พิกัดเชิงขั้ว ณ ปลายรอยแตก ในกลศาสตร์การแตกหัก ปัจจัยความเค้น ( K ) ใช้ในการทำนาย สถานะ ความเค้น ("ความเค้น") ใกล้ปลายรอยแตก หรือ รอย บาก ที่เกิดจากภาระระยะไกลหรือความเค้นตกค้าง [ 1 ] เป็น ยืดหยุ่น เชิงเส้น และมีประโยชน์ในการกำหนดเกณฑ์ความล้มเหลว สำหรับ วัสดุ เปราะ และเป็นเทคนิคที่สำคัญในสาขาวิชาการทนต่อความเสียหาย แนวคิดนี้ยังสามารถนำไปใช้กับวัสดุที่แสดงการคายตัว ในระดับเล็ก ที่ปลายรอยแตกได้ อีกด้วย
ขนาดของK ขึ้นอยู่กับรูปทรงของชิ้นงาน ขนาดและตำแหน่งของรอยแตกหรือรอยบาก และขนาดและการกระจายของภาระบนวัสดุ สามารถเขียนได้ดังนี้: [ 2 ] [ 3 ]
เค = σ π เอ เอฟ ( เอ / ว ) {\displaystyle K=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,f(a/W)} โดยที่เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตของชิ้นงานทดสอบ โดยขึ้นอยู่กับความยาวรอยแตกa และความกว้างของชิ้นงานทดสอบW และσ คือความเค้นที่กระทำ เอฟ ( เอ / ว ) {\displaystyle f(a/W)}
ทฤษฎี ความยืดหยุ่นเชิงเส้น ทำนายว่าการกระจายความเค้น ( ) ใกล้ปลายรอยแตกในพิกัดเชิงขั้ว ( ) โดยมีจุดกำเนิดอยู่ที่ปลายรอยแตกจะมีรูปแบบ[ 4 ] σ ฉัน เจ {\displaystyle \sigma _{ij}} ร , θ {\displaystyle r,\theta }
σ ฉัน เจ ( ร , θ ) = เค 2 π ร เอฟ ฉัน เจ ( θ ) + ชม. ฉัน จี ชม. อี ร โอ ร ง อี ร ที อี ร ม ส {\displaystyle \sigma _{ij}(r,\theta )={\frac {K}{\sqrt {2\pi r}}}\,f_{ij}(\theta )+\,\,{\rm {higher\,order\,terms}}} โดยที่K คือปัจจัยความเข้มของความเค้น (มีหน่วยเป็นความเค้น × ความยาว1/2 ) และเป็นปริมาณไร้มิติ ที่แปรผันตามภาระและรูปทรงเรขาคณิต ในทางทฤษฎี เมื่อr เข้าใกล้ 0 ความเค้นจะเข้าใกล้ส่งผลให้เกิดภาวะเอกฐานของความเค้น[ 5 ] r น้อย ) เนื่องจาก โดยทั่วไปแล้ว ความเป็นพลาสติก จะเกิดขึ้นที่ความเค้นที่เกิน ความแข็งแรงครา ของวัสดุและวิธีแก้ปัญหาแบบยืดหยุ่นเชิงเส้นจะไม่สามารถใช้ได้อีกต่อไป ถึงกระนั้น หากบริเวณพลาสติกที่ปลายรอยแตกมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความยาวของรอยแตก การกระจายความเค้นเชิงเส้นกำกับใกล้ปลายรอยแตกยังคงใช้ได้ เอฟ ฉัน เจ {\displaystyle f_{ij}} σ ฉัน เจ {\displaystyle \sigma _{ij}} ∞ {\displaystyle \infty }
ปัจจัยความเค้นสำหรับโหมดต่างๆ โหมดการโหลดรอยแตก โหมดที่ 1 โหมดที่ 2 และโหมดที่ 3 ในปี พ.ศ. 2490 G. Irwin พบว่าความเค้นรอบรอยแตกสามารถแสดงได้ในรูปของปัจจัยการปรับขนาดที่เรียกว่าปัจจัยความเข้มของความเค้น เขาพบว่ารอยแตกที่อยู่ภายใต้แรงโหลดใดๆ ก็ตามสามารถแยกออกเป็นโหมดการแตกสามประเภทที่เป็นอิสระเชิงเส้น[ 6 ] แรงดึง ) ที่พื้นผิวรอยแตกเคลื่อนที่ออกจากกันโดยตรง โหมด II คือโหมดการเลื่อน ( แรงเฉือน ในระนาบ ) ที่พื้นผิวรอยแตกเลื่อนไปบนกันและกันในทิศทางตั้งฉากกับขอบนำ ของรอยแตก โหมด III คือโหมดการฉีกขาด ( แรงเฉือนในระนาบตรงข้าม ) ที่พื้นผิวรอยแตกเคลื่อนที่สัมพันธ์กันและขนานกับขอบนำของรอยแตก โหมด I เป็นประเภทของแรงโหลดที่พบได้บ่อยที่สุดในการออกแบบทางวิศวกรรม
มีการใช้ดัชนีย่อยที่แตกต่างกันเพื่อกำหนดปัจจัยความเค้นสำหรับโหมดทั้งสามที่แตกต่างกัน ปัจจัยความเค้นสำหรับโหมด I ถูกกำหนดและนำไปใช้กับโหมดการเปิดรอยแตก ปัจจัยความเค้นของโหมด II ใช้กับโหมดการเลื่อนของรอยแตก และปัจจัยความเค้นของโหมด III ใช้กับโหมดการฉีกขาด ปัจจัยเหล่านี้ได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการดังนี้: [ 7 ] เค ฉัน {\displaystyle K_{\rm {I}}} เค ฉัน ฉัน {\displaystyle K_{\rm {II}}} เค ฉัน ฉัน ฉัน {\displaystyle K_{\rm {III}}}
เค ฉัน = ลิม ร → 0 2 π ร σ y y ( ร , 0 ) เค ฉัน ฉัน = ลิม ร → 0 2 π ร σ y x ( ร , 0 ) เค ฉัน ฉัน ฉัน = ลิม ร → 0 2 π ร σ y z ( ร , 0 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\lim _{r\rightarrow 0}{\sqrt {2\pi r}}\,\sigma _{yy}(r,0)\\K_{\rm {II}}&=\lim _{r\rightarrow 0}{\sqrt {2\pi r}}\,\sigma _{yx}(r,0)\\K_{\rm {III}}&=\lim _{r\rightarrow 0}{\sqrt {2\pi r}}\,\sigma _{yz}(r,0)\,.\end{aligned}}} สมการสำหรับสนามความเค้นและการกระจัด สนามความเค้นโหมด I ที่แสดงในรูปของคือ[ 6 ] เค ฉัน {\displaystyle K_{\rm {I}}}
