ความเร็วปลาย (Terminal velocity ) คือความเร็วสูงสุดที่วัตถุสามารถทำได้ขณะตกลงมาผ่านของเหลว ( อากาศเป็นตัวอย่างที่พบได้บ่อยที่สุด) ความเร็วปลายเกิดขึ้นเมื่อผลรวมของแรงต้าน ( Fd ) และแรงลอยตัวเท่ากับแรงโน้ม ถ่วง ( ที่กระทำต่อวัตถุ เนื่องจากแรงสุทธิที่กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์ วัตถุจึงมีความเร่งเป็น ศูนย์ ^{[ 1 ] [ 2 ]}สำหรับวัตถุที่ตกลงมาในอากาศที่ความดันปกติ แรงลอยตัวมักจะถูกละเลยและไม่นำมาพิจารณา เนื่องจากผลกระทบของมันมีน้อยมาก

เมื่อความเร็วของวัตถุเพิ่มขึ้น แรงต้านอากาศที่กระทำต่อวัตถุก็จะเพิ่มขึ้นด้วย ซึ่งขึ้นอยู่กับชนิดของสารที่วัตถุเคลื่อนที่ผ่าน (เช่น อากาศหรือน้ำ) ที่ความเร็วค่าหนึ่ง แรงต้านอากาศหรือแรงดึงดูดจะเท่ากับแรงดึงดูดของโลกที่กระทำต่อวัตถุ ณ จุดนี้ วัตถุจะหยุดเร่งความเร็วและตกลงมาด้วยความเร็วคงที่ที่เรียกว่าความเร็วปลาย (หรือความเร็วตก )

วัตถุที่เคลื่อนที่ลงด้วยความเร็วมากกว่าความเร็วปลาย (เช่น เพราะถูกโยนลง ตกลงมาจากชั้นบรรยากาศที่บางกว่า หรือเปลี่ยนรูปร่าง) จะชะลอความเร็วลงจนกระทั่งถึงความเร็วปลาย แรงต้านขึ้นอยู่กับพื้นที่ฉายซึ่งในที่นี้แสดงด้วยพื้นที่หน้าตัดหรือรูปทรงของวัตถุในระนาบแนวนอน

วัตถุที่มีพื้นที่ฉายภาพขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับมวล เช่น ร่มชูชีพ จะมีความเร็วปลายต่ำกว่าวัตถุที่มีพื้นที่ฉายภาพขนาดเล็กเมื่อเทียบกับมวล เช่น ลูกดอก โดยทั่วไปแล้ว สำหรับรูปทรงและวัสดุเดียวกัน ความเร็วปลายของวัตถุจะเพิ่มขึ้นตามขนาด เนื่องจากแรงกดลง (น้ำหนัก) เป็นสัดส่วนกับกำลังสามของมิติเชิงเส้น แต่แรงต้านอากาศเป็นสัดส่วนโดยประมาณกับพื้นที่หน้าตัด ซึ่งเพิ่มขึ้นเพียงเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของมิติเชิงเส้นเท่านั้น

สำหรับวัตถุขนาดเล็กมาก เช่น ฝุ่นและหมอก กระแสการพาความร้อนสามารถเอาชนะความเร็วปลายได้อย่างง่ายดาย ซึ่งสามารถป้องกันไม่ให้วัตถุเหล่านั้นตกลงสู่พื้นได้เลย และด้วยเหตุนี้จึงสามารถลอยอยู่ในอากาศได้เป็นระยะเวลานานโดยไม่มีกำหนด ตัวอย่างเช่น มลพิษทางอากาศและหมอก

ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาจากแรงต้านอากาศ ความเร็วสุดท้ายของนักกระโดดร่มในท่าคว่ำหน้าลงสู่พื้นจะอยู่ที่ประมาณ55 เมตร/วินาที (180 ฟุต/วินาที) [ ^{3 ] ความเร็ว}นี้เป็น ค่าจำกัด เชิงเส้นกำกับของความเร็ว และแรงที่กระทำต่อร่างกายจะสมดุลกันมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อเข้าใกล้ความเร็วสุดท้าย ในตัวอย่างนี้ ความเร็ว 50.0% ของความเร็วสุดท้ายจะถึงได้ในเวลาเพียงประมาณ 3 วินาที ในขณะที่ต้องใช้เวลา 8 วินาทีในการถึง 90% 15 วินาทีในการถึง 99% และอื่นๆ  

