ในทางคณิตศาสตร์ t -norm (หรือT-normหรือเขียนแบบเต็มว่าtriangular norm ) คือ การดำเนินการแบบไบนารีชนิดหนึ่งที่ใช้ในกรอบของปริภูมิเมตริกเชิงความน่าจะเป็นและในตรรกะหลายค่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งในตรรกะ คลุมเครือ t-norm เป็นการขยายความของการตัดกันในแลตทิซและการเชื่อมโยงในตรรกะชื่อtriangular normมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าในกรอบของปริภูมิเมตริกเชิงความน่าจะเป็น t-norm ถูกใช้เพื่อขยายความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ใน ปริภูมิ เมตริกทั่วไป

t-norm คือฟังก์ชัน T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• คุณสมบัติการสลับที่ : T( a , b ) = T( b , a )
• ความเป็นเอกรูป : T( a , b ) ≤ T( c , d ) ถ้าa ≤ cและb ≤ d
• คุณสมบัติการสลับที่ : T( a , T( b , c )) = T(T( a , b ), c ​​)
• เลข 1 ทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ : T( a , 1) = a

เนื่องจาก t-norm เป็นการดำเนินการทางพีชคณิตแบบไบนารี บนช่วง [0, 1] จึงนิยม ใช้ สัญกรณ์พีชคณิตแบบอินฟิกซ์ โดยปกติแล้ว t-norm จะถูกแทนด้วย t-norm ${\displaystyle *}$

เงื่อนไขกำหนดของ t-norm นั้นตรงกับเงื่อนไขของโมโนอิดอาเบเลียนที่มีลำดับบางส่วน บนช่วงหน่วย จริง [0, 1] (ดู  กลุ่มที่มีลำดับ ) ดังนั้น การดำเนินการแบบโมโนอิดของโมโนอิดอาเบเลียนที่มีลำดับบางส่วนL ใดๆ จึงถูกเรียกโดยผู้เขียนบางคนว่านอร์มสามเหลี่ยมบน L

t-norm เรียกว่าต่อเนื่องถ้ามันต่อเนื่องในฐานะฟังก์ชัน ในโทโพโลยีช่วงปกติบน [0, 1] ² (เช่นเดียวกับ ความต่อเนื่อง ทางซ้ายและทางขวา )

t-norm เรียกว่า t-norm เข้มงวด (strict)ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและโมโนโทนอย่างเคร่งครัด (strictly monotone )

t-norm เรียกว่าnilpotentถ้ามันต่อเนื่องและx แต่ละตัว ในช่วงเปิด (0, 1) เป็นnilpotentนั่นคือ มีจำนวนธรรมชาติnที่ทำให้x ... x ( n  ครั้ง) เท่ากับ 0 ${\displaystyle *}$${\displaystyle *}$

t-norm เรียกว่า t-norm อาร์คิมีเดียนถ้ามีคุณสมบัติอาร์คิมีเดียนกล่าวคือ สำหรับแต่ละx , yในช่วงเปิด (0, 1) จะมีจำนวนธรรมชาติnที่ทำให้x ... x ( n ครั้ง) น้อยกว่า หรือ  เท่ากับy${\displaystyle *}$${\displaystyle *}$${\displaystyle *}$

โดยปกติแล้ว การเรียงลำดับบางส่วนของค่า t-norm จะเป็นการเรียงลำดับตามจุดนั่นคือ

T ₁ ≤ T ₂   ถ้า T ₁ ( a , b ) ≤ T ₂ ( a , b ) สำหรับทุกa , bในช่วง [0, 1]

โดยทั่วไปแล้ว ค่า t-norm ที่มีค่ามากกว่าในแต่ละจุดจะถูกเรียกว่ามีความแข็งแกร่งกว่าค่า t-norm ที่มีค่าน้อยกว่าในแต่ละจุด อย่างไรก็ตาม ในความหมายของตรรกะคลุมเครือแบบ t-normยิ่งค่า t-norm มีค่ามากเท่าใด การเชื่อมโยงที่มันแสดงถึง ก็จะยิ่งอ่อนแอลง (ในแง่ของความแข็งแกร่งทางตรรกะ) มากขึ้นเท่านั้น