{ σ x x σ y y σ x y } = เค ฉัน 2 π ร คอส θ 2 { 1 − บาป θ 2 บาป 3 θ 2 1 + บาป θ 2 บาป 3 θ 2 บาป θ 2 คอส 3 θ 2 } {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {I}}}{\sqrt {2\pi r}}}\cos {\frac {\theta }{2}}\left\{{\begin{aligned}1-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {3\theta }{2}}\\1+\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {3\theta }{2}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {3\theta }{2}}\end{aligned}}\right\}} และ
{ σ ร ร σ θ θ σ ร θ } = เค ฉัน 2 π ร คอส θ 2 { 1 + บาป 2 θ 2 คอส 2 θ 2 บาป θ 2 คอส θ 2 } {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{rr}\\\sigma _{\theta \theta }\\\sigma _{r\theta }\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {I}}}{\sqrt {2\pi r}}}\cos {\frac {\theta }{2}}\left\{{\begin{aligned}1+\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}\right\}} σ z z = ν 1 ( σ x x + σ y y ) = ν 1 ( σ ร ร + σ θ θ ) {\displaystyle \sigma _{zz}=\nu _{1}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})=\nu _{1}(\sigma _{rr}+\sigma _{\theta \theta })} σ x z = σ y z = σ ร z = σ θ z = 0 {\displaystyle \sigma _{xz}=\sigma _{yz}=\sigma _{rz}=\sigma _{\theta z}=0} การกระจัดคือ
{ u x u y } = K I 2 E r 2 π { ( 1 + ν ) [ ( 2 κ − 1 ) cos θ 2 − cos 3 θ 2 ] ( 1 + ν ) [ ( 2 κ + 1 ) sin θ 2 − sin 3 θ 2 ] } {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{x}\\u_{y}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {I}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[(2\kappa -1)\cos {\frac {\theta }{2}}-\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\\(1+\nu )\left[(2\kappa +1)\sin {\frac {\theta }{2}}-\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}} { u r u θ } = K I 2 E r 2 π { ( 1 + ν ) [ ( 2 κ − 1 ) cos θ 2 − cos 3 θ 2 ] ( 1 + ν ) [ − ( 2 κ − 1 ) sin θ 2 + sin 3 θ 2 ] } {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{r}\\u_{\theta }\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {I}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[(2\kappa -1)\cos {\frac {\theta }{2}}-\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\\(1+\nu )\left[-(2\kappa -1)\sin {\frac {\theta }{2}}+\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}} u z = − ( ν 2 z E ) ( σ x x + σ y y ) = − ( ν 2 z E ) ( σ r r + σ θ θ ) {\displaystyle u_{z}=-\left({\frac {\nu _{2}z}{E}}\right)(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})=-\left({\frac {\nu _{2}z}{E}}\right)(\sigma _{rr}+\sigma _{\theta \theta })} โดยที่สำหรับสภาวะความเค้นระนาบ
κ = ( 3 − ν ) ( 1 + ν ) {\displaystyle \kappa ={\frac {(3-\nu )}{(1+\nu )}}} ν 1 = 0 {\displaystyle \nu _{1}=0} ν 2 = ν {\displaystyle \nu _{2}=\nu } และสำหรับความเครียดระนาบ
κ = ( 3 − 4 ν ) {\displaystyle \kappa =(3-4\nu )} ν 1 = ν {\displaystyle \nu _{1}=\nu } ν 2 = 0 {\displaystyle \nu _{2}=0} สำหรับโหมด II
{ σ x x σ y y σ x y } = K I I 2 π r { − sin θ 2 ( 2 + cos θ 2 cos 3 θ 2 ) sin θ 2 cos θ 2 sin 3 θ 2 cos θ 2 ( 1 − sin θ 2 sin 3 θ 2 ) } {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {II}}}{\sqrt {2\pi r}}}\left\{{\begin{aligned}-\sin {\frac {\theta }{2}}(2+\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {3\theta }{2}})\\\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {3\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}(1-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {3\theta }{2}})\end{aligned}}\right\}} และ
