ในตรรกศาสตร์และคณิตศาสตร์ความจำเป็นและความเพียงพอเป็นคำที่ใช้เพื่ออธิบาย ความสัมพันธ์ แบบมีเงื่อนไขหรือแบบบ่งชี้ระหว่างสองประโยคตัวอย่างเช่น ในประโยคเงื่อนไข : "ถ้าPแล้วQ " Q เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับPเพราะความจริงของQนั้น "จำเป็น" ต้องได้รับการรับประกันโดยความจริงของP (หรือเทียบเท่ากันคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะมีP โดยไม่มีQหรือความเท็จของQรับประกันความเท็จของP ) ^{[ 1 ]}ในทำนองเดียวกันPเป็นสิ่งเพียงพอสำหรับQเพราะ การที่ Pเป็นจริงเสมอหรือ "เพียงพอ" บ่งชี้ว่าQเป็นจริง แต่ การที่ Pไม่เป็นจริงไม่ได้หมายความว่าQไม่เป็นจริง เสมอไป ^{[ 2 ]}

โดยทั่วไป เงื่อนไขที่จำเป็นคือเงื่อนไขหนึ่ง (อาจเป็นหนึ่งในหลายเงื่อนไข) ที่ต้องมีอยู่เพื่อให้เงื่อนไขอื่นเกิดขึ้น ในขณะที่เงื่อนไขที่เพียงพอคือเงื่อนไขที่ก่อให้เกิดเงื่อนไขดังกล่าว^{[ 3 ]}การกล่าวอ้างว่าข้อความหนึ่งเป็นเงื่อนไขที่ "จำเป็นและเพียงพอ" ของอีกข้อความหนึ่งหมายความว่าข้อความแรกจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความหลังเป็นจริงเท่านั้น นั่นคือ ข้อความทั้งสองต้องเป็นจริงพร้อมกันหรือเป็นเท็จพร้อมกัน^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

ในภาษาอังกฤษทั่วไป (รวมถึงภาษาธรรมชาติ ) คำว่า "จำเป็น" และ "เพียงพอ" มักบ่งบอกถึงความสัมพันธ์ระหว่างเงื่อนไขหรือสถานการณ์ ไม่ใช่ประโยคบอกเล่า ตัวอย่างเช่น การเป็นทรงกลมเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการเป็นวงกลม แต่ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอ เนื่องจากรูปวงรีและรูปวงรีกลมแต่ไม่ใช่วงกลม ในขณะที่การเป็นวงกลมเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเป็นทรงกลม ประโยคบอกเล่าเงื่อนไขใดๆ ประกอบด้วยเงื่อนไขที่เพียงพออย่างน้อยหนึ่งข้อและเงื่อนไขที่จำเป็นอย่างน้อยหนึ่งข้อ

ในการวิเคราะห์ข้อมูลความจำเป็นและความเพียงพอสามารถอ้างถึงตรรกะเชิงสาเหตุ ที่แตกต่างกันได้ ^{[ 7 ]}โดยการวิเคราะห์เงื่อนไขที่จำเป็นและการวิเคราะห์เปรียบเทียบเชิงคุณภาพสามารถใช้เป็นเทคนิคการวิเคราะห์เพื่อตรวจสอบความจำเป็นและความเพียงพอของเงื่อนไขสำหรับผลลัพธ์ที่สนใจโดยเฉพาะ

ในประโยคเงื่อนไข "ถ้าSแล้วN "นิพจน์ที่แสดงด้วยSเรียกว่าเงื่อนไขและนิพจน์ที่แสดงด้วยNเรียกว่าผลลัพธ์ประโยคเงื่อนไขนี้สามารถเขียนได้หลายวิธีที่เทียบเท่ากัน เช่น " Nถ้าS " " Sก็ต่อเมื่อN " " Sบ่งชี้ว่าN " " Nถูกบ่งชี้โดยS " S → N , S ⇒ Nและ " N ^{เมื่อ}ใดก็ตามที่S " [ ^{8 ]}

