ในการศึกษาระบบพลวัตทฤษฎีบทการฝังตัวแบบหน่วงเวลาให้เงื่อนไขที่ ระบบพลวัต แบบอลวนสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้จากลำดับการสังเกตสถานะของระบบนั้น การสร้างใหม่นี้จะรักษาคุณสมบัติของระบบพลวัตที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงพิกัด อย่างราบรื่น (เช่น การแปลง แบบดิฟเฟอเรนเชียล ) แต่จะไม่รักษารูปทรงเรขาคณิตของโครงสร้างในปริภูมิเฟส

ทฤษฎีบทของ Takensคือทฤษฎีบทการฝังตัวแบบหน่วงเวลา (delay embedding theorem) ที่เสนอ โดยFloris Takens ในปี 1981 ทฤษฎีบท นี้ให้เงื่อนไขที่ สามารถสร้าง ตัวดึงดูด แบบเรียบ (smooth attractor ) ขึ้นใหม่ได้จากการสังเกตโดยใช้ ฟังก์ชัน ทั่วไป (generic function) ต่อมา ผลลัพธ์อื่นๆ ได้แทนที่ตัวดึงดูดแบบเรียบด้วยเซตที่มีมิติการนับกล่อง (box counting dimension) ที่กำหนดขึ้นเอง และแทนที่คลาสของฟังก์ชันทั่วไปด้วยคลาสของฟังก์ชันอื่นๆ

เป็นวิธีการสร้างตัวดึงดูดที่ ใช้กันทั่วไปมากที่สุด ^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบทการฝังความล่าช้าจะกล่าวได้ง่ายกว่าสำหรับ ระบบพลวัตแบบเวลาไม่ต่อเนื่องปริภูมิสถานะของระบบพลวัตคือแมนิโฟลด์Mมิติν พลวัต ถูกกำหนดโดยแผนที่เรียบ

${\displaystyle f:M\to M.}$

สมมติว่าพลวัตfมีตัวดึงดูดแปลกประหลาด${\displaystyle A\subset M}$โดยมีมิติการนับกล่องd โดยใช้แนวคิดจากทฤษฎีบทการฝังตัวของวิทนีย์ A สามารถฝังตัวในปริภูมิยุคลิดkมิติได้

${\displaystyle k>2d_{A}.}$

กล่าวคือ มีการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลφที่แมปAไปยัง${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$โดยที่อนุพันธ์ของφมีอันดับเต็ม

ทฤษฎีบทการฝังแบบหน่วงเวลาใช้ฟังก์ชันการสังเกตเพื่อสร้างฟังก์ชันการฝัง ฟังก์ชันการสังเกต${\displaystyle \alpha :M\to \mathbb {R} }$ต้องเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้งและเชื่อมโยงจำนวนจริงกับจุดใดๆ ของตัวดึงดูดAนอกจากนี้ยังต้องเป็นฟังก์ชันทั่วไป ด้วย ดังนั้นอนุพันธ์จึงมีอันดับเต็มและไม่มีสมมาตรพิเศษในส่วนประกอบ ทฤษฎีบทการฝังความล่าช้ากล่าวว่าฟังก์ชัน

${\displaystyle \varphi _{T}(x)={\bigl (}\alpha (x),\,\alpha (f(x)),\,\dots ,\,\alpha (f^{k-1}(x))\,{\bigr )}}$

เป็นการฝังตัวของตัวดึงดูดแปลกประหลาดAใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$

สมมติว่า${\displaystyle d}$เวกเตอร์สถานะมิติ${\displaystyle x_{t}}$วิวัฒนาการไปตามพลวัตที่ไม่ทราบแน่ชัดแต่ต่อเนื่องและ (ที่สำคัญ) เป็นไปตามหลักการกำหนด สมมติด้วยว่าตัวแปรสังเกตได้แบบหนึ่งมิติ${\displaystyle y}$เป็นฟังก์ชันเรียบของ${\displaystyle x}$และ "เชื่อมโยง" กับส่วนประกอบทั้งหมดของ${\displaystyle x}$ตอนนี้เราสามารถพิจารณาได้ไม่เพียงแค่การวัดในปัจจุบันเท่านั้น${\displaystyle y(t)}$แต่ยังรวมถึงการสังเกตการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่ห่างไกลจากเราหลายเท่าของช่วงเวลาหน่วงบางช่วงด้วย${\displaystyle \tau :y_{t+\tau },y_{t+2\tau }}$เป็นต้น หากเราใช้ ${\displaystyle k}$ความล่าช้า เรามี${\displaystyle k}$เวกเตอร์มิติ เราอาจคาดหวังว่า เมื่อจำนวนการหน่วงเพิ่มขึ้น การเคลื่อนที่ในพื้นที่ที่มีการหน่วงจะคาดเดาได้มากขึ้นเรื่อยๆ และอาจเป็นไปได้ว่าในขีดจำกัด${\displaystyle k\to \infty }$จะกลายเป็นแบบกำหนดได้ ในความเป็นจริง พลวัตของเวกเตอร์ที่ล่าช้าจะกลายเป็นแบบกำหนดได้ที่มิติจำกัด ไม่เพียงเท่านั้น แต่พลวัตแบบกำหนดได้ยังเทียบเท่ากับพลวัตของปริภูมิสถานะดั้งเดิมอย่างสมบูรณ์ (กล่าวคือ พวกมันมีความสัมพันธ์กันโดยการเปลี่ยนพิกัดที่ราบเรียบและผกผันได้ หรือดิฟเฟอโอเมอร์ฟิซึม) ในความเป็นจริง ทฤษฎีบทกล่าวว่าความแน่นอนจะปรากฏขึ้นเมื่อคุณถึงมิติ${\displaystyle 2d+1}$และมิติการฝัง ขั้นต่ำ มักจะน้อยกว่า^{[ 2 ] [ 3 ]}