{ σ r r σ θ θ σ r θ } = K I I 2 π r { sin θ 2 ( 1 − 3 sin 2 θ 2 ) − 3 sin θ 2 cos 2 θ 2 cos θ 2 ( 1 − 3 sin 2 θ 2 ) } {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{rr}\\\sigma _{\theta \theta }\\\sigma _{r\theta }\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {II}}}{\sqrt {2\pi r}}}\left\{{\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}(1-3\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}})\\-3\sin {\frac {\theta }{2}}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}(1-3\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}})\end{aligned}}\right\}} σ z z = ν 1 ( σ x x + σ y y ) = ν 1 ( σ r r + σ θ θ ) {\displaystyle \sigma _{zz}=\nu _{1}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})=\nu _{1}(\sigma _{rr}+\sigma _{\theta \theta })} σ x z = σ y z = σ r z = σ θ z = 0 {\displaystyle \sigma _{xz}=\sigma _{yz}=\sigma _{rz}=\sigma _{\theta z}=0} { u x u y } = K I I 2 E r 2 π { ( 1 + ν ) [ ( 2 κ + 3 ) sin θ 2 + sin 3 θ 2 ] − ( 1 + ν ) [ ( 2 κ − 3 ) cos θ 2 + cos 3 θ 2 ] } {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{x}\\u_{y}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {II}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[(2\kappa +3)\sin {\frac {\theta }{2}}+\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\\-(1+\nu )\left[(2\kappa -3)\cos {\frac {\theta }{2}}+\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}} { u r u θ } = K I I 2 E r 2 π { ( 1 + ν ) [ − ( 2 κ − 1 ) sin θ 2 + 3 sin 3 θ 2 ] ( 1 + ν ) [ − ( 2 κ + 1 ) cos θ 2 + 3 cos 3 θ 2 ] } {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{r}\\u_{\theta }\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {II}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[-(2\kappa -1)\sin {\frac {\theta }{2}}+3\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\\(1+\nu )\left[-(2\kappa +1)\cos {\frac {\theta }{2}}+3\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}} u z = − ( ν 2 z E ) ( σ x x + σ y y ) = − ( ν 2 z E ) ( σ r r + σ θ θ ) {\displaystyle u_{z}=-\left({\frac {\nu _{2}z}{E}}\right)(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})=-\left({\frac {\nu _{2}z}{E}}\right)(\sigma _{rr}+\sigma _{\theta \theta })} และสุดท้าย สำหรับโหมด III
{ σ x z σ y z } = K I I I 2 π r { − sin θ 2 cos θ 2 } {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{xz}\\\sigma _{yz}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {III}}}{\sqrt {2\pi r}}}\left\{{\begin{aligned}-\sin {\frac {\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}\right\}} { σ r z σ θ z } = K I I I 2 π r { sin θ 2 cos θ 2 } {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{rz}\\\sigma _{\theta z}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {III}}}{\sqrt {2\pi r}}}\left\{{\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}\right\}} กับ. σ x x = σ y y = σ r r = σ θ θ = σ z z = σ x y = σ r θ = 0 {\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{yy}=\sigma _{rr}=\sigma _{\theta \theta }=\sigma _{zz}=\sigma _{xy}=\sigma _{r\theta }=0}
u z = 2 K I I I E r 2 π { 2 ( 1 + ν ) sin θ 2 } {\displaystyle u_{z}={\frac {2K_{\rm {III}}}{E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{2(1+\nu )\sin {\frac {\theta }{2}}\right\}} u x = u y = u r = u θ = 0 {\displaystyle u_{x}=u_{y}=u_{r}=u_{\theta }=0}
