ในตรรกศาสตร์ฟังก์ชันความจริง^{[ 1 ]}คือฟังก์ชันที่รับค่าความจริงเป็นอินพุตและสร้างค่าความจริงที่ไม่ซ้ำกันเป็นเอาต์พุต กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ อินพุตและเอาต์พุตของฟังก์ชันความจริงล้วนเป็นค่าความจริง ฟังก์ชันความจริงจะให้ค่าความจริงเพียงค่าเดียวเสมอ และการป้อนค่าความจริงเดียวกันจะให้ค่าความจริงเดียวกันเสมอ ตัวอย่างทั่วไปคือในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ซึ่งมีการสร้างประโยคประกอบโดยใช้ประโยคแต่ละประโยคที่เชื่อมต่อกันด้วยตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์หากค่าความจริงของประโยคประกอบถูกกำหนดโดยค่าความจริงของประโยคย่อยทั้งหมด ประโยคประกอบนั้นเรียกว่าฟังก์ชันความจริง และตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ใดๆ ที่ใช้เรียกว่า ตัวเชื่อม ทางตรรกศาสตร์^{[ 2 ]}

ตรรกศาสตร์ประพจน์แบบคลาสสิกเป็นตรรกศาสตร์เชิงฟังก์ชันความจริง^{[ 3 ]}โดยที่ประโยคทุกประโยคมีค่าความจริงเพียงค่าเดียวซึ่งเป็นจริงหรือเท็จ และตัวเชื่อมตรรกะทุกตัวเป็นฟังก์ชันความจริง (พร้อมตารางความจริง ที่สอดคล้องกัน ) ดังนั้นประโยคประกอบทุกประโยคจึงเป็นฟังก์ชันความจริง^{[ 4 ]}ในทางกลับกันตรรกศาสตร์โมดอลไม่ใช่ฟังก์ชันความจริง

ตัวเชื่อมทางตรรกะเรียกว่าตัวเชื่อมเชิงความจริง (truth-functional) ถ้าค่าความจริงของประโยคประกอบเป็นฟังก์ชันของค่าความจริงของประโยคย่อย กลุ่มของตัวเชื่อมเรียกว่าตัวเชื่อมเชิงความจริง ถ้าสมาชิกแต่ละตัวในกลุ่มนั้นเป็นตัวเชื่อมเชิงความจริง ตัวอย่างเช่น ตัวเชื่อม " และ " เป็นตัวเชื่อมเชิงความจริง เพราะประโยคเช่น " แอปเปิลเป็นผลไม้และแครอทเป็นผัก " จะเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ประโยคย่อย " แอปเปิลเป็นผลไม้ " และ " แครอทเป็นผัก " เป็นจริง และจะเป็นเท็จ ถ้าไม่ใช่ตัวเชื่อมบางตัวในภาษาธรรมชาติ เช่น ภาษาอังกฤษ ไม่ใช่ตัวเชื่อมเชิงความจริง

คำเชื่อมในรูปแบบ "x เชื่อว่า ..." เป็นตัวอย่างทั่วไปของคำเชื่อมที่ไม่ใช่คำเชื่อมที่แสดงความจริง เช่น ถ้าแมรี่เข้าใจผิดคิดว่าอัล กอร์เป็นประธานาธิบดีของสหรัฐอเมริกาในวันที่ 20 เมษายน พ.ศ. 2543 แต่เธอไม่เชื่อว่าดวงจันทร์ทำจากชีสสีเขียว ประโยคนี้จึงถูกต้อง

" แมรี่เชื่อว่า อัล กอร์ ดำรงตำแหน่งประธานาธิบดีของสหรัฐอเมริกาในวันที่ 20 เมษายน พ.ศ. 2543 "

เป็นความจริงในขณะที่

" แมรี่เชื่อว่าดวงจันทร์ทำจากชีสสีเขียว "

