ระบบเลขฐาน สิบ (เรียกอีกอย่างว่าฐานสิบ หรือเดนารี ) คือระบบตัวเลขที่ใช้สิบเป็นฐานระบบเลขฐานสิบเป็นมาตรฐานสากลสำหรับการแสดงจำนวนเต็ม และ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มวิธีการแสดงตัวเลขในระบบเลขฐานสิบมักเรียกว่าสัญกรณ์เลขฐานสิบ [ ^{1 ] ปัจจุบัน}ระบบเลขฐานสิบที่ใช้กันมากที่สุดคือระบบตัวเลขฮินดู-อารบิกซึ่งเป็นระบบตัวเลขแบบตำแหน่งอย่างไรก็ตาม ยังมีระบบฐานสิบที่ไม่ใช่แบบตำแหน่ง เช่น ตัวเลข โรมันหรือตัวเลขจีน

ตัวเลขทศนิยม (หรือเรียกสั้นๆ ว่าทศนิยมหรือเรียกไม่ถูกต้องนักว่าตัวเลขทศนิยม ) โดยทั่วไปหมายถึงการเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขทศนิยม ตัวเลขทศนิยมที่ไม่ใช่จำนวนเต็มอาจระบุด้วยตัวคั่นทศนิยม (โดยปกติคือ "." หรือ "," เช่น25.9703หรือ3.1415 ) ^{[ 2 ]} ในภาษาอังกฤษ คำว่าdecimalมักหมายถึงตัวเลขหลังตัวคั่นทศนิยม ตัวอย่างเช่น " 3.14คือค่าประมาณของπที่มีทศนิยมสองตำแหน่ง " หรือ " สองตำแหน่งทศนิยม "

จำนวนที่สามารถแทนได้อย่างแม่นยำด้วยทศนิยมที่มีความยาวจำกัดเรียกว่าเศษส่วนทศนิยมนั่นคือเศษส่วนในรูปแบบa /10n ^โดยที่aเป็นจำนวนเต็ม และnเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เศษส่วนทศนิยมยังได้มาจากการบวกจำนวนเต็มกับส่วนที่เป็นเศษส่วนผลลัพธ์ที่ได้บางครั้งเรียกว่าจำนวน เศษส่วน

เลขทศนิยมมักใช้ในการประมาณค่าจำนวนจริง การเพิ่มจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมจะช่วยให้ค่าประมาณมีความแม่นยำมากขึ้น ตราบใดที่มีวิธีการคำนวณจำนวนหลักใหม่ ในทางวิทยาศาสตร์ จำนวนหลักทศนิยมที่ระบุโดยทั่วไปจะบ่งบอกถึงความแม่นยำของปริมาณนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าบอกมวลว่า 1.32 มิลลิกรัม มักหมายความว่ามีความมั่นใจพอสมควรว่ามวลที่แท้จริงอยู่ระหว่าง 1.315 มิลลิกรัมถึง 1.325 มิลลิกรัม ในขณะที่ถ้าบอกว่า 1.320 มิลลิกรัม ก็มีแนวโน้มว่ามวลที่แท้จริงจะอยู่ระหว่าง 1.3195 ถึง 1.3205 มิลลิกรัม หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับคณิตศาสตร์บริสุทธิ์เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าคำนวณรากที่สองของ 22 โดยปัดเศษให้เหลือสองหลักหลังจุดทศนิยม คำตอบคือ 4.69 ในขณะที่ถ้าคำนวณโดยปัดเศษให้เหลือสามหลัก คำตอบคือ 4.690 เลข 0 ที่เพิ่มเข้ามาตอนท้ายนั้นมีความหมาย แม้ว่า 4.69 และ 4.690 จะเป็นจำนวนจริงเดียวกันก็ตาม

โดยหลักการแล้ว การขยายทศนิยมของจำนวนจริง ใดๆ สามารถดำเนินการได้ไกลเท่าที่ต้องการเลยจุดทศนิยมไป หากการขยายถึงจุดที่ตัวเลขที่เหลือทั้งหมดเป็นศูนย์ ก็สามารถละเว้นเศษที่เหลือได้ และการขยายดังกล่าวเรียกว่าทศนิยมสิ้นสุดทศนิยมซ้ำคือทศนิยมอนันต์ที่หลังจากหลักใดหลักหนึ่งแล้ว จะซ้ำลำดับตัวเลขเดิมไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (เช่น5.123144144144144... = 5.123 144 ) ^{[ 3 ]}ทศนิยมอนันต์แสดงถึงจำนวนตรรกยะ ซึ่งเป็นผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน ก็ต่อเมื่อเป็นทศนิยมซ้ำหรือมีจำนวนหลักที่ไม่เป็นศูนย์จำกัด

