ทฤษฎีบทของ Tellegenเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่ทรงพลังที่สุดในทฤษฎีเครือข่ายทฤษฎีบทการกระจายพลังงานและหลักการสุดขั้วส่วนใหญ่ในทฤษฎีเครือข่ายสามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทนี้ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตีพิมพ์ในปี 1952 โดยBernard Tellegen [ ^{1 ] โดย} พื้นฐานแล้ว ทฤษฎีบทของ Tellegen ให้ความสัมพันธ์ที่เรียบง่ายระหว่างขนาดต่างๆ ที่สอดคล้องกับกฎของ Kirchhoffในทฤษฎีวงจรไฟฟ้า

ทฤษฎีบทเทลเลเกนสามารถนำไปใช้กับระบบเครือข่ายได้หลากหลาย ข้อสมมติพื้นฐานสำหรับระบบเหล่านี้คือ การอนุรักษ์การไหลของปริมาณที่แผ่ขยายได้ ( กฎกระแสของเคิร์ชฮอฟฟ์ , KCL) และความเป็นเอกลักษณ์ของศักย์ไฟฟ้าที่จุดเชื่อมต่อของเครือข่าย ( กฎแรงดันของเคิร์ชฮอฟฟ์ , KVL) ทฤษฎีบทเทลเลเกนเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการวิเคราะห์ระบบเครือข่ายที่ซับซ้อน รวมถึงวงจรไฟฟ้า เครือข่าย ชีวภาพและเมตาบอลิซึมเครือ ข่าย การขนส่งทางท่อและเครือข่ายกระบวนการทางเคมี

พิจารณา วงจร รวมศูนย์แบบ สุ่ม ที่มีกิ่งและจุดเชื่อมต่อ ในวงจรไฟฟ้ากิ่งคือส่วนประกอบที่มีสองขั้ว และจุดเชื่อมต่อคือจุดเชื่อมต่อระหว่างกัน สมมติว่าเรากำหนดค่าความต่างศักย์และกระแสไฟฟ้า ในแต่ละกิ่งโดยพลการ และสมมติว่าค่าเหล่านี้วัดเทียบกับทิศทางอ้างอิงที่เลือกไว้โดยพลการถ้าค่าความต่างศักย์เป็นไปตามข้อจำกัดทั้งหมดที่กำหนดโดยกฎของ Kirchhoff's Voltage Law (KVL) และถ้ากระแสไฟฟ้าในกิ่งเป็นไปตามข้อจำกัดทั้งหมดที่กำหนดโดยกฎของ Kirchhoff's Voltage Law (KCL) แล้ว${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle F_{k}}$${\displaystyle k=1,2,\dots ,b}$${\displaystyle W_{1},W_{2},\จุด ,W_{b}}$${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.}$

ทฤษฎีบทของ Tellegen มีความทั่วไปอย่างมาก ใช้ได้กับเครือข่ายแบบรวมศูนย์ใดๆ ที่มีองค์ประกอบใดๆ ไม่ว่าจะเป็นเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้นแบบพาสซีฟหรือแอคทีฟ แบบแปรผันตามเวลาหรือไม่แปรผันตามเวลาความทั่วไปนี้ขยายออกไปเมื่อและเป็นการดำเนินการเชิงเส้นบนเซตของความต่างศักย์และบนเซตของกระแสสาขา (ตามลำดับ) เนื่องจากการดำเนินการเชิงเส้นไม่มีผลต่อ KVL และ KCL ตัวอย่างเช่น การดำเนินการเชิงเส้นอาจเป็นค่าเฉลี่ยหรือการแปลงลาปลาสโดยทั่วไปแล้ว ตัวดำเนินการที่รักษา KVL เรียกว่าตัวดำเนินการแรงดัน Kirchhoff ตัวดำเนินการที่รักษา KCL เรียกว่าตัวดำเนินการกระแส Kirchhoff และตัวดำเนินการที่รักษาทั้งสองอย่างเรียกว่าตัวดำเนินการ Kirchhoff ตัวดำเนินการเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องเป็นเชิงเส้นเพื่อให้ทฤษฎีบทของ Tellegen เป็นจริง^{[ 2 ]}${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle F_{k}}$

ชุดกระแสยังสามารถสุ่มตัวอย่างในช่วงเวลาที่แตกต่างจากชุดความต่างศักย์ได้ เนื่องจาก KVL และ KCL เป็นจริงในทุกช่วงเวลา การขยายอีกประการหนึ่งคือเมื่อชุดความต่างศักย์มาจากเครือข่ายหนึ่งและชุดกระแสมาจากเครือข่ายที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ตราบใดที่เครือข่ายทั้งสองมีโทโพโลยีเดียวกัน ( เมทริกซ์เหตุการณ์ เดียวกัน ) ทฤษฎีบทของ Tellegen ยังคงเป็นจริง การขยายทฤษฎีบทของ Tellegen นี้ทำให้เกิดทฤษฎีบทมากมายที่เกี่ยวข้องกับเครือข่ายสองพอร์ต^{[ 3 ]}${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle F_{k}}$

เราจำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความของเครือข่ายที่จำเป็นบางประการเพื่อให้ได้บทพิสูจน์ที่กระชับ

เมทริกซ์เหตุการณ์:เมทริกซ์ นี้เรียกว่าเมทริกซ์เหตุการณ์จากโหนดไปยังสาขา เนื่องจากองค์ประกอบของเมทริกซ์คือ${\displaystyle n\times b}$${\displaystyle \mathbf {A_{a}} }$${\displaystyle a_{ij}}$

${\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ถ้ากระแสในสาขา }}j ออกจากโหนด }}i\\-1,&{\text{ถ้ากระแสในสาขา }}j เข้าโหนด }}i\\0,&{\text{มิเช่นนั้น}}\end{cases}}}$

มีการนำ โหนดอ้างอิงหรือโหนดข้อมูลมาใช้เพื่อแสดงสภาพแวดล้อม และเชื่อมต่อกับโหนดและเทอร์มินัลแบบไดนามิกทั้งหมดเมทริกซ์ ที่ตัด แถวที่มีองค์ประกอบของโหนดอ้างอิงออกไป เรียกว่า เมทริกซ์เหตุการณ์ลดรูป${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle (n-1)\times b}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle a_{0j}}$${\displaystyle P_{0}}$

กฎการอนุรักษ์ (KCL)ในรูปแบบเวกเตอร์-เมทริกซ์:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0} }$

เงื่อนไขเอกลักษณ์สำหรับศักยภาพ (KVL)ในรูปแบบเวกเตอร์-เมทริกซ์:

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w} }$

ศักย์สัมบูรณ์ ที่จุดต่างๆ เทียบกับจุดอ้างอิงอยู่ที่ไหน${\displaystyle w_{k}}$${\displaystyle P_{0}}$

การใช้ KVL:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}}$

เพราะตามหลักการ KCL ดังนั้น:${\displaystyle \mathbf {AF} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0}$

มีการสร้างแบบจำลองเครือข่ายสำหรับระบบทางกายภาพที่หลากหลาย และพิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์อย่างยิ่งในการวิเคราะห์พฤติกรรมพลวัตของระบบเหล่านั้น พื้นที่การประยุกต์ใช้แบบคลาสสิกของทฤษฎีเครือข่ายและทฤษฎีบทของเทลเลเกนคือทฤษฎีวงจรไฟฟ้า โดยส่วนใหญ่ใช้ในการออกแบบตัวกรองในแอปพลิ เคชัน การประมวลผลสัญญาณ

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเทลเลเกนในระยะหลังๆ พบได้ในด้านกระบวนการทางเคมีและชีววิทยา ข้อสมมติฐานสำหรับวงจรไฟฟ้า ( กฎของเคิร์ชฮอฟฟ์ ) ได้รับการขยายความสำหรับระบบพลวัตที่ปฏิบัติตามกฎของอุณหพลศาสตร์แบบไม่ผันกลับ โครงสร้างและโทโพโลยีของเครือข่ายปฏิกิริยา (กลไกปฏิกิริยาเครือข่ายเมตาบอลิซึม ) สามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเทลเลเกน

อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเทลเลเกนคือการใช้ในการพิจารณาเสถียรภาพและความเหมาะสมที่สุดของระบบกระบวนการที่ซับซ้อน เช่น โรงงานเคมีหรือระบบการผลิตน้ำมัน ทฤษฎีบทของเทลเลเกนสามารถกำหนดขึ้นสำหรับระบบกระบวนการโดยใช้โหนดกระบวนการ จุดสิ้นสุด การเชื่อมต่อการไหล และแหล่งกำเนิดและจุดรับสำหรับการผลิตหรือการทำลายปริมาณมากได้

สูตรสำหรับทฤษฎีบทของเทลเลเกนเกี่ยวกับระบบกระบวนการ:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{b}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}}$

เงื่อนไขการผลิตการเชื่อมต่อปลายทาง และเงื่อนไขการจัดเก็บแบบไดนามิกสำหรับตัวแปรแบบขยาย อยู่ ที่ไหน${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}}$

• ตัวอย่างวงจรสำหรับทฤษฎีบทของเทลเลเกน
• GF Oster และ CA Desoer, ทฤษฎีบทของ Tellegen และอสมการทางเทอร์โมไดนามิก
• อุณหพลศาสตร์ของเครือข่าย