ฟังก์ชันทีต้าของจาโคบีθ 1 q = e i π τ e 0.1 i π θ 1 ( z , q ) = 2 q 1 4 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n + 1 ) sin ( 2 n + 1 ) z = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n − 1 2 q ( n + 1 2 ) 2 e ( 2 n + 1 ) i z . {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z,q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)z\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iz}.\end{aligned}}} ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันทีตา เป็นฟังก์ชันพิเศษ ของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัว โดยพื้นฐานแล้ว ฟังก์ชันทีตาเป็นกลุ่มของ ฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ที่เข้ารหัสพฤติกรรมของ ระบบ คาบ หลายมิติแบบไม่ต่อเนื่อง เช่นโครงสร้างผลึก หรือจุดบนทอรัส เนื่องจากฟังก์ชันทีตามีความเรียบ จึงช่วยให้สามารถศึกษาและจัดการระบบเชิงผสมแบบไม่ต่อเนื่องโดยใช้เครื่องมือวิเคราะห์ ได้
ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันทีต้าจึงมีประโยชน์ในการประยุกต์ใช้ในหัวข้อต่างๆ เช่น
ทฤษฎีจำนวน : "จำนวนหนึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมของกำลังสองได้กี่วิธี?"ฟิสิกส์ : "ความร้อนไหลผ่านวงแหวนทอรอยด์ได้อย่างไร?", "อนุภาคควอนตัมมีพฤติกรรมอย่างไรเมื่อจัดเรียงอยู่ในโครงสร้างตาข่าย?"เรขาคณิต : "รูปทรงของเส้นโค้งวงรี มีคุณสมบัติอะไรบ้าง ?"และอื่นๆ รวมถึงวาไรตี้อาเบเลียน ปริภูมิโมดูลัส รูปแบบกำลังสอง และโซลิ ตอน
ฟังก์ชันธีตาในสองมิติเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนสองตัว ตัวอย่างเช่น การเลือกพารามิเตอร์หนึ่งตัวจะเข้ารหัสตำแหน่งบนแลตทิซสองมิติ และ/หรือเข้ารหัสรูปร่างของแลตทิซ ในมิติที่สูงกว่า รูปร่างของแลตทิซจะถูกกำหนดโดยเมทริกซ์ โดยทั่วไป ฟังก์ชันธีตาจะถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยจุดในโดเมนท่อ ภายใน Lagrangian Grassmannian เชิงซ้อน[ 1 ] ซึ่ง ก็ พื้นที่ครึ่งบนของ Siegel z {\displaystyle z} τ {\displaystyle \tau } q {\displaystyle q}
ตัวอย่างพื้นฐาน ตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันทีต้าคือ
θ ( z , q ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 exp ( 2 π i n z ) {\displaystyle \theta (z,q)\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\exp {(2\pi inz)}} โดยที่และเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเพื่อให้ผลรวมลู่เข้า z {\displaystyle z} q {\displaystyle q} | q | < 1 {\displaystyle |q|<1}
ฟังก์ชันวิเคราะห์ นี้สามารถใช้แก้ ปัญหา ทางคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงได้ กล่าวคือ สามารถเขียนจำนวนเต็มให้เป็นผลรวมของกำลังสองสองจำนวนได้กี่วิธี เมื่อเราจะได้ z = 0 {\displaystyle z=0}
θ ( 0 , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 = 1 + 2 q + 2 q 4 + 2 q 9 + … + 2 q n 2 + … {\displaystyle \theta (0,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+\ldots +2q^{n^{2}}+\ldots } นี่คือฟังก์ชันก่อกำเนิด โดยที่สัมประสิทธิ์ของแสดงถึงจำนวนวิธีในการเขียนให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์: เมื่อจะมีเพียงวิธีเดียว เมื่อเป็นกำลังสองสมบูรณ์อื่น ๆ จะมีสองวิธี: เมื่อไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ จะไม่มีวิธีใดเลย q k {\displaystyle q^{k}} k {\displaystyle k} k = 0 {\displaystyle k=0} k {\displaystyle k} n 2 = ( − n ) 2 {\displaystyle n^{2}=(-n)^{2}} k {\displaystyle k}
เมื่อยกกำลังสองฟังก์ชันก่อกำเนิดนี้ เราจะได้
θ ( 0 , q ) 2 = ( ∑ m q m 2 ) ( ∑ n q n 2 ) = ∑ m , n q m 2 + n 2 {\displaystyle \theta (0,q)^{2}={\Bigl (}\sum _{m}q^{m^{2}}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{n}q^{n^{2}}{\Bigr )}=\sum _{m,n}q^{m^{2}+n^{2}}} เมื่อรวบรวมพจน์ตามเลขชี้กำลัง เราพบว่าเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด โดยที่สัมประสิทธิ์ของนับจำนวนวิธีในการเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองสองจำนวนใดๆ การนับนี้รวมถึงจำนวนเต็มลบและลำดับ เช่น, , และ: แต่ละค่า นับเป็นวิธีการแยกกันในการสร้าง θ ( 0 , q ) 2 {\displaystyle \theta (0,q)^{2}} q k {\displaystyle q^{k}} k {\displaystyle k} ( 3 , 4 ) {\displaystyle (3,4)} ( 4 , 3 ) {\displaystyle (4,3)} ( − 3 , 4 ) {\displaystyle (-3,4)} 3 2 + 4 2 = 25 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=25}
การประยุกต์ใช้กับฟังก์ชันเชิงวงรี ฟังก์ชันธีตาพบได้บ่อยที่สุดในทฤษฎีฟังก์ชันเชิงวงรี เมื่อเทียบกับตัวแปรเชิงซ้อนตัวใดตัวหนึ่งฟังก์ชันธีตาจะมีคุณสมบัติที่แสดงพฤติกรรมของมันโดยสัมพันธ์กับการบวกคาบของฟังก์ชันเชิงวงรีที่เกี่ยวข้อง ทำให้มันเป็นฟังก์ชันกึ่งคาบ ในเชิงนามธรรม ความเป็นกึ่งคาบนี้มาจากคลาสโคฮอโมโลยี ของบันเดิลเส้นบนทอรัสเชิงซ้อน ซึ่ง เป็นเงื่อนไขของการสืบ เนื่อง z {\displaystyle z}
การตีความฟังก์ชันทีตาอย่างหนึ่งเมื่อพิจารณาสมการความร้อนคือ "ฟังก์ชันทีตาเป็นฟังก์ชันพิเศษที่อธิบายวิวัฒนาการของอุณหภูมิบนโดเมนส่วนภายใต้เงื่อนไขขอบเขตบางประการ" [ 2 ]
ตลอดทั้งบทความนี้ควรตีความว่า(เพื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับการเลือกสาขา ) [ หมายเหตุ 1 ] ( e π i τ ) α {\displaystyle (e^{\pi i\tau })^{\alpha }} e α π i τ {\displaystyle e^{\alpha \pi i\tau }}
