รูปแบบปกติเชิงพีชคณิต (ANF) คือการแสดงฟังก์ชันในพีชคณิตบูลีนสูตรที่เขียนใน ANF ​​ยังเป็นที่รู้จักในชื่อรูปแบบปกติผลรวมวงแหวน (RSNF หรือ RNF) พหุนาม Zhegalkin ( ภาษารัสเซีย : полиномы Жегалкина ) หรือการขยาย Reed–Mullerขั้วบวก (หรือความเท่าเทียมกัน) (PPRM) ^{[ 1 ]}คำศัพท์เหล่านี้อธิบายวิธีการเขียน สูตร ตรรกะเชิงประพจน์ในหนึ่งในสามรูปแบบย่อย:

• สูตรทั้งหมดนี้เป็นจริงหรือเท็จเท่านั้น:
  • ${\displaystyle 1}$
  • ${\displaystyle 0}$
• ตัวแปรหนึ่งตัวหรือมากกว่าจะถูกรวมเข้าเป็นเทอมโดยใช้AND ( ) จากนั้นเทอมหนึ่งตัวหรือมากกว่าจะถูกรวมเข้าเป็นเทอม โดยใช้ XOR ( ) เพื่อสร้าง ANF ไม่อนุญาตให้ใช้การปฏิเสธ :${\displaystyle \land }$${\displaystyle \oplus }$$${\displaystyle a\oplus b\oplus \left(a\land b\right)\oplus \left(a\land b\land c\right)}$$
• รูปแบบย่อยก่อนหน้านี้ที่มีเงื่อนไขที่เป็นจริงล้วนๆ:$${\displaystyle 1\oplus a\oplus b\oplus \left(a\land b\right)\oplus \left(a\land b\land c\right)}$$

พหุนาม Zhegalkin ได้รับการแนะนำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียIvan Ivanovich Zhegalkinในปี 1927 ^{[ 2 ]}โดยเป็นวงแหวนพหุนามเหนือจำนวนเต็มมอดูล 2ความเสื่อมของเลขคณิตมอดูล ที่เกิดขึ้น ส่งผลให้พหุนาม Zhegalkin ง่ายกว่าพหุนามทั่วไป โดยไม่จำเป็นต้องมีสัมประสิทธิ์หรือเลขชี้กำลัง สัมประสิทธิ์นั้นซ้ำซ้อนเพราะ 1 เป็นสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงตัวเดียว เลขชี้กำลังนั้นซ้ำซ้อนเพราะในเลขคณิตมอดูล 2, x ² = xดังนั้นพหุนามเช่น 3 x ² y ⁵ z จึงสอดคล้องกับ และสามารถเขียนใหม่ ได้ เป็นxyz

ก่อนปี 1927 พีชคณิตบูลีนถูกมองว่าเป็นแคลคูลัสของค่าตรรกะที่มีการดำเนินการทางตรรกะ เช่นการเชื่อมการแยกการปฏิเสธและอื่นๆ Zhegalkin แสดงให้เห็นว่าการดำเนินการทางบูลีนทั้งหมดสามารถเขียนได้ในรูปพหุนามตัวเลขธรรมดา โดยแทน ค่า เท็จและ ค่า จริงด้วย 0 และ 1 ซึ่งเป็นจำนวนเต็มมอด 2 การเชื่อมทางตรรกะเขียนเป็นxyและ การแยก แบบพิเศษ ทางตรรกะ เขียนเป็นการบวกทางคณิตศาสตร์มอด 2 (เขียนในที่นี้ว่าx ⊕ yเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับการใช้ + เป็นคำพ้องความหมายของการแยกแบบรวม ∨ ทั่วไป) ส่วนเติมเต็มทางตรรกะ ¬ xคือx ⊕1 เนื่องจาก ∧ และ ¬ เป็นพื้นฐานของพีชคณิตบูลีน การดำเนินการทางตรรกะอื่นๆ ทั้งหมดจึงเป็นการประกอบกันของการดำเนินการพื้นฐานเหล่านี้ ดังนั้นพหุนามของพีชคณิตทั่วไปจึงสามารถแทนการดำเนินการบูลีนทั้งหมดได้ ทำให้สามารถทำการให้เหตุผลแบบบูลีนได้โดยใช้พีชคณิต พื้นฐาน

ตัวอย่างเช่น การดำเนินการหาค่าเกณฑ์หรือค่ามัธยฐานแบบบูลีน 2 ใน 3 จะเขียน ได้ เป็นพหุนาม Zhegalkin xy ⊕ yz ⊕ zx

ในปี พ.ศ. 2460 ซึ่งเป็นปีเดียวกับที่ Zhegalkin ตีพิมพ์บทความ^{[ 2 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันEric Temple Bellได้ตีพิมพ์การแปลงพีชคณิตบูลีนเป็นเลขคณิตที่ซับซ้อนโดยอาศัยทฤษฎีอุดมคติของRichard Dedekind และเลขคณิตมอดูลาร์ทั่วไป (ตรงข้ามกับเลขคณิตมอดูลาร์ 2) ^{[ 3 ]}ลักษณะเลขคณิตที่ง่ายกว่ามากของพหุนาม Zhegalkin ได้รับการสังเกตครั้งแรกในโลกตะวันตก (โดยอิสระ การสื่อสารระหว่างนักคณิตศาสตร์โซเวียตและตะวันตกมีจำกัดมากในยุคนั้น) โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันMarshall Stoneในปี พ.ศ. 2479 ^{[ 4 ]}เมื่อเขาสังเกตเห็นขณะเขียน ทฤษฎีบท คู่ของ Stone ที่มีชื่อเสียงว่าความคล้ายคลึงกันที่ดูเหมือนจะหลวมๆ ระหว่างพีชคณิตบูลีนและวงแหวนนั้นสามารถกำหนดเป็นความเท่าเทียมกันที่แน่นอนสำหรับทั้งพีชคณิตจำกัดและอนันต์ ซึ่งนำไปสู่การที่เขาต้องปรับปรุงบทความของเขาอย่างมากในช่วงไม่กี่ปีต่อมา

ตามหลักการแล้วเอกนาม Zhegalkinคือผลคูณของเซตจำกัดของตัวแปรที่แตกต่างกัน (ดังนั้นจึงไม่มีตัวประกอบกำลังสอง ) รวมถึงเซตว่างซึ่งผลคูณของเซตว่างนั้นแทนด้วย 1 มีเอกนาม Zhegalkin ที่เป็นไปได้ 2^ⁿ ตัวใน ตัวแปร nตัว เนื่องจากเอกนามแต่ละตัวถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์โดยการมีอยู่หรือไม่มีอยู่ของแต่ละตัวแปรพหุนาม Zhegalkinคือผลรวม (exclusive-or) ของเซตของเอกนาม Zhegalkin โดยเซตว่างแทนด้วย 0 การมีอยู่หรือไม่มีอยู่ของเอกนามที่กำหนดในพหุนามจะสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ของเอกนามนั้นเป็น 1 หรือ 0 ตามลำดับ เอกนาม Zhegalkin เป็นอิสระเชิงเส้น จึงครอบคลุม ปริภูมิเวกเตอร์ 2 ^ⁿ มิติเหนือฟิลด์ Galois GF (2) (หมายเหตุ: ไม่ใช่GF (2 ^ⁿ ) ซึ่งการคูณนั้นแตกต่างกันมาก) เวกเตอร์ 2 ^{2 n}ของปริภูมินี้ กล่าวคือ การรวมเชิงเส้นของเอกนามเหล่านั้นในฐานะเวกเตอร์หน่วย ประกอบกันเป็นพหุนาม Zhegalkin ความสอดคล้องที่แน่นอนกับจำนวนของการดำเนินการบูลีนบน ตัวแปร nตัว ซึ่งครอบคลุม การดำเนินการ n -ary บน {0,1} ทั้งหมด ให้ข้อโต้แย้งเชิงนับโดยตรงสำหรับความสมบูรณ์ของพหุนาม Zhegalkin ในฐานะฐานบูลีน

ปริภูมิเวกเตอร์นี้ไม่เทียบเท่ากับพีชคณิตบูลีนอิสระบน ตัวสร้าง nตัว เนื่องจากขาดการดำเนินการเติมเต็ม (การปฏิเสธเชิงตรรกะแบบบิต) (หรือเทียบเท่ากัน เนื่องจากขาดองค์ประกอบสูงสุดเป็นค่าคงที่) นี่ไม่ได้หมายความว่าปริภูมิไม่ปิดภายใต้การเติมเต็มหรือขาดองค์ประกอบสูงสุด ( เวกเตอร์ที่มีค่าเป็น 1 ทั้งหมด ) แต่หมายความว่าการแปลงเชิงเส้นของปริภูมินี้และปริภูมิที่สร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันไม่จำเป็นต้องรักษาค่าเติมเต็มและค่าสูงสุดไว้ การแปลงที่รักษาค่าเหล่านี้ไว้จะสอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึมบูลีน เช่น มีการแปลงเชิงเส้นสี่แบบจากปริภูมิเวกเตอร์ของพหุนาม Zhegalkin เหนือตัวแปรหนึ่งตัวไปยังปริภูมิที่ไม่มีตัวแปร ซึ่งมีเพียงสองแบบเท่านั้นที่เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมบูลีน

ANF ​​เป็นรูปแบบมาตรฐาน (canonical form ) ซึ่งหมายความว่าสูตรสอง สูตร ที่สมมูลกันทางตรรกะจะแปลงเป็นรูปแบบ ANF เดียวกัน ทำให้สามารถแสดงให้เห็นได้ง่ายว่าสูตรสองสูตรนั้นสมมูลกันหรือไม่สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติ แตก ต่างจากรูปแบบปกติอื่นๆ ANF สามารถแสดงได้ในรูปของรายการรายการของชื่อตัวแปรอย่างง่ายๆ — รูปแบบปกติแบบ เชื่อมโยง (conjunctive normal form) และ แบบ แยก (disjunctive normal form) ยังต้องบันทึกด้วยว่าตัวแปรแต่ละตัวถูกปฏิเสธหรือไม่รูปแบบปกติแบบปฏิเสธ (negation normal form)ไม่เหมาะสมสำหรับการพิจารณาความสมมูล เนื่องจากในรูปแบบปกติแบบปฏิเสธ ความสมมูลไม่ได้หมายความถึงความเท่าเทียมกันเสมอไป: a ∨ ¬a ไม่ได้ลดรูปไปเป็นสิ่งเดียวกับ 1 แม้ว่าจะสมมูลกันทางตรรกะก็ตาม

การใส่สูตรลงใน ANF ​​ยังช่วยให้ระบุ ฟังก์ชัน เชิงเส้น ได้ง่ายขึ้น (เช่น ใช้ในรีจิสเตอร์เลื่อนแบบป้อนกลับเชิงเส้น ) กล่าวคือ ฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่เป็นผลรวมของค่าคงที่ตัวเดียว นอกจากนี้ คุณสมบัติของรีจิสเตอร์เลื่อน แบบป้อนกลับที่ไม่เป็นเชิงเส้น ยังสามารถอนุมานได้จากคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันป้อนกลับใน ANF ​​ด้วย

มีวิธีการที่ตรงไปตรงมาในการดำเนินการทางตรรกะแบบบูลีนมาตรฐานกับข้อมูลนำเข้าของ ANF เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ของ ANF

การดำเนินการ XOR (การแยกส่วนเชิงตรรกะ) จะดำเนินการโดยตรง:

( 1 ⊕ x ) ⊕ ( 1 ⊕ x ⊕ y )

1 ⊕ x ⊕ 1 ⊕ x ⊕ y

1 ⊕ 1 ⊕ x ⊕ x ⊕ y

y

NOT (การปฏิเสธเชิงตรรกะ) คือการ XOR 1: ^{[ 5 ]}

¬ (1 ⊕ x ⊕ y)

1 ⊕ (1 ⊕ x ⊕ y)

1 ⊕ 1 ⊕ x ⊕ y

x ⊕ y

AND (การเชื่อมโยงเชิงตรรกะ) กระจายตามพีชคณิต^{[ 6 ]}

( 1 ⊕ x ) (1 ⊕ x ⊕ y)

1 (1 ⊕ x ⊕ y) ⊕ x (1 ⊕ x ⊕ y)

(1 ⊕ x ⊕ y) ⊕ (x ⊕ x ⊕ xy)

1 ⊕ x ⊕ x ⊕ x ⊕ y ⊕ xy

1 ⊕ x ⊕ y ⊕ xy

OR (การแยกตรรกะ) ใช้ 1 ⊕ (1 ⊕ a)(1 ⊕ b) ^{[ 7 ]} (ง่ายกว่าเมื่อตัวถูกดำเนินการทั้งสองมีเงื่อนไขที่เป็นจริงล้วนๆ) หรือ a ⊕ b ⊕ ab ^{[ 8 ]} (ง่ายกว่าในกรณีอื่นๆ)

( 1 ⊕ x ) + ( 1 ⊕ x ⊕ y )

1 ⊕ (1 ⊕ 1 ⊕ x )(1 ⊕ 1 ⊕ x ⊕ y )

1 ⊕ x(x ⊕ y)

1 ⊕ x ⊕ xy

ตัวแปรแต่ละตัวในสูตรนั้นอยู่ในรูปแบบ ANF บริสุทธิ์อยู่แล้ว ดังนั้นจึงจำเป็นต้องทำการคำนวณค่าบูลีนของสูตรตามที่แสดงไว้ข้างต้น เพื่อแปลงสูตรทั้งหมดให้อยู่ในรูปแบบ ANF ตัวอย่างเช่น:

x + (y ⋅ ¬z)

x + (y(1 ⊕ z))

x + (y ⊕ yz)

x ⊕ (y ⊕ yz) ⊕ x(y ⊕ yz)

x ⊕ y ⊕ xy ⊕ yz ⊕ xyz

บางครั้ง ANF ก็ถูกอธิบายในลักษณะที่เทียบเท่ากันดังนี้:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\!}$	${\displaystyle a_{0}\oplus \!}$
	${\displaystyle a_{1}x_{1}\oplus a_{2}x_{2}\oplus \cdots \oplus a_{n}x_{n}\oplus \!}$
	${\displaystyle a_{1,2}x_{1}x_{2}\oplus \cdots \oplus a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}\oplus \!}$
	${\displaystyle \cdots \oplus \!}$
	${\displaystyle a_{1,2,\ldots ,n}x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\!}$

โดยอธิบายรายละเอียดอย่างครบถ้วน${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}\in \{0,1\}^{*}}$${\displaystyle f}$

มีฟังก์ชันเพียงสี่ฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เดียว:

• ${\displaystyle f(x)=0}$
• ${\displaystyle f(x)=1}$
• ${\displaystyle f(x)=x}$
• ${\displaystyle f(x)=1\oplus x}$

ในการแสดงฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์หลายตัว สามารถใช้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(x_{2},\ldots ,x_{n})\oplus x_{1}h(x_{2},\ldots ,x_{n})}$, ที่ไหน

• ${\displaystyle g(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})}$
• ${\displaystyle h(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})\oplus f(1,x_{2},\ldots ,x_{n})}$

อย่างแท้จริง,

• ถ้าเช่นนั้นและเช่นนั้น${\displaystyle x_{1}=0}$${\displaystyle x_{1}h=0}$${\displaystyle f(0,\ldots )=f(0,\ldots )}$
• ถ้าเช่นนั้นและเช่นนั้น${\displaystyle x_{1}=1}$${\displaystyle x_{1}h=h}$${\displaystyle f(1,\ldots )=f(0,\ldots )\oplus f(0,\ldots )\oplus f(1,\ldots )}$

เนื่องจากทั้งและมีจำนวนอาร์กิวเมนต์น้อยกว่าดังนั้นการใช้กระบวนการนี้ซ้ำๆ จะทำให้เราได้ฟังก์ชันที่มีตัวแปรเดียว ตัวอย่างเช่น ลองสร้าง ANF ของ(ตรรกะ หรือ): ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x,y)=x\lor y}$

• ${\displaystyle f(x,y)=f(0,y)\oplus x(f(0,y)\oplus f(1,y))}$
• ตั้งแต่และ${\displaystyle f(0,y)=0\lor y=y}$${\displaystyle f(1,y)=1\lor y=1}$
• ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า${\displaystyle f(x,y)=y\oplus x(y\oplus 1)}$
• โดยการแจกแจง เราจะได้ ANF สุดท้าย:${\displaystyle f(x,y)=y\oplus xy\oplus x=x\oplus y\oplus xy}$

มีวิธีการคำนวณพหุนาม Zhegalkin ที่รู้จักกันดีหลายวิธี ดังนี้:

• โดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน
• โดยการสร้างรูปแบบปกติแบบแยกส่วนตามหลักการ
• โดยใช้ตาราง
• วิธีปาสคาล
• วิธีการรวมผล
• การใช้แผนที่คาร์นอห์

โดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่กำหนด เราจะสร้างระบบสมการเชิงเส้นที่ประกอบด้วยคู่ของฟังก์ชันและค่าของคู่เหล่านั้นทั้งหมด การแก้ระบบสมการเชิงเส้นนี้จะให้สัมประสิทธิ์ของพหุนาม Zhegalkin

กำหนดฟังก์ชันบูลีนให้แสดงฟังก์ชันนั้นในรูปพหุนาม Zhegalkin ฟังก์ชันนี้สามารถแสดงได้ในรูปเวกเตอร์คอลัมน์${\displaystyle f(A,B,C)={\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}+{\bar {A}}B{\bar {C}}+A{\bar {B}}{\bar {C}}+ABC}$$${\displaystyle {\vec {f}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$$

เวกเตอร์นี้ควรเป็นผลลัพธ์ของการคูณทางซ้ายของเวกเตอร์ที่มีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าด้วยเมทริกซ์ตรรกะขนาด 8x8 ซึ่งแสดงถึงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่การเชื่อมโยงที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ A, B, C สามารถรับได้ ค่าที่เป็นไปได้เหล่านี้แสดงอยู่ในตารางความจริงต่อไปนี้: $${\displaystyle {\vec {c}}={\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}\\c_{5}\\c_{6}\\c_{7}\end{pmatrix}}}$$

ข้อมูลในตารางความจริงข้างต้นสามารถเข้ารหัสได้ในเมทริกซ์ตรรกะต่อไปนี้: โดยที่ 'S' ในที่นี้หมายถึง "Sierpiński" เช่นเดียวกับสามเหลี่ยม Sierpińskiและตัวห้อย 3 แสดงถึงเลขชี้กำลังของขนาด: $${\displaystyle S_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&1&1&1&1&1\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle 2^{3}\times 2^{3}}$

สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์และการคูณเมทริกซ์บล็อกว่า "เมทริกซ์ Sierpiński" ใดๆ ก็ตามเป็นเมทริกซ์ผกผันของตัวเอง^{[ nb 1 ]}${\displaystyle S_{n}}$

ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นคือซึ่งสามารถหาคำตอบได้ดังนี้: และพหุนาม Zhegalkin ที่สอดคล้องกับคือ$${\displaystyle S_{3}{\vec {c}}={\vec {f}}}$$${\displaystyle {\vec {c}}}$$${\displaystyle {\vec {c}}=S_{3}^{-1}{\vec {f}}=S_{3}{\vec {f}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&1&1&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\oplus 1\\1\oplus 1\\1\oplus 1\\1\oplus 1\\1\oplus 1\oplus 1\\1\oplus 1\oplus 1\oplus 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle {\vec {c}}}$${\displaystyle 1\oplus C\oplus AB}$

โดยใช้วิธีนี้ ขั้นแรกจะคำนวณ รูปแบบปกติแบบแยกส่วนมาตรฐาน ( รูปแบบปกติแบบแยกส่วน ที่ขยายอย่างสมบูรณ์ ) จากนั้นจะแทนที่การปฏิเสธในนิพจน์นี้ด้วยนิพจน์ที่เทียบเท่ากันโดยใช้ผลรวมมอด 2 ของตัวแปรและ 1 เปลี่ยนเครื่องหมายแยกส่วนเป็นการบวกมอด 2 เปิดวงเล็บ และลดรูปนิพจน์บูลีนที่ได้ การลดรูปนี้ส่งผลให้ได้พหุนาม Zhegalkin

ให้เป็นผลลัพธ์ของตารางความจริงสำหรับฟังก์ชันPของ ตัวแปร nตัว โดยที่ดัชนีของ's สอดคล้องกับดัชนีไบนารีของมินเทอม [ ^{nb 2 ]}กำหนดฟังก์ชัน ζ แบบเวียนซ้ำโดย: โปรดทราบว่าโดยที่คือสัมประสิทธิ์ทวินามที่ลดทอนโมดูล 2 ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{2^{n}-1}}$${\displaystyle c_{i}}$$${\displaystyle \zeta (c_{i}):=c_{i}}$$$${\displaystyle \zeta (c_{0},\dots ,c_{k}):=\zeta (c_{0},\dots ,c_{k-1})\oplus \zeta (c_{1},\dots ,c_{k}).}$$$${\displaystyle \zeta (c_{0},\dots ,c_{m})=\bigoplus _{k=0}^{m}{m \choose k}_{2}c_{k}}$$${\textstyle {m \choose k}_{2}}$

จากนั้นคือ สัมประสิทธิ์ ^ที่iของพหุนาม Zhegalkin ซึ่งตัวอักษรใน เอกนาม ^ที่iเหมือนกับตัวอักษรใน มินเทอม ^ที่iยกเว้นว่าตัวอักษรที่เป็นลบจะถูกลบออก (หรือแทนที่ด้วย 1) $${\displaystyle g_{i}=\zeta (c_{0},\dots ,c_{i})}$$

การแปลง ζ เป็นการผกผันของตัวมันเอง ดังนั้นจึงสามารถใช้ตารางแบบเดียวกันในการคำนวณสัมประสิทธิ์ได้โดยกำหนดสัมประสิทธิ์ให้เพียงแค่ให้${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{2^{n}-1}}$${\displaystyle g_{0},\dots ,g_{2^{n}-1}}$$${\displaystyle c_{i}=\zeta (g_{0},\dots ,g_{i}).}$$

จากตารางในรูป ให้คัดลอกค่าที่ได้จากตารางความจริง (ในคอลัมน์ที่ระบุว่าP ) ไปยังคอลัมน์ซ้ายสุดของตารางสามเหลี่ยม จากนั้นคำนวณคอลัมน์จากซ้ายไปขวาโดยใช้การดำเนินการ XOR กับเซลล์ที่อยู่ติดกันในแนวตั้งแต่ละคู่ เพื่อเติมค่าลงในเซลล์ที่อยู่ทางขวาของเซลล์บนสุดของแต่ละคู่ เมื่อตารางสามเหลี่ยมทั้งหมดถูกเติมเต็มแล้ว แถวบนสุดจะแสดงค่าสัมประสิทธิ์ของการรวมเชิงเส้น ซึ่งเมื่อทำให้ง่ายขึ้น (โดยการตัดค่าศูนย์ออก) จะได้พหุนาม Zhegalkin

ในการแปลงพหุนาม Zhegalkin ไปเป็นตารางความจริง สามารถทำได้โดยการเติมแถวบนสุดของตารางสามเหลี่ยมด้วยสัมประสิทธิ์ของพหุนาม Zhegalkin (โดยใส่ศูนย์สำหรับค่าบวกใดๆ ที่ไม่ได้อยู่ในพหุนาม) จากนั้นคำนวณแถวต่างๆ จากบนลงล่างโดยใช้การดำเนินการ XOR กับเซลล์ที่อยู่ติดกันในแนวนอนแต่ละคู่ เพื่อเติมเซลล์ที่อยู่ด้านล่างสุดของเซลล์ซ้ายสุดของแต่ละคู่ เมื่อตารางสามเหลี่ยมทั้งหมดเต็มแล้ว สามารถคัดลอกคอลัมน์ซ้ายสุดของตารางสามเหลี่ยมไปยังคอลัมน์Pของตารางความจริงได้

นอกจากนี้ วิธีการคำนวณนี้ยังสอดคล้องกับวิธีการทำงานของออโตมาตาเซลลูลาร์พื้นฐานที่เรียกว่ากฎ 102ตัวอย่างเช่น เริ่มต้นออโตมาตาเซลลูลาร์ดังกล่าวด้วยเซลล์แปดเซลล์ที่ตั้งค่าด้วยเอาต์พุตของตารางความจริง (หรือสัมประสิทธิ์ของรูปแบบปกติแบบแยกส่วนตามหลักการ) ของนิพจน์บูลีน: 10101001 จากนั้นรันออโตมาตาเซลลูลาร์ต่อไปอีกเจ็ดรุ่นในขณะที่บันทึกสถานะของเซลล์ซ้ายสุด ประวัติของเซลล์นี้จะกลายเป็น: 11000010 ซึ่งแสดงสัมประสิทธิ์ของพหุนาม Zhegalkin ที่สอดคล้องกัน^{[ 9 ] [ 10 ]}

วิธีของปาสคาลเป็นวิธีที่ประหยัดที่สุดในแง่ของปริมาณการคำนวณและสะดวกที่สุดสำหรับการสร้างพหุนาม Zhegalkin ด้วยตนเอง

