แบบจำลองไอซิงวิกฤตสองมิติคือขีดจำกัดวิกฤตของแบบจำลองไอซิงในสองมิติ เป็น ทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอ ล สองมิติที่มีพีชคณิตสมมาตรเป็นพีชคณิตวิราโซโรที่มีประจุกลางฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของตัวดำเนินการสปินและพลังงานอธิบายได้ด้วยแบบจำลองขั้นต่ำแม้ว่าแบบจำลองขั้นต่ำจะได้รับการแก้ไขอย่างแม่นยำแล้ว (ดูเลขชี้กำลังวิกฤตของไอซิง ) แต่คำตอบนั้นไม่ครอบคลุมตัวแปรสังเกตอื่นๆ เช่น การเชื่อมต่อของกลุ่มคลัสเตอร์ ${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle (4,3)}$

ตารางKacของแบบจำลองขั้นต่ำมีดังนี้: ${\displaystyle (4,3)}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}}$

หมายความว่าพื้นที่ของสถานะถูกสร้างขึ้นโดยสถานะหลักสามสถานะซึ่งสอดคล้องกับฟิลด์หรือตัวดำเนินการหลักสามตัว: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}\hline {\text{ดัชนีตาราง Kac}}&{\text{มิติ}}&{\text{ฟิลด์หลัก}}&{\text{ชื่อ}}\\\hline (1,1){\text{ หรือ }}(3,2)&0&\mathbf {1} &{\text{เอกลักษณ์}}\\(2,1){\text{ หรือ }}(2,2)&{\frac {1}{16}}&\sigma &{\text{สปิน}}\\(1,2){\text{ หรือ }}(3,1)&{\frac {1}{2}}&\epsilon &{\text{พลังงาน}}\\\hline \end{array}}}$

การแยกส่วนของปริภูมิสถานะออกเป็นตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของผลคูณของพีชคณิตวิราโซโรที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายและขวาคือ

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {R}__{0}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{0}\oplus {\mathcal {R}__{\frac {1}{16}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}__{\frac {1}{16}}\oplus {\mathcal {R}__{\frac {1}{2}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}__{\frac {1}{2}}}$

โดยที่คือการแสดงแทนน้ำหนักสูงสุดที่ไม่สามารถลดทอนได้ของพีชคณิต Virasoro ที่มีมิติเชิงคอนฟอร์มัลโดยเฉพาะอย่างยิ่ง แบบจำลอง Ising เป็นแบบทแยงมุมและเอกภาพ ${\displaystyle {\mathcal {R}__{\Delta }}$${\displaystyle \Delta }$

อักขระ ของการ แสดงแทนทั้งสามของพีชคณิต Virasoro ที่ปรากฏในปริภูมิของสถานะคือ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{0}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+1)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+7)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0|q)}}+{\sqrt {\theta _{4}(0|q)}}\right)\\\chi _{\frac {1}{16}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+2)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+10)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\eta (q)}}}{\sqrt {\theta _{2}(0|q)}}\\\chi _{\frac {1}{2}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+5)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+11)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0|q)}}-{\sqrt {\theta _{4}(0|q)}}\right)\end{aligned}}}$

โดยที่ฟังก์ชัน Dedekind etaและฟังก์ชันthetaของ nome เช่นเมทริกซ์ S แบบโมดูลาร์นั่นคือเมทริก ซ์ที่ ^{[ 1 ]}${\displaystyle \eta (q)}$${\displaystyle \theta _{i}(0|q)}$${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$${\displaystyle \theta _{3}(0|q)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{\frac {n^{2}}{2}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \chi _{i}(-{\tfrac {1}{\tau }})=\sum _{j}{\mathcal {S}}_{ij}\chi _{j}(\tau )}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{ccc}1&1&{\sqrt {2}}\\1&1&-{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0\end{array}}\right)}$

โดยที่ฟิลด์ต่างๆ เรียงลำดับดังนี้ฟังก์ชัน การแบ่งพาร์ติชัน แบบโมดูลาร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงคือ ${\displaystyle 1,\epsilon ,\sigma }$

${\displaystyle Z(q)=\left|\chi _{0}(q)\right|^{2}+\left|\chi _{\frac {1}{16}}(q)\right|^{2}+\left|\chi _{\frac {1}{2}}(q)\right|^{2}={\frac {|\theta _{2}(0|q)|+|\theta _{3}(0|q)|+|\theta _{4}(0|q)|}{2|\eta (q)|}}}$

กฎการหลอมรวมของแบบจำลองมีดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} \times \mathbf {1} &=\mathbf {1} \\\mathbf {1} \times \sigma &=\sigma \\\mathbf {1} \times \epsilon &=\epsilon \\\sigma \times \sigma &=\mathbf {1} +\epsilon \\\sigma \times \epsilon &=\sigma \\\epsilon \times \epsilon &=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

กฎการหลอมรวมไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรค่าคงที่โครงสร้างสามจุดคือ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \sigma \to -\sigma }$

${\displaystyle C_{\mathbf {1} \mathbf {1} \mathbf {1} }=C_{\mathbf {1} \epsilon \epsilon }=C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }=1\quad ,\quad C_{\sigma \sigma \epsilon }={\frac {1}{2}}}$

