ในทางคณิตศาสตร์นิมเบอร์หรือที่เรียกว่าจำนวนกรุนดี (ไม่ควรสับสนกับจำนวนสีกรุนดี ) ถูกนำมาใช้ในทฤษฎีเกมเชิงการจัดเรียงโดยถูกนิยามว่าเป็นค่าของกองในเกมนิมนิมเบอร์เป็นจำนวนในกลุ่ม เดียว กับจำนวนเชิงอันดับแต่มีคุณสมบัติการบวกและการคูณแบบนิมเบอร์ซึ่งแตกต่างจากการบวกและการคูณแบบจำนวนเชิงอันดับ

เนื่องจากทฤษฎีบทสแปร็ก-กรุนดีที่ระบุว่าเกมที่เป็นกลาง ทุกเกม เทียบเท่ากับกองนิมที่มีขนาดหนึ่งๆ ทำให้จำนวนนิมเบอร์เกิดขึ้นในเกมที่เป็นกลางในวงกว้างมากขึ้น นอกจากนี้ยังอาจเกิดขึ้นในเกมที่มีอคติเช่นเกมโดมิเนอริง (Domineering ) ด้วย

การดำเนินการบวกและการคูณของจำนวนนิมเบอร์มีคุณสมบัติการสลับที่และการเชื่อมโยง จำนวนนิมเบอร์แต่ละจำนวนเป็นตัวผกผันการบวก ของตัวเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับจำนวนเชิงอันดับบางคู่ ผลรวมของจำนวนนิมเบอร์จะมีค่าน้อยกว่าตัวบวกใดตัวหนึ่ง^{[ 1 ]} การ ดำเนินการ ยกเว้นขั้นต่ำจะถูกนำไปใช้กับเซตของจำนวนนิมเบอร์

ในฐานะคลาสนิมเบอร์จะถูกจัดทำดัชนีโดยจำนวนเชิงลำดับและเป็นคลาสย่อยของจำนวนเหนือจริง ซึ่ง จอห์น คอนเวย์นำเสนอเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีเกมเชิงการจัดเรียง [ ^{2 ] อย่างไรก็ตาม}นิมเบอร์แตกต่างจากจำนวนเชิงลำดับและจำนวนเหนือจริงตรงที่พวกมันปฏิบัติตาม กฎ ทางคณิตศาสตร์ ที่แตกต่างกัน คือ การบวกนิมและการคูณนิม นอกเหนือจากที่เป็นคลาสที่แท้จริงมากกว่าเซต นิมเบอร์ยังเป็นฟิลด์ภายใต้การบวกนิมและการคูณนิม ฟิลด์ของนิมเบอร์จะถูกแสดงด้วยOn

ในฐานะเซต จำนวนนิมเบอร์จำกัดสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนเชิงอันดับจำกัด ซึ่งก็คือจำนวนธรรมชาติได้อย่างไรก็ตาม โครงสร้างทางเลขคณิตของพวกมันไม่เหมือนกันเลขคณิตของนิมเบอร์แตกต่างอย่างพื้นฐานจากการดำเนินการทางเลขคณิตทั่วไปบนจำนวนธรรมชาติ

โดยทั่วไปแล้วหมายเลขต่างๆ จะถูกระบุโดยใช้สัญลักษณ์ดาว${\displaystyle \{*0,*1,*2,...,*\omega ,*(\omega +1),...\}}$หรืออีกวิธีหนึ่ง นิพจน์ที่ตีความได้ว่าเป็นการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั่วไปมักจะอยู่ในวงเล็บเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 2^{2}=*(2)^{2}=3}$ในการคูณนิม แต่${\displaystyle [2^{2}]=*(2^{2})=4}$[ ^{3 ] [ 4 ]​}

การบวกนิมเบอร์ (หรือที่เรียกว่าการบวกนิม ) สามารถใช้ในการคำนวณขนาดของฮีปนิมเดี่ยวที่เทียบเท่ากับกลุ่มของฮีปนิมได้ โดยนิยามแบบเรียกซ้ำดังนี้ $${\displaystyle \alpha \oplus \beta =\operatorname {mex} \!{\bigl (}\{\alpha '\oplus \beta$$ :\alpha '<\alpha \}\cup \{\alpha \oplus \beta ':\beta '<\beta \}{\bigr )},} โดยที่ค่า mex( S ) ขั้นต่ำสุดที่ไม่รวม เซต S ของลำดับจะ ถูกกำหนดให้เป็นลำดับที่เล็กที่สุดที่ไม่ใช่สมาชิกของ S

สำหรับจำนวนเชิงอันดับจำกัด ผลรวมนิมสามารถคำนวณได้ง่ายบนคอมพิวเตอร์โดยการใช้การดำเนินการเอกซ์คลูซีฟ ออ ร์ (XOR, แทนด้วย⊕ ) ระหว่างเลขฐานสองของจำนวนเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น ผลรวมนิมของ 7 และ 14 สามารถหาได้โดยการเขียน 7 เป็น 111 และ 14 เป็น 1110 การดำเนินการ XOR ของเลขฐานสองทั้งสองนี้คือเลขฐานสอง 1001 ดังนั้นผลรวมนิมของทั้งสองคือ 9

คุณสมบัติของการบวกนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งmexและ XOR ต่างก็ให้กลยุทธ์ที่ชนะสำหรับ Nim และจะมีกลยุทธ์ดังกล่าวได้เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น หรือสามารถแสดงได้โดยตรงโดยการอุปมาน: ให้αและβเป็นจำนวนเชิงอันดับจำกัดสองจำนวน และสมมติว่าผลรวม nim ของคู่ทั้งหมดที่มีจำนวนใดจำนวนหนึ่งถูกลดรูปนั้นได้ถูกกำหนดไว้แล้ว จำนวนเดียวที่ XOR กับα แล้ว ได้α ⊕ βคือβและในทางกลับกัน ดังนั้นα ⊕ βจึงถูกตัดออกไป $${\displaystyle \zeta$$ :=\alpha \oplus \beta \oplus \gamma } ในทางกลับกัน สำหรับลำดับใดๆ γ < α ⊕ βการ XOR ζ กับ α , βและ γทั้งหมดจะต้องนำไปสู่การลดรูปสำหรับหนึ่งในนั้น (เนื่องจากเลข 1 นำหน้าใน ζจะต้องมีอยู่ในอย่างน้อยหนึ่งในสามตัว) เนื่องจาก $${\displaystyle \zeta \oplus \gamma =\alpha \oplus \beta >\gamma ,}$$ เราต้องมีอย่างใดอย่างหนึ่ง $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha >\zeta \oplus \alpha &=\beta \oplus \gamma ,\quad {\text{หรือ}}\\[4pt]\beta >\zeta \oplus \beta &=\alpha \oplus \gamma .\end{aligned}}}$$ ดังนั้นγจึงถูกรวมไว้ด้วยไม่ว่าจะเป็น $${\displaystyle {\begin{aligned}(\beta \oplus \gamma )\oplus \beta ,\quad {\text{หรือ}}\\[4pt]\alpha \oplus (\alpha \oplus \gamma );\end{aligned}}}$$ ดังนั้นα ⊕ βจึงเป็นลำดับขั้นที่ถูกยกเว้นขั้นต่ำ

การบวก ของนิมเบอร์เป็นแบบสมาคมและสลับที่ได้โดยมี0เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ การบวก ยิ่งไปกว่านั้น นิมเบอร์ยังเป็นตัวผกผันการบวก ของตัวเองอีก ด้วย^{[ 7 ]}ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าα ⊕ β = 0 ก็ต่อเมื่อα = β เท่านั้น

การคูณนิมเบอร์ ( nim-multiplication ) ถูกกำหนดแบบเวียนซ้ำโดย

$${\displaystyle \alpha \otimes \beta =\operatorname {mex} \!{\bigl (}\{(\alpha '\otimes \beta )\oplus (\alpha \otimes \beta ')\oplus (\alpha '\otimes \beta '):\alpha '<\alpha ,\beta '<\beta \}{\bigr )}.}$$

การคูณจำนวนนิมเบอร์มีคุณสมบัติการสลับที่และการเชื่อมโยง โดยมีเลขลำดับ1เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ การคูณ ยิ่งไปกว่านั้น การคูณจำนวนนิมเบอร์ยังกระจายตัวเหนือการบวกจำนวนนิมเบอร์ อีกด้วย ^{[ 7 ] [ a ]}

ดังนั้น นอกเหนือจากข้อเท็จจริงที่ว่านิมเบอร์ก่อตัวเป็นคลาสที่แท้จริงไม่ใช่เซต คลาสของนิมเบอร์ก็ก่อตัวเป็นริงที่จริงแล้ว มันยังกำหนดฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะ 2 โดยที่ตัวผกผันการคูณของนิมเบอร์กับลำดับที่ไม่เป็นศูนย์αกำหนดโดย

$${\displaystyle \alpha ^{-1}=\operatorname {mex} (S),}$$ โดยที่Sคือเซตของลำดับที่เล็กที่สุด (จำนวน) เช่นนั้น

1. 0เป็นสมาชิกของS ;
2. ถ้า0 < α ′ < αและβ'เป็นสมาชิกของSแล้ว${\displaystyle (1\oplus (\alpha '\oplus \alpha )\otimes \beta ')\otimes (\alpha ')^{-1}}$เป็นองค์ประกอบหนึ่งของS ด้วยเช่น กัน

สำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุก ตัว เซตของจำนวนที่น้อยกว่า[2 ^{2 n} ]จะประกอบกันเป็นฟิลด์กาโลอิสGF(2 ^{2 n} )ที่มีอันดับ2 ^{2 n}ดังนั้น เซตของจำนวนจำกัดจึงสม isomorphic กับลิมิตโดยตรงเมื่อn → ∞ของฟิลด์GF(2 ^{2 n} )ฟิลด์ย่อยนี้ไม่ใช่ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต เนื่องจากไม่มีฟิลด์GF(2 ^k )ที่kไม่ใช่กำลังของ 2 อยู่ในฟิลด์เหล่านั้น และดังนั้นจึงไม่อยู่ในลิมิตโดยตรงของฟิลด์เหล่านั้น ตัวอย่างเช่น พหุนามx ³ + x + 1ซึ่งมีรากอยู่ในGF(2 ³ )ไม่มีรากอยู่ในเซตของจำนวนจำกัด 