ฟังก์ชันเธต้าของจาโคบี มีฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดหลายฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชัน Jacobi theta และมีระบบการเขียนสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันและไม่เข้ากันหลายระบบ สำหรับฟังก์ชันเหล่านี้ ฟังก์ชัน Jacobi theta หนึ่ง ฟังก์ชัน (ตั้งชื่อตามCarl Gustav Jacob Jacobi ) เป็นฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับตัวแปรเชิงซ้อนสองตัวz และτ โดยที่z สามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ และτ คืออัตราส่วนครึ่งคาบ ซึ่ง จำกัดอยู่ในระนาบครึ่งบน หมายความว่ามีส่วนจินตนาการเป็นบวก ฟังก์ชันนี้กำหนดโดยสูตร
ϑ ( z ; τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ exp ( π i n 2 τ + 2 π i n z ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ q n 2 cos ( 2 π n z ) = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 η n {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos(2\pi nz)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}} โดยที่q = exp( πiτ )ค่าคงที่ และη = exp(2 πiz )รูปแบบของ Jacobi ข้อจำกัดนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าเป็น อนุกรมลู่ เข้าสัมบูรณ์ ที่ ค่า τ คงที่ นี่คืออนุกรมฟูริเยร์ สำหรับ ฟังก์ชันสมบูรณ์ แบบคาบ 1 ของz ดังนั้น ฟังก์ชันทีต้าจึงเป็นฟังก์ชันแบบคาบ 1 ในz :
ϑ ( z + 1 ; τ ) = ϑ ( z ; τ ) . {\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).} โดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ มันจึงเป็นτ- กึ่งคาบในz ด้วย เช่นกัน
ϑ ( z + τ ; τ ) = exp ( − π i ( τ + 2 z ) ) ϑ ( z ; τ ) . {\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=\exp {\bigl (}-\pi i(\tau +2z){\bigr )}\vartheta (z;\tau ).} ดังนั้น โดยทั่วไปแล้ว
ϑ ( z + a + b τ ; τ ) = exp ( − π i b 2 τ − 2 π i b z ) ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\vartheta (z;\tau )} สำหรับจำนวนเต็มa และb ใด ๆ
สำหรับค่าคงที่ใดๆฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันเอนไทร์บนระนาบเชิงซ้อน ดังนั้นตามทฤษฎีบทของ Liouville ฟังก์ชัน นี้จึงไม่สามารถเป็นคาบสองเท่าใน ได้เว้นแต่ว่ามันจะเป็นค่าคงที่ ดังนั้นสิ่งที่ดีที่สุดที่เราทำได้คือทำให้มันเป็นคาบในและเป็นกึ่งคาบใน อันที่จริง เนื่องจากและฟังก์ชันนี้จึงไม่มีขอบเขตตามที่ทฤษฎีบทของ Liouville กำหนดไว้ τ {\displaystyle \tau } 1 , τ {\displaystyle 1,\tau } 1 {\displaystyle 1} τ {\displaystyle \tau } | ϑ ( z + a + b τ ; τ ) ϑ ( z ; τ ) | = exp ( π ( b 2 ℑ ( τ ) + 2 b ℑ ( z ) ) ) {\displaystyle \left|{\frac {\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )}{\vartheta (z;\tau )}}\right|=\exp \left(\pi (b^{2}\Im (\tau )+2b\Im (z))\right)} ℑ ( τ ) > 0 {\displaystyle \Im (\tau )>0} ϑ ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta (z,\tau )}
ในความเป็นจริงแล้ว มันคือฟังก์ชันทั่วไปทั้งหมดที่มี 2 ช่วงเวลาเสมือน ในความหมายต่อไปนี้: [ 3 ]
ฟังก์ชันทีต้าθ 1 q = e iπτ q เปลี่ยนแปลง อย่างไรเมื่อ เทียบ กับ τ ฟังก์ชันทีต้าθ 1 q = e iπτ q เปลี่ยนแปลง อย่างไรเมื่อ เทียบ กับ τ
ฟังก์ชันเสริม ฟังก์ชันเธต้าของจาโคบีที่นิยามไว้ข้างต้น บางครั้งจะถูกพิจารณาร่วมกับฟังก์ชันเธต้าเสริมอีกสามฟังก์ชัน ในกรณีดังกล่าว จะเขียนโดยใช้เลขศูนย์สองตัวเป็นตัวห้อย:
ϑ 00 ( z ; τ ) = ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )} ฟังก์ชันเสริม (หรือฟังก์ชันครึ่งคาบ) ถูกกำหนดโดย
ϑ 01 ( z ; τ ) = ϑ ( z + 1 2 ; τ ) ϑ 10 ( z ; τ ) = exp ( 1 4 π i τ + π i z ) ϑ ( z + 1 2 τ ; τ ) ϑ 11 ( z ; τ ) = exp ( 1 4 π i τ + π i ( z + 1 2 ) ) ϑ ( z + 1 2 τ + 1 2 ; τ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}} สัญกรณ์นี้เป็นไปตามแบบของRiemann และMumford ; สูตรดั้งเดิมของJacobi นั้นใช้ในรูปของ นาม q = e iπτ τ ในสัญกรณ์ของ Jacobi ฟังก์ชัน θ จะเขียนดังนี้:
θ 1 ( z ; q ) = θ 1 ( π z , q ) = − ϑ 11 ( z ; τ ) θ 2 ( z ; q ) = θ 2 ( π z , q ) = ϑ 10 ( z ; τ ) θ 3 ( z ; q ) = θ 3 ( π z , q ) = ϑ 00 ( z ; τ ) θ 4 ( z ; q ) = θ 4 ( π z , q ) = ϑ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=\theta _{1}(\pi z,q)=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\theta _{2}(\pi z,q)=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\theta _{3}(\pi z,q)=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\theta _{4}(\pi z,q)=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}} จาโคบีเธต้า 1 จาโคบีเธต้า 2 จาโคบีเธต้า 3 จาโคบีเธต้า 4 คำจำกัดความของฟังก์ชันเธต้าของจาโคบีข้างต้นนั้นไม่ใช่คำจำกัดความเดียวที่มีอยู่ โปรดดูที่ฟังก์ชันเธต้าของจาโคบี (รูปแบบการเขียนสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน) สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม
ถ้าเรากำหนดให้z = 0τ เพียงสี่ฟังก์ชัน เท่านั้น ซึ่งกำหนดไว้บนระนาบครึ่งบน ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกว่า ฟังก์ชัน เธต้านัลเวิร์ต (Theta Nullwert functions) โดยอิงจากคำภาษาเยอรมันที่หมายถึงค่าศูนย์ เนื่องจากการตัดค่าด้านซ้ายในนิพจน์ฟังก์ชันเธต้าออกไป หรืออีกทางหนึ่ง เราจะได้ฟังก์ชันของq เพียงสี่ฟังก์ชัน เท่านั้น ซึ่งกำหนดไว้บนดิสก์หน่วย บางครั้งเรียกว่าค่าคงที่เธต้า (theta constants ) : [ หมายเหตุ 2 ] | q | < 1 {\displaystyle |q|<1}
ϑ 11 ( 0 ; τ ) = − θ 1 ( q ) = − ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n − 1 / 2 q ( n + 1 / 2 ) 2 ϑ 10 ( 0 ; τ ) = θ 2 ( q ) = ∑ n = − ∞ ∞ q ( n + 1 / 2 ) 2 ϑ 00 ( 0 ; τ ) = θ 3 ( q ) = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 ϑ 01 ( 0 ; τ ) = θ 4 ( q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{11}(0;\tau )&=-\theta _{1}(q)=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-1/2}q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}} โดยมีนาม q = e iπτ รูปแบบโมดูลาร์ ที่หลากหลายและเพื่อกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้งบางเส้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเอกลักษณ์ของจาโคบี คือ θ 1 ( q ) = 0 {\displaystyle \theta _{1}(q)=0}
θ 2 ( q ) 4 + θ 4 ( q ) 4 = θ 3 ( q ) 4 {\displaystyle \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4}} หรือเทียบเท่า
ϑ 01 ( 0 ; τ ) 4 + ϑ 10 ( 0 ; τ ) 4 = ϑ 00 ( 0 ; τ ) 4 {\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}} ซึ่งก็คือเส้นโค้งแฟร์มาต์ ระดับสี่
อัตลักษณ์ของจาโคบี เอกลักษณ์ของ Jacobi อธิบายว่าฟังก์ชัน theta เปลี่ยนแปลงอย่างไรภายใต้กลุ่มมอดูลาร์ ซึ่งสร้างขึ้นโดยτ ↦ τ + 1τ ↦ − 1 / τ τ ในเลขชี้กำลังจะมีผลเช่นเดียวกับการเพิ่ม 1 / 2 z ( n ≡ n 2 mod 2
α = ( − i τ ) 1 2 exp ( π τ i z 2 ) . {\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).} แล้ว
ϑ 00 ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ 00 ( z ; τ ) ϑ 01 ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ 10 ( z ; τ ) ϑ 10 ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ 01 ( z ; τ ) ϑ 11 ( z τ ; − 1 τ ) = − i α ϑ 11 ( z ; τ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}
ธีตาทำงานโดยคำนึงถึงโนม แทนที่จะแสดงฟังก์ชัน Theta ในรูปของz และτ เราอาจแสดงฟังก์ชันเหล่านั้นในรูปของอาร์กิวเมนต์w และนาม q โดยที่w = e πiz q = e πiτ
ϑ 00 ( w , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( w 2 ) n q n 2 ϑ 01 ( w , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n ( w 2 ) n q n 2 ϑ 10 ( w , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( w 2 ) n + 1 2 q ( n + 1 2 ) 2 ϑ 11 ( w , q ) = i ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n ( w 2 ) n + 1 2 q ( n + 1 2 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}} เราจะเห็นว่าฟังก์ชันเธต้าสามารถนิยามได้ในรูปของw และq โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลัง โดยตรง ดังนั้น สูตรเหล่านี้จึงสามารถใช้เพื่อนิยามฟังก์ชันเธต้าในฟิลด์ อื่นๆ ที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจไม่ได้นิยามไว้ทุกที่ เช่น ฟิลด์ของจำนวน p
การนำเสนอผลิตภัณฑ์ ผลคูณสามเท่าของจาโคบี (กรณีพิเศษของเอกลักษณ์แมคโดนัลด์ ) บอกเราว่า สำหรับจำนวนเชิงซ้อนw และq โดยที่| q และw ≠ 0
∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + w 2 q 2 m − 1 ) ( 1 + w − 2 q 2 m − 1 ) = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 . {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการพื้นฐาน เช่น ในหนังสือAn Introduction to the Theory of Numbers
ถ้าเราแสดงฟังก์ชันทีต้าในรูปของนามq = e πiτ q = e 2 πiτ w = e πiz
ϑ ( z ; τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ exp ( π i τ n 2 ) exp ( 2 π i z n ) = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 . {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} ดังนั้น เราจึงได้สูตรผลคูณสำหรับฟังก์ชันทีต้าในรูปแบบ
ϑ ( z ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − exp ( 2 m π i τ ) ) ( 1 + exp ( ( 2 m − 1 ) π i τ + 2 π i z ) ) ( 1 + exp ( ( 2 m − 1 ) π i τ − 2 π i z ) ) . {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.} ในแง่ของw และq :
ϑ ( z ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + q 2 m − 1 w 2 ) ( 1 + q 2 m − 1 w 2 ) = ( q 2 ; q 2 ) ∞ ( − w 2 q ; q 2 ) ∞ ( − q w 2 ; q 2 ) ∞ = ( q 2 ; q 2 ) ∞ θ ( − w 2 q ; q 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}} โดยที่( ; ) ∞ คือ สัญลักษณ์ q -Pochhammerθ ( ; )ฟังก์ชัน q
∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + ( w 2 + w − 2 ) q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ) , {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},} ซึ่งเราอาจเขียนได้อีกแบบว่า
ϑ ( z ∣ q ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + 2 cos ( 2 π z ) q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ) . {\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).} รูปแบบนี้ใช้ได้โดยทั่วไป แต่เห็นได้ชัดว่ามีความน่าสนใจเป็นพิเศษเมื่อz เป็นจำนวนจริง สูตรผลคูณที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันทีตาเสริมมีดังนี้
ϑ 01 ( z ∣ q ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − 2 cos ( 2 π z ) q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ) , ϑ 10 ( z ∣ q ) = 2 q 1 4 cos ( π z ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + 2 cos ( 2 π z ) q 2 m + q 4 m ) , ϑ 11 ( z ∣ q ) = − 2 q 1 4 sin ( π z ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − 2 cos ( 2 π z ) q 2 m + q 4 m ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราอาจตีความได้ว่าเป็นการบิดเบือนแบบพารามิเตอร์เดียวของฟังก์ชันคาบซึ่งเป็นการยืนยันการตีความฟังก์ชันทีตาว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งคาบ 2 ที่ทั่วไปที่สุดอีกครั้ง lim q → 0 ϑ 10 ( z ∣ q ) 2 q 1 4 = cos ( π z ) , lim q → 0 − ϑ 11 ( z ∣ q ) 2 q 1 4 = sin ( π z ) {\displaystyle \lim _{q\to 0}{\frac {\vartheta _{10}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\cos(\pi z),\quad \lim _{q\to 0}{\frac {-\vartheta _{11}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\sin(\pi z)} sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos }
การแสดงผลแบบอินทิกรัล ฟังก์ชันเธต้าของจาโคบีมีรูปแบบการแสดงผลแบบอินทิกรัลดังต่อไปนี้:
ϑ 00 ( z ; τ ) = − i ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 π u z + π u ) sin ( π u ) d u ; ϑ 01 ( z ; τ ) = − i ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 π u z ) sin ( π u ) d u ; ϑ 10 ( z ; τ ) = − i e i π z + 1 4 i π τ ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 π u z + π u + π τ u ) sin ( π u ) d u ; ϑ 11 ( z ; τ ) = e i π z + 1 4 i π τ ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 π u z + π τ u ) sin ( π u ) d u . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}} ฟังก์ชัน Theta Nullwert มีเอกลักษณ์เชิงปริพันธ์ดังนี้: θ 3 ( q ) {\displaystyle \theta _{3}(q)}
θ 3 ( q ) = 1 + 4 q ln ( 1 / q ) π ∫ 0 ∞ exp [ − ln ( 1 / q ) x 2 ] { 1 − q 2 cos [ 2 ln ( 1 / q ) x ] } 1 − 2 q 2 cos [ 2 ln ( 1 / q ) x ] + q 4 d x {\displaystyle \theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x} สูตรนี้ได้รับการกล่าวถึงในบทความเรื่อง " การแปลงฟังก์ชันก่อกำเนิดอนุกรมกำลังสอง" โดยนักคณิตศาสตร์ Maxie Schmidt จากรัฐจอร์เจีย ในเมืองแอตแลนตา
จากสูตรนี้ สามารถยกตัวอย่างที่โดดเด่นสามประการดังต่อไปนี้:
[ 2 π K ( 1 2 2 ) ] 1 / 2 = θ 3 [ exp ( − π ) ] = 1 + 4 exp ( − π ) ∫ 0 ∞ exp ( − π x 2 ) [ 1 − exp ( − 2 π ) cos ( 2 π x ) ] 1 − 2 exp ( − 2 π ) cos ( 2 π x ) + exp ( − 4 π ) d x {\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x} [ 2 π K ( 2 − 1 ) ] 1 / 2 = θ 3 [ exp ( − 2 π ) ] = 1 + 4 2 4 exp ( − 2 π ) ∫ 0 ∞ exp ( − 2 π x 2 ) [ 1 − exp ( − 2 2 π ) cos ( 2 2 π x ) ] 1 − 2 exp ( − 2 2 π ) cos ( 2 2 π x ) + exp ( − 4 2 π ) d x {\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x} { 2 π K [ sin ( π 12 ) ] } 1 / 2 = θ 3 [ exp ( − 3 π ) ] = 1 + 4 3 4 exp ( − 3 π ) ∫ 0 ∞ exp ( − 3 π x 2 ) [ 1 − exp ( − 2 3 π ) cos ( 2 3 π x ) ] 1 − 2 exp ( − 2 3 π ) cos ( 2 3 π x ) + exp ( − 4 3 π ) d x {\displaystyle {\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x} นอกจากนี้ ตัวอย่างของธีตาและ ค่า อื่นๆ จะถูกแสดงดังนี้: θ 3 ( 1 2 ) {\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{2}})} θ 3 ( 1 3 ) {\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{3}})}
θ 3 ( 1 2 ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n 2 = 1 + 2 π − 1 / 2 ln ( 2 ) ∫ 0 ∞ exp [ − ln ( 2 ) x 2 ] { 16 − 4 cos [ 2 ln ( 2 ) x ] } 17 − 8 cos [ 2 ln ( 2 ) x ] d x {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x} θ 3 ( 1 2 ) = 2.128936827211877158669 … {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=2.128936827211877158669\ldots } θ 3 ( 1 3 ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 3 n 2 = 1 + 4 3 π − 1 / 2 ln ( 3 ) ∫ 0 ∞ exp [ − ln ( 3 ) x 2 ] { 81 − 9 cos [ 2 ln ( 3 ) x ] } 82 − 18 cos [ 2 ln ( 3 ) x ] d x {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x} θ 3 ( 1 3 ) = 1.691459681681715341348 … {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1.691459681681715341348\ldots }
ค่าที่ชัดเจน
ค่านิยมแบบเลมนิสกาติก เครดิตที่เหมาะสมสำหรับผลลัพธ์ส่วนใหญ่เหล่านี้เป็นของ Ramanujan ดูสมุดบันทึกที่หายไปของ Ramanujan และเอกสารอ้างอิงที่เกี่ยวข้องที่ฟังก์ชัน Euler ผลลัพธ์ของ Ramanujan ที่อ้างถึงที่ฟังก์ชัน Euler บวกกับการดำเนินการพื้นฐานบางอย่างทำให้ได้ผลลัพธ์ด้านล่าง ดังนั้นผลลัพธ์เหล่านี้จึงอยู่ในสมุดบันทึกที่หายไปของ Ramanujan หรือได้มาจากสมุดบันทึกนั้นโดยตรง ดูเพิ่มเติมที่ Yi (2004) [ 4 ]
φ ( q ) = ϑ 00 ( 0 ; τ ) = θ 3 ( 0 ; q ) = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 {\displaystyle \quad \varphi (q)=\vartheta _{00}(0;\tau )=\theta _{3}(0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}} ด้วยโนมและฟังก์ชันอีตาของเดเดคินด์ จากนั้นสำหรับq = e π i τ , {\displaystyle q=e^{\pi i\tau },} τ = n − 1 , {\displaystyle \tau =n{\sqrt {-1}},} η ( τ ) . {\displaystyle \eta (\tau ).} n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots }
φ ( e − π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) = 2 η ( − 1 ) φ ( e − 2 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 2 + 2 2 φ ( e − 3 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 1 + 3 108 8 φ ( e − 4 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 2 + 8 4 4 φ ( e − 5 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 2 + 5 5 φ ( e − 6 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 1 4 + 3 4 + 4 4 + 9 4 12 3 8 φ ( e − 7 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 13 + 7 + 7 + 3 7 14 3 8 ⋅ 7 16 φ ( e − 8 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 2 + 2 + 128 8 4 φ ( e − 9 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 1 + 2 + 2 3 3 3 φ ( e − 10 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 64 4 + 80 4 + 81 4 + 100 4 200 4 φ ( e − 11 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 11 + 11 + ( 5 + 3 3 + 11 + 33 ) − 44 + 33 3 3 + ( − 5 + 3 3 − 11 + 33 ) 44 + 33 3 3 52180524 8 φ ( e − 12 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 + 9 4 + 18 4 + 24 4 2 108 8 φ ( e − 13 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 13 + 8 13 + ( 11 − 6 3 + 13 ) 143 + 78 3 3 + ( 11 + 6 3 + 13 ) 143 − 78 3 3 19773 4 φ ( e − 14 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 13 + 7 + 7 + 3 7 + 10 + 2 7 + 28 8 4 + 7 28 7 16 φ ( e − 15 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 7 + 3 3 + 5 + 15 + 60 4 + 1500 4 12 3 8 ⋅ 5 2 φ ( e − 16 π ) = φ ( e − 4 π ) + π 4 Γ ( 3 4 ) 1 + 2 4 128 16 φ ( e − 17 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 2 ( 1 + 17 4 ) + 17 8 5 + 17 17 + 17 17 2 φ ( e − 20 π ) = φ ( e − 5 π ) + π 4 Γ ( 3 4 ) 3 + 2 5 4 5 2 6 φ ( e − 36 π ) = 3 φ ( e − 9 π ) + 2 φ ( e − 4 π ) − φ ( e − π ) + π 4 Γ ( 3 4 ) 2 4 + 18 4 + 216 4 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,\eta \left({\sqrt {-1}}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\sqrt[{8}]{108}}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {2+{\sqrt[{4}]{8}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {5}}}{5}}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{12^{3}}}}\\\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}}{{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {\sqrt[{16}]{7}}}}\\\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{64}}+{\sqrt[{4}]{80}}+{\sqrt[{4}]{81}}+{\sqrt[{4}]{100}}}}{\sqrt[{4}]{200}}}\\\varphi \left(e^{-11\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {11+{\sqrt {11}}+(5+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}} ถ้าค่าผกผันของค่าคงที่ Gelfond ถูกยกกำลังด้วยค่าผกผันของจำนวนคี่ ค่าที่ได้หรือค่าที่สอดคล้องกันสามารถแสดงได้ในรูปแบบที่ง่ายขึ้นโดยใช้ฟังก์ชันไซน์เลมนิสกาติกไฮเปอร์โบลิก : ϑ 00 {\displaystyle \vartheta _{00}} ϕ {\displaystyle \phi }
φ [ exp ( − 1 5 π ) ] = π 4 Γ ( 3 4 ) − 1 slh ( 1 5 2 ϖ ) slh ( 2 5 2 ϖ ) {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} φ [ exp ( − 1 7 π ) ] = π 4 Γ ( 3 4 ) − 1 slh ( 1 7 2 ϖ ) slh ( 2 7 2 ϖ ) slh ( 3 7 2 ϖ ) {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} φ [ exp ( − 1 9 π ) ] = π 4 Γ ( 3 4 ) − 1 slh ( 1 9 2 ϖ ) slh ( 2 9 2 ϖ ) slh ( 3 9 2 ϖ ) slh ( 4 9 2 ϖ ) {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} φ [ exp ( − 1 11 π ) ] = π 4 Γ ( 3 4 ) − 1 slh ( 1 11 2 ϖ ) slh ( 2 11 2 ϖ ) slh ( 3 11 2 ϖ ) slh ( 4 11 2 ϖ ) slh ( 5 11 2 ϖ ) {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} ตัวอักษรนี้ใช้แทน ค่าคงที่ของเลมนิสเค ทϖ {\displaystyle \varpi }
โปรดทราบว่าเอกลักษณ์โมดูลาร์ต่อไปนี้เป็นจริง:
2 φ ( q 4 ) = φ ( q ) + 2 φ 2 ( q 2 ) − φ 2 ( q ) 3 φ ( q 9 ) = φ ( q ) + 9 φ 4 ( q 3 ) φ ( q ) − φ 3 ( q ) 3 5 φ ( q 25 ) = φ ( q 5 ) cot ( 1 2 arctan ( 2 5 φ ( q ) φ ( q 5 ) φ 2 ( q ) − φ 2 ( q 5 ) 1 + s ( q ) − s 2 ( q ) s ( q ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}} เศษส่วนต่อเนื่องของ Rogers–Ramanujan อยู่ที่ไหน: s ( q ) = s ( e π i τ ) = − R ( − e − π i / ( 5 τ ) ) {\displaystyle s(q)=s\left(e^{\pi i\tau }\right)=-R\left(-e^{-\pi i/(5\tau )}\right)}
s ( q ) = tan ( 1 2 arctan ( 5 2 φ 2 ( q 5 ) φ 2 ( q ) − 1 2 ) ) cot 2 ( 1 2 arccot ( 5 2 φ 2 ( q 5 ) φ 2 ( q ) − 1 2 ) ) 5 = e − π i / ( 25 τ ) 1 − e − π i / ( 5 τ ) 1 + e − 2 π i / ( 5 τ ) 1 − ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}s(q)&={\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&={\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{aligned}}} นักคณิตศาสตร์Bruce Berndt ค้นพบค่าเพิ่มเติม[ 5 ]
φ ( exp ( − 3 π ) ) = π − 1 Γ ( 4 3 ) 3 / 2 2 − 2 / 3 3 13 / 8 φ ( exp ( − 2 3 π ) ) = π − 1 Γ ( 4 3 ) 3 / 2 2 − 2 / 3 3 13 / 8 cos ( 1 24 π ) φ ( exp ( − 3 3 π ) ) = π − 1 Γ ( 4 3 ) 3 / 2 2 − 2 / 3 3 7 / 8 ( 2 3 + 1 ) φ ( exp ( − 4 3 π ) ) = π − 1 Γ ( 4 3 ) 3 / 2 2 − 5 / 3 3 13 / 8 ( 1 + cos ( 1 12 π ) ) φ ( exp ( − 5 3 π ) ) = π − 1 Γ ( 4 3 ) 3 / 2 2 − 2 / 3 3 5 / 8 sin ( 1 5 π ) ( 2 5 100 3 + 2 5 10 3 + 3 5 5 + 1 ) {\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}}
ค่าเพิ่มเติม ค่าต่างๆ ของฟังก์ชันทีตา[ 6 ]