เป็นเท็จ ในทั้งสองกรณี ประโยคย่อยแต่ละประโยค (เช่น " อัล กอร์เป็นประธานาธิบดีของสหรัฐอเมริกาในวันที่ 20 เมษายน 2543 " และ " ดวงจันทร์ทำจากชีสสีเขียว ") เป็นเท็จ แต่ประโยคประกอบแต่ละประโยคที่เกิดจากการเติมวลี " แมรี่เชื่อว่า ..." จะมีค่าความจริงแตกต่างกัน กล่าวคือ ค่าความจริงของประโยคในรูปแบบ " แมรี่เชื่อว่า... " ไม่ได้ถูกกำหนดโดยค่าความจริงของประโยคย่อยเพียงอย่างเดียว ดังนั้น ตัวเชื่อม (หรือเรียกง่ายๆ ว่าตัวดำเนินการเนื่องจากเป็นตัวดำเนินการเอกภาค) จึงไม่ใช่ฟังก์ชันความจริง

ตัว เชื่อม ทางตรรกศาสตร์แบบคลาสสิก (เช่น& , → ) ที่ใช้ในการสร้างสูตรนั้นเป็นตัวเชื่อมทางตรรกะเชิงค่าความจริง ค่าของตัวเชื่อมเหล่านี้สำหรับค่าความจริงต่างๆ ที่ใช้เป็นอาร์กิวเมนต์ มักจะแสดงด้วยตารางค่าความจริงแคลคูลัสเชิงประพจน์แบบค่าความจริงเชิงค่าความจริงเป็นระบบที่เป็นทางการซึ่งสูตรต่างๆ สามารถตีความได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ในตรรกศาสตร์สองค่า มีฟังก์ชันความจริงที่เป็นไปได้สิบหกฟังก์ชัน หรือเรียกว่าฟังก์ชันบูลีนซึ่งมีอินพุตสองตัวคือPและQฟังก์ชันใดๆ เหล่านี้จะสอดคล้องกับตารางความจริงของตัวเชื่อมทางตรรกะ บางอย่าง ในตรรกศาสตร์แบบคลาสสิก รวมถึง กรณี พิเศษ บาง กรณี เช่น ฟังก์ชันที่ไม่ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัว ในตารางความจริงต่อไปนี้ เพื่อความกระชับ จะใช้สัญลักษณ์ 1 และ 0 แทนความจริงและความเท็จตามลำดับ

