ในวิชาโทโพโลยีซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ปริภูมิแบ่งชั้นนามธรรมหรือปริภูมิแบ่งชั้นแบบทอม-แมเธอร์คือ ปริภูมิ โทโพโลยีXที่ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ เรียกว่าชั้น (strata ) ชั้นเหล่านี้เป็นแมนิโฟลด์และจำเป็นต้องประกอบเข้าด้วยกันในลักษณะที่แน่นอน ปริภูมิแบ่งชั้นแบบทอม-แมเธอร์เป็นกรอบโทโพโลยีล้วนๆ สำหรับการศึกษาภาวะเอกฐาน ซึ่งคล้ายคลึงกับทฤษฎีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของวิทนีย์ ปริภูมิ เหล่านี้ถูกนำเสนอในปี 1969 โดยเรเน่ ทอมซึ่งแสดงให้เห็นว่าปริภูมิแบ่งชั้นแบบวิทนีย์ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิแบ่งชั้นทางโทโพโลยีด้วย โดยมีชั้นเดียวกัน การพิสูจน์อีกครั้งหนึ่งได้รับการเสนอโดยจอห์น แมเธอร์ในปี 1970 โดยได้รับแรงบันดาลใจจากการพิสูจน์ของทอม

ตัวอย่างพื้นฐานของปริภูมิแบ่งชั้นแบบ Thom–Mather ได้แก่แมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต (ขอบเขตมิติบนและมิติร่วม 1) และแมนิโฟลด์ที่มีมุม (ขอบเขตมิติบน มิติร่วม 1 และมุมมิติร่วม 2) วาไรตี้เชิงวิเคราะห์จริงหรือเชิงซ้อน หรือปริภูมิวงโคจรของกลุ่มการแปลงเรียบ

ปริภูมิแบ่งชั้นแบบ Thom–Mather คือสามสิ่งโดยที่เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี (โดยทั่วไปเราต้องการให้เป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่ , เฮาส์ดอร์ฟและนับได้ลำดับที่สอง ) และเป็นการแบ่งส่วนของ ออกเป็นชั้นๆ${\displaystyle (V,{\mathcal {S}},{\mathfrak {J}})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\bigsqcup _{X\in {\mathcal {S}}}X,}$

และเป็นชุดข้อมูลควบคุมโดยที่เป็นบริเวณเปิดของชั้นหิน(เรียกว่าบริเวณท่อ) เป็นการหดตัวอย่างต่อเนื่อง และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ข้อมูลเหล่านี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}}$${\displaystyle \{(T_{X}),(\pi _{X}),(\rho _{X})\ |X\in S\}}$${\displaystyle T_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{X}:T_{X}\to X}$${\displaystyle \rho _{X}:T_{X}\to [0,+\infty )}$

1. แต่ละชั้นเป็นเซตย่อยที่ปิดในระดับท้องถิ่นและการแบ่งส่วนนั้นจำกัดในระดับท้องถิ่น${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$
2. การแยกส่วนนี้สอดคล้องกับสัจพจน์ของขอบเขต: ถ้าและแล้วเงื่อนไขนี้บ่งชี้ว่ามีลำดับบางส่วนระหว่างชั้น: ก็ต่อเมื่อ และเท่านั้น${\displaystyle S}$${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle Y\cap {\overline {X}}\neq \emptyset }$${\displaystyle Y\subseteq {\overline {X}}}$${\displaystyle Y<X}$${\displaystyle Y\subset {\overline {X}}}$${\displaystyle Y\neq X}$
3. แต่ละชั้นเป็นพื้นผิวเรียบต่อเนื่องกัน${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle X=\{v\in T_{X}\ |\ \rho _{X}(v)=0\}}$ดังนั้นจึงสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันระยะทางจากชั้นข้อมูล${\displaystyle \rho _{X}}$${\displaystyle X}$
5. สำหรับชั้นหินแต่ละคู่ข้อจำกัดคือการจมอยู่ใต้น้ำ${\displaystyle Y<X}$${\displaystyle (\pi _{Y},\rho _{Y}):T_{Y}\cap X\to Y\times (0,+\infty )}$
6. สำหรับแต่ละคู่ของชั้นข้อมูลจะมีและ(ทั้งสองค่านี้ครอบคลุมโดเมนร่วมของทั้งสองข้างของสมการ)${\displaystyle Y<X}$${\displaystyle \pi _{Y}\circ \pi _{X}=\pi _{Y}}$${\displaystyle \rho _{Y}\circ \pi _{X}=\rho _{Y}}$

หนึ่งในแรงจูงใจดั้งเดิมสำหรับการสร้างพื้นที่แบบแบ่งชั้นคือการแบ่งพื้นที่เอกลักษณ์ออกเป็นส่วนย่อยที่เรียบเนียน ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดความหลากหลายเอกลักษณ์จะมีกลุ่มย่อยที่กำหนดขึ้นตามธรรมชาติซึ่งเป็นตำแหน่งเอกลักษณ์ นี่อาจไม่ใช่ความหลากหลายที่เรียบเนียน ดังนั้นการใช้ตำแหน่งเอกลักษณ์ซ้ำๆจะทำให้เกิดการแบ่งชั้นตามธรรมชาติในที่สุด ตัวอย่างทางพีชคณิตเรขาคณิตอย่างง่ายคือพื้นผิว เอกลักษณ์${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {ร้องเพลง} (X)}$${\displaystyle \mathrm {ร้องเพลง} (\mathrm {ร้องเพลง} (X))}$

     ${\displaystyle {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} [x,y,z]/\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)\right)\xleftarrow {(0,0,0)} {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

สเปกตรัม หลักอยู่ที่ไหน${\displaystyle {\text{Spec}}(-)}$

• ทฤษฎีเอกภาวะ
• เงื่อนไขของวิทนีย์
• สแตรติโฟลด์
• ความเหมือนกันของจุดตัด
• บทพิสูจน์ไอโซโทปีข้อแรกของทอม
• พื้นที่แบ่งชั้น