ในสถานการณ์ข้างต้นของ "N เมื่อใดก็ตามที่ S "นั้นNถือเป็น เงื่อนไข ที่จำเป็นสำหรับSในภาษาทั่วไป นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่า ถ้าประโยคเงื่อนไขเป็นประโยคที่เป็นจริง ผลลัพธ์N จะต้องเป็นจริงด้วย—ถ้าSจะเป็นจริง (ดูคอลัมน์ที่สามของ " ตารางความจริง " ด้านล่าง) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เงื่อนไขSไม่สามารถเป็นจริงได้หากNไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ใครบางคนถูกเรียกว่า โสกราตี สจำเป็นที่บุคคลนั้นจะต้องมี ชื่อ Nในทำนองเดียวกัน เพื่อให้มนุษย์มีชีวิตอยู่ได้ จำเป็นที่พวกเขาจะต้องมีอากาศ^{[ 9 ]}

นอกจากนี้ยังสามารถกล่าวได้ว่าSเป็น เงื่อนไข ที่เพียงพอสำหรับN (โปรดดูคอลัมน์ที่สามของตารางความจริงด้านล่างอีกครั้ง) หากข้อความเงื่อนไขเป็นจริง ถ้าSเป็นจริงNก็ต้องเป็นจริง ในขณะที่หากข้อความเงื่อนไขเป็นจริงและ N เป็นจริง S อาจเป็นจริงหรือเป็นเท็จก็ได้ โดยทั่วไปแล้ว "ความจริงของS รับประกันความจริงของN " ^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่น จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราสามารถกล่าวได้ว่าการรู้ว่าใครบางคนชื่อ โสกราตี สก็เพียงพอที่จะรู้ว่าใครบางคนมีชื่อ

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอต้องอาศัยผลลัพธ์ทั้งสองประการ${\displaystyle S\Rightarrow N}$และ${\displaystyle N\Rightarrow S}$(ซึ่งสามารถเขียนได้อีกแบบว่า)${\displaystyle S\Leftarrow N}$) ถือไว้ ข้อสรุปแรกชี้ให้เห็นว่าSเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับNในขณะที่ข้อสรุปที่สองชี้ให้เห็นว่าSเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับNซึ่งแสดงได้เป็น " Sเป็นทั้งเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับN ", " S ก็ต่อเมื่อN "หรือ${\displaystyle S\Leftrightarrow N}$.

ตารางความจริง

เอส	เอ็น	${\displaystyle S\Rightarrow N}$	${\displaystyle S\Leftarrow N}$	${\displaystyle S\Leftrightarrow N}$
ที	ที	ที	ที	ที
ที	เอฟ	เอฟ	ที	เอฟ
เอฟ	ที	ที	เอฟ	เอฟ
เอฟ	เอฟ	ที	ที	ที

การยืนยันว่าQจำเป็นสำหรับPนั้นเทียบเท่ากับ " Pจะเป็นจริงไม่ได้เว้นแต่Qจะเป็นจริง" หรือ "ถ้า Q เป็นเท็จ แล้ว P จะเป็นเท็จ" ^{[ 9 ] [ 1 ]}โดยหลักการผกผันนี่คือสิ่งเดียวกันกับ "เมื่อใดก็ตามที่P เป็นจริงQ ก็จะเป็นจริงด้วย "

ความสัมพันธ์เชิงตรรกะระหว่างPและQแสดงได้เป็น "ถ้าPแล้วQ "และเขียนแทนด้วย " P ⇒ Q " ( P บ่งชี้ว่าQ ) นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้เป็น " Pก็ต่อเมื่อQ " , " Qถ้าP " , " Qเมื่อใดก็ตามที่P "และ " Qเมื่อP "บ่อยครั้งที่เราพบเงื่อนไขที่จำเป็นหลายข้อในข้อความทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเมื่อรวมกันแล้วจะกลายเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอ (กล่าวคือ จำเป็นในตัวเองและเพียงพอร่วมกัน^{[ 9 ]} ) ดังแสดงในตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 1

เพื่อให้เป็นความจริงที่ว่า "จอห์นเป็นโสด" จำเป็นต้องเป็นความจริงด้วยว่าเขาเป็น...