สัจพจน์ / จริง สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ ${\displaystyle \top }$"สูงสุด" พีพีวี พีคิว${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \neg }$   คิว 0 1 พี 0    1   1  1    1   1	ความขัดแย้ง / เท็จ สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ ${\displaystyle \bot }$"ด้านล่าง" พี พีโอพีคิว${\displaystyle \land }$${\displaystyle \neg }$   คิว 0 1 พี 0    0   0  1    0   0
ข้อเสนอP สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ พี พีไอ พีคิว   คิว 0 1 พี 0    0   0  1    1   1	การปฏิเสธของP สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ ${\displaystyle \neg }$P ~ Pไม่ใช่  P เอ็นพีเอฟพีคิว   คิว 0 1 พี 0    1   1  1    0   0
ข้อเสนอQ สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ คิว q H pq   คิว 0 1 พี 0    0   1  1    0   1	การปฏิเสธของQ สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ ${\displaystyle \neg }$Q ~ Qไม่ใช่  Q เอ็นคิวจี พีคิว   คิว 0 1 พี 0    1   0  1    1   0
การเชื่อมโยง สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ พีคิวพีคิวพี· คิวพี  แอนด์  คิว${\displaystyle \land }$${\displaystyle \cap }$   พีคิวพี คิวพีคิวเคพีคิว${\displaystyle \not \rightarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \not \leftarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \downarrow }$${\displaystyle \neg }$   คิว 0 1 พี 0    0   0  1    0   1	การไม่เชื่อมโยง/การปฏิเสธทางเลือก สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ พีคิวพีคิวพี  เอ็นแอนด์  คิว${\displaystyle {\overline {\land }}}$${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle \neg }$พีคิวพี คิวพีคิวดีพีคิว${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \leftarrow }$   คิว 0 1 พี 0    1   1  1    1   0
การแยก สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ พีคิวพีคิวพีคิวพี  หรือ  คิว${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \cup }$${\displaystyle +}$ พีคิวพี คิวพีคิวเอพีคิว${\displaystyle \leftarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \uparrow }$${\displaystyle \neg }$   คิว 0 1 พี 0    0   1  1    1   1	การไม่แยกออกจากกัน/การปฏิเสธร่วมกัน สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ พีคิวพีคิวพี น  อร์  คิว${\displaystyle {\overline {\lor }}}$${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle \neg }$พีคิวพี คิวพีคิวเอ็กซ์พีคิว${\displaystyle \land }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \not \leftarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \not \rightarrow }$   คิว 0 1 พี 0    1   0  1    0   0
ผลกระทบทางวัตถุ สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ พีคิวพี คิวพีคิวพีอิ  มพลี  คิว${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \neg }$พีคิวพี คิวพีคิวซีพีคิว${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \uparrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \leftarrow }$${\displaystyle \neg }$   คิว 0 1 พี 0    1   1  1    0   1	การไม่เกี่ยวข้องกับวัสดุ สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ พีคิวพีคิวพีคิว  นิม  พลีคิว${\displaystyle \not \rightarrow }$${\displaystyle \not \subseteq }$${\displaystyle >}$ พีคิวพี คิวพีคิวแอล พีคิว${\displaystyle \land }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \downarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \not \leftarrow }$${\displaystyle \neg }$   คิว 0 1 พี 0    0   0  1    1   0
นัยยะตรงกันข้าม สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ พีคิวพี คิวพีคิวคิวบ่ง  ชี้  พี${\displaystyle \leftarrow }$${\displaystyle \supseteq }$${\displaystyle \geq }$ พีคิวพี คิวพีคิวบีพีคิว${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \uparrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \neg }$   คิว 0 1 พี 0    1   0  1    1   1	การไม่บ่งชี้ในทางกลับกัน สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ พีคิวพีคิวพีคิว  นิม  พลีพี${\displaystyle \not \leftarrow }$${\displaystyle \not \supseteq }$${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \neg }$พีคิวพี คิวพีคิวเอ็ม พีคิว${\displaystyle \land }$${\displaystyle \downarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \not \rightarrow }$${\displaystyle \neg }$   คิว 0 1 พี 0    0   1  1    0   0
ความเท่าเทียมกัน/เงื่อนไขสองทาง สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ พีคิวพีคิวพีคิว  เอ็กซ์นอ  ร์คิว${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \equiv }$${\displaystyle \odot }$ พีคิวพี คิวพีคิวอีพีคิว${\displaystyle \not \leftrightarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \not \leftrightarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \neg }$   คิว 0 1 พี 0    1   0  1    0   1	ความไม่เท่ากัน/การแยกแบบเฉพาะเจาะจง สัญกรณ์ สูตร ที่เทียบเท่ากัน ตารางความจริง แผนภาพเวนน์ P Q P Q P ⨁ Q P XOR  Q ${\displaystyle \not \leftrightarrow }$${\displaystyle \not \equiv }$ พีคิวพี คิวพีคิวเจพีคิว${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \not \leftrightarrow }$${\displaystyle \neg }$   คิว 0 1 พี 0    0   1  1    1   0

