การแพร่กระจายแบบเทย์เลอร์หรือการแพร่กระจายแบบเทย์เลอร์คือการแพร่กระจายที่ปรากฏหรือมีประสิทธิภาพของสนามสเกลาร์บางอย่างที่เกิดขึ้นในระดับใหญ่เนื่องจากการมีอยู่ของการไหลเฉือน ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ที่รุนแรงและถูกจำกัด ในระดับเล็ก โดยพื้นฐานแล้ว การเฉือนจะทำหน้าที่กระจายการกระจายความเข้มข้นในทิศทางของการไหล ทำให้เพิ่มอัตราการแพร่กระจายในทิศทางนั้น^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ปรากฏการณ์นี้ตั้งชื่อตามนักพลศาสตร์ของไหลชาวอังกฤษGI Taylorซึ่งอธิบายการแพร่กระจายที่เกิดจากการเฉือนสำหรับเลข Peclet ขนาดใหญ่ การวิเคราะห์นี้ได้รับการขยายความในภายหลังโดยRutherford Arisสำหรับค่าเลข Peclet ใดๆ ดังนั้นกระบวนการนี้จึงบางครั้งเรียกว่าการแพร่กระจายแบบเทย์เลอร์-อาริส

ตัวอย่างมาตรฐานคือการแพร่กระจายของสปีชีส์อย่างง่ายในกระแส Poiseuille ที่สม่ำเสมอ ผ่านท่อทรงกลมที่สม่ำเสมอโดยมีเงื่อนไขขอบเขตแบบไม่มีการไหล แต่มีความเกี่ยวข้องในบริบทอื่นๆ อีกมากมาย รวมถึงการแพร่กระจายของมลพิษในแม่น้ำและยาในกระแสเลือด^{[ 4 ]}และการไหลของลำธาร^{[ 5 ]}

เราใช้zเป็นพิกัดตามแนวแกน และrเป็นพิกัดตามแนวรัศมี โดยสมมติว่ามีสมมาตรตามแกน ท่อมีรัศมีaและความเร็วของของเหลวคือ:

${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {u}}=w{\hat {\boldสัญลักษณ์ {z}}}=w_{0}(1-r^{2}/a^{2}){\hat {\boldสัญลักษณ์ {z}}}}$

ความเข้มข้นของสารที่แพร่กระจายจะถูกแทนด้วยcและค่า สัมประสิทธิ์การแพร่กระจายคือDโดยถือว่าความเข้มข้นอยู่ภายใต้สมการการเคลื่อนที่และการแพร่กระจาย เชิงเส้น :

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}c=D\nabla ^{2}c}$

ความเข้มข้นและความเร็วจะเขียนในรูปผลรวมของค่าเฉลี่ยภาคตัดขวาง (แสดงด้วยเครื่องหมายขีดบน) และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (แสดงด้วยเครื่องหมายไพรม์) ดังนี้:

${\displaystyle w(r)={\bar {w}}+w'(r)}$

${\displaystyle c(r,z)={\bar {c}}(z)+c'(r,z)}$

ภายใต้สมมติฐานบางประการ (ดูด้านล่าง) เป็นไปได้ที่จะได้สมการที่เกี่ยวข้องเฉพาะกับปริมาณเฉลี่ยเท่านั้น:

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial t}}+{\bar {w}}{\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial z}}=D\left(1+{\frac {a^{2}{\bar {w}}^{2}}{48D^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}{\bar {c}}}{\partial z^{2}}}}$

สังเกตว่าค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ที่มีประสิทธิภาพซึ่งคูณกับอนุพันธ์ทางด้านขวามือมีค่ามากกว่าค่าสัมประสิทธิ์การแพร่เดิม D ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ที่มีประสิทธิภาพมักเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle D_{\mathrm {eff} }=D\left(1+{\frac {{\mathit {Pe}}^{2}}{48}}\right)\,,}$

ที่ไหน${\displaystyle {\มาทิต {Pe}}=a{\bar {w}}/D}$คือเลขเพคเลต์ (Péclet number)ซึ่งคำนวณจากรัศมีของช่องทาง${\displaystyle a}$ผลลัพธ์ที่น่าสนใจคือ สำหรับค่าเลขเพคเลต์ (Péclet number) ที่มีค่ามาก ความสามารถในการแพร่ที่มีประสิทธิภาพจะแปรผกผันกับความสามารถในการแพร่ของโมเลกุล ดังนั้น ผลของการกระจายตัวแบบเทย์เลอร์ (Taylor dispersion) จึงเด่นชัดมากขึ้นที่ค่าเลขเพคเลต์สูงๆ

ในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเฉลี่ย กล่าวคือ โดยการแนะนำ${\displaystyle \xi =z-{\bar {w}}t}$กระบวนการกระจายตัวจะกลายเป็นกระบวนการแพร่ โดยสมบูรณ์