ความสัมพันธ์กับอัตราการปลดปล่อยพลังงานและค่า J-integral ในสภาวะความเค้นระนาบ อัตราการปลดปล่อยพลังงานความเครียด ( ) สำหรับรอยแตกภายใต้การโหลดแบบโหมด I บริสุทธิ์ หรือโหมด II บริสุทธิ์ จะมีความสัมพันธ์กับปัจจัยความเข้มของความเค้นดังนี้: G {\displaystyle G}
G I = K I 2 ( 1 E ) {\displaystyle G_{\rm {I}}=K_{\rm {I}}^{2}\left({\frac {1}{E}}\right)} G I I = K I I 2 ( 1 E ) {\displaystyle G_{\rm {II}}=K_{\rm {II}}^{2}\left({\frac {1}{E}}\right)} โดยที่ ΔG คือโมดูลัสของยัง และΔP คืออัตราส่วนปัวซอง ของวัสดุ วัสดุนี้ถือว่าเป็นวัสดุไอโซโทรปิก เนื้อเดียวกัน และยืดหยุ่นเชิงเส้น รอยแตกนั้นสันนิษฐานว่าขยายตัวไปตามทิศทางของรอยแตกเริ่มต้น E {\displaystyle E} ν {\displaystyle \nu }
สำหรับ สภาวะ ความเครียดระนาบ ความสัมพันธ์ที่เทียบเท่ากันจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย:
G I = K I 2 ( 1 − ν 2 E ) {\displaystyle G_{\rm {I}}=K_{\rm {I}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)\,} G I I = K I I 2 ( 1 − ν 2 E ) . {\displaystyle G_{\rm {II}}=K_{\rm {II}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)\,.} สำหรับการโหลดแบบโหมด III บริสุทธิ์
G I I I = K I I I 2 ( 1 2 μ ) = K I I I 2 ( 1 + ν E ) {\displaystyle G_{\rm {III}}=K_{\rm {III}}^{2}\left({\frac {1}{2\mu }}\right)=K_{\rm {III}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)} โดยที่โมดูลัสเฉือน คือ ค่า ใด สำหรับการรับแรงทั่วไปในระนาบความเครียด การรวมเชิงเส้น จะเป็นจริง: μ {\displaystyle \mu }
G = G I + G I I + G I I I . {\displaystyle G=G_{\rm {I}}+G_{\rm {II}}+G_{\rm {III}}\,.} ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้ได้มาจากการพิจารณาความเค้นระนาบ โดยการรวมผลรวมของทั้งสามโหมดเข้าด้วยกัน
ความสัมพันธ์ข้างต้นยังสามารถใช้เชื่อมโยงค่าJ-integral กับค่าสัมประสิทธิ์ความเค้นได้ เนื่องจาก
G = J = ∫ Γ ( W d x 2 − t ⋅ ∂ u ∂ x 1 d s ) . {\displaystyle G=J=\int _{\Gamma }\left(W~dx_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~ds\right)\,.}
ปัจจัยความเค้นวิกฤต ค่าสัมประสิทธิ์ความเค้น (Stress Intensity Factor, ) เป็นพารามิเตอร์ที่ขยายขนาดของความเค้นที่กระทำ ซึ่งรวมถึงพารามิเตอร์ทางเรขาคณิต(ประเภทของแรง) ความเค้นเข้มข้นในสถานการณ์ใดๆ ก็ตามจะแปรผันตรงกับแรงที่กระทำต่อวัสดุ หากสามารถสร้างรอยแตกที่คมมาก หรือรอยบากรูปตัว V ในวัสดุได้ ค่าต่ำสุดของสามารถกำหนดได้โดยวิธีการทดลอง ซึ่งเป็นค่าวิกฤตของความเค้นเข้มข้นที่จำเป็นต่อการขยายตัวของรอยแตก ค่าวิกฤตนี้ที่กำหนดสำหรับการรับแรงแบบโหมด I ในระนาบความเครียด เรียกว่า ค่าความเหนียวแตกหักวิกฤต (Critical Fracture Toughness, ) ของวัสดุมีหน่วยเป็นความเค้นคูณด้วยรากที่สองของระยะทาง (เช่น MN/m³ /² ) หน่วยของบ่งบอกว่าความเค้นแตกหักของวัสดุจะต้องถึงค่าวิกฤตที่ระยะทางวิกฤตบางค่า เพื่อให้ ถึงค่าวิกฤตและรอยแตกขยายตัวได้ ค่าสัมประสิทธิ์ความเค้นเข้มข้นวิกฤตแบบโหมด I เป็นพารามิเตอร์การออกแบบทางวิศวกรรมที่ใช้บ่อยที่สุดในกลศาสตร์การแตกหัก ดังนั้นจึงต้องทำความเข้าใจหากเราต้องการออกแบบวัสดุที่ทนต่อการแตกหักที่ใช้ในสะพาน อาคาร เครื่องบิน หรือแม้แต่ระฆัง K {\displaystyle K} Y {\displaystyle Y} K I {\displaystyle K_{\mathrm {I} }} K I c {\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }} K I c {\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }} K I c {\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }} K I c {\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }} K I c {\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}
