ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันบูลีนสมมาตรคือฟังก์ชันบูลีนที่มีค่าไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของบิตอินพุต กล่าวคือขึ้นอยู่กับจำนวนเลขหนึ่ง (หรือเลขศูนย์) ในอินพุตเท่านั้น^{[ 1 ]}ด้วยเหตุนี้จึงเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันนับบูลีน^{[ 2 ]}

มี ฟังก์ชันบูลีน สมมาตรn -ary จำนวน ^{2n + 1}ฟังก์ชัน แทนที่จะ ใช้ ตารางความจริงซึ่งเป็นวิธีการดั้งเดิมที่ใช้ในการแสดงฟังก์ชันบูลีน เราอาจใช้การแสดงที่กระชับกว่าสำหรับฟังก์ชันบูลีนสมมาตรn ตัวแปร นั่นคือ เวกเตอร์ ( n  + 1) ซึ่ง ค่าในตำแหน่งที่ i ( i  = 0, ...,  n ) คือค่าของฟังก์ชันบนเวกเตอร์อินพุตที่มีเลข 1 จำนวน iตัว ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันบูลีนสมมาตรจะสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันที่แปลง องค์ประกอบ n+1 ตัวไปเป็น สอง องค์ประกอบ${\displaystyle f:\{0,1,...,n\}\rightarrow \{0,1\}}$

ฟังก์ชันบูลีนแบบสมมาตรถูกนำมาใช้ในการจำแนกประเภทของปัญหาความพึงพอใจแบบบูลีน

มีการยอมรับกรณีพิเศษจำนวนหนึ่ง: ^{[ 1 ]}

• ฟังก์ชันเสียงข้างมาก : ค่าของมันจะเป็น 1 เมื่อเวกเตอร์อินพุตมีเลข 1 มากกว่า n/2 ตัว
• ฟังก์ชันเกณฑ์ : ค่าของฟังก์ชันนี้จะเป็น 1 สำหรับเวกเตอร์อินพุตที่มีเลข 1 ตั้งแต่ kตัวขึ้นไป สำหรับค่าk ที่กำหนดไว้
• ฟังก์ชัน ที่เท่ากันทั้งหมดและไม่เท่ากันทั้งหมด : ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้จะเป็น 1 เมื่ออินพุตทั้งหมด (ไม่เท่ากันทั้งหมด) มีค่าเท่ากัน
• ฟังก์ชันนับที่แน่นอน : ค่าของฟังก์ชันนี้คือ 1 สำหรับเวกเตอร์อินพุตที่มีเลข 1 จำนวน kตัว สำหรับค่าk ที่กำหนดไว้
  • ฟังก์ชัน วันฮอตหรือ 1-in-n : ค่าของฟังก์ชันนี้จะเป็น 1 เมื่อเวกเตอร์อินพุตมีค่าเป็น 1 เพียงค่าเดียว
  • ฟังก์ชันวันโคลด์ : ค่าของมันคือ 1 สำหรับเวกเตอร์อินพุตที่มีศูนย์เพียงตัวเดียว
• ฟังก์ชันความสอดคล้อง : ค่าของมันคือ 1 สำหรับเวกเตอร์อินพุตที่มีจำนวนเลข 1 สอดคล้องกับk  mod  mสำหรับค่า kและ  m ที่กำหนดไว้
• ฟังก์ชันพาริตี : ค่าของมันจะเป็น 1 ถ้าเวกเตอร์อินพุตมีจำนวนเลข 1 เป็นเลขคี่

ฟังก์ชันบูลี นแบบ n-ary ของAND , OR , XOR , NAND , NORและXNORก็เป็นฟังก์ชันบูลีนแบบสมมาตรเช่นกัน

ต่อไปนี้หมายถึงค่าของฟังก์ชัน เมื่อนำไป ใช้ กับเวกเตอร์อินพุตที่มีน้ำหนัก${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}}$${\displaystyle k}$

สามารถคำนวณน้ำหนักของฟังก์ชันได้จากเวกเตอร์ค่าของฟังก์ชันนั้น:

$${\displaystyle |f|=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f_{k}}$$

รูปแบบปกติทางพีชคณิตจะมีเอกนามทั้งหมดที่มีลำดับที่แน่นอนหรือไม่มีเอกนามใดเลย กล่าวคือการแปลงโมเบียสของฟังก์ชันก็เป็นฟังก์ชันสมมาตรเช่นกัน ดังนั้นจึงสามารถอธิบายได้ด้วยเวกเตอร์บิต ง่ายๆ ( n +1) ตัว คือ เวกเตอร์ ANF เวกเตอร์ ANF และเวกเตอร์ค่ามีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์โมเบียส: โดยที่แทนน้ำหนักk ทั้งหมด ที่มี การแสดง ฐาน 2ครอบคลุมโดยการแสดงฐาน 2 ของm (ผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของลูคัส ) ^{[ 3 ]} โดยพื้นฐานแล้ว ฟังก์ชันบูลีนสมมาตร n ตัวแปรจะสอดคล้องกับ ฟังก์ชันบูลีนธรรมดา log(n) ตัวแปรที่กระทำกับการแสดงฐาน 2 ของน้ำหนักอินพุต ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle {\hat {f}}_{m}}$$${\displaystyle {\hat {f}}_{m}=\bigoplus _{k_{2}\subseteq m_{2}}f_{k}}$$${\displaystyle k_{2}\subseteq m_{2}}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันที่มีสามตัวแปร:

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\hat {f}}_{0}&=&f_{0}\\{\hat {f}}_{1}&=&f_{0}\oplus f_{1}\\{\hat {f}}_{2}&=&f_{0}\oplus f_{2}\\{\hat {f}}_{3}&=&f_{0}\oplus f_{1}\oplus f_{2}\oplus f_{3}\end{array}}}$$

ดังนั้น ฟังก์ชันเสียงข้างมากสามตัวแปรที่มีเวกเตอร์ค่า (0, 0, 1, 1) จะมีเวกเตอร์ ANF (0, 0, 1, 0) กล่าวคือ:$${\displaystyle {\text{Maj}}(x,y,z)=xy\oplus xz\oplus yz}$$

สัมประสิทธิ์ของพหุนามจริงที่สอดคล้องกับฟังก์ชันบนจะกำหนดโดย: ตัวอย่างเช่น พหุนาม ฟังก์ชันส่วนใหญ่ สามตัวแปร มีสัมประสิทธิ์เป็น (0, 0, 1, -2):${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$$${\displaystyle f_{m}^{*}=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{|k|+|m|}{\binom {m}{k}}f_{k}}$$$${\displaystyle {\text{Maj}}(x,y,z)=(xy+xz+yz)-2(xyz)}$$

• ฟังก์ชันสมมาตร