1. โสด
2. ชาย,
3. ผู้ใหญ่

เนื่องจากการกล่าวว่า "จอห์นเป็นโสด" หมายความว่าจอห์นมีคุณสมบัติ เพิ่มเติมทั้งสามข้อ นั้น

ตัวอย่างที่ 2

สำหรับจำนวนเต็มที่มากกว่าสอง การเป็นจำนวนคี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากสองเป็นจำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวที่เป็นทั้งจำนวนคู่และจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 3

ลองนึกถึงเสียงฟ้าร้อง ซึ่งเป็นเสียงที่เกิดจากฟ้าผ่า เราอาจกล่าวได้ว่าฟ้าร้องเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับฟ้าผ่า เพราะฟ้าผ่าจะไม่เกิดขึ้นหากไม่มีฟ้าร้อง เมื่อใดก็ตามที่มีฟ้าผ่า ก็จะมีฟ้าร้อง ฟ้าร้องไม่ได้เป็นสาเหตุของฟ้าผ่า (เพราะฟ้าผ่าเป็นสาเหตุของฟ้าร้อง) แต่เนื่องจากฟ้าผ่ามักมาพร้อมกับฟ้าร้อง เราจึงกล่าวว่าฟ้าร้องเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับฟ้าผ่า (กล่าวคือ ในความหมายเชิงรูปแบบ ความจำเป็นไม่ได้หมายความถึงความเป็นเหตุเป็นผล)

ตัวอย่างที่ 4

การมีอายุอย่างน้อย 30 ปีเป็นข้อกำหนดสำหรับการดำรงตำแหน่งในวุฒิสภาสหรัฐฯ หากคุณอายุต่ำกว่า 30 ปี คุณจะไม่สามารถเป็นวุฒิสมาชิกได้ กล่าวคือ หากคุณเป็นวุฒิสมาชิกได้ ก็หมายความว่าคุณต้องมีอายุอย่างน้อย 30 ปี

ตัวอย่างที่ 5

ในพีชคณิตสำหรับเซตS บางเซต พร้อมกับการดำเนินการ บางอย่าง${\displaystyle \star }$ในการจัดตั้งกลุ่มจำเป็นต้องมีสิ่งต่อไปนี้${\displaystyle \star }$ต้อง เป็นสมบัติการสลับที่ นอกจากนี้ จำเป็นที่Sจะต้องมีองค์ประกอบพิเศษeโดยที่สำหรับทุกxในSจะต้องเป็นกรณีที่e${\displaystyle \star }$xและx${\displaystyle \star }$eทั้งสองเท่ากับxนอกจากนี้ จำเป็นด้วยว่าสำหรับทุกxในSจะต้องมีองค์ประกอบx ″ ที่สอดคล้องกัน ซึ่งx ทั้งสองเท่ากัน${\displaystyle \star }$x ″และx ″${\displaystyle \star }$xเท่ากับองค์ประกอบพิเศษeเงื่อนไขจำเป็นทั้งสามข้อนี้ข้อใดข้อหนึ่งไม่เพียงพอ แต่การรวมกันของทั้งสามข้อนั้น เพียงพอ

ถ้าPเพียงพอสำหรับQแล้ว การรู้ว่าPเป็นจริงก็ถือเป็นเหตุผลที่เพียงพอที่จะสรุปได้ว่าQเป็นจริง อย่างไรก็ตาม การรู้ว่าPเป็นเท็จนั้นไม่เพียงพอต่อความต้องการขั้นต่ำที่จะสรุปได้ว่าQเป็นเท็จ

ความสัมพันธ์เชิงตรรกะสามารถแสดงได้ดังเช่นที่กล่าวมาแล้ว คือ "ถ้าPแล้วQ "หรือ " P ⇒ Q "นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ในรูป " Pก็ต่อเมื่อQ " , " Pบ่งชี้ว่าQ "หรือรูปแบบอื่นๆ อีกหลายแบบ อาจมีกรณีที่เงื่อนไขเพียงพอหลายข้อ เมื่อนำมารวมกันแล้ว จะกลายเป็นเงื่อนไขจำเป็นเพียงข้อเดียว (กล่าวคือ แต่ละข้อเพียงพอและรวมกันแล้วจำเป็น) ดังตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 1

"จอห์นเป็นกษัตริย์" หมายความว่าจอห์นเป็นผู้ชาย ดังนั้นการรู้ว่าจอห์นเป็นกษัตริย์ก็เพียงพอที่จะรู้ว่าเขาเป็นผู้ชาย

ตัวอย่างที่ 2

การที่จำนวนใดจำนวนหนึ่งหารด้วย 4 ลงตัวนั้นเพียงพอแล้ว (แต่ไม่จำเป็น) ที่จะทำให้จำนวนนั้นเป็นจำนวนคู่ แต่การที่จำนวนนั้นหารด้วย 2 ลงตัวนั้นเป็นทั้งเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นที่จะทำให้จำนวนนั้นเป็นจำนวนคู่