เนื่องจากฟังก์ชันสามารถแสดงได้ในรูปของการประกอบกันดังนั้นแคลคูลัสเชิงตรรกะแบบฟังก์ชันความจริงจึงไม่จำเป็นต้องมีสัญลักษณ์เฉพาะสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นเพื่อให้สมบูรณ์ในเชิง ฟังก์ชัน สิ่งนี้แสดงออกในแคลคูลัสเชิงประพจน์ในรูปของความสมมูลเชิงตรรกะของประโยคประกอบบางอย่าง ตัวอย่างเช่น ตรรกะแบบคลาสสิกมี¬ P ∨ Qที่เทียบเท่ากับP → Qดังนั้นตัวดำเนินการเงื่อนไข "→" จึงไม่จำเป็นสำหรับระบบตรรกะ แบบคลาสสิก หากมีการใช้ "¬" (ไม่ใช่) และ "∨" (หรือ) อยู่แล้ว

ชุด ตัวดำเนินการ ขั้นต่ำที่สามารถแสดงข้อความทุกข้อความที่สามารถแสดงได้ในแคลคูลัสเชิงประพจน์เรียกว่าชุดตัวดำเนินการที่สมบูรณ์ขั้นต่ำเชิงฟังก์ชันชุดตัวดำเนินการที่สมบูรณ์ขั้นต่ำได้มาจากการใช้ NAND เพียงอย่างเดียว {↑} และ NOR เพียงอย่างเดียว {↓}

ต่อไปนี้คือชุดตัวดำเนินการที่มีฟังก์ชันการทำงานครบถ้วนขั้นต่ำซึ่งจำนวนอาร์กิวเมนต์ไม่เกิน 2: ^{[ 5 ]}

องค์ประกอบหนึ่ง

{↑}, {↓}.

สององค์ประกอบ

${\displaystyle \{\vee ,\neg \}}$, , , , , , , , , , , , , , , , .​${\displaystyle \{\wedge ,\neg \}}$${\displaystyle \{\to ,\neg \}}$${\displaystyle \{\gets ,\neg \}}$${\displaystyle \{\to ,\bot \}}$${\displaystyle \{\gets ,\bot \}}$${\displaystyle \{\to ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\gets ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\to ,\nrightarrow \}}$${\displaystyle \{\to ,\nleftarrow \}}$${\displaystyle \{\gets ,\nrightarrow \}}$${\displaystyle \{\gets ,\nleftarrow \}}$${\displaystyle \{\nrightarrow ,\neg \}}$${\displaystyle \{\nleftarrow ,\neg \}}$${\displaystyle \{\nrightarrow ,\top \}}$${\displaystyle \{\nleftarrow ,\top \}}$${\displaystyle \{\nrightarrow ,\leftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\nleftarrow ,\leftrightarrow \}}$

สามองค์ประกอบ

${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\bot \}}$, , , , , .${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\lor ,\nleftrightarrow ,\top \}}$${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\bot \}}$${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\land ,\nleftrightarrow ,\top \}}$

ฟังก์ชันความจริงบางฟังก์ชันมีคุณสมบัติที่สามารถแสดงออกมาได้ในทฤษฎีบทที่ประกอบด้วยตัวเชื่อมตรรกะที่เกี่ยวข้อง คุณสมบัติบางประการที่ฟังก์ชันความจริงแบบไบนารี (หรือตัวเชื่อมตรรกะที่เกี่ยวข้อง) อาจมี ได้แก่:

• ความสัมพันธ์แบบสมาคม : ในนิพจน์ที่มีตัวเชื่อมความสัมพันธ์แบบสมาคมเดียวกันสองตัวขึ้นไปเรียงติดกัน ลำดับของการดำเนินการไม่สำคัญ ตราบใดที่ลำดับของตัวถูกดำเนินการไม่เปลี่ยนแปลง
• คุณสมบัติการสลับที่ได้ : ตัวถูกดำเนินการของตัวเชื่อมสามารถสลับกันได้โดยไม่ส่งผลต่อค่าความจริงของนิพจน์
• คุณสมบัติการกระจายตัว : ตัวเชื่อมที่แสดงด้วย · จะกระจายตัวเหนือตัวเชื่อมที่แสดงด้วย + ถ้า a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) สำหรับตัวถูกดำเนินการ a , b , cทั้งหมด
• เอกภาวะคงที่ (Idempotence ): เมื่อใดก็ตามที่ตัวถูกดำเนินการเหมือนกัน ตัวเชื่อมจะให้ตัวถูกดำเนินการนั้นเป็นผลลัพธ์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การดำเนินการนั้นรักษาทั้งความจริงและความเท็จ (ดูด้านล่าง)
• การดูดกลืน : คู่ตัวเชื่อมจะสอดคล้องกับกฎการดูดกลืนก็ต่อเมื่อสำหรับ ตัวถูกดำเนินการ aและ bทั้งหมด${\displaystyle \land ,\lor }$${\displaystyle a\land (a\lor b)=a\lor (a\land b)=a}$

