายอนุภาคจะถูกกำหนดจากสถิติของกลุ่ม เท่านั้น เมื่อเราพูดถึงคุณสมบัติระดับมหภาคดังกล่าวในเทอร์โมไดนามิก ในบางกรณี เราสามารถเห็นความไม่สามารถผันกลับได้ในการวิวัฒนาการของปริมาณเหล่านี้ตามเวลาในระดับสถิติ อันที่จริงกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์ระบุว่า เอนโทรปีของเอกภพทั้งหมดจะต้องไม่ลดลง ไม่ใช่เพราะความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเป็นศูนย์ แต่เพราะมันมีโอกาสน้อยมากจนเป็นไปไม่ได้ในทางสถิติเมื่อพิจารณาจากปัจจัยในทางปฏิบัติทั้งหมด (ดูทฤษฎีบทความผันผวนของครูกส์ )

กระบวนการสุ่มสามารถย้อนกลับได้ตามเวลา หากความน่าจะเป็นร่วมของลำดับสถานะไปข้างหน้าและย้อนกลับเหมือนกันสำหรับทุกชุดของช่วงเวลา {  τ _s  } สำหรับs = 1, ...,  kสำหรับk ใดๆ : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle p(x_{t},x_{t+\tau _{1}},x_{t+\tau _{2}},\ldots ,x_{t+\tau _{k}})=p(x_{t'},x_{t'-\tau _{1}},x_{t'-\tau _{2}},\ldots ,x_{t'-\tau _{k}})}$.

กระบวนการเกาส์เซียนแบบสถิตตัวแปรเดียวสามารถย้อนกลับได้ตามเวลากระบวนการมาร์คอฟสามารถย้อนกลับได้ก็ต่อเมื่อการแจกแจงแบบสถิตของกระบวนการเหล่านั้นมีคุณสมบัติสมดุลโดยละเอียดเท่านั้น

${\displaystyle p(x_{t}=i,x_{t+1}=j)=\,p(x_{t}=j,x_{t+1}=i)}$.

เกณฑ์ของ Kolmogorovกำหนดเงื่อนไขสำหรับห่วงโซ่ Markovหรือห่วงโซ่ Markov แบบต่อเนื่องที่จะสามารถย้อนกลับเวลาได้

การย้อนเวลาของกระบวนการสุ่มหลายประเภทได้รับการศึกษาแล้ว รวมถึง^{กระบวนการ} Lévy [ ^{3 ]}เครือข่ายสุ่ม ( ทฤษฎีบทของ Kelly ) ^{[ 4 ]}กระบวนการเกิดและตาย^[ 5 ^{] โซ่} Markov [ ^{6 ] และ}กระบวนการMarkov แบบกำหนดเป็นช่วง^{[ 7 ]}

วิธีการย้อนเวลาทำงานโดยอาศัยความสัมพันธ์เชิงเส้นของสมการคลื่นซึ่งระบุว่าคำตอบที่ย้อนเวลาของสมการคลื่นก็เป็นคำตอบของสมการคลื่น เช่นกัน เนื่องจากสมการคลื่นมาตรฐานมีเพียงอนุพันธ์คู่ของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเท่านั้น^{[ 8 ]}ดังนั้นสมการคลื่นจึงสมมาตรภายใต้การย้อนเวลา ดังนั้นการย้อนเวลาของคำตอบที่ถูกต้องใดๆ ก็เป็นคำตอบเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นทางของคลื่นผ่านอวกาศนั้นถูกต้องเมื่อเดินทางไปในทิศทางใดก็ได้

การประมวลผลสัญญาณย้อนกลับเวลา^{[ 9 ]}เป็นกระบวนการที่ใช้คุณสมบัตินี้เพื่อย้อนกลับสัญญาณที่ได้รับ จากนั้นสัญญาณนี้จะถูกส่งออกไปอีกครั้งและเกิดการบีบอัดเวลา ส่งผลให้รูปคลื่นกระตุ้นเริ่มต้นถูกเล่นที่แหล่งกำเนิดเริ่มต้นกลับด้าน

• สมมาตรที
• ความจำเสื่อม
• คุณสมบัติของมาร์คอฟ
• การคำนวณแบบย้อนกลับได้