ตารางคอร์ดซึ่งสร้างโดยปโตเลมี นักดาราศาสตร์ นักเรขาคณิต และนักภูมิศาสตร์ชาวกรีกในอียิปต์ในช่วงศตวรรษที่ 2 หลังคริสต์ศักราช เป็นตารางตรีโกณมิติในหนังสือเล่มที่ 1 บทที่ 11 ของAlmagestของ ปโตเลมี ^{[ 1 ]}ซึ่งเป็นตำราเกี่ยวกับดาราศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์โดยพื้นฐานแล้วมันเทียบเท่ากับตารางค่าของ ฟังก์ชัน ไซน์มันเป็นตารางตรีโกณมิติที่เก่าแก่ที่สุดที่ครอบคลุมเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์เชิงปฏิบัติหลายอย่าง รวมถึงดาราศาสตร์ด้วย (ตารางคอร์ดก่อนหน้านี้โดยฮิปปาร์คัสให้คอร์ดเฉพาะสำหรับส่วนโค้งที่เป็นพหุคูณของ7 เท่านั้น)+1/2⁠ ° = ⁠π/24⁠เรเดียน ) ^{[ 2 ]} ตั้งแต่ศตวรรษที่ 8 และ 9 ไซน์และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ได้ถูกนำมาใช้ในคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์อิสลาม ปฏิรูปการผลิตตารางไซน์ ^{[ 3 ]} ต่อมา Khwarizmiและ Habash al-Hasibได้ผลิตชุดตารางตรีโกณมิติ

คอร์ดของวงกลมคือส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงกลม ปโตเลมีใช้วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 120 ส่วน เขาได้จัดทำตารางแสดงความยาวของคอร์ดที่มีจุดปลายห่างกันเป็นส่วนโค้งn องศา  โดยที่nมีค่าตั้งแต่⁠1/2ถึง 180 โดยเพิ่มขึ้นทีละ  ⁠1/2ในสัญลักษณ์ทางดนตรี สมัยใหม่ความยาวของคอร์ดที่สอดคล้องกับส่วนโค้งθ  องศา คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {chord} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ เรเดียน}}\right)\right).\end{aligned}}}$

เมื่อθเปลี่ยนจาก 0 ถึง 180 องศา ความยาวของคอร์ดของ ส่วนโค้ง θองศาจะเปลี่ยนจาก 0 ถึง 120 องศา สำหรับส่วนโค้งเล็กๆ ความยาวของคอร์ดต่อมุมของส่วนโค้งในหน่วยองศาจะเท่ากับπต่อ 3 หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น อัตราส่วนนี้สามารถทำให้ใกล้เคียงกับ⁠ ได้ตามต้องการπ/3⁠  ≈ 1.047 197 55โดยทำให้θมีค่าเล็กพอ ดังนั้น สำหรับส่วนโค้งของ⁠1/2เมื่อมุมของส่วนโค้งเพิ่มขึ้น ความยาวของคอร์ดจะมากกว่ามุมของส่วนโค้งเล็กน้อย เมื่อมุมของส่วนโค้งเพิ่มขึ้น อัตราส่วนของคอร์ดต่อส่วนโค้งจะลดลง เมื่อมุมของส่วนโค้งถึง 60 °ความยาวของคอร์ดจะเท่ากับจำนวนองศาของส่วนโค้งพอดี กล่าวคือ คอร์ด 60° = 60 สำหรับส่วนโค้งที่มีมุมมากกว่า 60° ความยาวของคอร์ดจะน้อยกว่าส่วนโค้ง จนกระทั่งถึงส่วนโค้ง 180° ซึ่งความยาวของคอร์ดจะเหลือเพียง 120

ส่วนที่เป็นเศษส่วนของความยาวคอร์ดแสดงใน รูปเลข ฐานหกสิบ (ฐาน 60) ตัวอย่างเช่น เมื่อความยาวของคอร์ดที่รองรับส่วนโค้ง 112° รายงานว่าเป็น 99,29,5 แสดงว่ามีความยาวเท่ากับ

${\displaystyle 99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99.4847{\overline {2}},}$

ปัดเศษให้ใกล้เคียง  ที่สุด1/60 ²⁠ . ^{[ 1 ]}

หลังจากคอลัมน์สำหรับส่วนโค้งและคอร์ดแล้ว จะมีคอลัมน์ที่สามซึ่งระบุว่า "หกสิบส่วน" สำหรับส่วนโค้งที่มีมุม  θ ° ค่าในคอลัมน์ "หกสิบส่วน" คือ