สามารถเพิ่มความเร็วได้หากนักกระโดดร่มดึงแขนขาเข้ามา (ดูเพิ่มเติมที่การบินอิสระ ) ^{[ 3 ]}ในกรณีนี้ ความเร็วสุดท้ายจะเพิ่มขึ้นเป็นประมาณ90 เมตร/วินาที (300 ฟุต/วินาที)ซึ่งเกือบจะเท่ากับความเร็วสุดท้ายของเหยี่ยวเพเรกรินที่พุ่งลงมาจับเหยื่อ^{[ 4 ]}ความเร็วสุดท้ายเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับ กระสุนปืน .30-06 ทั่วไปที่ ตกลงมา—เมื่อมันกลับลงสู่พื้นหลังจากถูกยิงขึ้นไปหรือปล่อยลงมาจากหอคอย—ตามการศึกษาของกองทัพบกสหรัฐฯ ในปี 1920 ^{[ 5 ]}  

นักกระโดดร่มความเร็วในการแข่งขันจะบินในท่าหัวลงและสามารถทำความเร็วได้ถึง150 เมตร/วินาที (490 ฟุต/วินาที)สถิติปัจจุบันเป็นของเฟลิกซ์ บอมการ์ทเนอร์ซึ่งกระโดดจากระดับความสูง38,887 เมตร (127,582 ฟุต)และทำความเร็วได้380 เมตร/วินาที (1,200 ฟุต/วินาที)แม้ว่าเขาจะทำความเร็วนี้ได้ที่ระดับความสูงมากซึ่งความหนาแน่นของอากาศต่ำกว่าที่พื้นผิวโลกมาก ทำให้แรงต้านอากาศลดลงตามไปด้วย^{[ 6 ]}      

นักชีววิทยาJBS Haldaneเขียนไว้ว่า

สำหรับหนูและสัตว์เล็ก ๆ แรงโน้มถ่วงแทบจะไม่ก่อให้เกิดอันตรายใด ๆ คุณสามารถปล่อยหนูลงไปในปล่องเหมืองลึกพันหลาได้ และเมื่อถึงก้นปล่อง มันจะได้รับแรงกระแทกเพียงเล็กน้อยแล้วก็เดินจากไปได้ หนูจะตาย คนจะบาดเจ็บ ม้าจะกระเด็นน้ำ เพราะแรงต้านการเคลื่อนที่ของอากาศเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ลองหารความยาว ความกว้าง และความสูงของสัตว์ด้วยสิบ น้ำหนักของมันจะลดลงเหลือหนึ่งในพัน แต่พื้นที่ผิวของมันจะลดลงเหลือเพียงหนึ่งในร้อย ดังนั้นแรงต้านการตกในกรณีของสัตว์เล็ก ๆ จึงมากกว่าแรงขับเคลื่อนถึงสิบเท่า^{[ 7 ]}

สำหรับความเร็วปลายในการตกผ่านอากาศ ซึ่งความหนืดนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับแรงต้าน และไม่พิจารณา ผลกระทบ จากแรงลอยตัวความเร็วปลายจะคำนวณได้จากสูตร $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$ ที่ไหน

• ${\displaystyle V_{t}}$แสดงถึงความเร็วปลาย
• ${\displaystyle m}$คือมวลของวัตถุที่กำลังตกลงมา
• ${\displaystyle g}$คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง
• ${\displaystyle C_{d}}$คือค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน
• ${\displaystyle \rho }$คือความหนาแน่นของของเหลวที่วัตถุกำลังตกลงมา และ
• ${\displaystyle A}$คือพื้นที่ฉายของวัตถุ^{[ 8 ]}

ในความเป็นจริง วัตถุจะเข้าใกล้ความเร็วสุดท้ายอย่างค่อยเป็นค่อยไป

ผลกระทบจากแรงลอยตัว ซึ่งเกิดจากแรงดันขึ้นของของเหลวรอบข้าง สามารถนำมาพิจารณาได้โดยใช้หลักการของอาร์คิมิดีส : มวล${\displaystyle m}$จะต้องลดลงตามมวลของของเหลวที่ถูกแทนที่${\displaystyle \rho V}$, กับ${\displaystyle V}$ปริมาตร ของ วัตถุดังนั้นแทนที่จะ${\displaystyle m}$ใช้มวลที่ลดลง${\displaystyle m_{r}=m-\rho V}$ในสูตรนี้และสูตรต่อๆ ไป

ความเร็วปลายของวัตถุจะเปลี่ยนแปลงไปเนื่องจากคุณสมบัติของของเหลว มวลของวัตถุ และพื้นที่หน้า ตัดที่ฉายลงบนระนาบ ของ วัตถุ

ความหนาแน่นของอากาศจะเพิ่มขึ้นเมื่อระดับความสูงลดลง ประมาณ 1% ทุกๆ80 เมตร (260 ฟุต) (ดูสูตรบารอมิเตอร์ ) สำหรับวัตถุที่ตกลงมาผ่านชั้นบรรยากาศ ความเร็วปลายจะลดลง 1% ทุกๆ160 เมตร (520 ฟุต)ที่ตกลงมา หลังจากถึงความเร็วปลายในพื้นที่แล้ว ขณะที่ตกลงมาต่อไป ความเร็วจะลดลงเพื่อเปลี่ยนแปลงไปตามความเร็วปลายในพื้นที่นั้น  