ตัวอย่างที่ 3

การเกิดเสียงฟ้าร้องเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเกิดฟ้าผ่า ในแง่ที่ว่าการได้ยินเสียงฟ้าร้องและการรับรู้ได้อย่างชัดเจนว่าเป็นเสียงฟ้าร้องนั้น ย่อมเป็นเหตุผลที่เพียงพอที่จะสรุปได้ว่ามีฟ้าผ่าเกิดขึ้นแล้ว

ตัวอย่างที่ 4

หากสภาคองเกรสสหรัฐฯ ผ่านร่างกฎหมาย การลงนามของประธานาธิบดีก็เพียงพอที่จะทำให้ร่างกฎหมายนั้นมีผลบังคับใช้ โปรดทราบว่ากรณีที่ประธานาธิบดีไม่ได้ลงนามในร่างกฎหมาย เช่น โดยการใช้สิทธิยับยั้ง (veto ) ไม่ได้หมายความว่าร่างกฎหมายนั้นไม่ได้กลายเป็นกฎหมาย (ตัวอย่างเช่น อาจยังคงกลายเป็นกฎหมายได้ผ่านการลงมติ ล้มล้างการยับยั้งของสภาคองเกรส)

ตัวอย่างที่ 5

การที่ตรงกลางของไพ่ต้องมีเครื่องหมายโพดำ (♠) ขนาดใหญ่เพียงอันเดียว ก็เพียงพอแล้วที่จะทำให้ไพ่ใบนั้นเป็นเอซ เงื่อนไขอื่นๆ ที่เพียงพออีกสามข้อคือ ตรงกลางของไพ่ต้องมีเครื่องหมายข้าวหลามตัด (♦) โพแดง (♥) หรือดอกจิก (♣) เพียงอันเดียว ไม่มีเงื่อนไขใดจำเป็นต่อการที่ไพ่ใบนั้นจะเป็นเอซ แต่การรวมกัน ของเงื่อนไขเหล่านี้ จำเป็น เพราะไม่มีไพ่ใบใดจะเป็นเอซได้หากไม่ตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อ (อันที่จริงคือตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเท่านั้น)

เงื่อนไขหนึ่งอาจเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นหรือเงื่อนไขที่เพียงพอโดยไม่จำเป็นต้องเป็นอีกเงื่อนไขหนึ่ง ตัวอย่างเช่นการเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม ( N ) เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอต่อการเป็นมนุษย์ ( S ) และจำนวนหนึ่งก็เช่นกัน${\displaystyle x}$เป็นเหตุเป็นผล ( S ) เพียงพอแต่ไม่จำเป็นต่อ${\displaystyle x}$เป็นจำนวนจริง ( N ) (เนื่องจากมีจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ)

เงื่อนไขหนึ่งอาจเป็นได้ทั้งเงื่อนไขที่จำเป็นและเงื่อนไขที่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ในปัจจุบัน "วันนี้คือวันที่ 4 กรกฎาคม " เป็นทั้งเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับ "วันนี้คือวันประกาศอิสรภาพของสหรัฐอเมริกา " ในทำนองเดียวกัน เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการผกผันเมทริกซ์MคือMต้องมีดีเทอร์มิแนนต์ ที่ไม่เป็น ศูนย์

ในทางคณิตศาสตร์ ความจำเป็นและความเพียงพอเป็นสิ่งที่ตรงข้ามกัน สำหรับข้อความใดๆSและNการกล่าวว่า " Nจำเป็นสำหรับS "เทียบเท่ากับการกล่าวว่า " SเพียงพอสำหรับN "อีกแง่มุมหนึ่งของความเป็นคู่กันนี้คือ ดังที่ได้แสดงไว้ข้างต้น การเชื่อมประโยค (โดยใช้ "และ") ของเงื่อนไขที่จำเป็นอาจนำไปสู่ความเพียงพอ ในขณะที่การแยกประโยค (โดยใช้ "หรือ") ของเงื่อนไขที่เพียงพออาจนำไปสู่ความจำเป็น สำหรับแง่มุมที่สาม ให้ระบุตัวบ่งชี้ ทางคณิตศาสตร์ N ทุกตัว กับเซตT ( N ) ของวัตถุ เหตุการณ์ หรือข้อความที่Nเป็นจริง จากนั้นการยืนยันความจำเป็นของNสำหรับSเทียบเท่ากับการอ้างว่าT ( N ) เป็นเซตย่อยของT ( S ) ในขณะที่การยืนยันความเพียงพอของSสำหรับNเทียบเท่ากับการอ้างว่าT ( S ) เป็นเซตย่อยของT ( N )