φ ( exp ( − 2 π ) ) = π − 1 / 2 Γ ( 9 8 ) Γ ( 5 4 ) − 1 / 2 2 7 / 8 φ ( exp ( − 2 2 π ) ) = π − 1 / 2 Γ ( 9 8 ) Γ ( 5 4 ) − 1 / 2 2 1 / 8 ( 1 + 2 − 1 ) φ ( exp ( − 3 2 π ) ) = π − 1 / 2 Γ ( 9 8 ) Γ ( 5 4 ) − 1 / 2 2 3 / 8 3 − 1 / 2 ( 3 + 1 ) tan ( 5 24 π ) φ ( exp ( − 4 2 π ) ) = π − 1 / 2 Γ ( 9 8 ) Γ ( 5 4 ) − 1 / 2 2 − 1 / 8 ( 1 + 2 2 − 2 4 ) φ ( exp ( − 5 2 π ) ) = π − 1 / 2 Γ ( 9 8 ) Γ ( 5 4 ) − 1 / 2 1 15 2 3 / 8 × × [ 5 3 10 + 2 5 ( 5 + 2 + 3 3 3 + 5 + 2 − 3 3 3 ) − ( 2 − 2 ) 25 − 10 5 ] φ ( exp ( − 6 π ) ) = π − 1 / 2 Γ ( 5 24 ) Γ ( 5 12 ) − 1 / 2 2 − 13 / 24 3 − 1 / 8 sin ( 5 12 π ) φ ( exp ( − 1 2 6 π ) ) = π − 1 / 2 Γ ( 5 24 ) Γ ( 5 12 ) − 1 / 2 2 5 / 24 3 − 1 / 8 sin ( 5 24 π ) {\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}{\frac {1}{15}}\,2^{3/8}\times \\&&\times {\biggl [}{\sqrt[{3}]{5}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\biggl (}{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}-3{\sqrt {3}}}}\,{\biggr )}-{\bigl (}2-{\sqrt {2}}\,{\bigr )}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\,{\biggr ]}\\\varphi \left(\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{-13/24}3^{-1/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {5}{12}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{5/24}3^{-1/8}\sin({\tfrac {5}{24}}\pi )\end{array}}}
ทฤษฎีบทโนมกำลัง
ทฤษฎีบทกำลังโดยตรง สำหรับการแปลงโนม[ 7 ]
θ 2 ( q 2 ) = 1 2 2 [ θ 3 ( q ) 2 − θ 4 ( q ) 2 ] {\displaystyle \theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}} θ 3 ( q 2 ) = 1 2 2 [ θ 3 ( q ) 2 + θ 4 ( q ) 2 ] {\displaystyle \theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}} θ 4 ( q 2 ) = θ 4 ( q ) θ 3 ( q ) {\displaystyle \theta _{4}(q^{2})={\sqrt {\theta _{4}(q)\theta _{3}(q)}}} กำลังสองของฟังก์ชันค่าศูนย์ทีตาทั้งสามฟังก์ชัน โดยมีฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันภายใน จะถูกสร้างขึ้นในรูปแบบของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ตามเอกลักษณ์ของจาโคบี นอกจากนี้ การแปลงเหล่านั้นยังใช้ได้:
θ 3 ( q 4 ) = 1 2 θ 3 ( q ) + 1 2 θ 4 ( q ) {\displaystyle \theta _{3}(q^{4})={\tfrac {1}{2}}\theta _{3}(q)+{\tfrac {1}{2}}\theta _{4}(q)} สูตรเหล่านี้สามารถใช้คำนวณค่าทีต้าของลูกบาศก์ของโนมได้:
27 θ 3 ( q 3 ) 8 − 18 θ 3 ( q 3 ) 4 θ 3 ( q ) 4 − θ 3 ( q ) 8 = 8 θ 3 ( q 3 ) 2 θ 3 ( q ) 2 [ 2 θ 4 ( q ) 4 − θ 3 ( q ) 4 ] {\displaystyle 27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]} 27 θ 4 ( q 3 ) 8 − 18 θ 4 ( q 3 ) 4 θ 4 ( q ) 4 − θ 4 ( q ) 8 = 8 θ 4 ( q 3 ) 2 θ 4 ( q ) 2 [ 2 θ 3 ( q ) 4 − θ 4 ( q ) 4 ] {\displaystyle 27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]} และสามารถใช้สูตรต่อไปนี้ในการคำนวณค่าทีต้าของกำลังที่ห้าของโนมได้:
[ θ 3 ( q ) 2 − θ 3 ( q 5 ) 2 ] [ 5 θ 3 ( q 5 ) 2 − θ 3 ( q ) 2 ] 5 = 256 θ 3 ( q 5 ) 2 θ 3 ( q ) 2 θ 4 ( q ) 4 [ θ 3 ( q ) 4 − θ 4 ( q ) 4 ] {\displaystyle [\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]} [ θ 4 ( q 5 ) 2 − θ 4 ( q ) 2 ] [ 5 θ 4 ( q 5 ) 2 − θ 4 ( q ) 2 ] 5 = 256 θ 4 ( q 5 ) 2 θ 4 ( q ) 2 θ 3 ( q ) 4 [ θ 3 ( q ) 4 − θ 4 ( q ) 4 ] {\displaystyle [\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}
สูตรสำหรับค่าฟังก์ชันเธต้า นัลเวิร์ต จากรากที่สาม ของนามเชิงวงรี ได้มาจากการเปรียบเทียบคำตอบจริงสองคำตอบของสมการกำลังสี่ที่เกี่ยวข้อง:
[ θ 3 ( q 1 / 3 ) 2 θ 3 ( q ) 2 − 3 θ 3 ( q 3 ) 2 θ 3 ( q ) 2 ] 2 = 4 − 4 [ 2 θ 2 ( q ) 2 θ 4 ( q ) 2 θ 3 ( q ) 4 ] 2 / 3 {\displaystyle {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}} [ 3 θ 4 ( q 3 ) 2 θ 4 ( q ) 2 − θ 4 ( q 1 / 3 ) 2 θ 4 ( q ) 2 ] 2 = 4 + 4 [ 2 θ 2 ( q ) 2 θ 3 ( q ) 2 θ 4 ( q ) 4 ] 2 / 3 {\displaystyle {\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}
เศษส่วนต่อเนื่อง ของRogers-Ramanujan สามารถนิยามได้โดยใช้ฟังก์ชัน theta ของ Jacobi ในลักษณะดังต่อไปนี้:
R ( q ) = tan { 1 2 arctan [ 1 2 − θ 4 ( q ) 2 2 θ 4 ( q 5 ) 2 ] } 1 / 5 tan { 1 2 arccot [ 1 2 − θ 4 ( q ) 2 2 θ 4 ( q 5 ) 2 ] } 2 / 5 {\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}} R ( q 2 ) = tan { 1 2 arctan [ 1 2 − θ 4 ( q ) 2 2 θ 4 ( q 5 ) 2 ] } 2 / 5 cot { 1 2 arccot [ 1 2 − θ 4 ( q ) 2 2 θ 4 ( q 5 ) 2 ] } 1 / 5 {\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}} R ( q 2 ) = tan { 1 2 arctan [ θ 3 ( q ) 2 2 θ 3 ( q 5 ) 2 − 1 2 ] } 2 / 5 tan { 1 2 arccot [ θ 3 ( q ) 2 2 θ 3 ( q 5 ) 2 − 1 2 ] } 1 / 5 {\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}} ฟังก์ชันเศษส่วนต่อเนื่องแบบสลับของ Rogers-Ramanujan S(q) มีเอกลักษณ์สองประการดังต่อไปนี้:
S ( q ) = R ( q 4 ) R ( q 2 ) R ( q ) = tan { 1 2 arctan [ θ 3 ( q ) 2 2 θ 3 ( q 5 ) 2 − 1 2 ] } 1 / 5 cot { 1 2 arccot [ θ 3 ( q ) 2 2 θ 3 ( q 5 ) 2 − 1 2 ] } 2 / 5 {\displaystyle S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q^{2})R(q)}}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}} ค่าฟังก์ชันทีต้าจากรากที่ห้าของโนมสามารถแสดงได้ในรูปของการรวมเชิงตรรกะของเศษส่วนต่อเนื่อง R และ S และค่าฟังก์ชันทีต้าจากกำลังที่ห้าของโนมและตัวโนมเอง สมการทั้งสี่ต่อไปนี้ใช้ได้กับค่า q ทุกค่าระหว่าง 0 ถึง 1:
θ 3 ( q 1 / 5 ) θ 3 ( q 5 ) − 1 = 1 S ( q ) [ S ( q ) 2 + R ( q 2 ) ] [ 1 + R ( q 2 ) S ( q ) ] {\displaystyle {\frac {\theta _{3}(q^{1/5})}{\theta _{3}(q^{5})}}-1={\frac {1}{S(q)}}{\bigl [}S(q)^{2}+R(q^{2}){\bigr ]}{\bigl [}1+R(q^{2})S(q){\bigr ]}} 1 − θ 4 ( q 1 / 5 ) θ 4 ( q 5 ) = 1 R ( q ) [ R ( q 2 ) + R ( q ) 2 ] [ 1 − R ( q 2 ) R ( q ) ] {\displaystyle 1-{\frac {\theta _{4}(q^{1/5})}{\theta _{4}(q^{5})}}={\frac {1}{R(q)}}{\bigl [}R(q^{2})+R(q)^{2}{\bigr ]}{\bigl [}1-R(q^{2})R(q){\bigr ]}} θ 3 ( q 1 / 5 ) 2 − θ 3 ( q ) 2 = [ θ 3 ( q ) 2 − θ 3 ( q 5 ) 2 ] [ 1 + 1 R ( q 2 ) S ( q ) + R ( q 2 ) S ( q ) + 1 R ( q 2 ) 2 + R ( q 2 ) 2 + 1 S ( q ) − S ( q ) ] {\displaystyle \theta _{3}(q^{1/5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}={\bigl [}\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1+{\frac {1}{R(q^{2})S(q)}}+R(q^{2})S(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}+{\frac {1}{S(q)}}-S(q){\biggr ]}} θ 4 ( q ) 2 − θ 4 ( q 1 / 5 ) 2 = [ θ 4 ( q 5 ) 2 − θ 4 ( q ) 2 ] [ 1 − 1 R ( q 2 ) R ( q ) − R ( q 2 ) R ( q ) + 1 R ( q 2 ) 2 + R ( q 2 ) 2 − 1 R ( q ) + R ( q ) ] {\displaystyle \theta _{4}(q)^{2}-\theta _{4}(q^{1/5})^{2}={\bigl [}\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1-{\frac {1}{R(q^{2})R(q)}}-R(q^{2})R(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}-{\frac {1}{R(q)}}+R(q){\biggr ]}}
ทฤษฎีบทที่ขึ้นอยู่กับค่าสัมบูรณ์ เมื่อนำมาประกอบกับค่าสัมประสิทธิ์วงรี จะสามารถแสดงสูตรต่อไปนี้ได้:
ต่อไปนี้คือสูตรสำหรับกำลังสองของโนมวงรี:
θ 4 [ q ( k ) ] = θ 4 [ q ( k ) 2 ] 1 − k 2 8 {\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}} θ 4 [ q ( k ) 2 ] = θ 3 [ q ( k ) ] 1 − k 2 8 {\displaystyle \theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}} θ 3 [ q ( k ) 2 ] = θ 3 [ q ( k ) ] cos [ 1 2 arcsin ( k ) ] {\displaystyle \theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]} และนี่คือสูตรที่มีประสิทธิภาพสำหรับลูกบาศก์ของเขตปกครอง:
θ 4 ⟨ q { tan [ 1 2 arctan ( t 3 ) ] } 3 ⟩ = θ 4 ⟨ q { tan [ 1 2 arctan ( t 3 ) ] } ⟩ 3 − 1 / 2 ( 2 t 4 − t 2 + 1 − t 2 + 2 + t 2 + 1 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}} สูตรที่กล่าวถึงข้างต้นนี้ใช้ได้ กับค่าจริงทุกค่าt ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} }
และสำหรับสูตรนี้ จะยกตัวอย่างสองตัวอย่างดังนี้:
ตัวอย่างการคำนวณแรกโดยใส่ค่าเข้าไป: t = 1 {\displaystyle t=1}
θ 4 ⟨ q { tan [ 1 2 arctan ( 1 ) ] } 3 ⟩ = θ 4 ⟨ q { tan [ 1 2 arctan ( 1 ) ] } ⟩ 3 − 1 / 2 ( 3 + 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}}
θ 4 [ exp ( − 3 2 π ) ] = θ 4 [ exp ( − 2 π ) ] 3 − 1 / 2 ( 3 + 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}}
ตัวอย่างการคำนวณที่สอง โดยใส่ค่าเข้าไป: t = Φ − 2 {\displaystyle t=\Phi ^{-2}}
θ 4 ⟨ q { tan [ 1 2 arctan ( Φ − 6 ) ] } 3 ⟩ = θ 4 ⟨ q { tan [ 1 2 arctan ( Φ − 6 ) ] } ⟩ 3 − 1 / 2 ( 2 Φ − 8 − Φ − 4 + 1 − Φ − 4 + 2 + Φ − 4 + 1 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}
θ 4 [ exp ( − 3 10 π ) ] = θ 4 [ exp ( − 10 π ) ] 3 − 1 / 2 ( 2 Φ − 8 − Φ − 4 + 1 − Φ − 4 + 2 + Φ − 4 + 1 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}
ค่าคงที่นี้แสดงถึงอัตราส่วนทองคำ ได้อย่างแม่นยำ Φ {\displaystyle \Phi } Φ = 1 2 ( 5 + 1 ) {\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}
เอกลักษณ์ของซีรีส์บางเรื่อง
ผลรวมที่มีฟังก์ชันทีต้าในผลลัพธ์ ผลรวมอนันต์[ 8 ] [ 9 ] จำนวนฟิโบนาชชี ที่มีดัชนีคี่มีเอกลักษณ์ดังนี้:
∑ n = 1 ∞ 1 F 2 n − 1 = 5 2 ∑ n = 1 ∞ 2 ( Φ − 2 ) n − 1 / 2 1 + ( Φ − 2 ) 2 n − 1 = 5 4 ∑ a = − ∞ ∞ 2 ( Φ − 2 ) a − 1 / 2 1 + ( Φ − 2 ) 2 a − 1 = {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{n-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{a-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2a-1}}}=} = 5 4 θ 2 ( Φ − 2 ) 2 = 5 8 [ θ 3 ( Φ − 1 ) 2 − θ 4 ( Φ − 1 ) 2 ] {\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}} หากไม่ใช้สูตรฟังก์ชันทีต้า จะสามารถกำหนดเอกลักษณ์ระหว่างผลรวมสองค่าได้ดังนี้:
∑ n = 1 ∞ 1 F 2 n − 1 = 5 4 [ ∑ n = 1 ∞ 2 Φ − ( 2 n − 1 ) 2 / 2 ] 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}/2}{\biggr ]}^{2}} ∑ n = 1 ∞ 1 F 2 n − 1 = 1.82451515740692456814215840626732817332 … {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=1.82451515740692456814215840626732817332\ldots } ในกรณีนี้ก็เป็นอัตราส่วนทองคำ อีก เช่นกันΦ = 1 2 ( 5 + 1 ) {\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}
ผลรวมอนันต์ของส่วนกลับของกำลังสองของจำนวนฟิโบนาชชี:
∑ n = 1 ∞ 1 F n 2 = 5 24 [ 2 θ 2 ( Φ − 2 ) 4 − θ 3 ( Φ − 2 ) 4 + 1 ] = 5 24 [ θ 3 ( Φ − 2 ) 4 − 2 θ 4 ( Φ − 2 ) 4 + 1 ] {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{4}-\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}} ผลรวมอนันต์ของส่วนกลับของจำนวนเพลล์ ที่มีดัชนีเป็นเลขคี่:
∑ n = 1 ∞ 1 P 2 n − 1 = 1 2 θ 2 [ ( 2 − 1 ) 2 ] 2 = 1 2 2 [ θ 3 ( 2 − 1 ) 2 − θ 4 ( 2 − 1 ) 2 ] {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}
ผลรวมที่มีฟังก์ชันทีต้าอยู่ในพจน์บวก István Mező ได้พิสูจน์เอกลักษณ์ของซีรีส์สองชุดถัดไปแล้ว: [ 10 ]
θ 4 2 ( q ) = i q 1 4 ∑ k = − ∞ ∞ q 2 k 2 − k θ 1 ( 2 k − 1 2 i ln q , q ) , θ 4 2 ( q ) = ∑ k = − ∞ ∞ q 2 k 2 θ 4 ( k ln q i , q ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}} ความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นจริงสำหรับทุก0 < q < 1 เมื่อกำหนดค่าเฉพาะของq เราจะได้ผลรวมที่ไม่ขึ้นกับพารามิเตอร์ดังต่อไปนี้