ระบบตัวเลข ของอารยธรรมโบราณ หลายแห่งใช้เลขสิบและเลขยกกำลังของสิบในการแสดงจำนวน อาจเป็นเพราะมีนิ้วสิบนิ้วบนสองมือ และผู้คนเริ่มนับโดยใช้นิ้ว ตัวอย่างเช่นตัวเลขอียิปต์ตัวเลขพราห์มีตัวเลขกรีกตัวเลขฮีบรูตัวเลขโรมันและตัวเลขจีน [ ^{4 ] การ}แสดงจำนวนขนาดใหญ่มากในระบบตัวเลขโบราณเหล่านี้เป็นเรื่องยาก และมีเพียงนักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดเท่านั้นที่สามารถคูณหรือหารจำนวนขนาดใหญ่ได้ ความยากลำบากเหล่านี้ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ด้วยการนำระบบตัวเลขฮินดู-อาหรับมาใช้ในการแสดงจำนวนเต็มระบบนี้ได้รับการขยายเพื่อแสดงจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบางส่วน เรียกว่าเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนทศนิยมเพื่อสร้าง ระบบ ตัวเลขทศนิยม^{[ 4 ]}

สำหรับการเขียนตัวเลข ระบบเลขฐานสิบโดยทั่วไปจะใช้ตัวเลขฐาน สิบสิบ หลักเครื่องหมายจุดทศนิยมและสำหรับตัวเลขติดลบ จะใช้ เครื่องหมายลบ "−" ตัวเลขฐานสิบในตัวเลขอาหรับคือ0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ^{[ 5} ] ตัวคั่นทศนิยมคือจุด " . " ในหลายประเทศ (ส่วนใหญ่เป็นประเทศที่ใช้ภาษาอังกฤษ) ^{[ 6 ]}และเครื่องหมายจุลภาค " , " ในประเทศอื่น^{ๆ[ 2 ]}

ในการแสดงจำนวนที่ไม่เป็นลบตัวเลขทศนิยมประกอบด้วย

• อาจเป็นลำดับตัวเลข (จำกัด) (เช่น "2017") ซึ่งลำดับทั้งหมดแทนจำนวนเต็ม:

  ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}}$

• หรือจุดทศนิยมที่คั่นระหว่างลำดับตัวเลขสองชุด (เช่น "20.70828")

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$.

ถ้าm > 0นั่นคือ ถ้าลำดับแรกมีอย่างน้อยสองหลัก โดยทั่วไปจะถือว่าหลักแรกa _mไม่ใช่ศูนย์ ในบางสถานการณ์ การมีศูนย์หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นทางด้านซ้ายอาจมีประโยชน์ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงค่าที่แสดงโดยจุดทศนิยม เช่น3.14 = 03.14 = 003.14ในทำนองเดียวกัน ถ้าหลักสุดท้ายทางด้านขวาของจุดทศนิยมเป็นศูนย์ นั่นคือ ถ้าb _n = 0ก็สามารถลบออกได้ ในทางกลับกัน สามารถเพิ่มศูนย์ต่อท้ายหลังจุดทศนิยมได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงจำนวนที่แสดง^{[หมายเหตุ 1 ]}เช่น15 = 15.0 = 15.00และ5.2 = 5.20 = 5.200

ในการแสดงจำนวนลบ จะต้อง ใส่ เครื่องหมายลบไว้หน้าตัวอักษร_m

ตัวเลขแสดงถึงจำนวน ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$

${\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}$.

ส่วนจำนวนเต็มหรือส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของเลขทศนิยม คือจำนวนเต็มที่เขียนไว้ทางด้านซ้ายของจุดทศนิยม (ดูเพิ่มเติมที่การตัดทศนิยม ) สำหรับเลขทศนิยมที่ไม่เป็นลบ ส่วนจำนวนเต็มคือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่มากกว่าจุดทศนิยมนั้น ส่วนที่นับจากจุดทศนิยมไปทางด้านขวาคือส่วนที่เป็นเศษส่วนซึ่งเท่ากับผลต่างระหว่างเลขทศนิยมกับส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม

เมื่อส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขเป็นศูนย์ อาจเกิดขึ้นได้ โดยเฉพาะในด้านการคำนวณว่าส่วนจำนวนเต็มจะไม่ถูกเขียน (ตัวอย่างเช่น . 1234แทนที่จะเป็น0.1234 ) ในการเขียนทั่วไป มักจะหลีกเลี่ยงวิธีนี้ เนื่องจากอาจทำให้เกิดความสับสนระหว่างจุดทศนิยมกับเครื่องหมายวรรคตอนอื่นๆ

กล่าวโดยสรุป การมีส่วนร่วมของแต่ละหลักต่อค่าของจำนวนนั้นขึ้นอยู่กับตำแหน่งของหลักนั้นในตัวเลข

เศษส่วนทศนิยม (บางครั้งเรียกว่าจำนวนทศนิยมโดยเฉพาะในบริบทที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนที่ชัดเจน) คือ จำนวนตรรกยะที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นกำลังของสิบได้^{[ 7 ]}ตัวอย่างเช่น นิพจน์ทศนิยมแสดงถึงเศษส่วน⁠${\displaystyle 0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159}$8/10, ⁠​1489/100, ⁠​79/100000, ⁠​+1618/1000และ​​+314159/100000และด้วยเหตุนี้จึงใช้แทนเศษส่วนทศนิยม ตัวอย่างของเศษส่วนที่ไม่สามารถแสดงด้วยนิพจน์ทศนิยม (ที่มีจำนวนหลักจำกัด)คือ1/3โดยที่ 3 ไม่ใช่เลขยกกำลังของ 10

โดยทั่วไปแล้ว เลขทศนิยมที่มีnหลักหลังตัวคั่น (จุดหรือจุลภาค) จะแทนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น10ⁿ ซึ่งตัว ^เศษคือจำนวนเต็มที่ได้จากการลบตัวคั่นออก

ดังนั้น จำนวน ใดๆจะเป็นเศษส่วนทศนิยมก็ต่อ เมื่อจำนวน นั้นมีค่าทศนิยมจำกัด

เมื่อแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่ายแล้วจำนวนทศนิยมคือจำนวนที่มีตัวส่วนเป็นผลคูณของกำลังของ 2 และกำลังของ 5 ดังนั้น ตัวส่วนที่เล็กที่สุดของจำนวนทศนิยมคือ

${\displaystyle 1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots }$

ตัวเลขทศนิยมไม่สามารถแสดงค่าที่แน่นอนของจำนวนจริง ทั้งหมด ได้ อย่างไรก็ตาม ตัวเลขทศนิยมช่วยให้สามารถประมาณค่าจำนวนจริงทุกจำนวนได้ด้วยความแม่นยำตามต้องการ เช่น ตัวเลขทศนิยม 3.14159 ประมาณค่าπ ได้ โดยมีความคลาดเคลื่อนน้อยกว่า 10⁻⁵ ^{ดังนั้น} ตัวเลข ทศนิยมจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์วิศวกรรมและชีวิตประจำวัน

กล่าวโดยละเอียด สำหรับจำนวนจริงx ทุกจำนวน และจำนวนเต็มบวกn ทุกจำนวน จะมีทศนิยมสองจำนวนLและu ที่มี จำนวนหลักหลังจุดทศนิยมไม่เกินn หลัก โดยที่ L ≤ x ≤ uและ( u − L ) = 10 ^{− n}

ตัวเลขมักได้มาจากการวัดเนื่องจากการวัดนั้นมีความคลาดเคลื่อน อยู่บ้าง โดยมีค่าสูงสุด ที่ทราบ ดังนั้นผลลัพธ์ของการวัดจึงมักแสดงด้วยเลขทศนิยมที่มีnหลักหลังจุดทศนิยม ตราบใดที่ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการวัดมีค่าไม่เกิน10 ^{− n}ในทางปฏิบัติ ผลลัพธ์ของการวัดมักแสดงด้วยจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมที่แน่นอน ซึ่งบ่งบอกถึงขอบเขตของความคลาดเคลื่อน ตัวอย่างเช่น แม้ว่า 0.080 และ 0.08 จะหมายถึงตัวเลขเดียวกัน แต่เลขทศนิยม 0.080 บ่งบอกถึงการวัดที่มีความคลาดเคลื่อนน้อยกว่า 0.001 ในขณะที่เลข 0.08 บ่งบอกถึงความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ที่มีค่าไม่เกิน 0.01 ในทั้งสองกรณี ค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้อาจเป็น 0.0803 หรือ 0.0796 ก็ได้ (ดูเพิ่มเติมที่ตัวเลขสำคัญ )

สำหรับจำนวนจริงxและจำนวนเต็มn ≥ 0ให้[ x ] _nแทนการขยายทศนิยม (จำกัด) ของจำนวนที่มากที่สุดที่ไม่มากกว่าxซึ่งมีตัวเลขหลังจุดทศนิยมอยู่n หลักพอดี ให้ d _iแทนตัวเลขหลักสุดท้ายของ[ x ] _iจะเห็นได้ชัดเจนว่า[ x ] _nสามารถหาได้โดยการต่อd _nทางด้านขวาของ[ x ] _{n −1}ด้วยวิธีนี้จะได้

[ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _{n −1} d _n ,

และผลต่างของ[ x ] _{n −1}และ[ x ] _nมีค่าเท่ากับ

${\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}}$,

ซึ่งอาจเป็น 0 ถ้าd _n = 0หรือมีค่าเล็กลงเรื่อยๆ เมื่อnเข้าสู่ค่าอนันต์ ตามนิยามของลิมิตxคือลิมิตของ[ x ] _nเมื่อnเข้าสู่ค่าอนันต์ซึ่งเขียนได้เป็นหรือ ${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$

x = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ... ,

ซึ่งเรียกว่า การ ขยาย ทศนิยมอนันต์ของx

ในทางกลับกัน สำหรับจำนวนเต็ม[ x ] ₀ ใดๆ และลำดับของตัวเลขใดๆนิพจน์ (อนันต์) [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ...คือการขยายทศนิยมอนันต์ของจำนวนจริงxการขยายนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว หากd _n ทั้งหมดไม่ เท่ากับ 9 และd _n ทั้งหมดไม่ เท่ากับ 0 สำหรับnที่มีค่ามากพอ (สำหรับn ทุกค่า ที่มากกว่าจำนวนธรรมชาติN บางค่า ) ${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$

ถ้าd _nสำหรับn > N ทั้งหมด เท่ากับ 9 และ[ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _nลิมิตของลำดับคือเศษส่วนทศนิยมที่ได้จากการแทนที่หลักสุดท้ายที่ไม่ใช่ 9 นั่นคือd _Nด้วยd _N + 1และแทนที่ 9 ที่ตามมาทั้งหมดด้วย 0 (ดู0.999... ) ${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$

เศษส่วนทศนิยมใดๆ เช่นd _n = 0สำหรับn > Nสามารถแปลงเป็นการขยายทศนิยมอนันต์ที่เทียบเท่าได้โดยการแทนที่d _Nด้วย d _N − 1และแทนที่ 0 ที่ตามมาทั้งหมดด้วย 9 (ดู0.999... )

โดยสรุปแล้ว จำนวนจริงทุกจำนวนที่ไม่ใช่เศษส่วนทศนิยมจะมีการขยายทศนิยมอนันต์ที่ไม่ซ้ำกัน เศษส่วนทศนิยมแต่ละตัวจะมีการขยายทศนิยมอนันต์สองแบบ แบบแรกประกอบด้วยเลข 0 เท่านั้นหลังหลักใดหลักหนึ่ง ซึ่งได้มาจากนิยามของ[ x ] _n ข้างต้น และแบบที่สองประกอบด้วยเลข 9 เท่านั้นหลังหลักใดหลักหนึ่ง ซึ่งได้มาจากการกำหนด[ x ] _nให้เป็นจำนวนที่มากที่สุดที่น้อยกว่าx โดยมี หลักทศนิยม อยู่ n หลัก พอดี

การหารยาวช่วยให้สามารถคำนวณการขยายทศนิยมอนันต์ของจำนวนตรรกยะ ได้ ถ้าจำนวนตรรกยะเป็นเศษส่วน ทศนิยม การหารจะหยุดลงในที่สุด โดยให้ผลลัพธ์เป็นตัวเลขทศนิยม ซึ่งสามารถขยายออกไปเป็นอนันต์ได้โดยการเติมศูนย์เข้าไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ถ้าจำนวนตรรกยะไม่ใช่เศษส่วนทศนิยม การหารอาจดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเศษที่เหลือทั้งหมดน้อยกว่าตัวหาร จึงมีเศษที่เหลือที่เป็นไปได้เพียงจำนวนจำกัด และหลังจากจุดใดจุดหนึ่ง ลำดับของตัวเลขเดียวกันจะต้องซ้ำกันไปเรื่อยๆ ในผลลัพธ์ นั่นคือ จะได้ทศนิยมซ้ำตัวอย่างเช่น

⁠1/81= 0. 012345679 012... (โดยกลุ่ม 012345679 จะซ้ำกันไปเรื่อยๆ)

ในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน: หาก ณ จุดใดจุดหนึ่งในการแสดงผลแบบทศนิยมของจำนวนหนึ่ง ลำดับของตัวเลขเดียวกันเริ่มซ้ำกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนนั้นจะเป็นจำนวนตรรกยะ

หรือหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย6692/1665⁠ .

ระบบฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่ มักใช้ การแสดงผลแบบไบนารีภายใน (แม้ว่าคอมพิวเตอร์ยุคแรกๆ หลายเครื่อง เช่นENIACหรือIBM 650จะใช้การแสดงผลแบบทศนิยมภายในก็ตาม) ^{[ 8 ]} สำหรับการใช้งานภายนอกโดยผู้เชี่ยวชาญด้านคอมพิวเตอร์ การแสดงผลแบบไบนารีนี้บางครั้งจะถูกนำเสนอในระบบ เลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบหก ที่เกี่ยวข้อง

อย่างไรก็ตาม สำหรับการใช้งานส่วนใหญ่ ค่าไบนารีจะถูกแปลงเป็นหรือจากค่าทศนิยมที่เทียบเท่ากันเพื่อนำเสนอหรือป้อนให้กับมนุษย์ โปรแกรมคอมพิวเตอร์จะแสดงค่าตัวเลขในรูปแบบทศนิยมโดยค่าเริ่มต้น (ตัวอย่างเช่น 123.1 จะถูกเขียนในรูปแบบนั้นในโปรแกรมคอมพิวเตอร์ แม้ว่าภาษาคอมพิวเตอร์หลายภาษาจะไม่สามารถเข้ารหัสตัวเลขนั้นได้อย่างแม่นยำก็ตาม)

ทั้งฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์ของคอมพิวเตอร์ยังใช้การแสดงผลภายในซึ่งมีประสิทธิภาพเป็นเลขฐานสิบสำหรับการจัดเก็บค่าเลขฐานสิบและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งที่การคำนวณทางคณิตศาสตร์นี้ทำกับข้อมูลที่เข้ารหัสโดยใช้เลขฐานสิบแบบไบนารี[ ^{9 ] [ 10 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่งในการใช้งานฐานข้อมูล แต่ก็มีการแสดงผลเลขฐานสิบแบบอื่นที่ใช้กันอยู่ (รวมถึงเลขทศนิยมแบบจุดลอยตัวเช่น ในการแก้ไขใหม่ของมาตรฐาน IEEE 754 สำหรับการคำนวณเลขทศนิยมแบบจุดลอยตัว ) ^{[ 11 ]}

เลขคณิตทศนิยมใช้ในคอมพิวเตอร์เพื่อให้ผลลัพธ์เศษส่วนทศนิยมของการบวก (หรือลบ) ค่าที่มีความยาวส่วนเศษส่วนคงที่นั้นคำนวณด้วยความแม่นยำความยาวเดียวกันเสมอ ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณทางการเงิน เช่น การต้องการผลลัพธ์ที่เป็นจำนวนเต็มเท่าของหน่วยสกุลเงินที่เล็กที่สุดเพื่อวัตถุประสงค์ในการทำบัญชี สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ในระบบเลขฐานสอง เนื่องจากกำลังลบของไม่มีการแสดงเศษส่วนเลขฐานสองที่จำกัด และโดยทั่วไปเป็นไปไม่ได้สำหรับการคูณ (หรือการหาร) ^{[ 12 ] [ 13 ]}ดูเลขคณิตความแม่นยำตามอำเภอใจสำหรับการคำนวณที่แม่นยำ ${\displaystyle 10}$

วัฒนธรรมโบราณหลายแห่งคำนวณโดยใช้ตัวเลขที่มีฐานเป็นสิบ อาจเป็นเพราะมือของมนุษย์สองข้างมีสิบนิ้ว^{[ 14 ]}น้ำหนักมาตรฐานที่ใช้ในอารยธรรมลุ่มแม่น้ำสินธุ ( ประมาณ 3300–1300 ปีก่อนคริสตกาล ) มีพื้นฐานมาจากอัตราส่วน: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 และ 500 ในขณะที่ไม้บรรทัดมาตรฐานของพวกเขา – ไม้บรรทัดโมเฮนโจ-ดาโร – ถูกแบ่งออกเป็นสิบส่วนเท่าๆ กัน^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}อักษรฮีโรกลิฟของอียิปต์ซึ่งมีหลักฐานตั้งแต่ราว 3000 ปีก่อนคริสตกาล ใช้ระบบเลขฐานสิบล้วน^{[ 18 ]}เช่นเดียวกับ อักษร ลิเนียร์เอ ( ประมาณ 1800–1450 ปีก่อนคริสตกาล ) ของชาวมิโนอัน^{[ 19 ] [ 20 ]}และ อักษร ลิเนียร์บี (ประมาณ 1400–1200 ปีก่อนคริสตกาล) ของชาวไมซีเนียน วัฒนธรรมอูเนติเซในยุโรปกลาง (2300-1600 ปีก่อนคริสตกาล) ใช้หน่วยน้ำหนักมาตรฐานและระบบเลขฐานสิบในการค้าขาย^{[ 21 ]}ระบบตัวเลขของกรีกโบราณยังใช้เลขยกกำลังของสิบ รวมถึงฐานกลางที่ 5 เช่นเดียวกับเลขโรมัน^{[ 22 ]}ที่น่าสังเกตคือ อาร์คิมิดีส ผู้รอบรู้ (ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสตกาล) ได้คิดค้นระบบตำแหน่งทศนิยมในSand Reckoner ของเขา ซึ่งมีพื้นฐานมาจาก 10 8 ^{[ 22 ] [ 23 ] อักษร} ภาพ ฮิตไทต์ (ตั้งแต่ศตวรรษที่ 15 ก่อนคริสตกาล) ก็เป็นระบบทศนิยมอย่างเคร่งครัดเช่นกัน^{[ 24 ]}