เมื่อทราบกฎการหลอมรวมและค่าคงที่โครงสร้างสามจุดแล้ว ก็สามารถเขียนการขยายผลคูณตัวดำเนินการได้ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (z)\sigma (0)&=|z|^{2\Delta _{\mathbf {1} }-4\Delta _{\sigma }}C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+|z|^{2\Delta _{\epsilon }-4\Delta _{\sigma }}C_{\sigma \sigma \epsilon }{\Big (}\epsilon (0)+O(z){\Big )}\\&=|z|^{-{\frac {1}{4}}}{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+{\frac {1}{2}}|z|^{\frac {3}{4}}{\Big (}\epsilon (0)+O(z){\Big )}\end{aligned}}}$

โดยที่มิติเชิงคอนฟอร์มอลของฟิลด์หลักและเทอมที่ถูกละเว้นคือส่วนประกอบของฟิลด์ที่สืบทอดมา ${\displaystyle \Delta _{\mathbf {1} },\Delta _{\sigma },\Delta _{\epsilon }}$${\displaystyle O(z)}$

ฟังก์ชันหนึ่งจุด สองจุด และสามจุดใดๆ ของฟิลด์หลักถูกกำหนดโดยสมมาตรเชิงคอนฟอร์มัลโดยมีค่าคงที่ตัวคูณ ค่าคงที่นี้ถูกตั้งให้เป็นหนึ่งสำหรับฟังก์ชันหนึ่งจุดและสองจุดโดยการเลือกการทำให้เป็นมาตรฐานของฟิลด์ ปริมาณไดนามิกที่ไม่ธรรมดาเพียงอย่างเดียวคือค่าคงที่โครงสร้างสามจุด ซึ่งได้กล่าวไว้ข้างต้นในบริบทของการขยายผลคูณตัวดำเนินการ

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\right\rangle =0\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\right\rangle =|z_{12}|^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\right\rangle =|z_{12}|^{-2}}$

กับ. ${\displaystyle z_{ij}=z_{i}-z_{j}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =|z_{12}|^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =|z_{12}|^{-2}}$

${\displaystyle \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\epsilon (z_{3})\right\rangle ={\frac {1}{2}}|z_{12}|^{\frac {3}{4}}|z_{13}|^{-1}|z_{23}|^{-1}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {1} \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \mathbf {1} \sigma \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \epsilon \rangle =\langle \sigma \sigma \sigma \rangle =\langle \epsilon \epsilon \epsilon \rangle =0}$

ฟังก์ชันสี่จุดที่ไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดาทั้งสามฟังก์ชันมีรูปแบบดังนี้สำหรับฟังก์ชันสี่จุดให้และเป็นบล็อกคอนฟอร์มอล Virasoro ของ ช่อง s และ t ตาม ลำดับ ซึ่งสอดคล้องกับการมีส่วนร่วมของ(และลูกหลานของมัน) ในการขยายผลคูณตัวดำเนินการและของ(และลูกหลานของมัน) ในการขยายผลคูณตัวดำเนินการให้ เป็นอัตราส่วน ไขว้${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle ,\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle ,\langle \epsilon ^{4}\rangle }$${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}^{(s)}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}^{(t)}}$${\displaystyle V_{j}(z_{2})}$${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})}$${\displaystyle V_{j}(z_{4})}$${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{4}(z_{4})}$${\displaystyle x={\frac {z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}}}$

ในกรณีของกฎการหลอมรวมอนุญาตให้มีฟิลด์หลักเพียงฟิลด์เดียวในทุกช่องทาง นั่นคือฟิลด์เอกลักษณ์^{[ 2 ]}${\displaystyle \langle \epsilon ^{4}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \epsilon ^{4}\rangle =\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right|^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}=\left[\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{3}}}\right]{\frac {1-x+x^{2}}{x^{\frac {2}{3}}(1-x)^{\frac {2}{3}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1}{x(1-x)}}-1\end{aligned}}}$

ในกรณีของกฎการหลอมรวมอนุญาตให้มีเฉพาะฟิลด์เอกลักษณ์ในช่อง s และฟิลด์สปินในช่อง t เท่านั้น^{[ 2 ]}${\displaystyle \langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle =\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}=C_{\sigma \sigma \epsilon }^{2}\left|{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}\right|^{2}={\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}\right|^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\frac {1}{2}}{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}=\left[z_{12}^{\frac {1}{4}}z_{34}^{-{\frac {5}{8}}}\left(z_{13}z_{24}z_{14}z_{23}\right)^{-{\frac {3}{16}}}\right]{\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {3}{8}}(1-x)^{\frac {5}{16}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{2}}}}\end{aligned}}}$