การขัดเงาไม่สามารถตรวจจับรอยแตกได้ โดยทั่วไป หากสามารถมองเห็นรอยแตกได้ แสดงว่ารอยแตกนั้นอยู่ใกล้กับสภาวะความเค้นวิกฤต ที่คาดการณ์ได้จากค่าสัมประสิทธิ์ความเค้น
เกณฑ์G เป็นเกณฑ์การแตกหัก ที่เชื่อมโยงปัจจัยความเค้นวิกฤต (หรือความเหนียวของการแตกหัก) กับปัจจัยความเค้นสำหรับโหมดทั้งสาม เกณฑ์ความล้มเหลวนี้เขียนเป็น[ 8 ]
K c 2 = K I 2 + K I I 2 + E ′ 2 μ K I I I 2 {\displaystyle K_{\rm {c}}^{2}=K_{\rm {I}}^{2}+K_{\rm {II}}^{2}+{\frac {E'}{2\mu }}\,K_{\rm {III}}^{2}} ค่าความเหนียวแตกหักสำหรับสภาวะความเครียดระนาบ และสภาวะความเค้น ระนาบ อยู่ที่ใดค่าสัมประสิทธิ์ความเค้นวิกฤตสำหรับสภาวะความเค้นระนาบ มักเขียนเป็น. K c {\displaystyle K_{\rm {c}}} E ′ = E / ( 1 − ν 2 ) {\displaystyle E'=E/(1-\nu ^{2})} E ′ = E {\displaystyle E'=E} K c {\displaystyle K_{\rm {c}}}
ตัวอย่าง
รอยแตกรูปเหรียญเพนนีในอาณาเขตอันไร้ขอบเขต
หากรอยแตกตั้งอยู่ตรงกลางแผ่นที่มีความกว้างและความสูงจำกัด ความสัมพันธ์โดยประมาณสำหรับปัจจัยความเข้มของความเค้นคือ[ 7 ] 2 b {\displaystyle 2b} 2 h {\displaystyle 2h}
K I = σ π a [ 1 − a 2 b + 0.326 ( a b ) 2 1 − a b ] . {\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[{\cfrac {1-{\frac {a}{2b}}+0.326\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}}{\sqrt {1-{\frac {a}{b}}}}}\right]\,.} หากรอยแตกไม่ได้อยู่ตรงกลางตามความกว้าง กล่าวคือปัจจัยความเค้นที่ตำแหน่งA สามารถประมาณได้ด้วยการขยายอนุกรม[ 7 ] [ 9 ] d ≠ b {\displaystyle d\neq b}
K I A = σ π a [ 1 + ∑ n = 2 M C n ( a b ) n ] {\displaystyle K_{\rm {IA}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[1+\sum _{n=2}^{M}C_{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}\right]} โดยที่ปัจจัยสามารถพบได้จากการปรับเส้นโค้งความเข้มของความเค้น[ 7 ] : 6 B ของรอยแตก การแสดงออกทางเลือกสำหรับปัจจัยความเข้มของความเค้นที่A และB คือ[ 10 ] : 175 C n {\displaystyle C_{n}} d {\displaystyle d}
K I A = σ π a Φ A , K I B = σ π a Φ B {\displaystyle K_{\rm {IA}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,\Phi _{A}\,\,,K_{\rm {IB}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,\Phi _{B}} ที่ไหน
Φ A := [ β + ( 1 − β 4 ) ( 1 + 1 4 sec α A ) 2 ] sec α A Φ B := 1 + [ sec α A B − 1 1 + 0.21 sin { 8 tan − 1 [ ( α A − α B α A + α B ) 0.9 ] } ] {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{A}&:=\left[\beta +\left({\frac {1-\beta }{4}}\right)\left(1+{\frac {1}{4{\sqrt {\sec \alpha _{A}}}}}\right)^{2}\right]{\sqrt {\sec \alpha _{A}}}\\\Phi _{B}&:=1+\left[{\frac {{\sqrt {\sec \alpha _{AB}}}-1}{1+0.21\sin \left\{8\,\tan ^{-1}\left[\left({\frac {\alpha _{A}-\alpha _{B}}{\alpha _{A}+\alpha _{B}}}\right)^{0.9}\right]\right\}}}\right]\end{aligned}}} กับ
β := sin ( π α B α A + α B ) , α A := π a 2 d , α B := π a 4 b − 2 d ; α A B := 4 7 α A + 3 7 α B . {\displaystyle \beta :=\sin \left({\frac {\pi \alpha _{B}}{\alpha _{A}+\alpha _{B}}}\right)~,~~\alpha _{A}:={\frac {\pi a}{2d}}~,~~\alpha _{B}:={\frac {\pi a}{4b-2d}}~;~~\alpha _{AB}:={\frac {4}{7}}\,\alpha _{A}+{\frac {3}{7}}\,\alpha _{B}\,.} ในสมการข้างต้นคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของรอยแตกไปยังขอบเขตที่ใกล้ที่สุดกับจุดA โปรดสังเกตว่าสมการข้างต้นไม่ สามารถลดรูปเป็นสมการโดยประมาณสำหรับรอยแตกที่มีจุดศูนย์กลางได้ d {\displaystyle d} d = b {\displaystyle d=b}
รอยแตกในแผ่นโลหะที่มีขนาดจำกัดภายใต้แรงกระทำแบบโหมด I
รอยแตกที่ขอบแผ่นโลหะภายใต้แรงดึงในทิศทางเดียว
แผ่นอนันต์: รอยแตกเฉียงในสนามความเค้นแบบสองแกน
