ในกลศาสตร์ต่อเนื่องเทนเซอร์อัตราความเครียดหรือเทนเซอร์อัตราความเครียดเป็นปริมาณทางกายภาพที่อธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเครียด (เช่น การเสียรูป สัมพัทธ์ ) ของวัสดุในบริเวณใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่ง ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง สามารถกำหนดได้ว่าเป็นอนุพันธ์ของเทนเซอร์ความเครียดเทียบกับเวลา หรือเป็นส่วนประกอบสมมาตรของเมทริกซ์จาโคเบียน (อนุพันธ์เทียบกับตำแหน่ง) ของความเร็วการไหลในกลศาสตร์ของไหลยังสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเกรเดียนต์ความเร็วซึ่งเป็นการวัดว่าความเร็วของของไหลเปลี่ยนแปลงอย่างไรระหว่างจุดต่างๆ ภายในของไหล^{[ 1 ]}แม้ว่าคำนี้อาจหมายถึงโปรไฟล์ความเร็ว (การเปลี่ยนแปลงความเร็วข้ามชั้นของการไหลในท่อ) ^{[ 2 ]}แต่มักใช้เพื่อหมายถึงเกรเดียนต์ของความเร็วการไหลเทียบกับพิกัด ของ มัน^{[ 3 ]}แนวคิดนี้มีนัยสำคัญในหลากหลายสาขาของฟิสิกส์และวิศวกรรมรวมถึงแม่เหล็กไฟฟ้าพลศาสตร์การทำเหมือง และการบำบัดน้ำ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

เทนเซอร์อัตราความเครียดเป็น แนวคิด ทางจลนศาสตร์ ล้วนๆ ที่อธิบาย การเคลื่อนที่ ระดับมหภาคของวัสดุ ดังนั้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะของวัสดุ หรือแรงและความเค้นที่อาจกระทำต่อวัสดุนั้น และสามารถใช้ได้กับตัวกลางต่อเนื่องใดๆไม่ ว่าจะเป็นของแข็งของเหลวหรือก๊าซ

ในทางกลับกัน สำหรับของไหล ใดๆ ยกเว้นของไหลยิ่งยวดการเปลี่ยนแปลงทีละน้อยในรูปทรงของมัน (เช่น เทนเซอร์อัตราความเครียดที่ไม่เป็นศูนย์) จะก่อให้เกิดแรงหนืดภายใน เนื่องมาจากแรงเสียดทานระหว่างอนุภาคของไหล ที่อยู่ติดกัน ซึ่งมีแนวโน้มที่จะต้านการเปลี่ยนแปลงนั้น ณ จุดใดๆ ในของไหล แรงเค้นเหล่านี้สามารถอธิบายได้ด้วยเทนเซอร์แรงเค้นหนืดซึ่งโดยส่วนใหญ่แล้วจะถูกกำหนดโดยเทนเซอร์อัตราความเครียดและคุณสมบัติภายในบางประการของของไหล ณ จุดนั้น แรงเค้นหนืดเกิดขึ้นในของแข็งด้วย นอกเหนือจากแรงเค้นยืดหยุ่นที่สังเกตได้ในการเปลี่ยนรูปสถิต เมื่อแรงเค้นหนืดมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะละเลยได้ วัสดุนั้นจะเรียกว่าวัสดุหนืดยืดหยุ่น

โดยการวิเคราะห์มิติ เราสามารถกำหนดมิติของความชันความเร็วได้ มิติของความเร็วคือและมิติของระยะทางคือเนื่องจากความชันความเร็วสามารถแสดงได้เป็นดังนั้น ความชันความเร็วจึงมีมิติเดียวกับอัตราส่วนนี้ นั่นคือ ${\displaystyle {\mathsf {L^{1}T^{-1}}}}$${\displaystyle {\mathsf {L^{1}}}}$${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{ความเร็ว}}}{\Delta {\text{ระยะทาง}}}}}$${\displaystyle {\mathsf {T^{-1}}}}$

ใน 3 มิติ เกรเดียนต์ของความเร็ว เป็น เทนเซอร์อันดับสองซึ่งสามารถแสดงได้เป็นเมทริกซ์ : สามารถแยกออกเป็นผลรวมของเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์สมมาตรเฉียงดังต่อไปนี้ เรียกว่าเทนเซอร์อัตราความเครียดและอธิบายอัตราการยืดและการเฉือนเรียกว่าเทนเซอร์การหมุนและอธิบายอัตราการหมุน^{[ 7 ]}${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$$${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\ }\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle {\textbf {E}}}$${\displaystyle {\textbf {W}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} +\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\\\mathbf {W} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} -\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\textbf {E}}}$${\displaystyle {\textbf {W}}}$

เซอร์ไอแซค นิวตันเสนอว่าแรงเฉือนเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความชันของความเร็ว: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}.}$$

ค่าคงที่สัดส่วน , , เรียกว่าความหนืดพลวัต ${\displaystyle \mu }$

พิจารณาวัตถุที่เป็นวัสดุ ไม่ว่าจะเป็นของแข็งหรือของเหลว ที่กำลังไหลและ/หรือเคลื่อนที่ในอวกาศ ให้v เป็น สนามความเร็วภายในวัตถุ กล่าวคือ เป็น ฟังก์ชัน เรียบจากR ³ × Rโดยที่v ( p , t )คือ ความเร็ว ระดับมหภาค ของวัสดุ ที่ กำลังผ่านจุดpในเวลาt

ความเร็วv ( p + r , t )ณ จุดที่เคลื่อนที่ออกจากpด้วยเวกเตอร์ขนาดเล็กrสามารถเขียนได้ในรูปอนุกรมเทย์เลอร์ : โดยที่∇ vคือเกรเดียนต์ของสนามความเร็ว ซึ่งเข้าใจได้ว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นที่แปลงเวกเตอร์การกระจัดrไปสู่การเปลี่ยนแปลงความเร็วที่สอดคล้องกัน $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+(\nabla \mathbf {v} )(\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+{\text{higher order terms}},}$$

สนามรวมv ( p + r ) .

ส่วนคงที่v ( p ) .

ส่วนเชิงเส้น(∇ v )( p , t )( r ) .

ค่าตกค้างที่ไม่เป็นเชิงเส้น

ภาพแสดงสนามความเร็วv ( p + r , t )ของการไหลใดๆ รอบจุดp (จุดสีแดง) ณ เวลาt ใดๆ และพจน์ของการประมาณค่าเทย์เลอร์อันดับแรกเกี่ยวกับp โดย ถือว่าองค์ประกอบที่สามของความเร็ว (พุ่งออกจากหน้าจอ) เป็นศูนย์ทุกที่

ในกรอบอ้างอิง ใด ๆ∇vมีความสัมพันธ์กับเมทริกซ์จาโคเบียน_ของสนาม กล่าวคือ ใน 3 มิติ มันคือเมทริกซ์ 3 × 3 โดย ที่viคือส่วนประกอบของvที่ขนานกับแกนiและ∂jfแทนอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันfเทียบกับพิกัดเชิงพื้นที่xjโปรด ทราบ_ว่า J เป็นฟังก์ชันของpและ_t$${\displaystyle \left(\nabla \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}\partial _{1}v_{1}&\partial _{2}v_{1}&\partial _{3}v_{1}\\\partial _{1}v_{2}&\partial _{2}v_{2}&\partial _{3}v_{2}\\\partial _{1}v_{3}&\partial _{2}v_{3}&\partial _{3}v_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} .}$$

ในระบบพิกัดนี้ การประมาณค่าความเร็วใกล้จุดp โดยใช้สูตรของเทย์เลอร์ คือ หรือเพียงแค่ $${\displaystyle v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}J_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}\บางส่วน _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)r_{j};}$$$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {J} (\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} }$$

ถ้า มองว่า vและrเป็นเมทริกซ์ขนาด 3 × 1

ส่วนสมมาตรE ( p , t )( r ) (อัตราความเครียด) ของพจน์เชิงเส้นของการไหลตัวอย่าง

ส่วนที่ไม่สมมาตรR ( p , t )( r ) (การหมุน) ของพจน์เชิงเส้น

เมทริกซ์ใดๆ ก็สามารถแยกออกเป็นผลรวมของเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์ปฏิสมมาตรได้ โดยนำหลักการนี้ไปใช้กับเมทริกซ์จาโคเบียนที่มีส่วนประกอบสมมาตรและปฏิสมมาตรEและRตามลำดับ: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} +\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)&\mathbf {R} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} -\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}+\partial _{i}v_{j}\right)&R_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}\right)\end{aligned}}}$$

การแยกส่วนนี้ไม่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัด ดังนั้นจึงมีความสำคัญทางกายภาพ จากนั้นสนามความเร็วอาจประมาณได้ ดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)\approx \mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}E_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}+\sum _{j}R_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}\\&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)-\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}\end{aligned}}}$$

เทอมปฏิสมมาตรRแสดงถึงการหมุนแบบแข็งของของไหลรอบจุดpความเร็วเชิงมุมของมันคือ ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$$${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}\\\partial _{3}v_{1}-\partial _{1}v_{3}\\\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}\end{bmatrix}}.}$$

ผลคูณ∇ × vเรียกว่าค่าความหมุนของสนามเวกเตอร์ การหมุนแบบแข็งเกร็งไม่เปลี่ยนแปลงตำแหน่งสัมพัทธ์ขององค์ประกอบของไหล ดังนั้นเทอมปฏิสมมาตรRของเกรเดียนต์ความเร็วจึงไม่มีส่วนช่วยในอัตราการเปลี่ยนแปลงของการเสียรูป อัตราความเครียดที่แท้จริงจึงถูกอธิบายโดยเทอมสมมาตรEซึ่งก็คือ เทน เซอร์ อัตราความเครียด

ส่วนทรงกลมS ( p , t )( r ) (อัตราการขยายตัวหรือการบีบอัดที่สม่ำเสมอ) ของเทนเซอร์อัตราความเครียดE ( p , t ) ( r )