ตัวเลขไฮราติกของอียิปต์ ตัวเลขอักษรกรีก ตัวเลขอักษรฮีบรู ตัวเลขโรมัน ตัวเลขจีน และตัวเลขพราห์มีของอินเดียในยุคแรก ล้วนเป็นระบบทศนิยมที่ไม่ใช่ตำแหน่ง และต้องใช้สัญลักษณ์จำนวนมาก ตัวอย่างเช่น ตัวเลขอียิปต์ใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันสำหรับ 10, 20 ถึง 90, 100, 200 ถึง 900, 1,000, 2,000, 3,000, 4,000 ถึง 10,000 ^{[ 25 ]} ระบบทศนิยมตำแหน่งที่เก่าแก่ที่สุดในโลกคือแคลคูลัสแท่ง ของจีน ^{[ 26 ]}

ตั้งแต่ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช หน่วยวัดความยาวของจีนบางหน่วยใช้การหารด้วยสิบ โดยในศตวรรษที่ 3 หลังคริสต์ศักราช หน่วยวัดเหล่านี้ใช้เพื่อแสดงเศษส่วนทศนิยมของความยาวโดยไม่ใช้ตำแหน่ง^{[ 27 ]}การคำนวณเศษส่วนทศนิยมของความยาวทำได้โดยใช้แท่งนับตำแหน่ง ดังที่อธิบายไว้ใน ซุนจื่อซวนจิงในศตวรรษที่ 3-5 หลังคริสต์ศักราช นักคณิตศาสตร์ ซู่ฉงจือในศตวรรษที่ 5 หลังคริสต์ศักราช คำนวณ ค่าประมาณπ 7 หลักหนังสือตำราคณิตศาสตร์เก้าส่วน ของ ฉินจิ่วเส้า (1247) เขียนเศษส่วนทศนิยมที่แสดงถึงตัวเลขแทนการวัดโดยใช้แท่งนับอย่างชัดเจน^{[ 28 ]}ตัวเลข 0.96644 ถูกกำหนดให้เป็น

寸

.

นักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์จีนคาดการณ์ว่าแนวคิดเรื่องเศษส่วนทศนิยมอาจถูกส่งต่อจากจีนไปยังตะวันออกกลาง^{[ 26 ]}

อัล-ควาริซมีได้นำเศษส่วนมาใช้ในประเทศอิสลามในช่วงต้นศตวรรษที่ 9 โดยเขียนด้วยตัวเศษอยู่ด้านบนและตัวส่วนอยู่ด้านล่างโดยไม่มีเส้นแนวนอน เศษส่วนรูปแบบนี้ยังคงใช้กันมาหลายศตวรรษ^{[ 26 ] [ 29 ]}

เศษส่วนทศนิยมตำแหน่งปรากฏขึ้นครั้งแรกในหนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับAbu'l-Hasan al-Uqlidisiที่เขียนขึ้นในศตวรรษที่ 10 ^{[ 30 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวยิวImmanuel Bonfilsใช้เศษส่วนทศนิยมราวปี 1350 แต่ไม่ได้พัฒนาสัญลักษณ์ใดๆ เพื่อแสดงเศษส่วนเหล่านั้น^{[ 31 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียJamshid al-Kashiได้พัฒนาทฤษฎีนี้อย่างมีนัยสำคัญในศตวรรษที่ 15 ในงานของเขาThe Key to Arithmetic (Miftah al-Hisab) al-Kashi ได้นำเสนอการจัดการเศษส่วนทศนิยมอย่างเป็นระบบและครอบคลุมเป็นครั้งแรกในฐานะระบบที่สมบูรณ์ ซึ่งมาก่อนการพัฒนาที่คล้ายคลึงกันในยุโรปเกือบ 175 ปี^{[ 32 ]}