รอยแตกบนแผ่นโลหะภายใต้แรงกระทำในระนาบ พิจารณาแผ่นโลหะที่มีขนาดต่างๆ กันโดยมีรอยแตกยาว กระทำที่จุด ( ) บนแผ่นโลหะ โดยมีแรงกระทำแบบจุดที่มีส่วนประกอบและ กระทำอยู่2 h × 2 b {\displaystyle 2h\times 2b} 2 a {\displaystyle 2a} F x {\displaystyle F_{x}} F y {\displaystyle F_{y}} x , y {\displaystyle x,y}
สำหรับสถานการณ์ที่แผ่นมีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับขนาดของรอยแตกและตำแหน่งของแรงอยู่ใกล้กับรอยแตกมาก กล่าวคือ , , , , แผ่นสามารถถือว่ามี ขนาด B ( ) คือ[ 11 ] [ 12 ] h ≫ a {\displaystyle h\gg a} b ≫ a {\displaystyle b\gg a} x ≪ b {\displaystyle x\ll b} y ≪ h {\displaystyle y\ll h} F x {\displaystyle F_{x}} x = a {\displaystyle x=a}
K I = F x 2 π a ( κ − 1 κ + 1 ) [ G 1 + 1 κ − 1 H 1 ] K I I = F x 2 π a [ G 2 + 1 κ + 1 H 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\left[G_{1}+{\frac {1}{\kappa -1}}H_{1}\right]\\K_{\rm {II}}&={\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left[G_{2}+{\frac {1}{\kappa +1}}H_{2}\right]\end{aligned}}} ที่ไหน
G 1 = 1 − Re [ a + z z 2 − a 2 ] , G 2 = − Im [ a + z z 2 − a 2 ] H 1 = Re [ a ( z ¯ − z ) ( z ¯ − a ) z ¯ 2 − a 2 ] , H 2 = − Im [ a ( z ¯ − z ) ( z ¯ − a ) z ¯ 2 − a 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}&=1-{\text{Re}}\left[{\frac {a+z}{\sqrt {z^{2}-a^{2}}}}\right]\,,\,\,G_{2}=-{\text{Im}}\left[{\frac {a+z}{\sqrt {z^{2}-a^{2}}}}\right]\\H_{1}&={\text{Re}}\left[{\frac {a({\bar {z}}-z)}{({\bar {z}}-a){\sqrt {{\bar {z}}^{2}-a^{2}}}}}\right]\,,\,\,H_{2}=-{\text{Im}}\left[{\frac {a({\bar {z}}-z)}{({\bar {z}}-a){\sqrt {{\bar {z}}^{2}-a^{2}}}}}\right]\end{aligned}}} โดยที่, , สำหรับสภาวะความเครียดระนาบ , สำหรับสภาวะความเค้นระนาบ , และคืออัตราส่วนปัวซอง ค่าสัมประสิทธิ์ความเค้นที่ปลายB คือ z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} z ¯ = x − i y {\displaystyle {\bar {z}}=x-iy} κ = 3 − 4 ν {\displaystyle \kappa =3-4\nu } κ = ( 3 − ν ) / ( 1 + ν ) {\displaystyle \kappa =(3-\nu )/(1+\nu )} ν {\displaystyle \nu } F y {\displaystyle F_{y}}
K I = F y 2 π a [ G 2 − 1 κ + 1 H 2 ] K I I = − F y 2 π a ( κ − 1 κ + 1 ) [ G 1 − 1 κ − 1 H 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left[G_{2}-{\frac {1}{\kappa +1}}H_{2}\right]\\K_{\rm {II}}&=-{\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\left[G_{1}-{\frac {1}{\kappa -1}}H_{1}\right]\,.\end{aligned}}} ค่าสัมประสิทธิ์ความเค้นที่ปลายA ( ) สามารถกำหนดได้จากความสัมพันธ์ข้างต้น สำหรับภาระที่ตำแหน่ง, x = − a {\displaystyle x=-a} F x {\displaystyle F_{x}} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}
K I ( − a ; x , y ) = − K I ( a ; − x , y ) , K I I ( − a ; x , y ) = K I I ( a ; − x , y ) . {\displaystyle K_{\rm {I}}(-a;x,y)=-K_{\rm {I}}(a;-x,y)\,,\,\,K_{\rm {II}}(-a;x,y)=K_{\rm {II}}(a;-x,y)\,.} ในทำนองเดียวกันสำหรับน้ำหนักบรรทุก F y {\displaystyle F_{y}}
K I ( − a ; x , y ) = K I ( a ; − x , y ) , K I I ( − a ; x , y ) = − K I I ( a ; − x , y ) . {\displaystyle K_{\rm {I}}(-a;x,y)=K_{\rm {I}}(a;-x,y)\,,\,\,K_{\rm {II}}(-a;x,y)=-K_{\rm {II}}(a;-x,y)\,.} รอยแตกในแผ่นโลหะภายใต้การ กระทำของแรงเฉพาะจุดที่มีส่วนประกอบและF x {\displaystyle F_{x}} F y {\displaystyle F_{y}}
รอยแตกที่เกิดจากแรงกดบนแผ่นโลหะ หากรอยแตกได้รับแรงกระทำจากจุดที่อยู่ ณ ตำแหน่งและค่าสัมประสิทธิ์ความเค้นที่จุดB คือ[ 7 ] F y {\displaystyle F_{y}} y = 0 {\displaystyle y=0} − a < x < a {\displaystyle -a<x<a}
K I = F y 2 π a a + x a − x , K I I = − F x 2 π a ( κ − 1 κ + 1 ) . {\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\,,\,\,K_{\rm {II}}=-{\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\,.} ถ้าแรงกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอระหว่าง จุด B ค่าสัมประสิทธิ์ความเค้นที่ปลายจุดB จะเป็น − a < x < a {\displaystyle -a<x<a}