ทฤษฎีบทของ Takens มักใช้ในการสร้างตัวดึงดูดแปลกประหลาดขึ้นใหม่จากข้อมูลการทดลองที่มีการปนเปื้อนของสัญญาณรบกวน ดังนั้น การเลือกเวลาหน่วงจึงมีความสำคัญ ในขณะที่สำหรับข้อมูลที่ไม่มีสัญญาณรบกวน การเลือกเวลาหน่วงใดๆ ก็ใช้ได้ แต่สำหรับข้อมูลที่มีสัญญาณรบกวน ตัวดึงดูดจะถูกทำลายโดยสัญญาณรบกวนหากเลือกเวลาหน่วงที่ไม่เหมาะสม

โดยทั่วไปแล้ว ความล่าช้าที่เหมาะสมจะอยู่ที่ประมาณหนึ่งในสิบถึงครึ่งหนึ่งของคาบวงโคจรเฉลี่ยรอบตัวดึงดูด^{[ 4 ] [ 5 ]}

• ทฤษฎีบทการฝังตัวของวิทนีย์
• การลดมิติแบบไม่เชิงเส้น

• N. Packard , J. Crutchfield , D. FarmerและR. Shaw (1980). "เรขาคณิตจากอนุกรมเวลา". Physical Review Letters . 45 (9): 712– 716. Bibcode : 1980PhRvL..45..712P . doi : 10.1103/PhysRevLett.45.712 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link )
• F. Takens (1981). "การตรวจจับตัวดึงดูดแปลกประหลาดในความปั่นป่วน". ใน DA Rand และL.-S. Young (บรรณาธิการ). ระบบพลวัตและความปั่นป่วน, บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์, เล่มที่ 898. Springer-Verlag. หน้า366–381 . 
• R. Mañé (1981). "เกี่ยวกับมิติของเซตไม่แปรเปลี่ยนขนาดกะทัดรัดของแผนที่ไม่เชิงเส้นบางประเภท" ใน DA Rand และ L.-S. Young (บรรณาธิการ). ระบบพลวัตและความปั่นป่วน, บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์, เล่มที่ 898. Springer-Verlag. หน้า230–242 . 
• G. SugiharaและRM May (1990). "การพยากรณ์แบบไม่เชิงเส้นเป็นวิธีหนึ่งในการแยกแยะความโกลาหลออกจากข้อผิดพลาดในการวัดในอนุกรมเวลา" Nature . 344 (6268): 734– 741. Bibcode : 1990Natur.344..734S . doi : 10.1038/344734a0 . PMID 2330029 . S2CID 4370167 .  
• Tim Sauer , James A. YorkeและMartin Casdagli (1991). "Embedology". Journal of Statistical Physics . 65 ( 3– 4): 579– 616. Bibcode : 1991JSP....65..579S . doi : 10.1007/BF01053745 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link )
• G. Sugihara (1994). "การพยากรณ์แบบไม่เชิงเส้นสำหรับการจำแนกอนุกรมเวลาธรรมชาติ" Phil. Trans. R. Soc. Lond. A . 348 (1688): 477– 495. Bibcode : 1994RSPTA.348..477S . doi : 10.1098/rsta.1994.0106 . S2CID 121604829 . 
• PA Dixon, MJ Milicich และG. Sugihara (1999). "ความผันผวนเป็นระยะๆ ของปริมาณตัวอ่อน". Science . 283 (5407): 1528– 1530. Bibcode : 1999Sci...283.1528D . doi : 10.1126/science.283.5407.1528 . PMID 10066174 . {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link )
• G. Sugihara , M. Casdagli, E. Habjan, D. Hess, P. Dixon และ G. Holland (1999). "แผนที่ความล่าช้าที่เหลืออยู่เผยให้เห็นรูปแบบทั่วโลกของความไม่เป็นเชิงเส้นของบรรยากาศและสร้างการพยากรณ์ท้องถิ่นที่ดีขึ้น" PNAS 96 ( 25): 210– 215. Bibcode : 1999PNAS...9614210S . doi : 10.1073/pnas.96.25.14210 . PMC 24416 . PMID 10588685 .  {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link )
• C. Hsieh; Glaser, SM; Lucas, AJ; Sugihara, G (2005). "การแยกแยะความผันผวนของสิ่งแวดล้อมแบบสุ่มออกจากภัยพิบัติทางนิเวศวิทยาสำหรับมหาสมุทรแปซิฟิกเหนือ" Nature . 435 (7040): 336– 340. Bibcode : 2005Natur.435..336H . doi : 10.1038/nature03553 . PMID 15902256 . S2CID 2446456 .  
• RA Rios, L. Parrott, H. Lange และ RF de Mello (2015). "การประมาณอัตราความแน่นอนเพื่อตรวจจับรูปแบบในชุดข้อมูลเชิงพื้นที่". การสำรวจระยะไกลของสิ่งแวดล้อม . 156 : 11– 20. Bibcode : 2015RSEnv.156...11R . doi : 10.1016/j.rse.2014.09.019 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link )

• ผลิตภัณฑ์ ChaosKit ของ Scientio ใช้เทคนิคการฝังข้อมูล (embedding) เพื่อสร้างการวิเคราะห์และการคาดการณ์ สามารถเข้าถึงได้ทางออนไลน์ผ่านบริการเว็บและส่วนติดต่อผู้ใช้แบบกราฟิก
• เครื่องมือสร้างแบบจำลองพลวัตเชิงประจักษ์ pyEDM และ rEDM ใช้การฝังข้อมูล (embedding) สำหรับการวิเคราะห์ การทำนาย และการอนุมานเชิงสาเหตุ