ในกรณีของกฎการหลอมรวมอนุญาตให้มีสนามหลักสองสนามในทุกช่องทาง ได้แก่ สนามเอกลักษณ์และสนามพลังงาน^{[ 2 ]}ในกรณีนี้ เราเขียนบล็อกคอนฟอร์มอลเฉพาะในกรณีเท่านั้น กรณีทั่วไปได้มาจากการแทรกตัวประกอบนำหน้าและระบุด้วยอัตราส่วนไขว้ ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle }$${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=(x,0,\infty ,1)}$${\displaystyle x^{\frac {1}{24}}(1-x)^{\frac {1}{24}}\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{24}}}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \sigma ^{4}\rangle &=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}+{\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}\right|^{2}=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right|^{2}+{\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}\right|^{2}\\&={\frac {|1+{\sqrt {x}}|+|1-{\sqrt {x}}|}{2|x|^{\frac {1}{4}}|1-x|^{\frac {1}{4}}}}\ {\underset {x\in (0,1)}{=}}\ {\frac {1}{|x|^{\frac {1}{4}}|1-x|^{\frac {1}{4}}}}\end{aligned}}}$

ในกรณีของบล็อกคอนฟอร์มอลคือ: ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {1-x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {1-x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}={\frac {{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}}{\sqrt {2}}}+{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}={\sqrt {2}}{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}-{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\end{aligned}}}$

จากการแสดงแบบจำลองในแง่ของเฟอร์มิออนของ Diracทำให้สามารถคำนวณฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของตัวดำเนินการสปินหรือพลังงานจำนวนใดก็ได้: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{2n}\epsilon (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left|\det \left({\frac {1}{z_{ij}}}\right)_{1\leq i\neq j\leq 2n}\right|^{2}}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{2n}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{\begin{array}{c}\epsilon _{i}=\pm 1\\\sum _{i=1}^{2n}\epsilon _{i}=0\end{array}}\prod _{1\leq i<j\leq 2n}|z_{ij}|^{\frac {\epsilon _{i}\epsilon _{j}}{2}}}$

สูตรเหล่านี้มีการสรุปทั่วไปสำหรับฟังก์ชันสหสัมพันธ์บนทอรัส ซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันทีตา^{[ 1 ]}

แบบจำลอง Ising สองมิติถูกแมปไปยังตัวมันเองโดยความเป็นคู่ของอุณหภูมิสูง-ต่ำ ภาพของตัวดำเนินการสปินภายใต้ความเป็นคู่นี้คือตัวดำเนินการความไม่เป็นระเบียบซึ่งมีมิติคอนฟอร์มอลซ้ายและขวาเหมือนกันแม้ว่าตัวดำเนินการความไม่เป็นระเบียบจะไม่ได้อยู่ในแบบจำลองขั้นต่ำ แต่ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการความไม่เป็นระเบียบสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น^{[ 1 ]}${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (\Delta _{\mu },{\bar {\Delta }}_{\mu })=(\Delta _{\sigma },{\bar {\Delta }}_{\sigma })=({\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{16}})}$

${\displaystyle \left\langle \sigma (z_{1})\mu (z_{2})\sigma (z_{3})\mu (z_{4})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}}}{\Big (}|x|+|1-x|-1{\Big )}}$

ในทางตรงกันข้าม

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\mu (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left\langle \prod _{i=1}^{4}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}}}{\Big (}|x|+|1-x|+1{\Big )}}$

แบบจำลอง Ising มีคำอธิบายว่าเป็นแบบจำลองคลัสเตอร์แบบสุ่มโดย Fortuin และ Kasteleyn ในคำอธิบายนี้ ตัวแปรที่สังเกตได้ตามธรรมชาติคือการเชื่อมต่อของคลัสเตอร์ กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่จุดจำนวนหนึ่งอยู่ในคลัสเตอร์เดียวกัน แบบจำลอง Ising จึงสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีของแบบจำลอง Potts แบบ n-state ซึ่งพารามิเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างต่อเนื่อง และมีความสัมพันธ์กับประจุกลางของพีชคณิต Virasoro${\displaystyle q=2}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

ในขีดจำกัดวิกฤต การเชื่อมต่อของกลุ่มคลัสเตอร์มีพฤติกรรมเดียวกันภายใต้การแปลงคอนฟอร์มอลเช่นเดียวกับฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของตัวดำเนินการสปิน อย่างไรก็ตาม การเชื่อมต่อไม่ได้ตรงกับฟังก์ชันสหสัมพันธ์สปิน ตัวอย่างเช่น การเชื่อมต่อสามจุดไม่เป็นศูนย์ ในขณะที่มีการเชื่อมต่อสี่จุดที่เป็นอิสระสี่แบบ และผลรวมของพวกมันตรงกับ[ ^{3 ] การ}รวมกันของการเชื่อมต่อสี่จุดอื่นๆ ยังไม่เป็นที่รู้จักในเชิงวิเคราะห์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกมันไม่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของแบบจำลองขั้นต่ำ^{[ 4 ]}แม้ว่าพวกมันจะเกี่ยวข้องกับขีดจำกัดของตัวสหสัมพันธ์สปินในแบบจำลอง Potts สถานะ^{[ 3 ]}${\displaystyle \langle \sigma \sigma \sigma \rangle =0}$${\displaystyle \langle \sigma \sigma \sigma \sigma \rangle }$${\displaystyle q\to 2}$${\displaystyle q}$