เซตของฟังก์ชันความจริงจะสมบูรณ์ในเชิงฟังก์ชันก็ต่อเมื่อสำหรับคุณสมบัติทั้งห้าข้อต่อไปนี้ เซตดังกล่าวต้องมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ขาดคุณสมบัตินั้น:

• โมโนโทนิก : ถ้า f ( a ₁ , ..., a _n ) ≤ f ( b ₁ , ..., b _n )สำหรับทุก a ₁ , ..., a _n , b ₁ , ..., b _n ∈ {0,1} โดยที่ a ₁ ≤ b ₁ , a ₂ ≤ b ₂ , ..., a _n ≤ b _n เช่น .${\displaystyle \vee ,\wedge ,\top ,\bot }$
• เชิงเส้นตรง (affine) : สำหรับแต่ละตัวแปร การเปลี่ยนค่าของตัวแปรนั้น จะไม่เปลี่ยนค่าความจริงของการดำเนินการเสมอไป หรือไม่เปลี่ยนเลย สำหรับค่าคงที่ทั้งหมดของตัวแปรอื่นๆ เช่น, .${\displaystyle \neg ,\leftrightarrow }$${\displaystyle \not \leftrightarrow ,\top ,\bot }$
• สมมาตรตัวเอง : การอ่านค่าความจริงของการดำเนินการจากบนลงล่างในตารางความจริง นั้น เหมือนกับการหาค่าผกผันของการอ่านจากล่างขึ้นบน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือf (¬ a ₁ , ..., ¬ a _n ) = ¬ f ( a ₁ , ..., a _n ) ตัวอย่างเช่น${\displaystyle \neg }$
• รักษาค่าความจริง : การตีความที่กำหนดค่าความจริงเป็นจริง ให้กับตัวแปรทั้งหมด จะทำให้ได้ค่าความจริงเป็นจริงจากการดำเนินการเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น(ดูความถูกต้อง )${\displaystyle \vee ,\wedge ,\top ,\rightarrow ,\leftrightarrow ,\subset }$
• การรักษาความเท็จ : การตีความที่กำหนดค่าความจริงเป็นเท็จ ให้กับตัวแปรทั้งหมด จะทำให้ได้ค่าความจริงเป็นเท็จจากการดำเนินการเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น(ดูความถูกต้อง )${\displaystyle \vee ,\wedge ,\nleftrightarrow ,\bot ,\not \subset ,\not \supset }$