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial t}}=D_{\mathrm {eff} }{\frac {\partial ^{2}{\bar {c}}}{\partial \xi ^{2}}}}$

โดยมีค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ที่กำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ที่มีประสิทธิภาพ

ข้อสันนิษฐานคือว่า${\displaystyle c'\ll {\bar {c}}}$สำหรับที่กำหนด${\displaystyle z}$ซึ่งจะเป็นเช่นนั้นหากมาตราส่วนความยาวใน${\displaystyle z}$ทิศทางนั้นยาวพอที่จะทำให้ความชันราบเรียบขึ้น${\displaystyle r}$ทิศทาง ซึ่งสามารถแปลได้เป็นข้อกำหนดที่ว่ามาตราส่วนความยาว${\displaystyle L}$ใน${\displaystyle z}$ทิศทางตรงตามข้อกำหนด:

${\displaystyle L\gg {\frac {a^{2}}{D}}{\bar {w}}=a{\mathit {Pe}}}$.

การกระจายตัวยังขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตของช่องทางด้วย ตัวอย่างเช่น ปรากฏการณ์ที่น่าสนใจอย่างหนึ่งคือ การกระจายตัวของกระแสไหลระหว่างแผ่นเรียบสองแผ่นที่ไม่มีที่สิ้นสุดกับช่องทางสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งบางมากจนไม่มีที่สิ้นสุด จะแตกต่างกันประมาณ 8.75 เท่า ในกรณีนี้ ผนังด้านข้างที่บางมากของช่องทางสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีอิทธิพลอย่างมากต่อการกระจายตัว

แม้ว่าสูตรที่แน่นอนจะไม่สามารถใช้ได้ในสถานการณ์ทั่วไป แต่กลไกยังคงใช้ได้ และผลกระทบจะรุนแรงขึ้นที่เลขเพคเลต์ที่สูงขึ้น การกระจายตัวของเทย์เลอร์มีความเกี่ยวข้องเป็นพิเศษกับการไหลในตัวกลางที่มีรูพรุนซึ่งจำลองโดยกฎของดาร์ซี^{[ 6 ]}

เราสามารถหาที่มาของสมการเทย์เลอร์ได้โดยใช้วิธีค่าเฉลี่ย ซึ่งอาริสเป็นผู้ริเริ่มใช้เป็นครั้งแรก ผลลัพธ์นี้ยังสามารถหาได้จากการวิเคราะห์เชิงอนุกรมเวลาในระยะยาว ซึ่งเข้าใจได้ง่ายกว่า ในระบบพิกัด สามมิติ${\displaystyle (x',r',\theta )}$พิจารณาการไหลแบบ Poiseuille ที่พัฒนาเต็มที่แล้ว${\displaystyle u=2U[1-(r'/a)^{2}]}$ไหลอยู่ภายในท่อที่มีรัศมี${\displaystyle a}$, ที่ไหน${\displaystyle U}$คือความเร็วเฉลี่ยของของเหลว ชนิดของความเข้มข้น${\displaystyle c}$โดยมีการกระจายตัวแบบสุ่ม จะถูกปล่อยออกมา ณ จุดใดจุดหนึ่งภายในท่อ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง${\displaystyle t'=0}$ตราบใดที่การกระจายตัวเริ่มต้นนี้ยังคงกระชับ เช่น สาร/สารละลายไม่ได้ถูกปล่อยออกมาทุกหนทุกแห่งด้วยระดับความเข้มข้นที่จำกัด สารนั้นก็จะถูกพาไปตามท่อด้วยความเร็วเฉลี่ย${\displaystyle U}$ในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเฉลี่ยและปรับขนาดด้วยมาตราส่วนที่ไม่เป็นมิติ ดังต่อไปนี้

${\displaystyle t={\frac {t'}{a^{2}/D}},\quad x={\frac {x'-Ut'}{a}},\quad r={\frac {r'}{a}},\quad Pe={\frac {Ua}{D}}}$

ที่ไหน${\displaystyle a^{2}/D}$คือระยะเวลาที่สารชนิดนั้นใช้ในการแพร่กระจายไปในทิศทางรัศมี${\displaystyle D}$คือค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ของชนิดนั้น และ${\displaystyle Pe}$คือเลขเพคเลต์ สมการควบคุมกำหนดโดย

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c}{\partial r}}\right).}$

ดังนั้นในกรอบภาพที่เคลื่อนไหว นี้ บางครั้ง${\displaystyle t\sim 1}$(ในตัวแปรเชิงมิติ)${\displaystyle t'\sim a^{2}/D}$) สายพันธุ์ดังกล่าวจะแพร่กระจายออกไปในแนวรัศมี ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่าเมื่อ${\displaystyle t\gg 1}$(ในตัวแปรเชิงมิติ)${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$การแพร่กระจายในทิศทางรัศมีจะทำให้ความเข้มข้นสม่ำเสมอทั่วทั้งท่อ แม้ว่าสารนั้นจะยังคงแพร่กระจายอยู่ก็ตาม${\displaystyle x}$ทิศทาง การกระจายตัวของเทย์เลอร์จะวัดปริมาณกระบวนการแพร่ตามแนวแกนนี้สำหรับขนาดใหญ่${\displaystyle t}$.

