การคำนวณด้วยแท่งไม้หรือการคำนวณด้วยแท่งไม้ เป็นวิธี การคำนวณ เชิงอัลกอริ ทึมเชิงกล โดยใช้แท่งไม้ในประเทศจีนตั้งแต่สมัยราชวงศ์จ้าน กั๋ว จนถึงราชวงศ์หมิงก่อนที่แท่งไม้จะถูกแทนที่ด้วยลูกคิด ที่สะดวกและเร็วกว่ามากขึ้น การคำนวณด้วยแท่งไม้มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์ของจีนให้ถึงจุดสูงสุดในสมัยราชวงศ์ซ่งและราชวงศ์หยวนโดยมีจุดสูงสุดคือการคิดค้นสมการพหุนามที่มีตัวแปรไม่เกินสี่ตัวในผลงานของจูซื่อเจี๋ย

อุปกรณ์พื้นฐานสำหรับการคำนวณด้วยไม้บรรทัดคือไม้บรรทัดนับ จำนวนหนึ่ง และกระดานนับ ไม้บรรทัดนับมักทำจากไม้ไผ่ ยาวประมาณ 12-15 เซนติเมตร เส้นผ่านศูนย์กลาง 2-4 มิลลิเมตร บางครั้งอาจทำจากกระดูกสัตว์ งาช้าง และหยก (สำหรับพ่อค้าผู้มั่งคั่ง) กระดานนับอาจเป็นโต๊ะ กระดานไม้ที่มีหรือไม่มีตาราง วางบนพื้นหรือบนทรายก็ได้

ในปี 1971 นักโบราณคดีชาวจีนได้ขุดพบมัดแท่งกระดูกสัตว์ที่ใช้สำหรับนับจำนวน ซึ่งเก็บรักษาไว้อย่างดีในถุงผ้าไหม จากสุสานในอำเภอเฉียนหยาง มณฑลชานซี มีอายุย้อนไปถึงช่วงครึ่งแรกของราชวงศ์ฮั่น (206 ปีก่อนคริสต์ศักราช – 8 ปีหลังคริสต์ศักราช) ต่อมาในปี 1975 ได้มีการขุดพบมัดแท่งไม้ไผ่ที่ใช้สำหรับนับจำนวนอีกมัดหนึ่ง

การใช้ไม้บรรทัดนับเลขสำหรับการคำนวณด้วยไม้บรรทัดเฟื่องฟูในยุคสงครามระหว่างรัฐแม้ว่าจะไม่พบโบราณวัตถุใด ๆ ที่เก่ากว่าสมัยราชวงศ์ฮั่นตะวันตก (ครึ่งแรกของราชวงศ์ฮั่น ) แต่ทางโบราณคดีได้ขุดพบซอฟต์แวร์ที่ใช้สำหรับการคำนวณด้วยไม้บรรทัดซึ่งมีอายุย้อนไปถึงยุคสงครามระหว่างรัฐเนื่องจากซอฟต์แวร์สำหรับการคำนวณด้วยไม้บรรทัดต้องมาพร้อมกับฮาร์ดแวร์ที่ใช้ จึงไม่มีข้อสงสัยเลยว่าการคำนวณด้วยไม้บรรทัดเฟื่องฟูแล้วในยุคสงครามระหว่างรัฐเมื่อกว่า 2,200 ปีที่แล้ว

ซอฟต์แวร์สำคัญที่จำเป็นสำหรับแคลคูลัสแท่งคือตารางการคูณเลขฐานสิบแบบง่ายๆ 45 วลี ซึ่งใช้ในประเทศจีนมาตั้งแต่สมัยโบราณ เรียกว่าตารางเก้าเก้าซึ่งนักเรียน พ่อค้า ข้าราชการ และนักคณิตศาสตร์ต่างท่องจำได้ขึ้นใจ

ระบบตัวเลขแบบแท่งเป็นระบบตัวเลขเดียวที่ใช้การจัดวางสัญลักษณ์เดียวกันในรูปแบบต่างๆ เพื่อแสดงจำนวนหรือเศษส่วนใดๆ ในระบบเลขฐานสิบ สำหรับตัวเลขในหลักหน่วย แท่งแนวตั้งแต่ละแท่งแทน 1 แท่งแนวตั้งสองแท่งแทน 2 และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงแท่งแนวตั้ง 5 แท่ง ซึ่งแทน 5 สำหรับตัวเลขระหว่าง 6 ถึง 9 จะใช้ระบบ เลขฐานสองแบบสองส่วนโดยที่แท่งแนวนอนอยู่ด้านบนของแท่งแนวตั้งแทน 5 แถวแรกแสดงตัวเลข 1 ถึง 9 ในระบบตัวเลขแบบแท่ง และแถวที่สองแสดงตัวเลขเดียวกันในรูปแบบแนวนอน

สำหรับตัวเลขที่มากกว่า 9 จะใช้ ระบบเลขฐานสิบ แท่งที่วางอยู่ทางซ้ายของหลักหน่วยแทน 10 เท่าของตัวเลขนั้น สำหรับหลักร้อย จะวางแท่งอีกชุดหนึ่งทางซ้ายแทน 100 เท่าของตัวเลขนั้น และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป ดังแสดงในภาพประกอบด้านข้าง ตัวเลข 231 แสดงด้วยแท่งตัวเลขในแถวบนสุด โดยแท่งหนึ่งแท่งในหลักหน่วยแทน 1 แท่งสามแท่งในหลักสิบแทน 30 และแท่งสองแท่งในหลักร้อยแทน 200 โดยมีผลรวมเท่ากับ 231

เมื่อทำการคำนวณ โดยปกติจะไม่มีตารางบนพื้นผิว หากวางตัวเลขแท่งสอง สาม และหนึ่งเรียงกันในแนวตั้ง อาจเกิดความเข้าใจผิดว่าเป็น 51 หรือ 24 ดังแสดงในแถวที่สองและสามของภาพที่อยู่ติดกัน เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ตัวเลขในตำแหน่งที่ต่อเนื่องกันจะถูกวางสลับกันในแนวตั้งและแนวนอน โดยวางหน่วยในแนวตั้ง^{[ 1 ]}ดังแสดงในแถวล่างสุดทางด้านขวา

ในตัวเลข Rod นั้นเลขศูนย์จะแทนด้วยช่องว่าง ซึ่งทำหน้าที่ทั้งเป็นตัวเลขและค่าตำแหน่ง ต่างจากตัวเลขฮินดู-อารบิกที่ไม่มีสัญลักษณ์เฉพาะสำหรับแทนเลขศูนย์ ก่อนที่จะมีการนำเลขศูนย์แบบเขียนมาใช้ นอกจากช่องว่างเพื่อระบุว่าไม่มีหน่วยแล้ว ตัวอักษรในหลักหน่วยถัดไปจะถูกหมุน 90° เพื่อลดความกำกวมของเลขศูนย์ตัวเดียว^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่น 107 (𝍠 𝍧) และ 17 (𝍩𝍧) จะแตกต่างกันด้วยการหมุน นอกเหนือจากช่องว่าง แม้ว่าหน่วยศูนย์หลายหน่วยอาจทำให้เกิดความกำกวมได้ เช่น 1007 (𝍩 𝍧) และ 10007 (𝍠 𝍧) ในภาพด้านข้าง เลขศูนย์จะถูกแทนด้วยช่องว่างเท่านั้น

นักคณิตศาสตร์ สมัยซ่งใช้สีแดงแทนจำนวนบวกและสีดำแทนจำนวนลบอย่างไรก็ตาม อีกวิธีหนึ่งคือการเพิ่มเครื่องหมายทับที่หลักสุดท้ายเพื่อแสดงว่าจำนวนนั้นเป็นลบ^{[ 3 ]}

ตำราคณิตศาสตร์ของซุนจื่อใช้ระบบการวัดแบบ เศษส่วนทศนิยม หน่วยความยาวคือ 1 ไค

1 ฉือ = 10 ชุน 1 ฉุน = 10 เฟิน 1 เฟิน = 10 ลี 1 ลี = 10 ห่าว 10 ห่าว = 1 สือ 1 ซือ = 10 หู

1 chi 2 cun 3 fen 4 li 5 hao 6 shi 7 huวางอยู่บนกระดานนับดังนี้

หน่วยวัดไค คือ ค่า ใด

ฉินจิ่วเส้านักคณิตศาสตร์สมัยราชวงศ์ซ่งใต้ได้ขยายการใช้เศษส่วนทศนิยมออกไปนอกเหนือจากมาตรวิทยา ในหนังสือ " ตำราคณิตศาสตร์เก้าส่วน" ของเขา เขาได้แสดงค่า 1.1446154 วัน อย่างเป็นทางการว่า เป็นเศษส่วน ทศนิยม

ญ

เขาทำเครื่องหมายหน่วยด้วยคำว่า “日” (วัน) ไว้ข้างใต้^{[ 4 ]}

แคลคูลัสแท่งทำงานบนหลักการบวก ต่างจากตัวเลข อาหรับ ตัวเลขที่แสดงด้วยแท่งนับมีคุณสมบัติในการบวก กระบวนการบวกเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนแท่งโดยกลไกโดยไม่ต้องจำตารางการ บวก นี่คือความแตกต่างที่สำคัญที่สุดกับตัวเลขอาหรับ เพราะเราไม่สามารถนำ 1 และ 2 มาต่อกันเพื่อให้ได้ 3 หรือ 2 และ 3 มาต่อกันเพื่อให้ได้ 5 ได้

ภาพด้านข้างแสดงขั้นตอนการบวก 3748 กับ 289:

1. วางตัวตั้งต้น 3748 ไว้ในแถวแรก และตัวบวก 289 ไว้ในแถวที่สอง
2. คำนวณจากซ้ายไปขวา โดยเริ่มจาก 2 ใน 289 ก่อน
3. นำแท่งด้านล่างออก 2 แท่ง แล้วนำไปบวกกับแท่งด้านบนอีก 7 แท่ง เพื่อให้ได้ 9 แท่ง
4. เลื่อนแท่ง 2 แท่งจากบนลงล่าง 8 แท่ง ลากแท่งหนึ่งไปข้างหน้าถึง 9 ซึ่งจะกลายเป็นศูนย์ แล้วลากไปที่ 3 เพื่อให้ได้ 4 นำแท่ง 8 ออกจากแถวล่างสุด
5. ย้ายแท่งไม้หนึ่งแท่งจากหมายเลข 8 ในแถวบนสุดไปยังหมายเลข 9 ในแถวล่างสุด เพื่อสร้างแท่งไม้สำหรับต่อแถวถัดไป และเพิ่มแท่งไม้หนึ่งแท่งลงในแท่งไม้สองแท่งในแถวบนสุด เพื่อให้ได้แท่งไม้สามแท่ง โดยแถวบนสุดด้านซ้ายจะเป็นหมายเลข 7
6. ผลลัพธ์ 3748+289=4037

แท่งในตัวเลขที่ต้องการบวกจะเปลี่ยนแปลงไปตลอดการบวก ในขณะที่แท่งในตัวเลขที่บวกในส่วนล่างจะ "หายไป"

ในกรณีที่ไม่ จำเป็นต้อง ยืมเราเพียงแค่เอาจำนวนแท่งในตัวลบออกจากตัวตั้งลบผลลัพธ์ของการคำนวณคือผลต่าง ภาพด้านข้างแสดงขั้นตอนการลบ 23 ออกจาก 54

ในสถานการณ์ที่จำเป็นต้องมีการยืม เช่น กรณี 4231–789 จำเป็นต้องใช้ขั้นตอนที่ซับซ้อนกว่า ขั้นตอนสำหรับตัวอย่างนี้แสดงอยู่ทางด้านซ้าย

1. วางตัวตั้งลบ 4231 ไว้ด้านบน และตัวลบ 789 ไว้ด้านล่าง คำนวณจากซ้ายไปขวา
2. นำ 1 จากหลักพันมาใส่ในหลักสิบ ลบ 7 จากแถวด้านล่าง ผลต่าง 3 นำไปบวกกับ 2 ด้านบนจะได้ 5 จากนั้นลบ 7 ด้านล่างออก โดยแสดงด้วยช่องว่าง
3. ยืม 1 จากหลักร้อย เหลือ 4 นำ 10 ในหลักสิบ ลบด้วย 8 ข้างล่าง เหลือ 2 แล้วนำ 2 นี้ไปบวกกับ 3 ข้างบน จะได้ 5 ดังนั้นแถวบนสุดจึงเป็น 3451 และแถวล่างสุดเป็น 9
4. ยืม 1 จาก 5 ในหลักสิบด้านบน เหลือ 4 ยืม 1 จากหลักสิบจะได้ 10 ในหลักหน่วย ลบด้วย 9 เหลือ 1 แล้วนำไปบวกกับด้านบนจะได้ 2 เมื่อลบค่าทั้งหมดในแถวล่างออกแล้ว ค่า 3442 ในแถวบนจึงเป็นผลลัพธ์ของการคำนวณ

ซุนจื่อซวนจิงได้อธิบายขั้นตอนวิธีคูณไว้อย่างละเอียด ด้านซ้ายคือขั้นตอนการคำนวณ 38×76:

1. วางตัวตั้งคูณไว้ด้านบน ตัวคูณไว้ด้านล่าง จัดหลักหน่วยของตัวคูณให้ตรงกับหลักสูงสุดของตัวตั้งคูณ เว้นที่ว่างตรงกลางไว้สำหรับบันทึกค่า
2. เริ่มคำนวณจากหลักสูงสุดของตัวคูณ (ในตัวอย่าง คำนวณ 30×76 แล้วจึงคำนวณ 8×76) ใช้ตารางการคูณ 3 คูณ 7 เท่ากับ 21 วาง 21 ลงบนแท่งตรงกลาง โดยให้ 1 ตรงกับหลักสิบของตัวคูณ (อยู่เหนือ 7) จากนั้น 3 คูณ 6 เท่ากับ 18 วาง 18 ตามที่แสดงในภาพ เมื่อคูณ 3 ในตัวคูณเสร็จแล้ว ให้นำแท่งออก
3. เลื่อนตัวคูณไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง เปลี่ยนเลข 7 เป็นรูปแบบแนวนอน และเลข 6 เป็นรูปแบบแนวตั้ง
4. 8×7 = 56 ให้วาง 56 ไว้ในแถวที่สองตรงกลาง โดยให้หลักหน่วยตรงกับตัวเลขที่คูณกันในตัวคูณ นำ 7 ออกจากตัวคูณเนื่องจากได้ถูกคูณไปแล้ว
5. 8×6 = 48, นำ 4 บวกกับ 6 ในขั้นตอนที่แล้วได้ 10 ทด 1 ลบ 8 ในหลักหน่วยของตัวตั้งคูณ และลบ 6 ในหลักหน่วยของตัวคูณ
6. นำ 2380 และ 508 ตรงกลางมาบวกกัน จะได้ผลลัพธ์เป็น 2888: ซึ่งก็คือผลคูณนั่นเอง

ภาพเคลื่อนไหวทางด้านซ้ายแสดงขั้นตอนการคำนวณ309/7= 44​1/7⁠ .

1. วางตัวตั้งหาร 309 ไว้ในแถวกลาง และวางตัวหาร 7 ไว้ในแถวล่าง เว้นที่ว่างไว้สำหรับแถวบน
2. เลื่อนตัวหาร 7 ไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง เพื่อเปลี่ยนให้เป็นรูปทรงแนวนอน
3. ใช้ตารางการคูณและการหารของจีน 30 ÷ 7 เท่ากับ 4 เหลือเศษ 2 ให้วางผลหาร 4 ไว้ในแถวบนสุด และวางเศษเหลือ 2 ไว้ในแถวกลาง
4. เลื่อนตัวหารไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง เปลี่ยนให้เป็นรูปแนวตั้ง 29 ÷ 7 เท่ากับ 4 เหลือเศษ 1 วางผลหาร 4 ไว้ด้านบน โดยคงตัวหารไว้ที่เดิม วางเศษเหลือไว้ในแถวกลางแทนที่ตัวตั้งหารในขั้นตอนนี้ ผลลัพธ์คือผลหารคือ 44 เหลือเศษ 1

อัลกอริทึมการหารของซุนซีถูกถ่ายทอดอย่างสมบูรณ์โดยอัล ควาริซมีไปยังประเทศอิสลามจากแหล่งข้อมูลของอินเดียในปี ค.ศ. 825 หนังสือของอัล ควาริซมีได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในศตวรรษที่ 13 อัลกอริทึมการหารของซุนซีต่อมาได้พัฒนาเป็นวิธีการหารแบบกัลลีในยุโรป อัลกอริทึมการหารใน หนังสือ Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindiของอบู อัล-ฮาซัน อัล-อุคลิดิ ซี ในปี ค.ศ. 925 และใน หนังสือ Principles of Hindu Reckoningของกุชยาร์ อิบนุ ลับบัน ในศตวรรษที่ 11 นั้นเหมือนกับอัลกอริทึมการหารของซุนซี

ถ้ามีการเหลือเศษใน การหารเลขฐานสิบแบบแท่ง ค่าประจำหลักทั้งเศษและตัวหารจะต้องคงอยู่ในตำแหน่งเดิม โดยวางซ้อนกัน ในบันทึกของหลิวฮุย ในตำรา จิ่วจางซวนซู (ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช) ตัวเลขด้านบนเรียกว่า "ซื่อ" (实) ส่วนตัวเลขด้านล่างเรียกว่า "ฝา" (法) ในซุนจื่อซวนจิงตัวเลขด้านบนเรียกว่า "จื่อ" (子) หรือ "เฟินจื่อ" (แปลว่า ลูกชายของเศษส่วน) และตัวเลขด้านล่างเรียกว่า "มู่" (母) หรือ "เฟินมู่" (แปลว่า แม่ของเศษส่วน) เฟินจื่อและเฟินมู่ยังเป็นชื่อภาษาจีนสมัยใหม่ของตัวเศษและตัวส่วนตามลำดับ ดังแสดงในภาพด้านขวา 1 คือเศษของตัวเศษ 7 คือตัวหารของตัวส่วน ซึ่งก่อให้เกิดเศษส่วน1/7ผลหารของการหาร309/7คือ 44 +1/7หลิวฮุยใช้การคำนวณด้วยเศษส่วนจำนวนมากในตำราไห่เต๋าซวนจิง

เศษส่วนรูปแบบนี้ ซึ่งมีตัวเศษอยู่ด้านบนและตัวส่วนอยู่ด้านล่างโดยไม่มีเส้นแบ่งแนวนอนตรงกลาง ได้ถูกถ่ายทอดไปยังประเทศอาหรับในหนังสือของอัล ควาริซมี ในปี ค.ศ. 825 ผ่านทางอินเดีย และถูกนำไปใช้โดยอบู อัล-ฮาซัน อัล-อุคลิดิซี ในศตวรรษที่ 10 และ งานเขียนของ จัมชีด อัล-กาชีในศตวรรษที่ 15 ในชื่อ "กุญแจทางคณิตศาสตร์"

⁠1/3+​​2/5⁠

• วางตัวเลขเศษ 1 และ 2 ไว้ทางด้านซ้ายของกระดานนับ และวางตัวเลขส่วน 3 และ 5 ไว้ทางด้านขวา
• นำ 1 มาคูณไขว้กับ 5 และ 2 กับ 3 จะได้ 5 และ 6 จากนั้นแทนค่าตัวเศษด้วยผลคูณไขว้ที่ได้
• นำตัวส่วนทั้งสองมาคูณกัน 3 × 5 = 15 แล้วใส่ไว้ที่มุมล่างขวา
• นำตัวเลข 5 และ 6 มาบวกกันจะได้ 11 แล้วนำไปวางไว้ที่มุมบนขวาของกระดานนับเลข
• ผลลัพธ์: ⁠1/3+​​2/5=​​11/15⁠

⁠8/9⁠ − ⁠1/5⁠

• วางแท่งตัวเลขสำหรับตัวเศษ 1 และ 8 ไว้ทางด้านซ้ายมือของกระดานนับเลข
• วางแท่งสำหรับตัวส่วน 5 และ 9 ไว้ทางด้านขวามือของกระดานนับเลข
• คูณไขว้ 1 × 9 = 9, 5 × 8 = 40 แล้วแทนค่าตัวเศษลงในตัวแปรที่เกี่ยวข้อง
• คูณตัวส่วน 5 × 9 = 45 นำ 45 ไปวางไว้ที่มุมล่างขวาของกระดานนับเลข แล้วแทนค่าตัวส่วน 5 กลับเข้าไป
• ลบ 40 − 9 = 31 แล้วนำไปวางไว้ด้านบนขวา
• ผลลัพธ์: ⁠8/9⁠ − ⁠1/5=​​31/45⁠

3​1/3× 5​2/5⁠

• จัดเรียงแท่งนับจำนวนสำหรับ31/3และ5​2/5บนกระดานนับในรูปแบบตาราง shang, shi, fa
• shang คูณ fa บวกกับ shi: 3 × 3 + 1 = 10; 5 × 5 + 2 = 27
• shi คูณด้วย shi: 10 × 27 = 270
• fa คูณด้วย fa: 3 × 5 = 15
• shi หารด้วย fa : 31/3× 5​2/5= 18

อัลกอริทึมสำหรับการหาตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนสองจำนวนและการลดทอนเศษส่วนได้ถูกอธิบายไว้ในตำราJiuzhang suanshuการหาตัวหารร่วมมากที่สุดนั้นทำได้โดยการหารไปเรื่อยๆ จนกว่าเศษสองค่าสุดท้ายจะเท่ากัน ภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวามือแสดงให้เห็นถึงอัลกอริทึมสำหรับการหาตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนสองจำนวน32,450,625/59,056,400และการลดทอนเศษส่วน

ในกรณีนี้ ค่า hcf คือ 25

หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 25 เศษส่วนที่ลดรูปแล้วคือ⁠1,298,025/2,362,256⁠ .

นักปฏิทินและนักคณิตศาสตร์เหอ เฉิงเทียน (何承天) ใช้ วิธี การแทรก เศษส่วน ที่เรียกว่า "การปรับสมดุลตัวหารประจำวัน" (调日法) เพื่อให้ได้ค่าประมาณที่ดีกว่าค่าเดิมโดยการบวกตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน "อ่อน" กับเศษส่วน "แข็ง" ซ้ำๆ^{[ 5 ]}ค่า πในตำนานของZu Chongzhi = ⁠355/113สามารถหาได้ด้วยวิธีการของเหอเฉิงเทียน ^{[ 6 ]}

บทที่แปดอาร์เรย์สี่เหลี่ยมผืนผ้าของJiuzhang suanshuได้นำเสนออัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีกำจัด : ^{[ 7 ]}

โจทย์ข้อ 8-1: สมมติว่าเรามีธัญพืชคุณภาพดี 3 มัด ธัญพืชคุณภาพปานกลาง 2 มัด และธัญพืชคุณภาพต่ำ 1 มัด รวมน้ำหนัก 39 โด (dou) นอกจากนี้ เรายังมีธัญพืชคุณภาพปานกลางอีก 2, 3 และ 1 มัด รวมน้ำหนัก 34 โด (dou) และเรายังมีธัญพืชคุณภาพต่ำอีก 1, 2 และ 3 มัด รวมน้ำหนัก 26 โด (dou)

จงหาปริมาณของธัญพืชคุณภาพดี คุณภาพปานกลาง และคุณภาพต่ำ ในทางพีชคณิต ปัญหานี้สามารถแสดงได้ในระบบสมการสามตัวแปรที่มีสามตัวแปรที่ไม่ทราบค่า

${\displaystyle {\begin{cases}3x+2y+z=39\\2x+3y+z=34\\x+2y+3z=26\end{cases}}}$

ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขในวิชาJiuzhang suanshuโดยใช้ไม้บรรทัดนับจำนวนวางเรียงบนกระดานนับจำนวนในรูปแบบตารางคล้ายกับเมทริกซ์ 3x4:

คุณภาพ	คอลัมน์ซ้าย	คอลัมน์กลาง	คอลัมน์ด้านขวา
สูงสุด
ปานกลาง
ต่ำ
ชิ

อัลกอริทึม:

1. นำค่าในคอลัมน์กลางมาคูณกับค่าสูงสุดในคอลัมน์ขวา
2. ลบตัวเลขในคอลัมน์ด้านขวาออกจากตัวเลขในคอลัมน์ตรงกลางซ้ำๆ จนกว่าตัวเลขบนสุดของคอลัมน์ตรงกลางจะเท่ากับ 0
3. นำค่าในคอลัมน์ซ้ายมาคูณกับค่าในแถวบนสุดของคอลัมน์ขวา
4. ลบตัวเลขในคอลัมน์ด้านขวาออกจากคอลัมน์ด้านซ้ายซ้ำๆ จนกว่าตัวเลขบนสุดของคอลัมน์ด้านซ้ายจะเท่ากับ 0
5. หลังจากนำอัลกอริธึมการกำจัดข้างต้นมาใช้กับคอลัมน์กลางและคอลัมน์ซ้ายที่ลดขนาดลงแล้ว เมทริกซ์ก็ถูกลดขนาดลงเหลือรูปทรงสามเหลี่ยม

คุณภาพ	คอลัมน์ซ้าย	คอลัมน์กลาง	คอลัมน์ด้านขวา
สูงสุด
ปานกลาง
ต่ำ
ชิ

ปริมาณของซีเรียลคุณภาพต่ำหนึ่งห่อ${\displaystyle ={\frac {99}{36}}=2{\frac {3}{4}}}$

จากนั้นจึงสามารถหาปริมาณธัญพืชคุณภาพดีและปานกลางหนึ่งมัดได้อย่างง่ายดาย:

• ซีเรียลคุณภาพเยี่ยม 1 ห่อ = 9 โด${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$
• ซีเรียลขนาดกลาง 1 ห่อ = 4 โด${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

อัลกอริทึมสำหรับการหาค่ารากที่สองนั้นได้อธิบายไว้ในตำรา Jiuzhang suanshu และในตำรา Sunzi Suanjingโดย มีความแตกต่างเล็กน้อยในด้านคำศัพท์

ภาพเคลื่อนไหวนี้แสดงขั้นตอนวิธีสำหรับการหาค่าประมาณของรากที่สองโดยใช้แคลคูลัสแท่งจากขั้นตอนวิธีในบทที่ 2 ข้อที่ 19 ของซุนจื่อซวนจิง: ${\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}$

ตอนนี้มีพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส 234567 จงหาความยาวด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 8 ]}

ขั้นตอนวิธีมีดังนี้:

• ตั้งเลข 234567 บนกระดานนับเลข แถวที่สองจากด้านบน ตั้งชื่อว่าshi
• ตั้งมาร์กเกอร์ 1 ที่ตำแหน่ง 10000 ในแถวที่ 4 โดยตั้งชื่อว่าxia fa
• ประมาณว่าเลขหลักแรกของรากที่สองคือเลขแท่งนับ 4 วางไว้ที่ตำแหน่งหลักร้อย แถวบนสุด ( shang )
• นำ shang 4 มาคูณกับ xiafa 1 แล้วใส่ผลลัพธ์ 4 ลงในแถวที่ 3 ที่ชื่อว่าfang fa
• นำ shangมาคูณกับfang fa แล้ว ลบผลคูณ 4x4=16 ออกจากshi : 23-16=7 เหลือเลข 7
• เพิ่มจำนวนfang fa 4 เป็น 8 สองเท่า เลื่อนไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง และเปลี่ยนเลข 8 แนวตั้งเป็นเลข 8 แนวนอนหลังจากเลื่อนไปทางขวา
• ย้ายเซี่ยฟาไปทางขวา 2 ตำแหน่ง
• ประมาณเลขหลักที่สองของตัวอักษรชางเป็น 8: ให้วางเลข 8 ไว้ในตำแหน่งที่สิบของแถวบนสุด
• คูณxia faกับตัวเลขใหม่ของshangแล้วบวกกับfang fa

.

• 8 เรียก 8 = 64 ลบ 64 ออกจากตัวเลขแถวบนสุด "74" เหลือแท่งหนึ่งแท่งที่หลักที่มีค่ามากที่สุด
• นำเลขหลักสุดท้ายของfang fa 8 มาคูณสอง แล้วบวกกับ 80 จะได้ 96
• ย้ายfang fa 96 ไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง เปลี่ยนข้อตกลง; ย้ายxia fa "1" ไปทางขวาสองตำแหน่ง
• คาดว่าเลขหลักที่ 3 ของคำว่าshangคือ 4
• นำเลขหลักใหม่ของshang 4 มาคูณกับxia fa 1 แล้วรวมกับfang faเพื่อให้ได้ 964
• ลบ 4*9=36, 4*6=24, 4*4=16 ออกจากshiตามลำดับ เหลือ 311
• นำเลขหลักสุดท้ายของfang fa ที่เป็น 4 มาคูณสอง แล้ว ได้เป็น 8 จากนั้นนำไปรวมกับfang fa
• ผลลัพธ์${\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}$

เจียเซียนนักคณิตศาสตร์สมัยราชวงศ์ซ่งเหนือได้พัฒนาอัลกอริทึมการคูณแบบบวกสำหรับการหาค่ารากที่สองโดยแทนที่วิธีการ "คูณสอง" แบบดั้งเดิมของ "ฟางฟา" ด้วยการบวก ตัวเลข " ชาง " เข้ากับ ตัวเลข "ฟางฟา"ซึ่งให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน

ตำรา Jiuzhang suanshuเล่ม 4 "shaoguang" ได้นำเสนออัลกอริทึมสำหรับการหาค่ารากที่สาม

〔一九〕今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？答曰：一百二十三尺。

โจทย์ข้อที่ 19: เรามีลูกบาศก์ขนาด 1860867 ลูกบาศก์เซนติเมตร ความยาวด้านของลูกบาศก์แต่ละด้านคือเท่าไร? คำตอบ: 123 ลูกบาศก์เซนติเมตร

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1860867}}=123}$

เจียเซียนนักคณิตศาสตร์สมัยราชวงศ์ซ่งเหนือได้คิดค้นวิธีการที่คล้ายกับรูปแบบที่เรียบง่ายของวิธีการของฮอร์เนอร์สำหรับการหาค่ารากที่สาม ภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวาแสดงอัลกอริทึมของเจียเซียนสำหรับการแก้ปัญหาข้อที่ 19 ในตำราคณิตศาสตร์จิ่วจาง เล่ม 4

เจียเซียนนักคณิตศาสตร์สมัยราชวงศ์ซ่งเหนือได้คิดค้นวิธีการของฮอร์เนอร์ (Horner scheme)เพื่อแก้สมการกำลังสี่อย่างง่ายในรูปแบบ

${\displaystyle x^{4}=a}$

ฉินจิ่วเส้านักคณิตศาสตร์สมัยราชวงศ์ซ่งใต้ได้ปรับปรุงวิธีการของฮอร์เนอร์ของเจียเซียนเพื่อแก้สมการพหุนามลำดับที่ 10 ต่อไปนี้คืออัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการดังกล่าว

${\displaystyle -x^{4}+15245x^{2}-6262506.25=0}$ในตำราคณิตศาสตร์เก้าส่วนเล่ม 6 ปัญหาที่ 2 ^{[ 9 ]}

สมการนี้ถูกจัดเรียงจากล่างขึ้นบนโดยใช้แท่งนับบนกระดานนับในรูปแบบตาราง

0	ชาง	ราก
626250625	ชิ	คงที่
0	เขี้ยว	สัมประสิทธิ์ของx
15245	ซางเหลียน	สัมประสิทธิ์บวกของ⁠ ⁠${\displaystyle x^{2}}$
0	ฟูเหลียน	สัมประสิทธิ์เชิงลบของ⁠ ⁠${\displaystyle x^{2}}$
0	เซี่ยเหลียน	สัมประสิทธิ์ของ⁠ ⁠${\displaystyle x^{3}}$
1	ยี่หยู	สัมประสิทธิ์เชิงลบของ⁠ ⁠${\displaystyle x^{4}}$

อัลกอริทึม:

1. จัดเรียงสัมประสิทธิ์ในรูปแบบตาราง โดยให้ค่าคงที่อยู่ที่ shi, สัมประสิทธิ์ของ x อยู่ที่ shang lian, สัมประสิทธิ์ของ⁠ ⁠${\displaystyle x^{4}}$อยู่ที่ yi yu; จัดเรียงตัวเลขให้อยู่ในลำดับที่หนึ่ง
2. เลื่อนขั้นชางเหลียนสองระดับ
3. พัฒนาอี้หยูสามระดับ
4. ประมาณการ shang=20
5. ให้เซี่ยเหลียน = ซาง * ยี่หยู
6. ให้ฟู่เหลียน = ซาง *อี้หยู
7. รวมฟู่เหลียนกับชางเหลียน
8. ให้ฝาง=ซาง * ซางเหลียน
9. ลบ shang*fang ออกจาก shi
10. เพิ่ม shang * yi yu ไปยัง xia lian
11. ถอนเซี่ยเหลียน 3 อันดับ ถอนยี่หยู 4 อันดับ
12. ตัวเลขหลักที่สองของคำว่า shang คือ 0
13. รวมซ่างเหลียนเข้ากับฝาง
14. รวมยี่หยูเข้ากับเซี่ยเหลียน
15. นำ yi yu ไปบวกกับ fu lian แล้วลบผลลัพธ์ออกจาก fang จากนั้นให้ผลลัพธ์เป็นตัวหาร
16. หาตัวหารร่วมมากที่สุด = 25 แล้วทำให้เศษส่วนอยู่ในรูปอย่างง่าย${\displaystyle {\frac {32450625}{59056400}}}$
17. สารละลาย${\displaystyle x=20{\frac {1298205}{2362256}}}$

หลี่จือนักคณิตศาสตร์สมัยราชวงศ์หยวนได้พัฒนาแคลคูลัสแท่งเป็นตำราเทียนหยวนซู

ตัวอย่างจากหนังสือLi Zhi Ceyuan haijingเล่ม 2 ข้อ 14 สมการของตัวแปรเดียว:

${\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}$

元

นักคณิตศาสตร์Zhu Shijieได้พัฒนาแคลคูลัสแท่งให้ครอบคลุมถึงสมการพหุนามที่มีตัวแปร 2 ถึง 4 ตัว

ตัวอย่างเช่น พหุนามที่มีตัวแปรสามตัว:

สมการที่ 1:${\displaystyle -yzy^{2}*x-x+xyz=0}$

太

สมการที่ 2:${\displaystyle -y-z+xx^{2}+xz=0}$

สมการที่ 3:${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$

太

หลังจากกำจัดตัวแปรที่ไม่ทราบค่าออกไปทีละสองตัว สมการพหุนามที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสามตัวก็ลดลงเหลือสมการพหุนามที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าหนึ่งตัว:

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

แก้สมการ x=5;

ซึ่งละเลยคำตอบอื่นอีก 3 ข้อ โดย 2 ข้อนั้นซ้ำกัน

• คณิตศาสตร์จีน
• แท่งนับ