ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตแบบรีมันน์ทฤษฎีบทของซิงจ์เป็นผลลัพธ์คลาสสิกที่เชื่อมโยงความโค้งของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์กับโทโพโลยีของมัน ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามจอห์น ไลท์ตัน ซิงจ์ผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี1936

ให้Mเป็นแมนิโฟลด์รีมันน์แบบปิด ที่มี ความโค้งภาคตัดขวางเป็นบวก ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า:

• ถ้าMเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเป็นเลขคู่และสามารถกำหนดทิศทางได้แสดงว่าMเป็น เมทริกซ์ที่เชื่อมต่อ กันอย่างง่าย
• ถ้าMเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเป็นเลขคี่ แสดงว่า M สามารถกำหนดทิศทางได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แมนิโฟลด์ปิดที่มีมิติเป็นเลขคู่จะสามารถรองรับเมตริกแบบรีมันน์ที่มีความโค้งเป็นบวกได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มพื้นฐาน ของแมนิโฟลด์นั้น มีสมาชิกหนึ่งหรือสองตัว เท่านั้น

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Synge สามารถสรุปได้ดังนี้^{[ 1 ]}เมื่อกำหนดเส้นจีโอเดสิกS ¹ → Mที่มีสนามเวกเตอร์ตั้งฉากและขนานไปตามเส้นจีโอเดสิก (กล่าวคือ ส่วนขนานของมัดปกติ กับเส้นจีโอเดสิก) การคำนวณ สูตรการแปรผันที่สอง สำหรับความยาวส่วนโค้ง ของ Synge ก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นทันทีว่าเส้นจีโอเดสิกอาจถูกเปลี่ยนรูปเพื่อให้ความยาวสั้นลง เครื่องมือเดียวที่ใช้ในขั้นตอนนี้คือสมมติฐานเกี่ยวกับความโค้งของส่วนตัด

การสร้างสนามเวกเตอร์ขนานตามเส้นทางใด ๆ นั้นเป็นไปโดยอัตโนมัติผ่านการขนส่งแบบขนานความซับซ้อนในกรณีของวงรอบอยู่ที่ว่าค่าที่จุดปลายทั้งสองตรงกันหรือไม่ ซึ่งจะลดลงเหลือเพียงปัญหาพีชคณิตเชิงเส้น ล้วน ๆ กล่าว คือ ให้V เป็น ปริภูมิผลคูณภายในจริงมิติจำกัดโดยที่T : V → Vเป็นแผนที่เชิงเส้นตั้งฉากที่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะvที่มีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับหนึ่ง ถ้า ดี เทอร์ มิแนนต์ ของTเป็นบวกและมิติของVเป็นจำนวนคู่ หรือในทางกลับกัน ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของTเป็นลบและมิติของVเป็นจำนวนคี่ แล้วจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะwของTที่มีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับหนึ่งซึ่งตั้งฉากกับvในบริบทนี้VคือปริภูมิสัมผัสของMที่จุดหนึ่งของวงรอบจีโอเดสิกTคือแผนที่การขนส่งแบบขนานที่กำหนดโดยวงรอบ และvคือเวกเตอร์สัมผัสของจีโอเดสิก

เมื่อกำหนดลูปที่ไม่สามารถหดตัวได้ใดๆ ในแมนิโฟลด์รีมันน์ที่สมบูรณ์ จะมีตัวแทนของคลาสโฮโมโทปี (อิสระ) ซึ่งมีความยาวส่วนโค้งน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ และเป็นจีโอเดสิก^{[ 2 ]}ตามการคำนวณของ Synge สิ่งนี้บ่งชี้ว่าไม่สามารถมีสนามเวกเตอร์ขนานและตั้งฉากตามจีโอเดสิกนี้ได้ อย่างไรก็ตาม:

• คุณสมบัติการกำหนดทิศทางได้หมายความว่าแผนที่การขนส่งแบบขนานตามแต่ละวงจะมีค่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก ส่วนคุณสมบัติมิติคู่จะหมายถึงการมีอยู่ของสนามเวกเตอร์แบบขนานที่ตั้งฉากกับเส้นทางจีโอเดสิก
• การไม่มีทิศทางหมายความว่าสามารถเลือกวงรอบที่ไม่สามารถหดตัวได้เพื่อให้แผนที่การขนส่งแบบขนานมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นลบ ดังนั้นมิติคี่จึงหมายถึงการมีอยู่ของสนามเวกเตอร์แบบขนานซึ่งตั้งฉากกับเส้นทางจีโอเดสิก

ความขัดแย้งนี้พิสูจน์ให้เห็นว่าไม่มีลูปที่ไม่สามารถหดตัวได้ในกรณีแรก และเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่มีทิศทางในกรณีหลัง

ต่อมา Alan Weinsteinได้เรียบเรียงการพิสูจน์ใหม่เพื่อสร้างจุดคงที่ของไอโซเมตรีแทนที่จะเป็นคุณสมบัติทางโทโพโลยีของแมนิโฟลด์พื้นฐาน^{[ 3 ]}