เราสร้างตารางที่ประกอบด้วยคอลัมน์และแถว โดยที่Nคือจำนวนตัวแปรในฟังก์ชัน ในแถวบนสุดของตาราง เราจะวางเวกเตอร์ของค่าฟังก์ชัน ซึ่งก็คือคอลัมน์สุดท้ายของตารางความจริง ${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle N+1}$

แต่ละแถวของตารางที่ได้จะถูกแบ่งออกเป็นบล็อก (เส้นสีดำในรูป) ในแถวแรก บล็อกจะกินพื้นที่หนึ่งเซลล์ ในแถวที่สองสองเซลล์ ในแถวที่สามสี่เซลล์ ในแถวที่สี่แปดเซลล์ และต่อไปเรื่อยๆ แต่ละบล็อกในแถวใดแถวหนึ่ง ซึ่งเราจะเรียกว่า "บล็อกล่าง" จะตรงกับสองบล็อกในแถวก่อนหน้าเสมอ เราจะเรียกบล็อกเหล่านั้นว่า "บล็อกบนซ้าย" และ "บล็อกบนขวา"

การสร้างเริ่มต้นจากบรรทัดที่สอง เนื้อหาของบล็อกด้านบนซ้ายจะถูกถ่ายโอนโดยไม่เปลี่ยนแปลงไปยังเซลล์ที่สอดคล้องกันของบล็อกด้านล่าง (ลูกศรสีเขียวในรูป) จากนั้น จะทำการดำเนินการ "การบวกโมดูลัสสอง" แบบบิตต่อบิตกับบล็อกด้านบนขวาและด้านบนซ้าย และผลลัพธ์จะถูกถ่ายโอนไปยังเซลล์ที่สอดคล้องกันทางด้านขวาของบล็อกด้านล่าง (ลูกศรสีแดงในรูป) การดำเนินการนี้จะดำเนินการกับทุกบรรทัดจากบนลงล่างและกับทุกบล็อกในแต่ละบรรทัด หลังจากสร้างเสร็จแล้ว บรรทัดล่างสุดจะมีสตริงของตัวเลข ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม Zhegalkin ที่เขียนในลำดับเดียวกันกับในวิธีการสามเหลี่ยมที่อธิบายไว้ข้างต้น

จากตารางค่าความจริง เราสามารถคำนวณสัมประสิทธิ์แต่ละตัวของพหุนาม Zhegalkin ได้อย่างง่ายดาย โดยการรวมค่าของฟังก์ชันในแถวของตารางค่าความจริงที่ตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยง (ซึ่งสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ที่กำลังคำนวณ) มีค่าเป็นศูนย์ แล้วหารด้วย 2

สมมติว่าเราต้องการหาค่าสัมประสิทธิ์ของ การเชื่อมโยง xzสำหรับฟังก์ชันสามตัวแปรโดยที่ไม่มีตัวแปรyในการเชื่อมโยงนี้ ให้หาเซตอินพุตที่ตัวแปรyมีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งได้แก่เซต 0, 1, 4, 5 (000, 001, 100, 101) แล้วค่าสัมประสิทธิ์ของการเชื่อมโยงxzคือ ${\displaystyle f(x,y,z)}$

$${\displaystyle a_{5}=f_{0}\oplus f_{1}\oplus f_{4}\oplus f_{5}=f(0,0,0)\oplus f(0,0,1)\oplus f(1,0,0)\oplus f(1,0,1)}$$

เนื่องจากไม่มีตัวแปรใดที่มีพจน์คงที่$${\displaystyle a_{0}=f_{0}.}$$

สำหรับพจน์ที่มีตัวแปรทั้งหมด ผลรวมจะรวมค่าทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นด้วย:$${\displaystyle a_{N-1}=f_{0}\oplus f_{1}\oplus f_{2}\oplus \dots \oplus f_{N-2}\oplus f_{N-1}}$$

เราสามารถแสดงค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม Zhegalkin ในรูปแบบกราฟิกได้ โดยคิดจากผลรวมโมดูลัส 2 ของค่าฟังก์ชัน ณ จุดต่างๆ เพื่อทำเช่นนี้ เราจะสร้างตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยแต่ละคอลัมน์แทนค่าของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง และแถวแทนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม Zhegalkin จุดตัดระหว่างคอลัมน์และแถวใดๆ หมายความว่าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นรวมอยู่ในผลรวมสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่กำหนด (ดูรูป) เราเรียกตารางนี้ว่า โดยที่Nคือจำนวนตัวแปรของฟังก์ชัน ${\displaystyle T_{N}}$

มีรูปแบบหนึ่งที่ช่วยให้คุณสามารถสร้างตารางสำหรับฟังก์ชันของ ตัวแปร Nตัว โดยใช้ตารางสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรที่มีอยู่แล้ว ตารางใหม่จะถูกจัดเรียงเป็นเมทริกซ์ขนาด 2 × 2 และบล็อกด้านบนขวาของเมทริกซ์จะถูกล้างออก ${\displaystyle N-1}$${\displaystyle T_{N}+1}$${\displaystyle T_{N}}$

พิจารณาคอลัมน์ของตารางว่าสอดคล้องกับองค์ประกอบของแลตทิซบูลีนขนาดสำหรับแต่ละคอลัมน์ให้แสดงตัวเลขMเป็นเลขฐานสองแล้ว ก็ต่อเมื่อโดยที่หมายถึงการดำเนินการ OR ระดับบิต ${\displaystyle T_{N}}$${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle f_{M}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle f_{M}\leq f_{K}}$${\displaystyle M_{2}\vee K_{2}=K_{2}}$${\displaystyle \vee }$

ถ้าแถวของตารางมีหมายเลขกำกับจากบนลงล่าง ตั้งแต่ 0 ถึงn แล้ว เนื้อหาในแถวหมายเลขRจะเป็นอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของแลตทิซ ${\displaystyle T_{N}}$${\displaystyle 2^{N}-1}$${\displaystyle f_{R}}$

อนึ่ง โปรดสังเกตว่ารูปแบบโดยรวมของตารางนั้นเป็นรูปแบบของเมทริกซ์เชิงตรรกะแบบสามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี (Sierpiński triangle ) นอกจากนี้ รูปแบบดังกล่าวยังสอดคล้องกับออโตมาตาเซลลูลาร์พื้นฐานที่เรียกว่ากฎข้อที่ 60โดยเริ่มต้นจากเซลล์ซ้ายสุดที่ตั้งค่าเป็น 1 และเซลล์อื่นๆ ทั้งหมดถูกล้าง ${\displaystyle T_{N}}$

ภาพแสดงฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวP ( A , B , C ) ซึ่งแสดงในรูปแผนที่คาร์โนห์ผู้อ่านอาจพิจารณาภาพนี้เป็นตัวอย่างวิธีการแปลงแผนที่ดังกล่าวเป็นพหุนามเซกัลกิน โดยขั้นตอนทั่วไปมีดังต่อไปนี้:

• เราพิจารณาเซลล์ทั้งหมดของแผนที่คาร์โนห์ตามลำดับจากน้อยไปมากตามจำนวนหน่วยในรหัสของเซลล์นั้น สำหรับฟังก์ชันสามตัวแปร ลำดับของเซลล์จะเป็น 000–100–010–001–110–101–011–111 แต่ละเซลล์ของแผนที่คาร์โนห์จะสัมพันธ์กับสมาชิกของพหุนาม Zhegalkin ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของรหัสที่มีเลข 1 อยู่ ตัวอย่างเช่น เซลล์ 111 สอดคล้องกับสมาชิก ABC เซลล์ 101 สอดคล้องกับสมาชิก AC เซลล์ 010 สอดคล้องกับสมาชิก B และเซลล์ 000 สอดคล้องกับสมาชิก 1
• ถ้าเซลล์ที่ต้องการตรวจสอบมีค่าเป็น 0 ให้ไปที่เซลล์ถัดไป
• ถ้าเซลล์ที่พิจารณาคือ 1 ให้เพิ่มพจน์ที่สอดคล้องกันลงในพหุนาม Zhegalkin จากนั้นกลับค่าเซลล์ทั้งหมดในแผนที่ Karnaugh ที่พจน์นี้เป็น 1 (หรือเป็นส่วนหนึ่งของอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยพจน์นี้ ในแลตทิซบูลีนของเอกนาม) แล้วไปที่เซลล์ถัดไป ตัวอย่างเช่น ถ้าเมื่อตรวจสอบเซลล์ 110 แล้วพบเลข 1 ปรากฏอยู่ ให้เพิ่มพจน์ AB ลงในพหุนาม Zhegalkin และกลับค่าเซลล์ทั้งหมดในแผนที่ Karnaugh ที่ A = 1 และ B = 1 ถ้าเซลล์ 000 เป็นหน่วย ให้เพิ่มพจน์ 1 ลงในพหุนาม Zhegalkin และกลับค่าแผนที่ Karnaugh ทั้งหมด
• กระบวนการแปลงจะถือว่าเสร็จสมบูรณ์เมื่อหลังจากการผกผันครั้งถัดไป เซลล์ทั้งหมดในแผนที่คาร์โนห์กลายเป็นศูนย์ หรืออยู่ในสภาวะที่ไม่สนใจ

สูตรการผกผันโมเบียสเชื่อมโยงสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ผลรวมของมินเทอมแบบบูลีนและพหุนามเซกัลกิน นี่คือสูตรโมเบียสเวอร์ชันลำดับบางส่วน ไม่ใช่เวอร์ชันทฤษฎีจำนวน สูตรการผกผันโมเบียสสำหรับลำดับบางส่วนคือ: ^{[ 11 ]} โดยที่| x | คือระยะทางแฮมมิงของxจาก 0 เนื่องจากในพีชคณิตเซกัลกิน ฟังก์ชันโมเบียสจะยุบตัวลงเป็นค่าคงที่ 1 $${\displaystyle g(x)=\sum _{y:y\leq x}f(y)\leftrightarrow f(x)=\sum _{y:y\leq x}g(y)\mu (y,x),}$$${\displaystyle \mu (y,x)=(-1)^{|x|-|y|}}$${\displaystyle -1\equiv 1}$

เซตของตัวหารของจำนวนx ที่กำหนดให้ ก็คือไอเดียลลำดับที่สร้างขึ้นโดยจำนวนนั้นด้วย: . เนื่องจากการบวกเป็นการบวกแบบมอดูล 2 สูตรจึงสามารถเขียนใหม่ได้เป็น${\displaystyle \langle x\rangle }$$${\displaystyle g(x)=\bigoplus _{y:y\in \langle x\rangle }f(y)\leftrightarrow f(x)=\bigoplus _{y:y\in \langle x\rangle }g(y)}$$

ยกตัวอย่างเช่น กรณีที่มีตัวแปรสามตัว ตารางต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์ของการหารลงตัว:

แล้ว$${\displaystyle {\begin{aligned}g(000)&=f(000)\\[1ex]g(001)&=f(000)\oplus f(001)\\[1ex]g(010)&=f(000)\oplus f(010)\\[1ex]g(011)&=f(000)\oplus f(001)\oplus f(010)\oplus f(011)\\[1ex]g(100)&=f(000)\oplus f(100)\\[1ex]g(101)&=f(000)\oplus f(001)\oplus f(100)\oplus (101)\\[1ex]g(110)&=f(000)\oplus f(010)\oplus f(100)\oplus f(110)\\[1ex]g(111)&=f(000)\oplus f(001)\oplus f(010)\oplus f(011)\oplus f(100)\oplus f(101)\oplus f(110)\oplus f(111)\end{aligned}}}$$

ระบบสมการข้างต้นสามารถหาคำตอบสำหรับfได้ และผลลัพธ์สามารถสรุปได้ว่าได้มาจากการสลับgและfในระบบสมการข้างต้นทั้งหมด

ตารางด้านล่างแสดงเลขฐานสอง พร้อมด้วยเอกนาม Zhegalkin และมินเทอมบูลีนที่เกี่ยวข้อง:

มินเทอร์มบูลีน	เอบีซี	เอกนามของ Zhegalkin
${\displaystyle {\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}}$	000	1
${\displaystyle {\bar {A}}{\bar {B}}C}$	001	ซี
${\displaystyle {\bar {A}}B{\bar {C}}}$	010	บี
${\displaystyle {\bar {A}}BC}$	011	บีซี
${\displaystyle A{\bar {B}}{\bar {C}}}$	100	เอ
${\displaystyle A{\bar {B}}C}$	101	เอซี
${\displaystyle AB{\bar {C}}}$	110	เอบี
${\displaystyle ABC}$	111	เอบีซี