ระบบเลขฐานสิบแบบยุโรปสมัยใหม่ได้รับการริเริ่มโดยSimon Stevinในศตวรรษที่ 16 หนังสือเล่มเล็กที่มีอิทธิพลของ Stevin ชื่อDe Thiende ("ศิลปะแห่งส่วนสิบ") ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในภาษาดัตช์ในปี 1585 และได้รับการแปลเป็นภาษาฝรั่งเศสในชื่อLa Disme ^{[ 33 ]}

จอห์น เนเปียร์ได้แนะนำการใช้จุด (.) เพื่อแยกส่วนจำนวนเต็มของจำนวนทศนิยมออกจากส่วนทศนิยมในหนังสือของเขาเกี่ยวกับการสร้างตารางลอการิทึม ซึ่งตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี ค.ศ. 1620 ^{[ 34 ] : หน้า 8, เอกสารเก็บถาวร หน้า 32}

วิธีการแสดงจำนวนธรรมชาติ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยใช้ชุดสัญลักษณ์สิบตัวเกิดขึ้นในอินเดีย^{[ 35 ]}ภาษาอินเดียหลายภาษามีระบบเลขฐานสิบที่ตรงไปตรงมาภาษาดราวิเดียนมีตัวเลขระหว่าง 10 ถึง 20 ที่แสดงในรูปแบบปกติของการบวกกับ 10 ^{[ 36 ]}

ภาษาฮังการีใช้ระบบเลขฐานสิบที่ตรงไปตรงมาเช่นกัน ตัวเลขทั้งหมดระหว่าง 10 ถึง 20 เขียนตามแบบแผน (เช่น 11 เขียนว่า "tizenegy" ซึ่งแปลว่า "หนึ่งบนสิบ") เช่นเดียวกับตัวเลขระหว่าง 20 ถึง 100 (23 เขียนว่า "huszonhárom" = "สามบนยี่สิบ")

ระบบเลขฐานสิบแบบตรงไปตรงมาที่มีคำเฉพาะสำหรับแต่ละลำดับ (10十, ​​100百, 1000千, 10,000万) โดยที่ 11 เขียนว่า สิบหนึ่ง และ 23 เขียนว่า สองสิบสาม และ 89,345 เขียนว่า สิบพันเก้าร้อยสามสิบห้าพบได้ในภาษาจีนและในภาษาเวียดนามก็มีข้อยกเว้นบ้างเล็กน้อย ภาษาญี่ปุ่น เกาหลี และไทยได้นำ ระบบเลขฐานสิบ ของจีนมาใช้ ภาษาอื่นๆ อีกหลายภาษาที่มีระบบเลขฐานสิบ จะมีคำเฉพาะสำหรับตัวเลขระหว่าง 10 ถึง 20 และหลักสิบ ตัวอย่างเช่น ในภาษาอังกฤษ 11 คือ "eleven" ไม่ใช่ "ten-one" หรือ "one-teen"

ภาษาของชาวอินคา เช่นภาษาเกชัวและภาษาไอมารามีระบบเลขฐานสิบที่ค่อนข้างตรงไปตรงมา โดยที่ 11 จะแสดงเป็นสิบกับหนึ่งและ 23 จะแสดงเป็นสองสิบกับสาม

นักจิตวิทยาบางคนแนะนำว่าความผิดปกติของชื่อตัวเลขภาษาอังกฤษอาจขัดขวางความสามารถในการนับของเด็ก^{[ 37 ]}

