ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงรูปธรรมกล่าวไว้ดังนี้: ^{[ 1 ]}

อนุญาต${\displaystyle f:X\to S}$เป็นมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมของโครงร่างโนเธอร์เรียนที่มีชีฟที่สอดคล้องกัน${\displaystyle {\mathcal {F}}}$บนX . ให้${\displaystyle S_{0}}$เป็นโครงร่างย่อยแบบปิดของSที่กำหนดโดย${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {I}}}$และ${\displaystyle {\widehat {X}},{\widehat {S}}}$การสำเร็จการศึกษาอย่างเป็นทางการในส่วนที่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle X_{0}=f^{-1}(S_{0})}$และ${\displaystyle S_{0}}$จากนั้นสำหรับแต่ละ${\displaystyle p\geq 0}$แผนที่มาตรฐาน (ต่อเนื่อง):

${\displaystyle (R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to \varprojlim _{k}R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{k}}$

เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของ (เชิงทอพอโลยี)${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\widehat {S}}}$-โมดูล ซึ่ง

• เทอมทางซ้ายคือ${\displaystyle \varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}{\mathcal {O}__{S}/{{\mathcal {I}}^{k+1}}}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}__{k}={\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}__{S}}({\mathcal {O}__{S}/{\mathcal {I}}^{k+1})}$
• แผนที่มาตรฐานคือแผนที่ที่ได้มาจากการผ่านไปยังขอบเขตจำกัด

ทฤษฎีบทนี้ใช้ในการอนุมานทฤษฎีบทสำคัญอื่นๆ ได้แก่การแยกตัวประกอบของสไตน์และทฤษฎีบทหลักของซาริสกี ในรูปแบบหนึ่ง ซึ่งกล่าวว่าการแปลงแบบไบราชันนัลที่เหมาะสม ไปยังวาไรตีปกติเป็นการสมสัณฐาน นอกจากนี้ยังมีบทสรุปอื่นๆ อีก (โดยใช้สัญลักษณ์ดังที่กล่าวมาข้างต้น) ได้แก่:

บทสรุป : ^{[ 2 ]}สำหรับใดๆ${\displaystyle s\in S}$ในเชิงโทโพโลยี

${\displaystyle ((R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})_{s})^{\wedge }\simeq \varprojlim H^{p}(f^{-1}(s),{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{s}/{\mathfrak {m}}_{s}^{k}))}$

โดยที่การเสร็จสิ้นทางด้านซ้ายนั้นสัมพันธ์กับ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{s}}$.

บทสรุป : ^{[ 3 ]}ให้rเป็นเช่นนั้น${\displaystyle \operatorname {dim} f^{-1}(s)\leq r}$สำหรับทุกคน${\displaystyle s\in S}$. แล้ว

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}=0,\quad i>r.}$

บทสรุป : ^{[ 4 ]}สำหรับแต่ละ${\displaystyle s\in S}$มีย่านเปิดUของsอยู่จริง โดยที่

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}|_{U}=0,\quad i>\operatorname {dim} f^{-1}(s).}$

บทสรุป : ^{[ 5 ]}ถ้า${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{S}}$, แล้ว${\displaystyle f^{-1}(s)}$เชื่อมต่อสำหรับทุกคน${\displaystyle s\in S}$.

ทฤษฎีบทนี้ยังนำไปสู่ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ของ Grothendieckซึ่งให้ความเท่าเทียมกันระหว่างหมวดหมู่ของชีฟที่สอดคล้องกันบนสกีมและหมวดหมู่ของชีฟที่สอดคล้องกันบนการเติมเต็มเชิงรูปธรรมของมัน (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันให้ความสามารถในการทำให้เป็นพีชคณิต)

สุดท้ายนี้ เป็นไปได้ที่จะลดความน่าเชื่อถือของสมมติฐานในทฤษฎีบทลงได้ ดังเช่นที่ Illusie กล่าวไว้ (หน้า 204) บทพิสูจน์ที่ให้ไว้ใน EGA III นั้นเป็นผลงานของ Serre ส่วนบทพิสูจน์ดั้งเดิม (ซึ่งเป็นผลงานของ Grothendieck) นั้นไม่เคยได้รับการตีพิมพ์เผยแพร่

ให้การตั้งค่าเป็นดังที่กล่าวไว้ในบทนำ ในการพิสูจน์นั้นจะใช้คำจำกัดความทางเลือกของแผนที่แคนอนิกดังต่อไปนี้

อนุญาต${\displaystyle i':{\widehat {X}}\to X,i:{\widehat {S}}\to S}$ให้เป็นแผนที่มาตรฐาน จากนั้นเราก็จะมีแผนที่การเปลี่ยนแปลงพื้นฐานของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\widehat {S}}}$-โมดูล

${\displaystyle i^{*}R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}(i'^{*}{\mathcal {F}})}$.

ที่ไหน${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {X}}\to {\widehat {S}}}$เกิดจากการเหนี่ยวนำโดย${\displaystyle f:X\to S}$. เนื่องจาก${\displaystyle {\mathcal {F}}}$หากมีความสอดคล้องกัน เราก็สามารถระบุได้${\displaystyle i'^{*}{\mathcal {F}}}$กับ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {F}}}}$. เนื่องจาก${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}}$นอกจากนี้ยังมีความสอดคล้อง (เนื่องจากfเป็นค่าที่เหมาะสม) เมื่อทำการระบุแบบเดียวกัน ข้อความข้างต้นจึงอ่านได้ดังนี้:

${\displaystyle (R^{q}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}}$.

โดยใช้${\displaystyle f:X_{n}\to S_{n}}$ที่ไหน${\displaystyle X_{n}=(X_{0},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {J}}^{n+1})}$และ${\displaystyle S_{n}=(S_{0},{\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{n+1})}$นอกจากนี้ยังได้ผลลัพธ์ (หลังจากหาค่าลิมิต) ดังนี้:

${\displaystyle R^{q}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}\to \varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{n}}$

ที่ไหน${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$เหมือนเดิมทุกประการ สามารถตรวจสอบได้ว่าองค์ประกอบของแผนที่ทั้งสองนั้นเป็นแผนที่เดียวกันในส่วนนำ (ดู EGA III-1 ส่วนที่ 4)

• Illusie, Luc . "หัวข้อในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต" (PDF) .