K I = 1 2 π a ∫ − a a F y ( x ) a + x a − x d x , K I I = − 1 2 π a ( κ − 1 κ + 1 ) ∫ − a a F y ( x ) d x , . {\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {1}{2{\sqrt {\pi a}}}}\int _{-a}^{a}F_{y}(x)\,{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\,{\rm {d}}x\,,\,\,K_{\rm {II}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\int _{-a}^{a}F_{y}(x)\,{\rm {d}}x,\,.} รอยแตกที่มีแรงกดทับบนแผ่นโลหะ
รอยแตกขนานเรียงซ้อนกันบนแผ่นโลหะไร้ขอบเขต แหล่งที่มา: [ 13 ]
หากระยะห่างระหว่างรอยแตกมีมากกว่าความยาวของรอยแตกมาก (h >> a) ผลกระทบจากการปฏิสัมพันธ์ระหว่างรอยแตกที่อยู่ใกล้เคียงกันสามารถละเลยได้ และค่าสัมประสิทธิ์ความเค้นจะเท่ากับค่าของรอยแตกเดี่ยวที่มีความยาว 2a
ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ความเค้นที่ปลายรอยแตกคือ
K I = σ π a {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {\pi a}}\end{aligned}}}
หากความยาวของรอยแตกมีค่ามากกว่าระยะห่างมาก (a >> h) รอยแตกเหล่านั้นสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นรอยแตกกึ่งอนันต์ที่เรียงซ้อนกัน
ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ความเค้นที่ปลายรอยแตกคือ
K I = σ h {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {h}}\end{aligned}}}
ชิ้นงานทดสอบแรงดึงขนาดกะทัดรัด
ชิ้นงานทดสอบการดัดรอยบากด้านเดียว
ดูเพิ่มเติม
ลิงก์ภายนอก Kathiresan, K.; Hsu, TM; Brussat, TR, 1984, วิธีการวิเคราะห์อายุการใช้งานขั้นสูง เล่ม 2 วิธีการวิเคราะห์การเติบโตของรอยแตกสำหรับหูยึด ค่าสัมประสิทธิ์ความเค้น (Stress Intensity Factor)บนเว็บไซต์ www.fracturemechanics.orgโดย Bob McGinty 
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{x}\\u_{y}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {I}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[(2\kappa -1)\cos {\frac {\theta }{2}}-\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\\(1+\nu )\left[(2\kappa +1)\sin {\frac {\theta }{2}}-\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0e25b45c681a87a29ae2bf742923a7939601ec)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{r}\\u_{\theta }\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {I}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[(2\kappa -1)\cos {\frac {\theta }{2}}-\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\\(1+\nu )\left[-(2\kappa -1)\sin {\frac {\theta }{2}}+\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bffeeaf871a1fb2dfe457ac05b9787d622d3ab5)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{x}\\u_{y}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {II}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[(2\kappa +3)\sin {\frac {\theta }{2}}+\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\\-(1+\nu )\left[(2\kappa -3)\cos {\frac {\theta }{2}}+\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ef402da0c84b331d381c44a1ea1707e71a2518)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{r}\\u_{\theta }\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {II}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[-(2\kappa -1)\sin {\frac {\theta }{2}}+3\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\\(1+\nu )\left[-(2\kappa +1)\cos {\frac {\theta }{2}}+3\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da73f4a50588bd21c7a43fb7890366b8bec9b81)