ส่วนเบี่ยงเบนD ( p , t )( r ) (อัตราการเฉือน) ของเท นเซอร์อัตราความเครียดE ( p , t )( r )

เทอมสมมาตรE (เทนเซอร์อัตราความเครียด) สามารถแยกย่อยเพิ่มเติมได้เป็นผลรวมของสเกลาร์คูณเทนเซอร์หน่วย ซึ่งแสดงถึงการขยายตัวหรือการหดตัวแบบไอโซโทรปิกทีละน้อย และ เทนเซอร์สมมาตรที่ ไม่มีร่องรอยซึ่งแสดงถึงการเสียรูปเฉือนทีละน้อย โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงปริมาตร: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )=\mathbf {S} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {D} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ).}$$

นั่นคือ $${\displaystyle E_{ij}=\underbrace {{\frac {1}{3}}\left(\sum _{k}\partial _{k}v_{k}\right)\delta _{ij}} _{{\text{rate-of-expansion tensor }}S_{ij}}+\underbrace {\overbrace {{\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}\right)} ^{E_{ij}}-S_{ij}} _{{\text{rate-of-shear tensor }}D_{ij}},}$$

ในที่นี้δคือเทนเซอร์เอกลักษณ์โดยที่δ _ijมีค่าเป็น 1 ถ้าi = jและ 0 ถ้าi ≠ jการแยกส่วนนี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกใช้ระบบพิกัด ดังนั้นจึงมีความสำคัญในเชิงกายภาพ

ร่องรอยของเทนเซอร์อัตราการขยายตัวคือไดเวอร์เจนซ์ของสนามความเร็ว ซึ่งก็คืออัตราที่ปริมาตรของของเหลวปริมาณคงที่เพิ่มขึ้น ณ จุดนั้น $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\partial _{1}v_{1}+\partial _{2}v_{2}+\partial _{3}v_{3};}$$

เทนเซอร์อัตราการเฉือนแสดงด้วยเมทริกซ์สมมาตรขนาด 3 × 3 และอธิบายการไหลที่รวมการไหลแบบอัดและขยายตัวตามแนวแกนตั้งฉากสามแกน โดยที่ปริมาตรไม่เปลี่ยนแปลง การไหลประเภทนี้เกิดขึ้น เช่น เมื่อ แถบ ยางถูกยืดโดยการดึงที่ปลาย หรือเมื่อน้ำผึ้งไหลจากช้อนเป็นสายเรียบต่อเนื่อง

สำหรับการไหลแบบสองมิติ ค่าไดเวอร์เจนซ์ของvมีเพียงสองพจน์และวัดการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่มากกว่าปริมาตร ควรแทนที่ตัวประกอบ 1/3 ในพจน์อัตราการขยายตัวด้วย⁠1/2ในกรณีนั้น

การศึกษาความชันของความเร็วมีประโยชน์ในการวิเคราะห์วัสดุที่ขึ้นอยู่กับเส้นทางและในการศึกษาความเค้นและความเครียดในภายหลัง เช่นการเสียรูปพลาสติกของโลหะ^{[ 3 ]}ความชันของความเร็วใกล้ผนังของสารตั้งต้นที่ยังไม่เผาไหม้ที่ไหลออกจากท่อเป็นพารามิเตอร์สำคัญในการกำหนดลักษณะความเสถียรของเปลวไฟ^{[ 5 ] : 1–3} ความชันของความเร็วของพลาสมาสามารถกำหนดเงื่อนไขสำหรับคำตอบของสมการพื้นฐานในแม่เหล็กไฟฟ้าพลศาสตร์^{[ 4 ]}

พิจารณาสนามความเร็วของของเหลวที่ไหลผ่านท่อชั้นของของเหลวที่สัมผัสกับท่อมีแนวโน้มที่จะหยุดนิ่งเมื่อเทียบกับท่อ นี่เรียกว่าเงื่อนไขไม่ลื่นไถล [ ^{10 ] หาก}ความแตกต่างของความเร็วระหว่างชั้นของของเหลวที่ศูนย์กลางของท่อและที่ด้านข้างของท่อมีขนาดเล็กเพียงพอ การไหลของของเหลวจะถูกสังเกตในรูปแบบของชั้นต่อเนื่อง การไหลประเภทนี้เรียกว่าการไหลแบบลามินาร์

ความ แตกต่าง ของความเร็วการไหลระหว่างชั้นที่อยู่ติดกันสามารถวัดได้ในรูปของความชันความเร็ว ซึ่งกำหนดโดย โดยที่คือความแตกต่างของความเร็วการไหลระหว่างสองชั้น และคือระยะห่างระหว่างชั้น ${\displaystyle \Delta u/\Delta y}$${\displaystyle \Delta u}$${\displaystyle \Delta y}$

• เทนเซอร์ความเครียด (การแยกความหมาย)
• ทฤษฎีความเครียดจำกัด § อนุพันธ์เทียบกับเวลาของเกรเดียนต์การเปลี่ยนรูป เกรเดียนต์ความเร็วเชิงพื้นที่และวัสดุจากกลศาสตร์ต่อเนื่อง