ในทฤษฎีเกมเชิงผสมเกมการลบเป็นเกมกลยุทธ์นามธรรมที่มีสถานะที่สามารถแทนด้วยจำนวนธรรมชาติหรือเวกเตอร์ของจำนวน (เช่น จำนวนโทเค็นเกมในกองโทเค็น หรือตำแหน่งของชิ้นส่วนบนกระดาน) และการเคลื่อนไหวที่อนุญาตจะลดจำนวนเหล่านี้^{[ 1 ] [ 2 ]}บ่อยครั้งที่การเคลื่อนไหวของเกมอนุญาตให้ลดจำนวนใดๆ ก็ได้โดยการลบค่าออกจากเซตการลบ ที่กำหนด และเกมการลบที่แตกต่างกันจะแตกต่างกันในเซตการลบ^{[ 1 ]}เกมเหล่านี้ยังแตกต่างกันในเรื่องที่ว่าผู้เล่นคนสุดท้ายที่เคลื่อนไหวเป็นผู้ชนะ ( แบบแผนการเล่นปกติ ) หรือแพ้ ( แบบแผนการเล่นแบบมิแซร์ ) ^{[ 2 ]}แบบแผนการชนะอีกแบบหนึ่งที่เคยใช้คือ ผู้เล่นที่เคลื่อนไหวไปยังตำแหน่งที่มีจำนวนทั้งหมดเป็นศูนย์จะเป็นผู้ชนะ แต่ตำแหน่งอื่นๆ ที่ไม่มีการเคลื่อนไหวใดๆ ที่เป็นไปได้จะถือว่าเสมอกัน^{[ 1 ]}

ตัวอย่างเกมการลบที่น่าสนใจ ได้แก่ เกมต่อไปนี้:

• นิมเป็นเกมที่สถานะประกอบด้วยกองโทเค็นหลายกอง เช่น เหรียญหรือไม้ขีดไฟ และการเคลื่อนไหวที่ถูกต้องจะนำโทเค็นจำนวนใดก็ได้ออกจากกองเดียว นิมมีกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดที่เป็นที่รู้จักกันดี โดยเป้าหมายในการเคลื่อนไหวแต่ละครั้งคือการไปถึงชุดกองที่มีผลรวมนิมเป็นศูนย์ และกลยุทธ์นี้เป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีบทสปราก-กรุนดีเกี่ยวกับการเล่นที่เหมาะสมที่สุดในเกมที่เป็นกลางอย่างไรก็ตาม เมื่อเล่นโดยใช้โทเค็นเพียงกองเดียว การเล่นที่เหมาะสมที่สุดนั้นง่ายมาก (เพียงแค่นำโทเค็นทั้งหมดออกในการเคลื่อนไหวเดียว) ^{[ 3 ]}
• การลบกำลังสองเป็นรูปแบบหนึ่งของเกมนิม ซึ่งสามารถนำโทเค็นออกได้เพียงจำนวนกำลังสองในการเคลื่อนไหวเดียวเท่านั้น เกมที่ได้จะมีกลยุทธ์ที่ไม่ธรรมดาแม้จะมีโทเค็นเพียงกองเดียวทฤษฎีบท Furstenberg–Sárközyบ่งชี้ว่าตำแหน่งที่ชนะจะมีค่าความหนาแน่นเป็นศูนย์ในบรรดาจำนวนเต็ม^{[ 4 ]}
• ฟิโบนาชชีนิมเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของนิมซึ่งการเคลื่อนไหวที่อนุญาตจะขึ้นอยู่กับการเคลื่อนไหวก่อนหน้าไปยังกองโทเค็นเดียวกัน ในการเคลื่อนไหวครั้งแรกไปยังกอง ห้ามหยิบทั้งกอง และในการเคลื่อนไหวครั้งต่อๆ ไป จำนวนที่นำออกต้องไม่เกินสองเท่าของจำนวนที่นำออกก่อนหน้าจากกองเดียวกัน^{[ 5 ]}
• เกมของ Wythoffเล่นโดยการวางควีนหมากรุกบนกระดานหมากรุกขนาดใหญ่ และในแต่ละขั้นตอน ให้ย้ายควีนหมากรุก (ในลักษณะปกติของควีนหมากรุก) ไปทางด้านล่าง ด้านซ้าย หรือมุมล่างซ้ายของกระดาน เกมนี้สามารถอธิบายได้เทียบเท่ากับกองโทเค็นสองกอง ซึ่งแต่ละการเคลื่อนไหวสามารถนำโทเค็นออกจากกองใดกองหนึ่งหรือทั้งสองกองได้จำนวนเท่าใดก็ได้ โดยจะนำโทเค็นออกจากแต่ละกองในจำนวนเท่ากันเมื่อทั้งสองกองลดลง เกมนี้มีกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดที่เกี่ยวข้องกับลำดับ Beattyและอัตราส่วนทองคำ^{[ 6 ]}