![{\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[{\cfrac {1-{\frac {a}{2b}}+0.326\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}}{\sqrt {1-{\frac {a}{b}}}}}\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25cc4dadb6371c8239b7ebca823e25b13d2ffeb3)
![{\displaystyle K_{\rm {IA}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[1+\sum _{n=2}^{M}C_{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71eaed2d5214af8609ee2614e072a831dff9bb27)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{A}&:=\left[\beta +\left({\frac {1-\beta }{4}}\right)\left(1+{\frac {1}{4{\sqrt {\sec \alpha _{A}}}}}\right)^{2}\right]{\sqrt {\sec \alpha _{A}}}\\\Phi _{B}&:=1+\left[{\frac {{\sqrt {\sec \alpha _{AB}}}-1}{1+0.21\sin \left\{8\,\tan ^{-1}\left[\left({\frac {\alpha _{A}-\alpha _{B}}{\alpha _{A}+\alpha _{B}}}\right)^{0.9}\right]\right\}}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a81ceb7c9a5bbd82590c76afd49d6690a9c74a)
![{\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[1.122-0.231\left({\frac {a}{b}}\right)+10.55\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}-21.71\left({\frac {a}{b}}\right)^{3}+30.382\left({\frac {a}{b}}\right)^{4}\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8ceaef43b7ab34b12662c8847e580f260cb701)
![{\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[{\frac {1+3{\frac {a}{b}}}{2{\sqrt {\pi {\frac {a}{b}}}}\left(1-{\frac {a}{b}}\right)^{3/2}}}\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a0366ab9b177d5a2d15ce70349ef83e9456f1f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\left[G_{1}+{\frac {1}{\kappa -1}}H_{1}\right]\\K_{\rm {II}}&={\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left[G_{2}+{\frac {1}{\kappa +1}}H_{2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df6165ba8ba56686979fe76299274dd25540945)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}&=1-{\text{Re}}\left[{\frac {a+z}{\sqrt {z^{2}-a^{2}}}}\right]\,,\,\,G_{2}=-{\text{Im}}\left[{\frac {a+z}{\sqrt {z^{2}-a^{2}}}}\right]\\H_{1}&={\text{Re}}\left[{\frac {a({\bar {z}}-z)}{({\bar {z}}-a){\sqrt {{\bar {z}}^{2}-a^{2}}}}}\right]\,,\,\,H_{2}=-{\text{Im}}\left[{\frac {a({\bar {z}}-z)}{({\bar {z}}-a){\sqrt {{\bar {z}}^{2}-a^{2}}}}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0255e5aec3179e43fd82a04e723ef65dff683f6f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left[G_{2}-{\frac {1}{\kappa +1}}H_{2}\right]\\K_{\rm {II}}&=-{\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\left[G_{1}-{\frac {1}{\kappa -1}}H_{1}\right]\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f91850cc6735cb02154d8d82ca2b502090d7a67)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {P}{B}}{\sqrt {\frac {\pi }{W}}}\left[16.7\left({\frac {a}{W}}\right)^{1/2}-104.7\left({\frac {a}{W}}\right)^{3/2}+369.9\left({\frac {a}{W}}\right)^{5/2}\right.\\&\qquad \left.-573.8\left({\frac {a}{W}}\right)^{7/2}+360.5\left({\frac {a}{W}}\right)^{9/2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a74d53e379ebf47cf3ea5f1a45619a1e78dcc4ad)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {4P}{B}}{\sqrt {\frac {\pi }{W}}}\left[1.6\left({\frac {a}{W}}\right)^{1/2}-2.6\left({\frac {a}{W}}\right)^{3/2}+12.3\left({\frac {a}{W}}\right)^{5/2}\right.\\&\qquad \left.-21.2\left({\frac {a}{W}}\right)^{7/2}+21.8\left({\frac {a}{W}}\right)^{9/2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466d7f6e915a160e93963497a9016099b626cae6)