โทโพโลยีสตริงซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์คือการศึกษาโครงสร้างพีชคณิตบนโฮโมโลยีของปริภูมิวงวนอิสระสาขานี้เริ่มต้นโดยมอยราชาสและเดนนิส ซัลลิแวน( 1999 ) 

ในขณะที่โคฮอโมโลยีเอกฐานของปริภูมิจะมีโครงสร้างผลคูณเสมอ แต่สิ่งนี้ไม่เป็นจริงสำหรับโฮโมโลยีเอกฐานของปริภูมิ อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะสร้างโครงสร้างดังกล่าวสำหรับแมนิโฟลด์แบบ มีทิศทาง${\displaystyle M}$ของมิติ${\displaystyle d}$นี่คือสิ่งที่เรียกว่าผลคูณเชิงจุดตัด (intersection product ) โดยสัญชาตญาณแล้ว เราสามารถอธิบายได้ดังนี้: เมื่อกำหนดคลาสต่างๆ แล้ว${\displaystyle x\in H_{p}(M)}$และ${\displaystyle y\in H_{q}(M)}$นำผลิตภัณฑ์ของพวกเขาไปใช้${\displaystyle x\times y\in H_{p+q}(M\times M)}$และทำให้มันตั้งฉากกับเส้นทแยงมุม${\displaystyle M\hookrightarrow M\times M}$จุดตัดนั้นจึงเป็นคลาสใน${\displaystyle H_{p+qd}(M)}$ผลคูณของจุดตัดของ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$วิธีหนึ่งที่จะทำให้โครงสร้างนี้มีความแม่นยำมากขึ้นคือการใช้สแตรติโฟลด์

อีกกรณีหนึ่งที่โฮโมโลจีของปริภูมิมีผลคูณ คือปริภูมิวงวน (แบบมีฐาน)${\displaystyle \โอเมก้า เอ็กซ์}$ของพื้นที่${\displaystyle X}$ที่นี่ พื้นที่นั้นมีผลิตภัณฑ์อยู่ด้วย

${\displaystyle m\colon \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}$

โดยผ่านลูปแรกก่อน แล้วจึงผ่านลูปที่สอง ไม่มีโครงสร้างผลิตภัณฑ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับพื้นที่ลูปอิสระ${\displaystyle LX}$จากแผนที่ทั้งหมด${\displaystyle S^{1}}$ถึง${\displaystyle X}$เนื่องจากลูปทั้งสองไม่จำเป็นต้องมีจุดร่วมกัน เป็นทางเลือกแทนแผนที่${\displaystyle m}$คือแผนที่

${\displaystyle \gamma \colon {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\to LM}$

ที่ไหน${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$คือปริภูมิย่อยของ${\displaystyle LM\times LM}$โดยที่ค่าของลูปทั้งสองตรงกันที่ 0 และ${\displaystyle \gamma }$ถูกกำหนดขึ้นอีกครั้งโดยการประกอบลูปเข้าด้วยกัน

แนวคิดของผลิตภัณฑ์ Chas–Sullivan คือการรวมโครงสร้างผลิตภัณฑ์ข้างต้นเข้าด้วยกัน พิจารณาสองคลาส${\displaystyle x\in H_{p}(LM)}$และ${\displaystyle y\in H_{q}(LM)}$ผลิตภัณฑ์ของพวกเขา${\displaystyle x\times y}$อยู่ใน${\displaystyle H_{p+q}(LM\times LM)}$เราต้องการแผนที่

${\displaystyle i^{!}\colon H_{p+q}(LM\times LM)\to H_{p+q-d}({\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)).}$

วิธีหนึ่งในการสร้างสิ่งนี้คือการใช้สแตรติโฟลด์ (หรือนิยามทางเรขาคณิตอื่นของโฮโมโลจี) เพื่อทำการตัดกันตามแนวขวาง (หลังจากตีความแล้ว)${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\subset LM\times LM}$(รวมถึงแมนิโฟลด์ฮิลเบิร์ต ด้วย ) อีกแนวทางหนึ่งเริ่มต้นด้วยแผนที่การยุบตัวจาก${\displaystyle LM\times LM}$ไปยังปริภูมิทอมของบันเดิลปกติของ${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$เมื่อสร้างแผนที่เหนี่ยวนำในโฮโมโลยีด้วยไอโซมอร์ฟิซึมของทอมเราจะได้แผนที่ที่เราต้องการ

ตอนนี้เราสามารถแต่งเพลงได้แล้ว${\displaystyle i^{!}}$ด้วยแผนที่เหนี่ยวนำของ${\displaystyle \gamma }$เพื่อเข้าเรียนในชั้นเรียน${\displaystyle H_{p+q-d}(LM)}$ผลคูณของ Chas–Sullivan ของ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$(ดูตัวอย่างเช่นCohen & Jones (2002) )