ในทางจิตวิทยา ความจำเป็นและความเพียงพอเป็นแง่มุมสำคัญของมุมมองแบบคลาสสิกเกี่ยวกับแนวคิด ภายใต้ทฤษฎีแนวคิดแบบคลาสสิก วิธีที่จิตใจมนุษย์แสดงถึงหมวดหมู่ X ก่อให้เกิดชุดของเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ละข้อที่กำหนด X เงื่อนไขที่จำเป็นแต่ละข้อเหล่านี้รวมกันแล้วเพียงพอที่จะเป็น X ^{[ 10 ]}สิ่งนี้แตกต่างจากทฤษฎีแนวคิดเชิงความน่าจะเป็นซึ่งระบุว่าไม่มีคุณลักษณะที่กำหนดใดที่จำเป็นหรือเพียงพอ แต่หมวดหมู่ต่างๆ มีลักษณะคล้ายโครงสร้างแผนผังครอบครัว

การกล่าวว่าPเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับQนั้นหมายถึงสองสิ่งต่อไปนี้:

1. P เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับQ${\displaystyle P\Leftarrow Q}$และP นั้น เพียงพอสำหรับQ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$.
2. ในทำนองเดียวกัน อาจเข้าใจได้ว่าPและQเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับอีกฝ่ายหนึ่ง${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$ซึ่งอาจกล่าวได้ว่าแต่ละอย่างเพียงพอต่อกันหรือบ่งชี้ถึงอีกอย่างหนึ่ง

เราอาจสรุปกรณีใดๆ ก็ตาม และด้วยเหตุนี้จึงสรุปทุกกรณีได้ด้วยประโยคที่ว่า " P ก็ต่อเมื่อQ "ซึ่งเขียนแทนด้วย${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$ในขณะที่กรณีศึกษาต่างๆ บอกเราว่า${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$เหมือนกับ${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$.

ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีกราฟกราฟGเรียกว่ากราฟสองส่วนถ้าสามารถกำหนดสีดำหรือสีขาว ให้กับจุดยอดแต่ละจุดของกราฟ ได้ โดยที่ขอบทุกเส้นของกราฟ Gจะมีจุดปลายหนึ่งจุดของแต่ละสี และสำหรับกราฟใดๆ ที่จะเป็นกราฟสองส่วน เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอคือ กราฟนั้นต้องไม่มีวงจร ที่มีความยาวเป็นเลขคี่ ดังนั้น การค้นหาว่ากราฟมีวงจรเลขคี่หรือไม่ จะบอกว่ากราฟนั้นเป็นกราฟสองส่วนหรือไม่ และในทางกลับกัน นักปรัชญา^{[ 11 ]}อาจอธิบายสถานการณ์นี้ได้ดังนี้: "แม้ว่าแนวคิดเรื่องความเป็นกราฟสองส่วนและการไม่มีวงจรเลขคี่จะแตกต่างกันในความหมายแต่ก็มีขอบเขตที่ เหมือนกัน ^{[ 12 ]}

ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทมักถูกกล่าวในรูปแบบ " Pเป็นจริงก็ต่อเมื่อQเป็นจริง"

เนื่องจากดังที่ได้อธิบายไว้ในหัวข้อก่อนหน้านี้ ความจำเป็นของสิ่งหนึ่งสำหรับอีกสิ่งหนึ่งนั้นเทียบเท่ากับความเพียงพอของอีกสิ่งหนึ่งสำหรับสิ่งแรก เช่น${\displaystyle P\Leftarrow Q}$เทียบเท่ากับ${\displaystyle Q\Rightarrow P}$ถ้าPเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับQแล้วQก็เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับPเช่นกัน เราสามารถเขียนได้ว่า${\displaystyle P\Leftrightarrow Q\equiv Q\Leftrightarrow P}$และกล่าวว่าข้อความ " Pเป็นจริงก็ต่อเมื่อQเป็นจริง" และ " Qเป็นจริงก็ต่อเมื่อPเป็นจริง" นั้นสมมูลกัน

• บทเรียนออนไลน์เกี่ยวกับการคิดเชิงวิพากษ์: เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ
• มหาวิทยาลัยไซมอน เฟรเซอร์: แนวคิดพร้อมตัวอย่าง