เกมการลบโดยทั่วไปเป็นเกมที่ยุติธรรมหมายความว่าชุดการเดินหมากที่มีอยู่ในตำแหน่งที่กำหนดนั้นไม่ขึ้นอยู่กับผู้เล่นที่ถึงตาเดิน สำหรับเกมดังกล่าว สถานะต่างๆ สามารถแบ่งออกเป็น${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-ตำแหน่ง (ตำแหน่งที่ผู้เล่นคนก่อนซึ่งเพิ่งขยับตัวกำลังได้เปรียบ) และ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$- ตำแหน่ง (ตำแหน่งที่ผู้เล่นคนต่อไปที่เดินหมากจะเป็นฝ่ายชนะ) และกลยุทธ์การเล่นเกมที่ดีที่สุดคือการเดินหมากไปยังตำแหน่งนั้น${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-ตำแหน่งเมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น ด้วยวิธีการเล่นแบบปกติและกองโทเค็นเพียงกองเดียว ทุกหมายเลขในชุดการลบจะเป็น${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ตำแหน่ง - เนื่องจากผู้เล่นสามารถชนะจากจำนวนดังกล่าวได้โดยการย้ายไปยังศูนย์^{[ 2 ]}

สำหรับเกมการลบแบบเล่นปกติที่มีตัวเลขหลายตัว ซึ่งแต่ละการเคลื่อนไหวจะลดตัวเลขเหล่านี้ลงเพียงตัวเดียว และการลดที่ทำได้จากตัวเลขที่กำหนดจะขึ้นอยู่กับตัวเลขนั้นเท่านั้น ไม่ใช่สถานะเกมส่วนที่เหลือทฤษฎีบท Sprague–Grundyสามารถใช้คำนวณ "ค่า nim" ของแต่ละตัวเลข ซึ่งเป็นตัวเลขที่แสดงถึงตำแหน่งที่เทียบเท่ากันในเกม nim โดยที่ค่าของสถานะเกมโดยรวมคือผลรวม nimของค่า nim ด้วยวิธีนี้ กลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเกมโดยรวมสามารถลดลงเหลือการคำนวณค่า nim สำหรับชุดตำแหน่งเกมที่ง่ายขึ้น ซึ่งมีเพียงตัวเลขเดียว^{[ 7 ]}ค่า nim เป็นศูนย์สำหรับ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ตำแหน่ง และค่าที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ตำแหน่ง -จำนวน; ตามทฤษฎีบทของทอม เฟอร์กูสันตำแหน่งจำนวนเดี่ยวที่มีค่านิมเท่ากับหนึ่ง คือจำนวนที่ได้จากการบวกค่าที่เล็กที่สุดในเซตการลบเข้ากับ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-ตำแหน่ง ผลลัพธ์ของเฟอร์กูสันนำไปสู่กลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดในเกมการลบมิแซร์แบบหลายกอง โดยมีการเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยจากกลยุทธ์การเล่นปกติ^{[ 8 ]}

สำหรับเกมการลบที่มีกองโทเค็นเพียงกองเดียวและชุดการลบที่กำหนดไว้ (แต่สามารถเป็นอนันต์ได้) หากชุดการลบมีช่องว่างขนาดใหญ่ระหว่างสมาชิกในชุดนั้น ชุดนั้นก็จะมีขนาดเท่ากับ...${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-ตำแหน่งของเกมจะต้องเป็นอนันต์^{[ 9 ]}สำหรับเกมการลบทุกเกมที่มีเซตการลบจำกัด ค่า nim จะถูกจำกัด และการแบ่งส่วนออกเป็น${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-ตำแหน่งและ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ตำแหน่งและลำดับของค่า nim นั้นเป็นคาบในที่สุด คาบอาจมีขนาดใหญ่กว่าค่าสูงสุดอย่างมาก${\displaystyle x}$ในชุดการลบ แต่มีค่าสูงสุดเท่านั้น${\displaystyle 2^{x}}$[ ^{10 ]}อย่างไรก็ตาม มีเซตการลบอนันต์ที่สร้างค่า nim ที่มีขอบเขตแต่ลำดับค่าเหล่านี้ไม่เป็น^{คาบ[ 11 ]}

สำหรับเกมการลบที่มีชุดตัวเลขสำหรับการลบที่กำหนดไว้ (แต่ก็อาจมีได้ไม่จำกัด) เช่น การลบกำลังสอง การแบ่งตัวเลขออกเป็นตำแหน่ง P และตำแหน่ง N จนถึงค่าที่กำหนด${\displaystyle n}$อาจคำนวณได้ตามเวลา${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$ค่า nim ของตัวเลขทั้งหมดจนถึง${\displaystyle n}$อาจคำนวณได้ตามเวลา${\displaystyle O(\min(ns,nm\log ^{2}n))}$ที่ไหน${\displaystyle s}$แสดงถึงขนาดของชุดการลบ (สูงสุด)${\displaystyle n}$) และ${\displaystyle m}$แสดงถึงค่า nim ที่ใหญ่ที่สุดที่เกิดขึ้นในการคำนวณนี้^{[ 12 ]}

สำหรับการวางนัยทั่วไปของเกมการลบที่เล่นบนเวกเตอร์ของจำนวนธรรมชาติที่มีเซตการลบซึ่งเวกเตอร์สามารถมีสัมประสิทธิ์บวกและลบได้ เป็นปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินได้ว่าเกมดังกล่าวสองเกมมีตำแหน่ง P และตำแหน่ง N เหมือนกันหรือไม่^{[ 13 ]}

• เกมของกรุนดีและเกมเลขฐานแปด เป็นการขยายความของเกมการลบ ซึ่งการเดินหมากแต่ละครั้งอาจแบ่งกองหมากออกเป็นสองส่วน