• เช่นเดียวกับกรณีของผลคูณแบบจุดตัด ผลคูณของ Chas–Sullivan ก็มีข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมายที่แตกต่างกันไป ในบางข้อกำหนด ผลคูณนี้เป็นแบบสลับที่ได้แบบมีระดับ ในขณะที่บางข้อกำหนดไม่ใช่
• โครงสร้างแบบเดียวกันนี้ใช้ได้ผลหากเราเปลี่ยนใหม่${\displaystyle H}$โดยทฤษฎีโฮโมโลยี แบบทวีคูณอีกทฤษฎีหนึ่ง${\displaystyle h}$ถ้า${\displaystyle M}$มีทิศทางสัมพันธ์กับ${\displaystyle h}$.
• นอกจากนี้ เรายังสามารถแทนที่ได้อีกด้วย${\displaystyle LM}$โดย${\displaystyle L^{n}M={\rm {Map}}(S^{n},M)}$โดยการดัดแปลงโครงสร้างข้างต้นอย่างง่าย เราจะได้ว่า${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}({\rm {Map}}(N,M))}$เป็นโมดูลเหนือ${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}L^{n}M}$ถ้า${\displaystyle N}$เป็นมิติหลายมิติ${\displaystyle n}$.
• ลำดับสเปกตรัมของ Serreเข้ากันได้กับโครงสร้างพีชคณิตข้างต้นสำหรับทั้งมัดเส้นใย${\displaystyle {\rm {ev}}\colon LM\to M}$ด้วยเส้นใย${\displaystyle \Omega M}$และมัดเส้นใย${\displaystyle LE\to LB}$สำหรับมัดเส้นใย${\displaystyle E\to B}$ซึ่งมีความสำคัญต่อการคำนวณ (ดูCohen, Jones & Yan (2004)และMeier (2010) harvtxt error: no target: CITEREFMeier2010 ( help ) )

มีการกระทำ${\displaystyle S^{1}\times LM\to LM}$โดยการหมุน ซึ่งก่อให้เกิดแผนที่

${\displaystyle H_{*}(S^{1})\otimes H_{*}(LM)\to H_{*}(LM)}$.

การเสียบปลั๊กคลาสพื้นฐาน${\displaystyle [S^{1}]\in H_{1}(S^{1})}$มอบตัวดำเนินการ

${\displaystyle \Delta \colon H_{*}(LM)\to H_{*+1}(LM)}$

มีดีกรี 1 สามารถแสดงได้ว่าตัวดำเนินการนี้มีปฏิสัมพันธ์ที่ดีกับผลคูณของ Chas–Sullivan ในแง่ที่ว่าพวกมันรวมกันเป็นโครงสร้างของพีชคณิต Batalin–Vilkoviskyบน${\displaystyle {\mathcal {}}H_{*}(LM)}$ตัวดำเนินการนี้มักจะคำนวณได้ยากโดยทั่วไป เอกลักษณ์ที่กำหนดของพีชคณิต Batalin-Vilkovisky ได้รับการตรวจสอบในเอกสารต้นฉบับ "โดยใช้รูปภาพ" วิธีการที่ไม่ตรงไปตรงมานัก แต่ดูเหมือนจะเป็นเชิงแนวคิดมากกว่า อาจเป็นการใช้การกระทำของตัวดำเนินการแคคตัสบนพื้นที่ลูปอิสระ${\displaystyle LM}$[ ^{1 ]}แอคคอร์เดียนกระบองเพชรเทียบเท่ากับแอคคอร์เดียนดิสก์เล็กที่มีกรอบอย่างอ่อน^[ 2 ^{]และการ}กระทำของมันบนพื้นที่โทโพโลยีบ่งบอกถึงโครงสร้าง Batalin-Vilkovisky บนโฮโมโลยี^{[ 3 ]}

มีการพยายามสร้างทฤษฎีสนาม (เชิงทอพอโลยี) หลายครั้งโดยใช้ทอพอโลยีของสตริง แนวคิดพื้นฐานคือการกำหนดแมนิโฟลด์ที่มีทิศทาง${\displaystyle M}$และเชื่อมโยงกับทุกพื้นผิวด้วย${\displaystyle p}$ขาเข้าและ${\displaystyle q}$ส่วนประกอบขอบเขตขาออก (พร้อม${\displaystyle n\geq 1}$) การดำเนินการ

${\displaystyle H_{*}(LM)^{\otimes p}\to H_{*}(LM)^{\otimes q}}$

ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ทั่วไปสำหรับทฤษฎีสนามเชิงทอพอโลยีผลคูณของ Chas–Sullivan เกี่ยวข้องกับคู่กางเกงสามารถแสดงได้ว่าการดำเนินการเหล่านี้เป็น 0 ถ้าจีนัสของพื้นผิวมากกว่า 0 ( Tamanoi (2010) )