เมื่อใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ โดยกำหนดให้ทิศทางลงเป็นบวก แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุที่ตกลงมาใกล้พื้นผิวโลกคือ (ตามสมการแรงต้าน ):

$${\displaystyle F_{\text{net}}=ma=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d},}$$

โดยที่v ( t ) คือความเร็วของวัตถุเป็นฟังก์ชันของเวลาt

ที่สภาวะสมดุลแรงสุทธิเป็นศูนย์ ( F = 0) ^{[ 9 ]}และความเร็วจะกลายเป็นความเร็วสุดท้ายlim v ( t ) = V :

$${\displaystyle mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.}$$

เมื่อแก้สมการ หาค่า V จะได้ :

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$

5

สมการแรงต้านคือ—โดยสมมติว่าρ , gและC เป็นค่าคงที่: $${\displaystyle ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.}$$

แม้ว่านี่จะเป็นสมการริคคาติ ที่สามารถแก้ได้โดยการลดรูปเป็น สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง แต่การ แยกตัวแปรนั้นง่ายกว่า

รูปแบบ ที่ใช้งานได้จริงมากขึ้นของสมการนี้สามารถได้มาจากการแทนที่α ² = ⁠ ρAC / 2 mg ⁠

หารทั้งสองข้างด้วยmจะได้ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).}$$

สมการสามารถจัดเรียงใหม่ได้เป็น $${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}}.}$$

เมื่อนำทั้งสองข้างมาทำการอินทิเกรตจะได้ $${\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathrm {d} t'}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v'}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.}$$

หลังจากรวมเข้าด้วยกันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้ $${\displaystyle t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v') \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v')}{2\alpha }}+C\right]_{v'=0}^{v'=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v'}{1-\alpha v'}} \over 2\alpha }+C\right]_{v'=0}^{v'=v}}$$

หรือในรูปแบบที่ง่ายกว่านั้น $${\displaystyle t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {artanh} (\alpha v)}{\alpha g}},}$$ โดยใช้ artanh ซึ่งเป็นฟังก์ชันแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกผกผัน

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง $${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,}$$ โดยที่ tanh คือ ฟังก์ชัน แทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกสมมติว่าgเป็นค่าบวก (ซึ่งเป็นไปตามที่กำหนดไว้) และแทนค่าαกลับเข้าไป ความเร็วvจะกลายเป็น $${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).}$$

โดยใช้สูตรสำหรับความเร็วปลาย $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$ สมการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ $${\displaystyle v=V_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{V_{t}}}\right).}$$

เมื่อเวลาผ่านไปเข้าสู่ค่าอนันต์ ( t → ∞) ค่าแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกจะเข้าใกล้ 1 ส่งผลให้ได้ความเร็วสุดท้าย $${\displaystyle V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$$

สำหรับการเคลื่อนที่ช้ามากของของไหล แรงเฉื่อยของของไหลนั้นมีค่าเล็กน้อยมาก (โดยสมมติว่าของไหลไม่มีมวล) เมื่อเทียบกับแรงอื่นๆ การไหลแบบนี้เรียกว่าการไหลแบบคลานหรือการไหลแบบสโตกส์และเงื่อนไขที่ต้องเป็นไปตามนั้นสำหรับการไหลแบบคลานคือเลขเรย์โนลด์${\displaystyle Re\ll 1}$สมการการเคลื่อนที่สำหรับการไหลแบบคืบคลาน ( สมการนาเวียร์-สโตกส์ แบบง่าย ) มีดังนี้:

$${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$คือเวกเตอร์สนามความเร็วของของไหล
• ${\displaystyle p}$คือสนามความดันของของเหลว
• ${\displaystyle \mu }$คือ ค่าความหนืดของของเหลว/ ของไหล

วิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์สำหรับการไหลแบบคืบคลานรอบทรงกลมได้รับการเสนอครั้งแรกโดยStokesในปี พ.ศ. 2394 ^{[ 10 ]} จากวิธีแก้ปัญหาของ Stokes แรงต้านที่กระทำต่อทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง${\displaystyle d}$สามารถหาได้ดังนี้

${\displaystyle D=3\pi \mu dV\qquad {\text{หรือ}}\qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}}$

6

โดยที่เลขเรย์โนลด์${\displaystyle Re={\frac {\rho d}{\mu }}V}$นิพจน์สำหรับแรงต้านที่กำหนดโดยสมการ ( 6 ) เรียกว่ากฎของสโตกส์