สมมติ${\displaystyle t\sim 1/\epsilon \gg 1}$(เช่น หลายเท่าเมื่อเทียบกับเวลาการแพร่กระจายในแนวรัศมี)${\displaystyle a^{2}/D}$), ที่ไหน${\displaystyle \epsilon \ll 1}$เป็นจำนวนน้อย ดังนั้นในช่วงเวลาดังกล่าว ความเข้มข้นจะกระจายออกไปตามแนวแกน${\displaystyle x\sim {\sqrt {t}}\sim {\sqrt {1/\epsilon }}\gg 1}$เพื่อหาปริมาณพฤติกรรมในช่วงเวลาที่ยาวนาน จะมีการปรับขนาดใหม่ดังต่อไปนี้^{[ 7 ]}

${\displaystyle \tau =\epsilon t,\quad \xi ={\sqrt {\epsilon }}x}$

สามารถนำมาใช้ได้ สมการจึงกลายเป็น

${\displaystyle \epsilon {\frac {\partial c}{\partial \tau }}+{\sqrt {\epsilon }}Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c}{\partial \xi }}=\epsilon {\frac {\partial ^{2}c}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c}{\partial r}}\right).}$

หากผนังท่อไม่ดูดซับหรือทำปฏิกิริยากับสารดังกล่าว เงื่อนไขขอบเขตก็จะเป็นไปตามนั้น${\displaystyle \partial c/\partial r=0}$ต้องพึงพอใจที่${\displaystyle r=1}$เนื่องจากสมมาตร${\displaystyle \partial c/\partial r=0}$ที่${\displaystyle r=0}$.

เนื่องจาก${\displaystyle \epsilon \ll 1}$คำตอบสามารถขยายได้ในรูปอนุกรมเชิงอะซิมโทติก${\displaystyle c=c_{0}+{\sqrt {\epsilon }}c_{1}+\epsilon c_{2}+\cdots }$เมื่อแทนอนุกรมนี้ลงในสมการควบคุมและรวบรวมพจน์ที่มีลำดับต่างกัน จะได้อนุกรมของสมการ โดยในลำดับแรก สมการที่ได้คือ

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{0}}{\partial r}}\right)=0.}$

เมื่อรวมสมการนี้เข้ากับเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ จะได้ว่า${\displaystyle c_{0}=c_{0}(\xi ,\tau )}$ตามคำสั่งนี้${\displaystyle c_{0}}$ยังคงเป็นฟังก์ชันที่ไม่ทราบแน่ชัด ข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle c_{0}}$เป็นอิสระจาก${\displaystyle r}$เป็นผลลัพธ์ที่คาดการณ์ได้ เนื่องจากอย่างที่กล่าวไปแล้ว บางครั้ง${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$โดยการแพร่กระจายในแนวรัศมีจะเกิดขึ้นก่อนและทำให้ความเข้มข้นสม่ำเสมอทั่วทั้งท่อ

เงื่อนไขการสั่งซื้อ${\displaystyle {\sqrt {\epsilon }}}$นำไปสู่สมการ

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{1}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{0}}{\partial \xi }}.}$

ทำการอินทิเกรตสมการนี้โดยสัมพันธ์กับ${\displaystyle r}$การใช้เงื่อนไขขอบเขตนำไปสู่

${\displaystyle c_{1}(\xi ,r,\tau )=c_{1a}(\xi ,\tau )+{\frac {Pe}{8}}(2r^{2}-r^{4}){\frac {\partial c_{0}}{\partial \xi }}}$

ที่ไหน${\displaystyle c_{1a}}$คือค่าของ${\displaystyle c_{1}}$ที่${\displaystyle r=0}$ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าในลำดับนี้

เงื่อนไขการสั่งซื้อ${\displaystyle \epsilon }$นำไปสู่สมการ

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{2}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{1}}{\partial \xi }}+{\frac {\partial c_{0}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}.}$