• ค่า t-norm ต่ำสุด หรือที่เรียกว่าt-norm ของ Gödelเนื่องจากเป็นความหมายมาตรฐานสำหรับการเชื่อมโยงในตรรกะคลุมเครือของ Gödelนอกจากนี้ยังปรากฏในตรรกะคลุมเครือแบบ t-norm ส่วนใหญ่ในฐานะความหมายมาตรฐานสำหรับการเชื่อมโยงแบบอ่อน เป็นค่า t-norm ที่ใหญ่ที่สุดในแต่ละจุด (ดูคุณสมบัติของ t-normด้านล่าง)${\displaystyle \top _{\mathrm {min} }(a,b)=\min\{a,b\},}$

• t-norm ผลคูณ (ผลคูณปกติของจำนวนจริง) นอกเหนือจากการใช้งานอื่นๆ แล้ว t-norm ผลคูณยังเป็นความหมายมาตรฐานสำหรับการเชื่อมโยงที่แข็งแกร่งในตรรกะคลุมเครือแบบผลคูณ มันคือ t-norm อาร์คิมีเดียนที่เข้มงวด${\displaystyle \top _{\mathrm {prod} }(a,b)=a\cdot b}$

• นอร์ม t ของ Łukasiewicz ชื่อนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า นอร์ม t เป็นความหมายมาตรฐานสำหรับการเชื่อมโยงที่แข็งแกร่งในตรรกะคลุมเครือของ Łukasiewiczมันคือนอร์ม t แบบอาร์คิมีเดียนที่เป็นศูนย์ ซึ่งมีขนาดเล็กกว่านอร์ม t แบบผลคูณในแต่ละจุด${\displaystyle \top _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\max\{0,a+b-1\}.}$

• t-norm ที่รุนแรง

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{ถ้า }}a=1\\a&{\mbox{ถ้า }}b=1\\0&{\mbox{กรณีอื่น ๆ}}\end{cases}}}$

ชื่อนี้สะท้อนให้เห็นว่า t-norm ที่รุนแรงนี้เป็น t-norm ที่เล็กที่สุดในแต่ละจุด (ดูคุณสมบัติของ t-normด้านล่าง) และเป็น t-norm แบบอาร์คิมีเดียนที่ต่อเนื่องทางขวา

• ขั้นต่ำสุดของนิลโพเทนต์

${\displaystyle \top _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\min(a,b)&{\mbox{ถ้า }}a+b>1\\0&{\mbox{มิฉะนั้น}}\end{cases}}}$

เป็นตัวอย่างมาตรฐานของ t-norm ที่ต่อเนื่องทางซ้าย แต่ไม่ต่อเนื่อง แม้จะมีชื่อว่าค่าต่ำสุดแบบนิลโพเทนต์ แต่ค่าต่ำสุดนี้ไม่ใช่ t-norm แบบนิลโพเทนต์

• ผลิตภัณฑ์ฮามาเชอร์

${\displaystyle \top _{\mathrm {H} _{0}}(a,b)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a=b=0\\{\frac {ab}{a+b-ab}}&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

เป็นค่า t-norm แบบอาร์คิมีเดียนที่เข้มงวด และเป็นตัวแทนที่สำคัญของกลุ่มพารามิเตอร์ของค่า t-norm แบบฮามาเชอร์และค่า t-norm แบบชไวเซอร์-สคลาร์

ค่า t-norm ที่รุนแรงที่สุดคือค่า t-norm ที่เล็กที่สุดในแต่ละจุด และค่าต่ำสุดคือค่า t-norm ที่ใหญ่ที่สุดในแต่ละจุด:

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)\leq \top (a,b)\leq \mathrm {\top _{min}} (a,b),}$สำหรับค่า t-norm ใดๆและ ค่า a , b ทั้งหมด ใน [0, 1]${\displaystyle \top }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามีสิ่งนี้: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)\leq \top _{\mathrm {Luk} }(a,b)\leq \top _{\mathrm {prod} }(a,b)\leq \mathrm {\top _{min}} (a,b),}$สำหรับทุกค่าaและbในช่วง [0, 1]

สำหรับนอร์ม t ทุกตัว T ตัวเลข 0 ทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบว่าง: T( a , 0) = 0 สำหรับทุกaในช่วง [0, 1]

นอร์ม t T จะมีตัวหารเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมี สมาชิกที่ เป็นนิลโพเทนต์เท่านั้น สมาชิกนิลโพเทนต์แต่ละตัวของ T ก็เป็นตัวหารเป็นศูนย์ของ T ด้วยเช่นกัน เซตของสมาชิกนิลโพเทนต์ทั้งหมดคือช่วง [0,  a ] หรือ [0,  a ) สำหรับบางค่าaใน [0, 1]

แม้ว่าฟังก์ชันจริงของตัวแปรสองตัวสามารถต่อเนื่องได้ในแต่ละตัวแปรโดยไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องบนช่วง [0, 1] ^²แต่กรณีนี้ไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับ t-norm: t-norm T จะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมันต่อเนื่องในตัวแปรหนึ่งตัว กล่าวคือ ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันf _y ( x ) = T( x , y ) ต่อเนื่องสำหรับแต่ละyในช่วง [0, 1] ทฤษฎีบทที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับการต่อเนื่องทางซ้ายและทางขวาของ t-norm ด้วย

t-norm ต่อเนื่องจะเป็นแบบอาร์คิมีเดียนก็ต่อเมื่อ 0 และ 1 เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ เพียงสองตัวของมัน เท่านั้น

นอร์ม t ของอาร์คิมีเดียนแบบต่อเนื่องจะเรียกว่าเข้มงวดก็ต่อเมื่อ 0 เป็น สมาชิก นิลโพเทน ต์เพียงตัวเดียว มิฉะนั้นก็จะเป็นนิลโพเทนต์เช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น ตามคำนิยาม นอร์ม t ของอาร์คิมีเดียนแบบต่อเนื่อง T จะเป็นนิลโพเทนต์ก็ต่อเมื่อx < 1 แต่ละตัว  เป็นสมาชิกนิลโพเทนต์ของ T ดังนั้น ด้วยนอร์ม t ของอาร์คิมีเดียนแบบต่อเนื่อง T สมาชิกทั้งหมดใน (0, 1) จะเป็นนิลโพเทนต์หรือไม่เป็นเลยก็ได้ หากสมาชิกทั้งหมดใน (0, 1) เป็นนิลโพเทนต์ นอร์ม t นั้นจะสมมูลกับนอร์ม t ของ Łukasiewicz กล่าวคือ มีฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดfเช่นนั้น

${\displaystyle \top (x,y)=f^{-1}(\top _{\mathrm {Luk} }(f(x),f(y))).}$

ในทางกลับกัน หากไม่มีองค์ประกอบนิลโพเทนต์ใน T เลย t-norm จะสมสัณฐานกับ product t-norm กล่าวอีกนัยหนึ่ง t-norm นิลโพเทนต์ทั้งหมดสมสัณฐานกัน โดย Łukasiewicz t-norm เป็นตัวแทนต้นแบบ และ t-norm เข้มงวดทั้งหมดสมสัณฐานกัน โดย product t-norm เป็นตัวอย่างต้นแบบ Łukasiewicz t-norm เองก็สมสัณฐานกับ product t-norm ที่ถูกตัดที่ 0.25 กล่าวคือ กับฟังก์ชันp ( x , y  ) = max(0.25, x  ⋅  y ) บน [0.25, 1] ^​​2

สำหรับ t-norm ต่อเนื่องแต่ละตัว เซตของตัวประกอบเอกลักษณ์ (idempotents) ของมันคือเซตย่อยปิดของ [0, 1] ส่วนเติมเต็มของมัน—เซตของสมาชิกทั้งหมดที่ไม่ใช่ตัวประกอบเอกลักษณ์—จึงเป็นการรวมกันของช่วงเปิดที่ไม่ทับซ้อนกันจำนวนนับได้ การจำกัด t-norm บนช่วงใดๆ เหล่านี้ (รวมถึงจุดปลาย) เป็นแบบอาร์คิมีเดียน และดังนั้นจึงสมมาตรกับ t-norm ของ Łukasiewicz หรือ t-norm ผลคูณ สำหรับxและyที่ไม่ตกอยู่ในช่วงเปิดเดียวกันของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเอกลักษณ์ t-norm จะมีค่าเท่ากับค่าต่ำสุดของxและyเงื่อนไขเหล่านี้ให้ลักษณะเฉพาะของ t-norm ต่อเนื่อง ซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบท Mostert–Shieldsเนื่องจาก t-norm ต่อเนื่องทุกตัวสามารถแยกส่วนได้ด้วยวิธีนี้ และการสร้างที่อธิบายไว้จะให้ t-norm ต่อเนื่องเสมอ ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้:

t-norm จะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมันสม isomorphic กับผลรวมเชิงลำดับของ t-norm ขั้นต่ำ t-norm ของ Łukasiewicz และ t-norm ผลคูณ

ยังไม่มีทฤษฎีบทการกำหนดลักษณะที่คล้ายกันสำหรับ t-norm ที่ไม่ต่อเนื่อง (แม้แต่สำหรับ t-norm ที่ต่อเนื่องทางซ้าย) มีเพียงวิธีการที่ไม่ครอบคลุมทั้งหมดบางวิธีสำหรับการสร้าง t-norm เท่านั้น ที่ถูกค้นพบ

สำหรับ t-norm ใดๆ ที่ต่อเนื่องทางซ้ายจะมีการดำเนินการทวิภาคที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวบน [0, 1] เช่นนั้น ${\displaystyle \top }$${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle \top (z,x)\leq y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle z\leq (x\ลูกศรขวา y)}$

สำหรับทุกx , y , zในช่วง [0, 1] การดำเนินการนี้เรียกว่าเศษเหลือของ t-norm ในสัญกรณ์แบบพรีฟิก เศษเหลือของ t-norm มักจะแสดงด้วยหรือตัวอักษร R ${\displaystyle \top }$${\displaystyle {\vec {\top }}}$

ช่วง [0, 1] ที่มี t-norm และส่วนที่เหลือของมันก่อให้เกิดแลตทิซที่มีส่วนที่เหลือความสัมพันธ์ระหว่าง t-norm T และส่วนที่เหลือ R ของมันเป็นตัวอย่างของการเชื่อมโยง (โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเชื่อมโยงแบบกาโลอิส ): ส่วนที่เหลือก่อให้เกิดตัวผกผันทางขวา R( x , –) ของฟังก์ชัน T(–, x ) สำหรับแต่ละx ในแลตทิซ [0, 1] ที่ ถือว่าเป็นหมวดหมู่โพเซต

ในความหมายมาตรฐานของตรรกะคลุมเครือแบบ t-norm ซึ่งการเชื่อมโยงถูกตีความโดย t-norm นั้น ส่วนที่เหลือจะทำหน้าที่เป็นการบ่งชี้ (มักเรียกว่าR-implication )

ถ้าเป็นค่าตกค้างของ t-norm ที่ต่อเนื่องทางซ้ายแล้ว ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \top }$

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid \top (z,x)\leq y\}.}$

ดังนั้น สำหรับทุกค่าxและyในช่วงหน่วย

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=1}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x\leq y}$

และ

${\displaystyle (1\ลูกศรขวา y)=y.}$

ถ้าt-norm เป็นนอร์มต่อเนื่องทางซ้าย และส่วนที่เหลือของมัน แล้ว ${\displaystyle *}$${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\min(x,y)&\geq &x*(x\Rightarrow y)\\\max(x,y)&=&\min((x\Rightarrow y)\Rightarrow y,(y\Rightarrow x)\Rightarrow x).\end{array}}}$

ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่อง ความเท่าเทียมกันก็จะเกิดขึ้นในกรณีแรก ${\displaystyle *}$

ถ้าx ≤ yแล้ว R( x , y ) = 1 สำหรับค่าตกค้าง R ใดๆ ดังนั้น ตารางต่อไปนี้จึงแสดงค่าของค่าตกค้างที่เด่นชัดเฉพาะกรณีที่x > yเท่านั้น