${\displaystyle {\frac {\operatorname {chord} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {chord} \left(\theta ^{\circ }\right)}{30}}.}$

นี่คือค่าเฉลี่ยของจำนวนหนึ่งในหกสิบของหน่วยที่ต้องเพิ่มเข้าไปในคอร์ด ( θ °) ทุกครั้งที่มุมเพิ่มขึ้นหนึ่งนาทีของส่วนโค้งระหว่างค่าสำหรับ  θ ° และค่าสำหรับ ( θ  +  ⁠)1/2) ° ดังนั้นจึงใช้สำหรับการแทรกเชิงเส้น Glowatzki และ Göttsche แสดงให้เห็นว่า Ptolemy ต้องคำนวณคอร์ดถึงห้า ตำแหน่ง ฐานหกสิบเพื่อให้ได้ระดับความแม่นยำที่พบในคอลัมน์ "หกสิบ" ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{arc}}^{\circ }&{\text{chord}}&&&{\text{sixtieths}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\quad 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\hline \end{array}}}$

บทที่ 10 ของหนังสือเล่มที่ 1 ในตำราAlmagestนำเสนอทฤษฎีทางเรขาคณิต ที่ใช้ในการคำนวณคอร์ด ปโตเลมีใช้เหตุผลทางเรขาคณิตโดยอิงจากข้อเสนอที่ 10 ของหนังสือเล่มที่ 13 ใน ตำรา Elementsของยูคลิด เพื่อหาคอร์ดของมุม 72° และ 36° ข้อเสนอ ดังกล่าว ระบุว่า ถ้าภาพห้า เหลี่ยมด้าน เท่าถูกบรรจุอยู่ในวงกลม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านของภาพห้าเหลี่ยมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านของภาพหกเหลี่ยมและภาพสิบเหลี่ยมที่บรรจุอยู่ในวงกลมเดียวกัน

เขาใช้ทฤษฎีบทของปโตเลมีเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเพื่อหาอนุพันธ์ของสูตรสำหรับคอร์ดของครึ่งส่วนโค้ง คอร์ดของผลรวมของสองส่วนโค้ง และคอร์ดของผลต่างของสองส่วนโค้ง ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า สำหรับรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของผลคูณของความยาวของด้านตรงข้ามสองคู่ การหาอนุพันธ์ของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติอาศัยรูปสี่เหลี่ยมที่แนบ ในวงกลม ซึ่งด้านหนึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

เพื่อหาคอร์ดของส่วนโค้ง 1° และ⁠1/2เขาใช้การประมาณค่าโดยอาศัยอสมการของอริสตาร์คัสอสมการนี้กล่าวว่า สำหรับส่วนโค้งαและβถ้า 0 <  β  <  α  < 90° แล้ว

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.}$

ปโตเลมีแสดงให้เห็นว่าสำหรับส่วนโค้ง 1° และ⁠1/2°การประมาณค่าจะให้ค่าที่ถูกต้องในสองตำแหน่งฐานหกสิบแรกหลังจากส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม

Gerald J. Toomerในการแปล Almagest ของเขาได้ระบุรายการเจ็ดรายการที่ต้นฉบับบางฉบับมีข้อผิดพลาดในการคัดลอก โดยเปลี่ยน "ตัวเลข" หนึ่งตัว (ตัวอักษรหนึ่งตัว ดูด้านล่าง) Glenn Elertได้ทำการเปรียบเทียบระหว่างค่าของ Ptolemy กับค่าที่แท้จริง (120 เท่าของไซน์ของครึ่งมุม) และพบว่า ค่าความ คลาดเคลื่อนรากกำลังสองเฉลี่ยคือ 0.000136 แต่ส่วนใหญ่เกิดจากการปัดเศษให้ใกล้เคียงที่สุด 1/3600 เนื่องจากเท่ากับ 0.0002777... อย่างไรก็ตาม ยังมีรายการจำนวนมากที่ "ตัวเลข" ตัวสุดท้ายคลาดเคลื่อนไป 1 (สูงเกินไปหรือต่ำเกินไป) จากค่าที่ปัดเศษได้ดีที่สุด ค่าของ Ptolemy มักจะสูงเกินไป 1 ในตำแหน่งสุดท้าย และยิ่งสูงขึ้นไปอีกเมื่อพิจารณามุมที่สูงขึ้น ข้อผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดอยู่ที่ประมาณ 0.0004 ซึ่งยังคงสอดคล้องกับข้อผิดพลาดเพียง 1 ในตัวเลขฐานหกสิบตัว สุดท้าย ^{[ 6 ]}

ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมในหน่วยองศา และส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของความยาวคอร์ด ถูกแสดงด้วยระบบตัวเลขฐาน 10 โดยใช้อักษรกรีก 21 ตัว ซึ่งมีความหมายตามตารางต่อไปนี้ และสัญลักษณ์ "∠′ "ซึ่งหมายถึง⁠1/2และวงกลมนูน "○" ที่เติมเต็มช่องว่าง (ซึ่งแทนเลขศูนย์) ตัวอักษรสามตัวที่ระบุว่า "โบราณ" ในตารางด้านล่าง ไม่ได้ถูกใช้ในภาษากรีกมาหลายศตวรรษก่อนที่ จะมีการเขียน อัลมาเกสต์แต่ยังคงถูกใช้เป็นตัวเลขและโน้ตดนตรีอยู่

${\displaystyle {\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\sigma &\mathrm {sigma} &200\\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&\tau &\mathrm {tau} &300\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&\upsilon &\mathrm {upsilon} &400\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&\varphi &\mathrm {phi} &500\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaic)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&\chi &\mathrm {chi} &600\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&o&\mathrm {omicron} &70&\psi &\mathrm {psi} &700\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&\omega &\mathrm {omega} &800\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaic)} &90&\mathrm {\sampi} &\mathrm {sampi\ (archaic)} &900\\\hline \end{array}}}$

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ส่วนโค้งของ⁠143+1/2⁠ ° แสดงด้วยสัญลักษณ์ρμγ ∠′ (เนื่องจากตารางแสดงค่าสูงสุดเพียง 180° จึงไม่ได้ใช้ตัวเลขกรีกสำหรับค่า 200 ขึ้นไป)

ส่วนที่เป็นเศษส่วนของความยาวคอร์ดนั้นต้องการความแม่นยำสูง และแสดงใน รูปแบบ เลขฐานหกสิบในสองคอลัมน์ในตาราง โดยคอลัมน์แรกแสดงค่าจำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของ⁠1/60ในช่วง 0–59 โดยที่ตัวที่สองเป็นจำนวนเต็มคูณของ1/60 ²= ​ ​1/3600และอยู่ในช่วง 0–59 เช่นกัน

ดังนั้นในฉบับAlmagest ของ Heiberg ที่มีตารางคอร์ดในหน้า 48–63จุดเริ่มต้นของตารางจะสอดคล้องกับส่วนโค้งจาก⁠1/2⁠ °ถึง ⁠7+1/2⁠ °มีลักษณะดังนี้:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\upsilon }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{‘}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa o\sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}}$

ถัดมาในตาราง จะเห็นได้ว่าตัวเลขที่ใช้แสดงส่วนจำนวนเต็มของส่วนโค้งและความยาวคอร์ดนั้นเป็นเลขฐานสิบ ดังนั้น ส่วนโค้ง 85° จึงเขียนเป็นπε ( πแทน 80 และεแทน 5) ไม่ได้แยกย่อยเป็น 60 + 25 ส่วนความยาวคอร์ดที่สอดคล้องกันคือ 81 บวกกับส่วนที่เป็นเศษส่วน ส่วนจำนวนเต็มเริ่มต้นด้วยπαซึ่งก็ไม่ได้แยกย่อยเป็น 60 + 21 เช่นกัน แต่ส่วนที่เป็นเศษส่วนนั้นเขียนเป็นδแทน 4 ในตาราง${\textstyle {\tfrac {4}{60}}+{\tfrac {15}{60^{2}}}}$1/60คอลัมน์ตามด้วยιε สำหรับ 15ใน1/60 ²คอลัมน์​

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\upsilon }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{‘}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa o\sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}}$

ตารางนี้มี 45 บรรทัดในแต่ละหน้า จำนวน 8 หน้า รวมทั้งหมด 360 บรรทัด

• ตารางไซน์ของอารยภัตตา
• เอ็กเซแคนท์
• Fundamentum Astronomiaeเป็นหนังสือที่นำเสนออัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าไซน์อย่างแม่นยำ ตีพิมพ์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 1500
• คณิตศาสตร์กรีก
• ตารางไซน์ของมาธาวะ
• ปโตเลมี
• ลำดับขั้นของคอร์ด
• เวอร์ซีน

• JL Heiberg Almagest , ตารางคอร์ดในหน้า 48–63
• ตารางคอร์ดของปโตเลมีโดยเกล็น เอเลิร์ต : ตรีโกณมิติในศตวรรษที่สอง
• Almagestในรูปแบบภาษากรีกและฝรั่งเศส สามารถดูได้ที่คลังเก็บข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต