ในทางคณิตศาสตร์จำนวนสมบูรณ์ทวีคูณ (หรือเรียกว่าจำนวนสมบูรณ์หลายเท่าหรือจำนวนสมบูรณ์ยิ่งกว่า ) เป็นการขยายความของจำนวนสมบูรณ์

สำหรับจำนวนธรรมชาติk ที่กำหนด จำนวนnเรียกว่าk -perfect (หรือk -fold perfect) ถ้าผลรวมของตัวหาร บวกทั้งหมด ของn ( ฟังก์ชันตัวหารσ ( n )) เท่ากับknดังนั้น จำนวนจะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเป็น2-perfect เท่านั้น จำนวนที่เป็นk -perfectสำหรับkที่ กำหนด เรียกว่าจำนวน multiply perfect ณ ปี 2014 มีจำนวน k -perfectเป็นที่รู้จักสำหรับค่าk แต่ละค่า จนถึง 11 ^{[ 1 ]}

ยังไม่ทราบแน่ชัดว่ามีจำนวนสมบูรณ์คูณคี่อื่นใดนอกจาก 1 หรือไม่ จำนวนสมบูรณ์คูณคี่แรกๆ ได้แก่:

1, 6, 28, 120, 496 , 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, ... (ลำดับA007691ในOEIS )

ผลรวมของตัวหารของ 120 คือ

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

ซึ่งก็คือ 3 × 120 ดังนั้น 120 จึงเป็นจำนวนสมบูรณ์ 3

ตารางต่อไปนี้แสดงภาพรวมของจำนวนk -perfect ที่เล็กที่สุดที่ทราบสำหรับ k ≤ 11 (ลำดับA007539ในOEIS ) :

สามารถพิสูจน์ ได้ ว่า:

• สำหรับจำนวนเฉพาะp ที่กำหนดให้ ถ้าnเป็นจำนวนสมบูรณ์pและpไม่หารn ลงตัว แล้วpnจะเป็น จำนวนสมบูรณ์ ( p  + 1)ซึ่งหมายความว่าจำนวนเต็มnเป็น จำนวน สมบูรณ์ 3ที่หารด้วย 2 ลงตัวแต่หารด้วย 4 ลงตัว ก็ต่อเมื่อn /2 เป็นจำนวนสมบูรณ์คี่ ซึ่งยังไม่มีจำนวนสมบูรณ์ คี่ ใดที่ทราบ
• ถ้า 3n เป็น 4k - perfectและ 3 ไม่หารn ลงตัว แล้วn ก็ เป็น3k - perfectด้วย

ไม่ทราบว่ามีจำนวนสมบูรณ์คูณคี่อื่นใดนอกจาก 1 หรือไม่ อย่างไรก็ตาม หากมีจำนวนสมบูรณ์k คี่ nอยู่ โดยที่k > 2 จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

• ตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดคือ ≥ 100129
• ตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่เป็นอันดับสองคือ ≥ 1009
• ตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่เป็นอันดับสามคือ ≥ 101

ถ้าจำนวนไตรเพอร์เฟคคี่มีอยู่จริง จะต้องมากกว่า10 ^{128 [ 3 ]}

Tóth พบตัวเลขหลายตัวที่จะเป็นจำนวนคี่ที่สมบูรณ์แบบ หากตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งของมันเป็นกำลังสอง ตัวอย่างเช่น 8999757 ซึ่งจะเป็นจำนวนคี่ที่สมบูรณ์แบบ หากตัวประกอบเฉพาะตัวใดตัวหนึ่งของมัน คือ 61 เป็นกำลังสอง^{[ 4 ]}สิ่งนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของจำนวนเดส์การ์ต

ในการเขียนสัญลักษณ์แบบ little-oจำนวนของจำนวนสมบูรณ์คูณที่น้อยกว่าxคือ${\displaystyle o(x^{\varepsilon })}$สำหรับทุก ε > 0 ^{[ 2 ]}

จำนวนของจำนวนสมบูรณ์k ตัว nสำหรับn ≤ xมีค่าน้อยกว่า${\displaystyle cx^{c'\log \log \log x/\log \log x}}$โดยที่cและ^c 'เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับk [ ^{2 ]}

ภายใต้สมมติฐานของรีมันน์อสมการต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนสมบูรณ์k ทุกจำนวน nโดยที่k > 3

${\displaystyle \log \log n>k\cdot e^{-\gamma }}$

ที่ไหน${\displaystyle \gamma }$คือค่าคงที่แกมมาของออยเลอร์สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของโรบิน

จำนวนตัวหาร τ( n ) ของจำนวนk -perfect nโดยที่k > 2 เป็นไปตามอสมการ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \tau (n)>e^{k-\gamma }.}$

จำนวนตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน ω( n ) ของnเป็นไปตาม^{[ 6 ]}

${\displaystyle \omega (n)\geq k^{2}-1,~~{\text{ถ้า }}n{\text{ เป็นจำนวนคี่}}}$

${\displaystyle \omega (n)\geq k^{2}/4,~~{\text{ถ้า }}n{\text{ เป็นจำนวนคู่}}}$

ถ้าตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันของnคือ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}}$จากนั้น: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle r\left({\sqrt[{r}]{3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{6/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{ถ้า }}n{\text{ เป็นจำนวนคู่}}}$

${\displaystyle r\left({\sqrt[{3r}]{k^{2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{if }}n{\text{ is odd}}}$

• เลขเฮมิเพอร์เฟค

• หน้าการคูณจำนวนสมบูรณ์
• คำศัพท์สำคัญ: การคูณจำนวนสมบูรณ์
• ตัวเลขไตรเพอร์เฟคทั้งหกบนYouTube