เมื่อค่าของ${\displaystyle C_{d}}$เมื่อแทนที่ในสมการ ( 5 ) เราจะได้นิพจน์สำหรับความเร็วปลายทางของวัตถุทรงกลมที่เคลื่อนที่ภายใต้เงื่อนไขการไหลแบบคลาน: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),}$$ ที่ไหน${\displaystyle \rho _{s}}$คือความหนาแน่นของวัตถุ

ผลลัพธ์จากการไหลแบบค่อยเป็นค่อยไปสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการศึกษาการตกตะกอนใกล้ก้นมหาสมุทรและการตกของหยดน้ำในชั้นบรรยากาศได้ หลักการนี้ยังถูกนำไปใช้ในเครื่องวัดความหนืดแบบทรงกลมตกซึ่งเป็นอุปกรณ์ทดลองที่ใช้ในการวัดความหนืดของของเหลวที่มีความหนืดสูง เช่น น้ำมัน พาราฟิน น้ำมันดิน เป็นต้น

เมื่อพิจารณาผลของแรงลอยตัวแล้ว วัตถุที่ตกลงมาในของเหลวด้วยน้ำหนักของตัวเองจะสามารถถึงความเร็วปลาย (ความเร็วในการตก) ได้หากแรงสุทธิที่กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์ เมื่อถึงความเร็วปลาย น้ำหนักของวัตถุจะสมดุลกับแรงลอยตัว ที่ดึงขึ้น และแรงต้านอย่างพอดี นั่นคือ

${\displaystyle W=F_{b}+D}$

1

ที่ไหน

• ${\displaystyle W}$คือน้ำหนักของวัตถุ
• ${\displaystyle F_{b}}$คือแรงลอยตัวที่กระทำต่อวัตถุ และ
• ${\displaystyle D}$คือแรงต้านที่กระทำต่อวัตถุ

ถ้าวัตถุที่ตกลงมามีรูปทรงกลม สูตรสำหรับแรงทั้งสามจะแสดงไว้ด้านล่าง:

${\displaystyle W={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g,}$

2

${\displaystyle F_{b}={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho g,}$

3

${\displaystyle D=C_{d}{\frac {1}{2}}\rho V^{2}A,}$

4

ที่ไหน

• ${\displaystyle d}$คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวัตถุทรงกลม
• ${\displaystyle g}$คือความเร่งโน้มถ่วง
• ${\displaystyle \rho }$คือความหนาแน่นของของเหลว
• ${\displaystyle \rho _{s}}$คือความหนาแน่นของวัตถุ
• ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}}$คือพื้นที่ฉายของทรงกลม
• ${\displaystyle C_{d}}$คือค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน และ
• ${\displaystyle V}$คือความเร็วลักษณะเฉพาะ (ซึ่งถือเป็นความเร็วปลาย)${\displaystyle V_{t}}$)

แทนสมการ ( 2 – 4 ) ลงในสมการ ( 1 ) และแก้หาความเร็วปลายทาง${\displaystyle V_{t}}$เพื่อให้ได้นิพจน์ต่อไปนี้

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}.}$

5

ในสมการ ( 1 ) ถือว่าวัตถุมีความหนาแน่นมากกว่าของเหลว หากไม่เป็นเช่นนั้น เครื่องหมายของแรงต้านควรเป็นลบ เนื่องจากวัตถุจะเคลื่อนที่ขึ้นด้านบน ต้านแรงโน้มถ่วง ตัวอย่างเช่น ฟองอากาศที่เกิดขึ้นที่ก้นแก้วแชมเปญและลูกโป่งฮีเลียม ความเร็วปลายในกรณีดังกล่าวจะมีค่าเป็นลบ ซึ่งสอดคล้องกับอัตราการลอยขึ้น

• กฎของสโตกส์
• วิถีกระสุนขั้นสุดท้าย

• เครื่องมือแบบโต้ตอบสำหรับคำนวณความเร็วปลายอากาศ - เว็บไซต์ NASA, คู่มือเบื้องต้นเกี่ยวกับการบินและอวกาศ
• วิดีโอจากกล้องติดยานอวกาศแสดงภาพจรวดขับดันเชื้อเพลิงแข็งของกระสวยอวกาศลดความเร็วอย่างรวดเร็วจนถึงความเร็วปลายเมื่อเข้าสู่ชั้นบรรยากาศที่หนาแน่นขึ้น(เก็บถาวรเมื่อ 2015-11-27 ที่Wayback Machine ) จากความเร็ว 2,900 ไมล์ต่อชั่วโมง (Mach 3.8)ในนาทีที่ 5:15 ของวิดีโอ ลดลงเหลือ 220 ไมล์ต่อชั่วโมงในนาทีที่ 6:45 เมื่อร่มชูชีพกางออกในอีก 90 วินาทีต่อมา—วิดีโอและเสียงจาก NASA, @ io9.com  
• ความเร็วการตกกระทบสุดท้ายของทรงกลมที่เลขเรย์โนลด์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยใช้วิธีตารางเฮย์วูด