ส่วนที่เหลือของ	ชื่อ	ค่าสำหรับx > y	กราฟ
ค่า t-norm ขั้นต่ำ	นัยมาตรฐานของเกอเดล	y
ผลิตภัณฑ์ t-norm	นัย ของโกเกน	y / x
Łukasiewicz t-norm	ความหมายแบบมาตรฐานของ Łukasiewicz	1 – x + y
ขั้นต่ำสุดของนิลโพเทนต์	นัยของฟอร์ดอร์	max(1 – x , y )

T-conorms (หรือเรียกว่าS-norms ) เป็นคู่ตรงข้ามกับ t-norms ภายใต้การดำเนินการกลับลำดับที่กำหนดค่า 1 – xให้กับxบน [0, 1] เมื่อกำหนด t-norm แล้ว conorm เสริมจะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle \top }$

${\displaystyle \bot (a,b)=1-\top (1-a,1-b).}$

นี่เป็นการสรุปกฎของเดอ มอร์แกนใน ภาพรวม

ดังนั้น t-conorm จึงเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ซึ่งสามารถนำมาใช้เป็นนิยามเชิงสัจพจน์ที่เทียบเท่ากันของ t-conorm โดยไม่ขึ้นอยู่กับ t-norm:

• คุณสมบัติการสลับที่: ⊥( a , b ) = ⊥( b , a )
• ความเป็นเอกรูป: ⊥( a , b ) ≤ ⊥( c , d ) ถ้าa ≤ cและb ≤ d
• สมบัติการสลับที่: ⊥( a , ⊥( b , c )) = ⊥(⊥( a , b ), c ​​)
• องค์ประกอบเอกลักษณ์: ⊥( a , 0) = a

T-conorms ใช้เพื่อแสดงถึงการแยกเชิงตรรกะในตรรกะคลุมเครือและการรวมกันในทฤษฎีเซตคลุมเครือ

t-conorms ที่สำคัญคือ t-conorms ที่เป็นคู่ตรงข้ามกับ t-norms ที่โดดเด่น:

• t-conorm สูงสุด ซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามกับ t-conorm ต่ำสุด คือ t-conorm ที่เล็กที่สุด (ดูคุณสมบัติของ t-conormด้านล่าง) มันเป็นความหมายมาตรฐานสำหรับการแยกส่วนในตรรกะคลุมเครือของ Gödelและสำหรับการแยกส่วนแบบอ่อนในตรรกะคลุมเครือที่ใช้ t-conorm ทั้งหมด${\displaystyle \bot _{\mathrm {max} }(a,b)=\max\{a,b\}}$

• ผลรวมเชิงความน่าจะเป็น เป็นคู่ตรงข้ามกับผลคูณแบบ t-norm ในทฤษฎีความน่าจะเป็นมันแสดงถึงความน่าจะเป็นของการรวมกันของเหตุการณ์ อิสระ นอกจากนี้ยังเป็นความหมายมาตรฐานสำหรับการแยกแบบเข้มแข็งในส่วนขยายของตรรกะคลุมเครือ แบบผลคูณ ที่สามารถกำหนดได้ (เช่น ส่วนขยายที่มีการปฏิเสธแบบผกผัน)${\displaystyle \bot _{\mathrm {sum} }(a,b)=a+ba\cdot b=1-(1-a)\cdot (1-b)}$

• ผลรวมที่มีขอบเขตจำกัด เป็นคู่ตรงข้ามกับนอร์ม t ของ Łukasiewicz เป็นความหมายมาตรฐานสำหรับการแยกแบบเข้มงวดในตรรกะคลุมเครือของ Łukasiewicz${\displaystyle \bot _{\mathrm {ลูก} }(a,b)=\min\{a+b,1\}}$

• t-conorm ที่รุนแรง

${\displaystyle \bot _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{ถ้า }}a=0\\a&{\mbox{ถ้า }}b=0\\1&{\mbox{มิฉะนั้น,}}\end{cases}}}$

t-conorm ที่ใหญ่ที่สุดเป็น t-conorm ตรงข้ามกับ t-norm ที่รุนแรง (ดูคุณสมบัติของ t-conormด้านล่าง)