ฟังก์ชันที่เป็นรูปธรรมอาจเรียกได้ว่าเป็นตัวดำเนินการในตรรกะสองค่า มีตัวดำเนินการศูนย์ (ค่าคงที่) 2 ตัว ตัวดำเนินการเอกภาค 4 ตัว ตัวดำเนินการทวิภาค 16 ตัว ตัว ดำเนินการไตรภาค 256 ตัว และ ตัวดำเนินการ nภาค ในตรรกะสามค่า มีตัวดำเนินการศูนย์ (ค่าคงที่) 3 ตัว ตัวดำเนินการเอกภาค 27 ตัว ตัว ดำเนินการทวิภาค 19683 ตัว ตัวดำเนินการไตรภาค 7625597484987 ตัว และ ตัวดำเนินการ n ภาค ใน ตรรกะ kค่า มีตัวดำเนินการศูนย์kตัว ตัวดำเนินการเอกภาคk ตัว ตัว ดำเนินการทวิภาค k ตัว ตัวดำเนินการไตรภาค kตัว และตัวดำเนินการn ภาค ตัวดำเนินการ n ภาคใน ตรรกะ kค่า คือฟังก์ชันจากดังนั้น จำนวนตัวดำเนินการดังกล่าวคือซึ่งเป็นที่มาของตัวเลขข้างต้น ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$${\displaystyle 3^{3^{n}}}$${\displaystyle k^{k}}$${\displaystyle k^{k^{2}}}$${\displaystyle k^{k^{3}}}$${\displaystyle k^{k^{n}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{k}^{n}\to \mathbb {Z} _{k}}$${\displaystyle |\mathbb {Z} _{k}|^{|\mathbb {Z} _{k}^{n}|}=k^{k^{n}}}$

อย่างไรก็ตาม ตัวดำเนินการบางตัวที่มีจำนวนอาร์กิวเมนต์เฉพาะนั้น แท้จริงแล้วเป็นรูปแบบที่เสื่อมสภาพ ซึ่งจะทำการดำเนินการที่มีจำนวนอาร์กิวเมนต์น้อยกว่ากับอินพุตบางส่วน และละเลยอินพุตที่เหลือ ในบรรดาตัวดำเนินการบูลีนแบบไตรภาค 256 ตัวที่กล่าวถึงข้างต้น มีบางส่วนที่เป็นรูปแบบที่เสื่อมสภาพของตัวดำเนินการแบบทวิภาคหรือตัวดำเนินการที่มีจำนวนอาร์กิวเมนต์น้อยกว่า โดยใช้หลักการรวมและการแยก ตัวดำเนินการแบบไตรภาคเป็นหนึ่งในตัวดำเนินการดังกล่าว ซึ่งแท้จริงแล้วเป็นตัวดำเนินการแบบเอกภาคที่ใช้กับอินพุตหนึ่งตัว และละเลยอินพุตอีกสองตัว ${\displaystyle {\binom {3}{2}}\cdot 16-{\binom {3}{1}}\cdot 4+{\binom {3}{0}}\cdot 2}$${\displaystyle f(x,y,z)=\lnot x}$

"ไม่ใช่"เป็นตัวดำเนินการเอกภาค (unary operator) ซึ่งรับพจน์เดียว (¬ P ) ส่วนตัวดำเนินการอื่นๆ เป็นตัวดำเนินการทวิภาค (binary operator)ซึ่งรับสองพจน์เพื่อสร้างประโยคประกอบ ( P ∧ Q , P ∨ Q , P → Q , P ↔ Q )

เซตของตัวดำเนินการตรรกะΩสามารถแบ่งออกเป็นเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกันได้ดังนี้:

${\displaystyle \Omega =\Omega _{0}\cup \Omega _{1}\cup \ldots \cup \Omega _{j}\cup \ldots \cup \Omega _{m}\,.}$

ในพาร์ ติ ชันนี้คือเซตของสัญลักษณ์ตัวดำเนินการที่มีอาร์กิวเมนต์ j${\displaystyle \Omega _{j}}$

ในระบบแคลคูลัสเชิงประพจน์ที่คุ้นเคยกันดีนั้นโดยทั่วไปจะแบ่งออกเป็นดังนี้: ${\displaystyle \Omega }$

ตัวดำเนินการศูนย์:${\displaystyle \Omega _{0}=\{\bot ,\top \}}$

ตัวดำเนินการเอกภาค:${\displaystyle \Omega _{1}=\{\lnot \}}$

ตัวดำเนินการไบนารี:${\displaystyle \Omega _{2}\supset \{\land ,\lor ,\rightarrow ,\leftrightarrow \}}$