บางวัฒนธรรมใช้ หรือเคยใช้ฐานตัวเลขอื่น

• วัฒนธรรม เมโสอเมริกาในยุคก่อนโคลัมบัสเช่นชาวมายาใช้ ระบบ เลขฐาน 20 (อาจอิงจากการใช้นิ้วมือและนิ้วเท้า ทั้ง 20 นิ้ว )
• ภาษาYukiในแคลิฟอร์เนียและภาษาOto-Pamean ^{[ 38 ]}ในเม็กซิโกมี ระบบ เลขฐานแปด ( ฐาน -8) เนื่องจากผู้พูดนับโดยใช้ช่องว่างระหว่างนิ้วแทนที่จะใช้นิ้วเอง^{[ 39 ]}
• การมีอยู่ของฐานที่ไม่ใช่ทศนิยมในร่องรอยแรกสุดของภาษาเยอรมันได้รับการยืนยันโดยการมีอยู่ของคำและคำอธิบายที่หมายความว่าการนับเป็นทศนิยม (คำที่เกี่ยวข้องกับ "นับสิบ" หรือ "แบ่งเป็นสิบ") ซึ่งจะเป็นที่คาดหวังได้หากการนับปกติไม่ใช่ทศนิยม และจะเป็นเรื่องผิดปกติหากเป็นการนับแบบทศนิยม^{[ 40 ] [ 41 ]} ในกรณีที่ทราบระบบการนับนี้ จะอิงตาม " ร้อยยาว " = 120 และ "พันยาว" = 1200 คำอธิบายเช่น "ยาว" ปรากฏขึ้นหลังจาก "ร้อยเล็ก" = 100 ปรากฏขึ้นพร้อมกับชาวคริสต์ บทนำ ของEV Gordon เกี่ยวกับภาษานอร์สโบราณ^{[ 42 ]}ให้ชื่อตัวเลขที่อยู่ในระบบนี้ คำที่มีความหมายคล้ายกับ 'หนึ่งร้อยแปดสิบ' แปลเป็น 200 และคำที่มีความหมายคล้ายกับ 'สองร้อย' แปลเป็น 240 Goodare ^{[ 43 ]}อธิบายรายละเอียดการใช้หน่วยร้อยยาวในสกอตแลนด์ในยุคกลาง โดยยกตัวอย่างเช่น การคำนวณที่การทดหมายถึง i C (เช่น หนึ่งร้อย) เป็น 120 เป็นต้น การที่ประชากรทั่วไปไม่ตกใจเมื่อพบตัวเลขดังกล่าวแสดงให้เห็นว่ามีการใช้งานค่อนข้างแพร่หลาย นอกจากนี้ยังสามารถหลีกเลี่ยงตัวเลขที่คล้ายร้อยได้โดยใช้หน่วยกลาง เช่น สโตนและปอนด์ แทนที่จะนับปอนด์แบบยาว Goodare ยกตัวอย่างตัวเลขเช่น vii score ซึ่งหลีกเลี่ยงร้อยโดยใช้คะแนนแบบขยาย นอกจากนี้ยังมีบทความโดย WH Stevenson เกี่ยวกับ 'Long Hundred และการใช้งานในอังกฤษ' ^{[ 44 ] [ 45 ]}
• ภาษาชูมาชันจำนวนมากหรือทั้งหมดเดิมใช้ ระบบการนับ ฐาน 4ซึ่งชื่อของตัวเลขมีโครงสร้างตามตัวคูณของ 4 และ16 ^{[ 46 ]}
• ภาษาหลายภาษา^{[ 47 ]}ใช้ระบบตัวเลขฐานห้า (ฐาน 5) รวมถึง Gumatj , Nunggubuyu [ ^{48 ]} Kuurn Kopan Noot ^{[ 49 ]}และSaraveca ในบรรดา ^ภาษา เหล่านี้ Gumatj เป็นภาษาเดียวที่รู้จักที่มีระบบตัวเลข 5–25 อย่างแท้จริง โดยที่ 25 เป็นกลุ่มที่สูงกว่าของ 5
• ชาวไนจีเรียบางส่วนใช้ระบบเลขฐานสิบสอง^{[ 50 ]} เช่นเดียวกับชุมชนขนาดเล็กบางแห่งในอินเดียและเนปาล ดังที่เห็นได้จากภาษาของพวกเขา^{[ 51 ]}
• มีรายงานว่า ภาษาฮูลีของปาปัวนิวกินีใช้ตัวเลขฐาน 15 ^{[ 52 ]} Nguiหมายถึง 15, ngui kiหมายถึง 15 × 2 = 30 และngui nguiหมายถึง 15 × 15 = 225
• มีรายงานว่า Umbu-Unguหรือที่รู้จักกันในชื่อ Kakoli มีตัวเลขฐาน 24 ^{[ 53 ]} Tokapuหมายถึง 24, tokapu taluหมายถึง 24 × 2 = 48 และtokapu tokapuหมายถึง 24 × 24 = 576
• มีรายงานว่า Ngitiมี ระบบตัวเลข ฐาน 32พร้อมวงจรฐาน 4 ^{[ 47 ]}
• มีรายงานว่า ภาษาNdomของปาปัวนิวกินีมีตัวเลขฐาน 6 ^{[ 54 ]} Merหมายถึง 6, mer an thefหมายถึง 6 × 2 = 12, nifหมายถึง 36 และnif thefหมายถึง 36×2 = 72