พิกัดทอรอยด์ เป็น ระบบพิกัดเชิงตั้งฉาก สามมิติ ที่ได้จากการหมุน ระบบพิกัดไบโพลาร์สองมิติรอบแกนที่แยกจุดโฟกัสทั้งสอง ดังนั้นจุดโฟกัส ทั้งสอง ในพิกัดไบโพลาร์จึงกลายเป็นวงแหวนรัศมีในระนาบของระบบพิกัดทอรอยด์ โดยแกน x คือแกนหมุน วงแหวนโฟกัสนี้เรียกอีกอย่างว่าวงกลมอ้างอิง ${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle z}$

นิยามที่พบได้บ่อยที่สุดของพิกัดทอรอยด์คือ ${\displaystyle (\tau ,\sigma ,\phi )}$

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

ร่วมกับ) พิกัดของจุดเท่ากับมุมและพิกัดเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติของอัตราส่วนของระยะทางไปยังด้านตรงข้ามของวงแหวนโฟกัส ${\displaystyle \mathrm {sign} (\sigma )=\mathrm {sign} (z}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle P}$${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

ช่วงพิกัดคือ, และ${\displaystyle -\pi <\sigma \leq \pi }$${\displaystyle \tau \geq 0}$${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi .}$

พื้นผิวที่มีค่าคงที่สอดคล้องกับทรงกลมที่มีรัศมีต่างกัน ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(za\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

ซึ่งทั้งหมดผ่านวงแหวนโฟกัสแต่ไม่เป็นศูนย์กลางร่วมกัน พื้นผิวที่มีค่าคงที่นั้นเป็นทอรัสที่ไม่ตัดกันซึ่งมีรัศมีต่างกัน ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

ซึ่งล้อมรอบวงแหวนโฟกัส จุดศูนย์กลางของทรงกลมคงที่อยู่ตามแนวแกน y ในขณะที่ทอรัสคงที่อยู่ตรงกลางในระนาบ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle xy}$

สามารถคำนวณพิกัดจากพิกัดคาร์ทีเซียน ( x , y , z ) ได้ ดังนี้ มุมอะซิมุทจะคำนวณได้จากสูตร ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$

รัศมีทรงกระบอกของจุด P กำหนดโดย ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}}$

และระยะห่างจากจุดโฟกัสในระนาบที่กำหนดโดยจะกำหนดโดย ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\โร +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

พิกัดจะเท่ากับลlogarithms ธรรมชาติของระยะโฟกัส ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

ในขณะที่เท่ากับมุมระหว่างรังสีกับจุดโฟกัส ซึ่งสามารถหาได้จากกฎของโคไซน์${\displaystyle |\sigma |}$

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}.}$

หรือโดยชัดแจ้ง รวมถึงป้ายด้วย

${\displaystyle \sigma =\mathrm {sign} (z)\arccos {\frac {r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}}$

ที่ไหน. ${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$

การแปลงระหว่างพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงโดนัทสามารถแสดงได้ในรูปแบบเชิงซ้อนดังนี้

${\displaystyle z+i\rho \ =ia\coth {\frac {\tau +i\sigma }{2}},}$

${\displaystyle \tau +i\sigma \ =\ln {\frac {z+i(\rho +a)}{z+i(\rho -a)}}.}$

ปัจจัยมาตราส่วนสำหรับพิกัดทอรอยด์และมีค่าเท่ากัน ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

ในขณะที่ค่าตัวประกอบมาตราส่วนเชิงมุมเท่ากับ

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

ดังนั้นองค์ประกอบปริมาตรที่เล็กมากจึง เท่ากับ

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

ตัวดำเนินการลาปลาเซียนกำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}&\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$$

สำหรับฟิลด์เวกเตอร์ ตัวดำเนินการลาปลาเซียนเวกเตอร์จะกำหนดโดย $${\displaystyle {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\phi },}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {n}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {\sinh ^{4}\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \phi }^{2}}}{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {(\cosh ^{2}\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\sinh ^{2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\left\{n_{\phi }\left(-{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(-{\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\end{aligned}}}$$

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อื่นๆ เช่น และสามารถแสดงในพิกัดได้โดยการแทนที่ตัวประกอบมาตราส่วนลงในสูตรทั่วไปที่พบในพิกัดเชิงตั้งฉาก ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$

สมการลาปลาส 3 ตัวแปร

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$

ยอมรับวิธีแก้ปัญหาโดยการแยกตัวแปรในพิกัดทรงกลม เมื่อทำการแทนที่

${\displaystyle \Phi =U{\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

จากนั้นจะได้สมการที่แยกตัวแปรได้ คำตอบเฉพาะที่ได้จากการแยกตัวแปรคือ:

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

โดยที่แต่ละฟังก์ชันเป็นผลรวมเชิงเส้นของ:

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }}$

โดยที่ P และ Q คือฟังก์ชันเลอจองเดอร์ชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองที่เกี่ยวข้องกัน ฟังก์ชันเลอจองเดอร์เหล่านี้มักถูกเรียกว่าฮาร์มอนิกแบบทอรอยด์

ฮาร์มอนิกแบบทอรอยด์มีคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมาย ถ้าคุณทำการแทนที่ตัวแปรเช่น ในกรณีที่ลำดับเป็นศูนย์(ตามธรรมเนียมแล้วจะไม่เขียนลำดับเมื่อเป็นศูนย์) และ${\displaystyle z=\cosh \tau >1}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \nu =0}$

${\displaystyle Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)}$

และ

${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)}$

โดยที่และ คือ ปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่หนึ่งและ ชนิด ที่สองตามลำดับ ส่วนฮาร์มอนิกทอรอยด์ที่เหลือสามารถหาได้ เช่น ในรูปของปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์ โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับฟังก์ชันเลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle \,\!K}$${\displaystyle \,\!E}$

การประยุกต์ใช้พิกัดทอรอยด์แบบคลาสสิกคือการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเช่นสมการลาปลาสซึ่งพิกัดทอรอยด์ช่วยให้สามารถแยกตัวแปรได้หรือสมการเฮล์มโฮลทซ์ซึ่งพิกัดทอรอยด์ไม่สามารถแยกตัวแปรได้ ตัวอย่างทั่วไปคือศักย์ไฟฟ้าและสนามไฟฟ้าของทอรัสตัวนำ หรือในกรณีพิเศษคือวงแหวนกระแสไฟฟ้า (Hulme 1982)

หรืออาจใช้สารทดแทนอื่นก็ได้ (แอนดรูว์ส 2006)

${\displaystyle \Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

อีกครั้งหนึ่ง จะได้สมการที่แยกตัวแปรได้ ดังนั้น คำตอบเฉพาะที่ได้จากการแยกตัวแปรคือ:

${\displaystyle \Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

โดยที่แต่ละฟังก์ชันเป็นผลรวมเชิงเส้นของ:

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }.}$

โปรดทราบว่าถึงแม้จะใช้ฮาร์มอนิกทอรอยด์อีกครั้งสำหรับ ฟังก์ชัน T   แต่ตัวแปรอาร์กิวเมนต์จะเป็นแทนที่จะเป็นและ ดัชนี และจะสลับกัน วิธีนี้มีประโยชน์สำหรับสถานการณ์ที่เงื่อนไขขอบเขตไม่ขึ้นอยู่กับมุมทรงกลมเช่น วงแหวนที่มีประจุ ระนาบครึ่งอนันต์ หรือระนาบขนานสองระนาบ สำหรับเอกลักษณ์ที่เชื่อมโยงฮาร์มอนิกทอรอยด์ที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นโคไซน์ไฮเปอร์โบลิกกับฮาร์มอนิกทอรอยด์ที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นโคแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก โปรดดูสูตรของวิปเปิล ${\displaystyle \coth \tau }$${\displaystyle \cosh \tau }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \theta }$

• Morse PM, Feshbach H (1953). วิธีการทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎี เล่ม 1.นิวยอร์ก: McGraw–Hill. หน้า 666.
• Korn GA, Korn TM (1961). คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร . นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า 182. LCCN  59014456 .
• Margenau H, Murphy GM (1956). คณิตศาสตร์ของฟิสิกส์และเคมี . นิวยอร์ก: D. van Nostrand. หน้า  190–192 . LCCN  55010911 .
• Moon PH, Spencer DE (1988). "พิกัดทอรอยด์ ( η , θ , ψ )". คู่มือทฤษฎีสนาม รวมถึงระบบพิกัด สมการเชิงอนุพันธ์ และคำตอบ (ฉบับที่ 2 ฉบับแก้ไขเพิ่มเติมครั้งที่ 3). นิวยอร์ก: Springer Verlag. หน้า 112–115 (ส่วนที่ IV, E4Ry). ISBN 978-0-387-02732-6.

• คำอธิบายพิกัดทรงกลมจาก MathWorld