แทนที่จะใช้ตารางค่าความจริงสัญลักษณ์เชื่อมโยงทางตรรกะสามารถตีความได้โดยใช้ฟังก์ชันการตีความและชุดฟังก์ชันความจริงที่สมบูรณ์ในเชิงฟังก์ชัน (Gamut 1991) ดังที่อธิบายไว้ในหลักการของการประกอบความหมาย ให้Iเป็นฟังก์ชันการตีความ ให้Φ และ Ψเป็นประโยคสองประโยคใดๆ และให้ฟังก์ชันความจริงf _nandถูกกำหนดดังนี้:

• f _nand (T,T) = F; f _nand (T,F) = f _nand (F,T) = f _nand (F,F) = T

เพื่อความสะดวก เราจึง กำหนด f _not , f _or f _andและอื่นๆ โดยใช้f _nand :

• f _not ( x ) = f _nand ( x , x )
• f _or ( x , y ) = f _nand ( f _not ( x ), f _not ( y ))
• f _และ ( x , y ) = f _{ไม่ใช่} ( f _nand ( x , y ))

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง_{f ไม่ใช่ f หรือ}f _และอื่นๆจะ_ถูกกำหนดโดยตรง:

• f _ไม่ (T) = F; f _ไม่ (F) = T;
• สำหรับ (T,T) = สำหรับ (T,F) = _{สำหรับ} (F,T) = T; _{สำหรับ}( _F ,F) ₌ F
• f _และ (T,T) = T; f _และ (T,F) = f _และ (F,T) = f _และ (F,F) = F

แล้ว

เป็นต้น

ดังนั้น ถ้าSเป็นประโยคที่เป็นสตริงของสัญลักษณ์ที่ประกอบด้วยสัญลักษณ์ตรรกะv ₁ ... v _nซึ่งแทนตัวเชื่อมตรรกะ และสัญลักษณ์ที่ไม่ใช่ตรรกะc ₁ ... c _nแล้ว ก็ต่อเมื่อI ( v ₁ )... I ( v _n )ได้รับการกำหนดไว้แล้ว โดยตีความv ₁ไปเป็นv _nโดยใช้f _nand (หรือชุดฟังก์ชันความจริงที่สมบูรณ์อื่นๆ) แล้ว ค่าความจริงของ⁠ ⁠${\displaystyle I(s)}$จะถูกกำหนดโดยค่าความจริงของc ₁ ... c _n เท่านั้น กล่าวคือ โดยI ( c ₁ )... I ( c _n )กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตามที่คาดหวังและต้องการSจะเป็นจริงหรือเท็จก็ต่อเมื่ออยู่ภายใต้การตีความของสัญลักษณ์ที่ไม่ใช่ตรรกะทั้งหมดเท่านั้น

โดยใช้ฟังก์ชันที่กำหนดไว้ข้างต้น เราสามารถให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันความจริงของข้อเสนอได้^{[ 6 ]}

ให้PROPเป็นเซตของตัวแปรเชิงประพจน์ทั้งหมด

${\displaystyle PROP=\{p_{1},p_{2},\dots \}}$

เรากำหนดให้การกำหนดค่าความจริงคือฟังก์ชันใดๆ ก็ได้ดังนั้น การกำหนดค่าความจริงจึงเป็นการเชื่อมโยงตัวแปรเชิงประพจน์แต่ละตัวกับค่าความจริงเฉพาะค่าหนึ่ง ซึ่งในทางปฏิบัติแล้วก็เหมือนกับการกำหนดแถวใดแถวหนึ่งในตารางความจริงของประพจน์นั้น ${\displaystyle \phi :PROP\to \{T,F\}}$

สำหรับการกำหนดค่าความจริงเรากำหนดการกำหนดค่าความจริงแบบขยายดังต่อไปนี้ ซึ่งขยายไปสู่ฟังก์ชันใหม่ที่มีโดเมนเท่ากับเซตของสูตรเชิงประพจน์ทั้งหมด ช่วงของยังคงเป็น ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$${\displaystyle \{T,F\}}$