สมการนี้สามารถอินทิเกรตเทียบกับได้เช่นกัน${\displaystyle r}$แต่สิ่งที่ต้องการคือเงื่อนไขการหาคำตอบของสมการข้างต้น เงื่อนไขการหาคำตอบได้มาจากการคูณสมการข้างต้นด้วย${\displaystyle 2rdr}$และรวมสมการทั้งหมดจาก${\displaystyle r=0}$ถึง${\displaystyle r=1}$นี่ก็เหมือนกับการหาค่าเฉลี่ยของสมการข้างต้นในทิศทางรัศมีเช่นกัน เมื่อใช้เงื่อนไขขอบเขตและผลลัพธ์ที่ได้ในสองลำดับก่อนหน้า เงื่อนไขความสามารถในการหาคำตอบจะนำไปสู่

${\displaystyle {\frac {\partial c_{0}}{\partial \tau }}=\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial c_{0}}{\partial t}}=\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial x^{2}}}.}$

นี่คือสมการการแพร่ที่ต้องการ เมื่อกลับไปใช้กรอบอ้างอิงของห้องปฏิบัติการและตัวแปรเชิงมิติ สมการจะกลายเป็น

${\displaystyle {\frac {\partial c_{0}}{\partial t'}}+U{\frac {\partial c_{0}}{\partial x'}}=D\left(1+{\frac {U^{2}a^{2}}{48D^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial x'^{2}}}.}$

จากวิธีการที่สมการนี้ถูกพิสูจน์ จะเห็นได้ว่าสมการนี้ใช้ได้กับ${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$ซึ่ง${\displaystyle c_{0}}$มีการเปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญในระดับความยาว${\displaystyle x'\gg a}$(หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือในระดับหนึ่ง)${\displaystyle x\sim {\sqrt {Dt'}})}$ในเวลาเดียวกัน${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$ที่ระดับความยาวเล็ก ๆ รอบ ๆ ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับการไหลเฉลี่ย เช่น${\displaystyle x'-Ut'=x_{s}'-Ut'}$กล่าวคือ ในระดับความยาว${\displaystyle x'-x_{s}'\sim a}$ความเข้มข้นจึงไม่เป็นอิสระจากอีกต่อไป${\displaystyle r}$แต่ได้รับจาก${\displaystyle c=c_{0}+{\sqrt {\epsilon }}c_{1}.}$

• สมการเออร์โดกัน-แชทวิน

• Aris, R. (1956). "เกี่ยวกับการกระจายตัวของสารละลายในของเหลวที่ไหลผ่านท่อ". Proceedings of the Royal Society of London, Series A. 235 ( 1200): 67–77 . Bibcode : 1956RSPSA.235...67A . doi : 10.1098/rspa.1956.0065 . S2CID 95229777 . 
• Frankel, I.; Brenner, H. (1989). "เกี่ยวกับพื้นฐานของทฤษฎีการกระจายตัวของเทย์เลอร์แบบทั่วไป". Journal of Fluid Mechanics . 204 : 97. Bibcode : 1989JFM...204...97F . doi : 10.1017/S0022112089001679 . S2CID 123719494 . 
• เทย์เลอร์, เจฟฟรีย์ (1953). "การกระจายตัวของสารที่ละลายได้ในตัวทำละลายที่ไหลช้าๆ ผ่านท่อ". วารสาร Proceedings of the Royal Society of London, Series A. 219 ( 1137): 186– 203. Bibcode : 1953RSPSA.219..186T . doi : 10.1098/rspa.1953.0139 . S2CID 97372019 . 
• เทย์เลอร์, เจฟฟรีย์ (1954). "การกระจายตัวของสสารในการไหลแบบปั่นป่วนผ่านท่อ". วารสาร Proceedings of the Royal Society of London, Series A. 223 ( 1155): 446– 468. Bibcode : 1954RSPSA.223..446T . doi : 10.1098/rspa.1954.0130 . S2CID 96182418 . 
• เทย์เลอร์, เจฟฟรีย์ (1954). "เงื่อนไขที่การกระจายตัวของตัวถูกละลายในกระแสตัวทำละลายสามารถใช้ในการวัดการแพร่ของโมเลกุลได้" วารสาร Proceedings of the Royal Society of London, Series A . 225 (1163): 473– 477. Bibcode : 1954RSPSA.225..473T . doi : 10.1098/rspa.1954.0216 . S2CID 97701431 . 
• Brenner, H. (1980). "การกระจายตัวที่เกิดจากการไหลผ่านตัวกลางพรุนที่มีโครงสร้างเป็นระยะเชิงพื้นที่". Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A . 297 (1430): 81– 133. Bibcode : 1980RSPTA.297...81B . doi : 10.1098/rsta.1980.0205 . S2CID 121853893 . 
• Mestel. J. Taylor การกระจายตัว — การแพร่ที่เสริมด้วยแรงเฉือนเอกสารประกอบการบรรยายสำหรับรายวิชา M4A33วิทยาลัยอิมพีเรียล