• ค่าสูงสุดที่เป็นศูนย์ ซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามกับค่าต่ำสุดที่เป็นศูนย์:

${\displaystyle \bot _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\max(a,b)&{\mbox{if }}a+b<1\\1&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

• ผลรวมของไอน์สไตน์ (เปรียบเทียบกับสูตรการบวกความเร็วภายใต้ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ )

${\displaystyle \bot _{\mathrm {H} _{2}}(a,b)={\frac {a+b}{1+ab}}}$

เป็นค่าคู่ขนานกับ ค่า t-norm ของ Hamacherค่าหนึ่ง

คุณสมบัติหลายอย่างของ t-conorms สามารถได้มาจากการแปลงคุณสมบัติของ t-norms ให้เป็นคู่กัน ตัวอย่างเช่น:

• สำหรับ t-conorm ⊥ ใดๆ จำนวน 1 เป็นองค์ประกอบที่ทำให้เป็นศูนย์: ⊥( a , 1) = 1 สำหรับa ใดๆ ใน [0, 1]
• ในทำนองเดียวกันกับ t-norm, t-conorm ทั้งหมดมีขอบเขตจำกัดโดย t-conorm สูงสุดและ t-conorm ที่รุนแรง:

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot (a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$สำหรับ t-conorm ใดๆและa , b ทั้งหมด ใน [0, 1]${\displaystyle \bot }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามีว่า: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot _{\mathrm {sum} }(a,b)\leq \bot _{\mathrm {Luk} }(a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$สำหรับทุกค่าaและbในช่วง [0, 1]

คุณสมบัติเพิ่มเติมเกิดขึ้นจากความสัมพันธ์ระหว่าง t-norm และ t-conorm หรือการทำงานร่วมกันกับตัวดำเนินการอื่นๆ เช่น:

• t-norm T กระจายตัวเหนือ t-conorm ⊥ กล่าวคือ

T( x , ⊥( y , z )) = ⊥(T( x , y ), T( x , z )) สำหรับทุกx , y , zในช่วง [0, 1]

ก็ต่อเมื่อ ⊥ เป็น t-conorm สูงสุดเท่านั้น ในทางกลับกัน t-conorm ใดๆ จะกระจายตัวเหนือค่าต่ำสุด แต่ไม่กระจายตัวเหนือ t-norm อื่นๆ

ตัวปฏิเสธ (negator) คือ ฟังก์ชัน ลดทอนแบบโมโนโทนิก (monotonically decreasing mapping) โดยที่และตัวปฏิเสธnเรียกว่า ${\displaystyle n\colon [0,1]\to [0,1]}$${\displaystyle n(0)=1}$${\displaystyle n(1)=0}$

• เข้มงวดในกรณีของความเป็นเอกรูปที่เข้มงวด และ
• แข็งแกร่งหากเป็นแบบเข้มงวดและผกผันได้นั่นคือสำหรับทุกอย่างในช่วง [0, 1]${\displaystyle n(n(x))=x}$${\displaystyle x}$

ตัวปฏิเสธมาตรฐาน (แบบแคนอนิก) คือ ซึ่งทั้งเข้มงวดและแข็งแกร่ง เนื่องจากตัวปฏิเสธมาตรฐานถูกใช้ในคำจำกัดความข้างต้นของคู่ t-norm/t-conorm จึงสามารถสรุปได้ดังนี้: ${\displaystyle n(x)=1-x,\ x\in [0,1]}$

ทริปเล็ตเดอมอร์แกนคือทริปเล็ต (T,⊥, n ) เช่นนั้น^{[ 3 ]}

1. T คือ t-norm
2. ⊥ เป็น t-conorm ตามนิยามเชิงสัจพจน์ของ t-conorm ที่กล่าวไว้ข้างต้น
3. nเป็นตัวปฏิเสธที่แข็งแกร่ง
4. ${\displaystyle \forall a,b\in [0,1]\colon \ n({\perp }(a,b))=\top (n(a),n(b))}$.

• การสร้าง t-norm
• ตรรกะคลุมเครือแบบที-นอร์ม