1. ถ้าเช่นนั้น...${\displaystyle A\in PROP}$${\displaystyle {\overline {\phi }}(A)=\phi (A)}$
2. ถ้าAและBเป็นสูตรเชิงประพจน์ใดๆ แล้ว
   1. ${\displaystyle {\overline {\phi }}(\neg A)=f_{\text{not}}({\overline {\phi }}(A))}$.
   2. ${\displaystyle {\overline {\phi }}(A\land B)=f_{\text{and}}({\overline {\phi }}(A),{\overline {\phi }}(B))}$.
   3. ${\displaystyle {\overline {\phi }}(A\lor B)=f_{\text{or}}({\overline {\phi }}(A),{\overline {\phi }}(B))}$.
   4. ${\displaystyle {\overline {\phi }}(A\to B)={\overline {\phi }}(\neg A\lor B)}$.
   5. ${\displaystyle {\overline {\phi }}(A\leftrightarrow B)={\overline {\phi }}((A\to B)\land (B\to A))}$.

สุดท้ายนี้ เมื่อเราได้นิยามการกำหนดค่าความจริงแบบขยายแล้ว เราสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อกำหนดฟังก์ชันความจริงของประพจน์ได้ สำหรับประพจน์A ฟังก์ชันความจริงของมัน, , มีโดเมนเท่ากับเซตของการกำหนดค่าความจริงทั้งหมด และเรน จ์ เท่ากับ${\displaystyle f_{A}}$${\displaystyle \{T,F\}}$

ค่านี้จะถูกกำหนดสำหรับแต่ละการกำหนดค่าความจริงโดย ค่าที่กำหนดโดย จะเหมือนกับค่าที่แสดงในคอลัมน์สุดท้ายของตารางความจริงของAในแถวที่ระบุด้วย ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f_{A}(\phi )={\overline {\phi }}(A)}$${\displaystyle {\overline {\phi }}(A)}$${\displaystyle \phi }$

ตัวดำเนินการทางตรรกะถูกนำไปใช้ในรูปของเกตตรรกะในวงจรดิจิทัลโดยพื้นฐานแล้ววงจรดิจิทัลเกือบทั้งหมด (ยกเว้นDRAM ) สร้างขึ้นจาก เกต NAND , NOR , NOTและเกตส่งผ่านเกต NAND และ NOR ที่มีอินพุต 3 ตัวขึ้นไป แทนที่จะเป็น 2 อินพุตตามปกติ ค่อนข้างพบได้ทั่วไป แม้ว่าจะมีค่าทางตรรกะเทียบเท่ากับการเรียงต่อกันของเกตที่มีอินพุต 2 ตัวก็ตาม ตัวดำเนินการอื่นๆ ทั้งหมดถูกนำไปใช้โดยการแยกย่อยออกเป็นส่วนประกอบที่มีค่าทางตรรกะเทียบเท่ากันของเกตตรรกะข้างต้น 2 ตัวขึ้นไป

"ความสมมูลเชิงตรรกะ" ของ "NAND เพียงอย่างเดียว", "NOR เพียงอย่างเดียว" และ "NOT และ AND" นั้นคล้ายคลึงกับความสมมูลของทัวริง

ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันความจริงทั้งหมดสามารถแสดงได้ด้วย NOR เพียงอย่างเดียวได้รับการพิสูจน์แล้วโดยคอมพิวเตอร์นำทางอะพอลโล

• Józef Maria Bocheński (1959), บทสรุปตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ , แปลจากฉบับภาษาฝรั่งเศสและเยอรมันโดย Otto Bird, Dordrecht, South Holland: D. Reidel.
• Alonzo Church (1944), Introduction to Mathematical Logic , Princeton, NJ: Princeton University Press. ดูบทนำสำหรับประวัติความเป็นมาของแนวคิดฟังก์ชันความจริง