เช่นเดียวกับกรณีการบวกจำนวนนิมเบอร์ มีวิธีการคำนวณผลคูณจำนวนนิมเบอร์ของจำนวนเชิงอันดับจำกัด ซึ่งกำหนดโดยกฎที่ว่า

1. ผลคูณของจำนวนกำลังสองของแฟร์มาต์ (จำนวนในรูปแบบ[2 ^{2 n} ] ) กับจำนวนที่เล็กกว่า จะเท่ากับผลคูณปกติของจำนวนเหล่านั้น
2. กำลังสองของเลขยกกำลังสองของเฟอร์มาต์[2 ^{2 n} ]เท่ากับ[ 3·2 ^{2 n −1} ]

ส่วนขยายที่ตามมาสำหรับจำนวนอนันต์จะเพิ่มส่วนขยายสำหรับแต่ละดีกรีเฉพาะ ตัวอย่างเช่น ชุดส่วนขยายถัดไป (จนถึงω ^ω ) คือส่วนขยายดีกรี3 ⁿบนจำนวนจำกัด: ^{[ 3 ]}

1. ω ³ = 2 ;
2. สำหรับn ≥ 1 , [ ω ^{3 n} ] ³ = [ ω ^{3 n −1} ] .

ฟิลด์ปิดพีชคณิตที่เล็กที่สุดของนิมเบอร์คือเซตของนิมเบอร์ที่น้อยกว่าลำดับω ^{ω ω}โดยที่ωคือลำดับอนันต์ที่เล็กที่สุด เป็นผลให้นิมเบอร์ω ^{ω ω}เป็นองค์ประกอบอดิศัยเหนือฟิลด์^{[ 8 ]}องค์ประกอบอดิศัยถัดไปยังไม่ทราบ^{[ 3 ]}

ตารางต่อไปนี้แสดงการบวกและการคูณระหว่างจำนวน 16 จำนวนแรก

เซตย่อยนี้ปิดภายใต้การดำเนินการทั้งสอง เนื่องจาก 16 อยู่ในรูปแบบ[ 2 ^{2 n} ] 

สามารถสร้างฟิลด์ที่คล้ายกันOn เหนือคลาสของลำดับทั้งหมดสำหรับลักษณะเฉพาะของจำนวนเฉพาะ p แต่ละตัวได้ โดยที่การบวกจะถูกตีความว่าเป็นการบวกฐานpโดยไม่มีการทด และอื่นๆ แต่คำจำกัดความจะซับซ้อนกว่า^{[ 4 ] [ 3 ]}ตัวอย่างเช่น การบวก nim ในOn ถูกกำหนดแบบเรียกซ้ำดังนี้: $${\displaystyle \alpha \oplus \beta =\operatorname {mex} (\{\alpha '\oplus \beta$$ โครงสร้างของแต่ละ On p มีลักษณะคล้ายกันด้านล่าง ω ω ω : อนุกรมของการ ขยายกำลัง สองจนถึง ω ตามด้วยการขยายสำหรับแต่ละดีกรี^{เฉพาะ} จนถึงแต่ละ ω ω ⁿ ที่ ω ^ω ωเป็น^{องค์ประกอบ}อดิศัยที่^{เล็กที่สุด}จำนวนจำกัดก่อให้เกิดขีดจำกัดโดยตรงของ GF( p ^{2 n} )สำหรับ n ทั้งหมด โดยที่ผลคูณของ กำลัง p ของ Fermat ที่แตกต่างกัน (จำนวนในรูปแบบ [ p ^{2 n} ] ) คือผลคูณปกติ และกำลังสองของ กำลัง p ของ Fermat ถูกกำหนดไว้เช่นนั้นจะมีองค์ประกอบดั้งเดิมตัวอย่างเช่น สำหรับ On เราสามารถใช้ 3 ² = 2 , 9 ² = 4และ [3 ^{2 n} ] ² = 3 ^{2 n −1}สำหรับ n ≥ 2คำจำกัดความทั่วไปสำหรับการบวก nim และการคูณ nim มอดูล pรวมถึงกฎสำหรับจำนวนที่น้อยกว่า ω ^{ω ω}ได้รับการอธิบายไว้แล้ว ^{[ 3 ]}

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดOn ที่มีลักษณะเฉพาะ 0 ได้โดยใช้นิยามอุปนัยของOn ในกรณีนี้ ฟิลด์ที่เล็กที่สุดคือลำดับที่น้อยกว่าω ^ωและมันมีลักษณะสมมาตรกับจำนวนตรรกยะ^{[ 3 ]}

• ตัวเลขเหนือจริง