เอกนามของ Zhegalkin เรียงลำดับตามธรรมชาติโดยพิจารณาจากการหารลงตัว ในขณะที่มินเทอมของ Boolean ไม่ได้เรียงลำดับตามธรรมชาติเช่นนั้น แต่ละมินเทอมแสดงถึงหนึ่งในแปดส่วนที่ไม่ซ้ำกันของแผนภาพเวนน์ สามตัวแปร การเรียงลำดับของเอกนามจะถ่ายทอดไปยังสตริงบิตดังนี้: เมื่อกำหนดและซึ่งเป็นคู่ของบิตสามตัวแล้ว จะได้ ${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}}$${\displaystyle b_{1}b_{2}b_{3}}$${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\leq b_{1}b_{2}b_{3}\leftrightarrow a_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq b_{2}\wedge a_{3}\leq b_{3}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมของมินเทอมแบบบูลีนสามตัวแปรกับพหุนาม Zhegalkin คือ:$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(000){\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}\vee f(001){\bar {A}}{\bar {B}}C\vee f(010){\bar {A}}B{\bar {C}}\vee f(011){\bar {A}}BC\vee f(100)A{\bar {B}}{\bar {C}}\vee f(101)A{\bar {B}}C\vee f(110)AB{\bar {C}}\vee f(111)ABC\\[1ex]&\qquad \equiv g(000)\oplus g(001)C\oplus g(010)B\oplus g(011)BC\oplus g(100)A\oplus g(101)AC\oplus g(110)AB\oplus g(111)ABC.\end{aligned}}}$$

ระบบสมการข้างต้นสามารถสรุปได้เป็นสม การ เมทริกซ์เชิงตรรกะ:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}g(000)\\g(001)\\g(010)\\g(011)\\g(100)\\g(101)\\g(110)\\g(111)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0\\1&&1&&0&&0&&0&&0&&0&&0\\1&&0&&1&&0&&0&&0&&0&&0\\1&&1&&1&&1&&0&&0&&0&&0\\1&&0&&0&&0&&1&&0&&0&&0\\1&&1&&0&&0&&1&&1&&0&&0\\1&&0&&1&&0&&1&&0&&1&&0\\1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f(000)\\f(001)\\f(010)\\f(011)\\f(100)\\f(101)\\f(110)\\f(111)\end{pmatrix}}}$$

ซึ่งNJ Wildbergerเรียกว่าการแปลงแบบบูล-โมเบียส

ด้านล่างนี้คือรูปแบบ " ตารางคำนวณ XOR " ของการแปลง โดยมีทิศทางจากgไปf :

${\displaystyle f_{000}}$	${\displaystyle f_{001}}$	${\displaystyle f_{010}}$	${\displaystyle f_{011}}$	${\displaystyle f_{100}}$	${\displaystyle f_{101}}$	${\displaystyle f_{110}}$	${\displaystyle f_{111}}$
${\displaystyle g_{000}}$	${\displaystyle g_{000}\oplus g_{001}}$	${\displaystyle g_{000}\oplus g_{010}}$	${\displaystyle g_{000}\oplus g_{010}\oplus g_{001}\oplus g_{011}}$	${\displaystyle g_{000}\oplus g_{100}}$	${\displaystyle g_{000}\oplus g_{100}\oplus g_{001}\oplus g_{101}}$	${\displaystyle g_{000}\oplus g_{100}\oplus g_{010}\oplus g_{110}}$	${\displaystyle g_{000}\oplus g_{100}\oplus g_{010}\oplus g_{110}\oplus g_{001}\oplus g_{101}\oplus g_{011}\oplus g_{111}}$
${\displaystyle g_{001}}$	${\displaystyle g_{001}\oplus g_{010}}$	${\displaystyle g_{001}\oplus g_{011}}$	${\displaystyle g_{001}\oplus g_{011}\oplus g_{010}\oplus g_{100}}$	${\displaystyle g_{001}\oplus g_{101}}$	${\displaystyle g_{001}\oplus g_{101}\oplus g_{010}\oplus g_{110}}$	${\displaystyle g_{001}\oplus g_{101}\oplus g_{011}\oplus g_{111}}$
${\displaystyle g_{010}}$	${\displaystyle g_{010}\oplus g_{011}}$	${\displaystyle g_{010}\oplus g_{100}}$	${\displaystyle g_{010}\oplus g_{100}\oplus g_{011}\oplus g_{101}}$	${\displaystyle g_{010}\oplus g_{110}}$	${\displaystyle g_{010}\oplus g_{110}\oplus g_{011}\oplus g_{111}}$
${\displaystyle g_{011}}$	${\displaystyle g_{011}\oplus g_{100}}$	${\displaystyle g_{011}\oplus g_{101}}$	${\displaystyle g_{011}\oplus g_{101}\oplus g_{100}\oplus g_{110}}$	${\displaystyle g_{011}\oplus g_{111}}$
${\displaystyle g_{100}}$	${\displaystyle g_{100}\oplus g_{101}}$	${\displaystyle g_{100}\oplus g_{110}}$	${\displaystyle g_{100}\oplus g_{110}\oplus g_{101}\oplus g_{111}}$
${\displaystyle g_{101}}$	${\displaystyle g_{101}\oplus g_{110}}$	${\displaystyle g_{101}\oplus g_{111}}$
${\displaystyle g_{110}}$	${\displaystyle g_{110}\oplus g_{111}}$
${\displaystyle g_{111}}$

รูปแบบปกติทางพีชคณิตที่อธิบายไว้ข้างต้นใช้ขั้วบวกเพียงอย่างเดียว กล่าวคือ ตัวแปรแต่ละตัวจะปรากฏเฉพาะในรูปแบบที่ไม่เติมเต็มเท่านั้น โดยทั่วไปแล้วการขยายแบบ Reed–Muller ที่มีขั้วคงที่ (FPRM)อนุญาตให้ตัวแปรแต่ละตัวปรากฏในรูปแบบที่เติมเต็มหรือไม่เติมเต็มก็ได้ โดยที่ขั้วจะคงที่ตลอดทุกพจน์ การเลือกขั้วที่แตกต่างกันจะให้ผลลัพธ์เป็นการแสดง FPRM ที่แตกต่างกัน 2^ⁿ รูปแบบสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรnตัว การขยายแบบผลรวม ของผลคูณแบบพิเศษหรือแบบเลือก (ESOP)จะทำให้เป็นแบบทั่วไปมากขึ้นโดยอนุญาตให้มีขั้วผสมกันภายในนิพจน์เดียวกัน โดยที่แต่ละพจน์ผลคูณอาจใช้ตัวอักษรที่เติมเต็มหรือไม่เติมเต็มได้อย่างอิสระ การลดขนาด ESOP—การหาการแสดงที่มีพจน์ผลคูณน้อยที่สุด—เป็นหัวข้อการวิจัยที่สำคัญในด้านการสังเคราะห์ตรรกะและมีการประยุกต์ใช้ในการออกแบบวงจรแบบย้อนกลับได้และวงจรควอนตัม

ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2536 การประชุมเชิงปฏิบัติการนานาชาติเกี่ยวกับปัญหาบูลีน (เดิมชื่อการประชุมเชิงปฏิบัติการรีด-มุลเลอร์) ได้จัดขึ้นทุกสองปี โดยรวบรวมนักวิจัยที่ทำงานเกี่ยวกับการขยายรีด-มุลเลอร์ การลดขนาด ESOP และหัวข้อที่เกี่ยวข้องในทฤษฎีการสลับและการสังเคราะห์ตรรกะ^{[ 12 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบปกติเชิงพีชคณิต (Algebraic normal form )

• ฟังก์ชันบูลีน
• กราฟเชิงตรรกะ
• รูปแบบปกติของการปฏิเสธ
• รูปแบบปกติของการเชื่อมคำ
• รูปแบบปกติแบบแยกส่วน
• แผนที่คาร์นอห์
• วงแหวนบูลีน
• แผนที่คาร์นอห์
• เออร์วิง สโตย รีด
• เดวิด ยูจีน มุลเลอร์
• รหัสรีด-มุลเลอร์
• โดเมนบูลีน
• ฟังก์ชันค่าบูลีน
• พีชคณิตของเซกัลกิน

• เวเกเนอร์, อิงโก (1987). ความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีน . ไวลีย์-ทอยบ์เนอร์ . หน้า 6. ISBN 3-519-02107-2.
• "เอกสารนำเสนอ" (PDF) (ภาษาเยอรมัน) มหาวิทยาลัยดุยส์บูร์ก-เอสเซินเก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2017-04-20 เรียกดูเมื่อ2017-04-19
• Maxfield, Clive "Max" (2006-11-29). "ตรรกะรีด-มุลเลอร์" . ตรรกะเบื้องต้น . EETimes . ตอนที่ 3. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2017-04-19 . เรียกดูเมื่อ2017-04-19 .
• Gindikin [Гиндикин], Semen Grigorʹevich [Семен Г.] (1972) ตรรกะพีชคณิตอัลเกเบรรา โลจิกี วี ซาดาชาค[ ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิต ] (ในภาษารัสเซีย) (ฉบับ ที่ 1) มอสโก ประเทศรัสเซีย: Наука [Nauka] ISBN 0-387-96179-8.(288 หน้า) (หมายเหตุ: แปลโดยSpringer-Verlag , 1985 [1] )
• Perkowski, Marek A.; Grygiel, Stanislaw (20 พฤศจิกายน 1995). "6. ภาพรวมทางประวัติศาสตร์ของการวิจัยเกี่ยวกับการแยกส่วน" การสำรวจวรรณกรรมเกี่ยวกับการแยกส่วนฟังก์ชัน ฉบับที่ 4 กลุ่มการแยกส่วนฟังก์ชัน ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยพอร์ตแลนด์ พอร์ตแลนด์ รัฐโอเรก อนสหรัฐอเมริกา หน้า  21–22 . CiteSeerX  10.1.1.64.1129(188 หน้า)
• Жега́лкин [Zhegalkin], Ива́н Ива́нович [Ivan Ivanovich] (1927) "โอ เทคนีเก ไวชีสเลนยี เปรดโลเจนยี พบ ซิมโบลิกต์เชสคอย โลกีเย"О технике вычислений предложений в символической логике[เกี่ยวกับเทคนิคการคำนวณประพจน์ในตรรกะเชิงสัญลักษณ์ (Sur le calcul des propositions dans la logique symbolique)] Matematicheskii Sbornik (ในภาษารัสเซียและฝรั่งเศส) 34 (1) มอ สโก รัสเซีย: 9–28มิ.ย. msb7433 . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2017-10-12 . สืบค้นเมื่อ2017-10-12 . 
• Reed, Irving Stoy (กันยายน 1954). "รหัสแก้ไขข้อผิดพลาดหลายประเภทและรูปแบบการถอดรหัส" IRE Transactions on Information Theory . IT-4 : 38– 49.
• Muller, David Eugene (กันยายน 1954). "การประยุกต์ใช้พีชคณิตบูลีนในการออกแบบวงจรสวิตช์และการตรวจจับข้อผิดพลาด" IRE Transactions on Electronic Computers . EC-3 : 6– 12.
• Kebschull, Udo; Rosenstiel, Wolfgang (1993). "การคำนวณและการจัดการแผนภาพการตัดสินใจเชิงฟังก์ชันที่มีประสิทธิภาพโดยใช้กราฟ". รายงานการประชุม European Conference on Design Automation ครั้งที่ 4 : 278– 282.
• Maxfield, Clive "Max" (2006-11-29). "ตรรกะรีด-มุลเลอร์" . ตรรกะเบื้องต้น . EETimes . ตอนที่ 3. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2017-04-19 . เรียกดูเมื่อ2017-04-19 .
• สไตน์บัค, เบิร์นด์[ในภาษาเยอรมัน] ; โพสต์ฮอฟฟ์, คริสเตียน (2009). "คำนำ". ฟังก์ชันและสมการเชิงตรรกะ - ตัวอย่างและแบบฝึกหัด (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). Springer Science + Business Media BVหน้า xv. ISBN 978-1-4020-9594-8. ลคซีเอ็น 2008941076 .
• Perkowski, Marek A.; Grygiel, Stanislaw (20 พฤศจิกายน 1995). "6. ภาพรวมทางประวัติศาสตร์ของการวิจัยเกี่ยวกับการแยกส่วน" การสำรวจวรรณกรรมเกี่ยวกับการแยกส่วนฟังก์ชัน ฉบับที่ 4 กลุ่มการแยกส่วนฟังก์ชัน ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยพอร์ตแลนด์ พอร์ตแลนด์ รัฐโอเรก อนสหรัฐอเมริกา หน้า  21–22 . CiteSeerX  10.1.1.64.1129(188 หน้า)