π e π 2 ⋅ 1 Γ 2 ( 3 4 ) = i ∑ k = − ∞ ∞ e π ( k − 2 k 2 ) θ 1 ( i π 2 ( 2 k − 1 ) , e − π ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right)} π 2 ⋅ 1 Γ 2 ( 3 4 ) = ∑ k = − ∞ ∞ θ 4 ( i k π , e − π ) e 2 π k 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}}
ศูนย์ของฟังก์ชันเธต้าของจาโคบี ค่าศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชัน Jacobi theta เป็นค่าศูนย์แบบง่าย และกำหนดโดยสิ่งต่อไปนี้:
ϑ ( z ; τ ) = ϑ 00 ( z ; τ ) = 0 ⟺ z = m + n τ + 1 2 + τ 2 ϑ 11 ( z ; τ ) = 0 ⟺ z = m + n τ ϑ 10 ( z ; τ ) = 0 ⟺ z = m + n τ + 1 2 ϑ 01 ( z ; τ ) = 0 ⟺ z = m + n τ + τ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}} โดยที่m และn เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ความสัมพันธ์
ϑ ( 0 ; − 1 τ ) = ( − i τ ) 1 2 ϑ ( 0 ; τ ) {\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=\left(-i\tau \right)^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )} รีมันน์ ใช้สิ่งนี้เพื่อพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ โดยใช้การแปลงเมลลิน
Γ ( s 2 ) π − s 2 ζ ( s ) = 1 2 ∫ 0 ∞ ( ϑ ( 0 ; i t ) − 1 ) t s 2 d t t {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\vartheta (0;it)-1{\bigr )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}} ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อแทนที่s ด้วย1 − s อินทิกรัลที่สอดคล้องกันสำหรับz ≠ 0ฟังก์ชันซีตาของฮูร์วิตซ์
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันวงรีไวเออร์สตรัส จาโคบีใช้ฟังก์ชันทีตาในการสร้างฟังก์ชันเชิงวงรีของเขา (ในรูปแบบที่ปรับให้คำนวณได้ง่าย) โดยใช้ผลหารของฟังก์ชันทีตาทั้งสี่ข้างต้น และเขาน่าจะใช้ฟังก์ชันทีตาในการสร้างฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์สตรัส ได้เช่นกัน เนื่องจาก
℘ ( z ; τ ) = − ( log ϑ 11 ( z ; τ ) ) ″ + c {\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c} โดยที่อนุพันธ์อันดับสองเทียบกับz และค่าคงที่c ถูกกำหนดไว้เพื่อให้การกระจายลอเรนต์ ของ ℘ ( z ) ที่z = 0พจน์คงที่เป็น ศูนย์
ความสัมพันธ์กับ ฟังก์ชัน q- แกมมา ฟังก์ชันเธต้าที่สี่ – และฟังก์ชันอื่นๆ ด้วย – เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับ ฟังก์ชัน q- แกมมา ของแจ็คสัน ผ่านความสัมพันธ์[ 11 ]
( Γ q 2 ( x ) Γ q 2 ( 1 − x ) ) − 1 = q 2 x ( 1 − x ) ( q − 2 ; q − 2 ) ∞ 3 ( q 2 − 1 ) θ 4 ( 1 2 i ( 1 − 2 x ) log q , 1 q ) . {\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\theta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอีตาของเดเดคินด์ ให้η ( τ )ฟังก์ชัน Dedekind eta และอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน theta เป็นnome q = e πiτ
θ 2 ( q ) = ϑ 10 ( 0 ; τ ) = 2 η 2 ( 2 τ ) η ( τ ) , θ 3 ( q ) = ϑ 00 ( 0 ; τ ) = η 5 ( τ ) η 2 ( 1 2 τ ) η 2 ( 2 τ ) = η 2 ( 1 2 ( τ + 1 ) ) η ( τ + 1 ) , θ 4 ( q ) = ϑ 01 ( 0 ; τ ) = η 2 ( 1 2 τ ) η ( τ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}} และ,
θ 2 ( q ) θ 3 ( q ) θ 4 ( q ) = 2 η 3 ( τ ) . {\displaystyle \theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)=2\eta ^{3}(\tau ).} ดูเพิ่มเติมที่ ฟังก์ชันโมดูลา ร์ ของ Weber
โมดูลัสวงรี ค่าสัมประสิทธิ์วงรี คือ
k ( τ ) = ϑ 10 ( 0 ; τ ) 2 ϑ 00 ( 0 ; τ ) 2 {\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}} และโมดูลัสวงรีเสริมคือ
k ′ ( τ ) = ϑ 01 ( 0 ; τ ) 2 ϑ 00 ( 0 ; τ ) 2 {\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}}
อนุพันธ์ของฟังก์ชันทีตา นี่คือคำจำกัดความที่เหมือนกันสองข้อของ ปริพันธ์เชิงวงรี สมบูรณ์ชนิดที่สอง:
E ( k ) = ∫ 0 π / 2 1 − k 2 sin ( φ ) 2 d φ {\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}d\varphi } E ( k ) = π 2 ∑ a = 0 ∞ [ ( 2 a ) ! ] 2 ( 1 − 2 a ) 16 a ( a ! ) 4 k 2 a {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}} อนุพันธ์ของฟังก์ชัน Theta Nullwert มีอนุกรม MacLaurin ดังนี้:
θ 2 ′ ( x ) = d d x θ 2 ( x ) = 1 2 x − 3 / 4 + ∑ n = 1 ∞ 1 2 ( 2 n + 1 ) 2 x ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 3 ) / 4 {\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{-3/4}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(2n+1)^{2}x^{(2n-1)(2n+3)/4}} θ 3 ′ ( x ) = d d x θ 3 ( x ) = 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 ( n + 1 ) 2 x n ( n + 2 ) {\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}} θ 4 ′ ( x ) = d d x θ 4 ( x ) = − 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 ( n + 1 ) 2 ( − 1 ) n + 1 x n ( n + 2 ) {\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=-2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}(-1)^{n+1}x^{n(n+2)}} อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าศูนย์ของธีตา[ 12 ]
θ 2 ′ ( x ) = d d x θ 2 ( x ) = 1 2 π x θ 2 ( x ) θ 3 ( x ) 2 E [ θ 2 ( x ) 2 θ 3 ( x ) 2 ] {\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\theta _{2}(x)\theta _{3}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\theta _{2}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}}}{\biggr ]}} θ 3 ′ ( x ) = d d x θ 3 ( x ) = θ 3 ( x ) [ θ 3 ( x ) 2 + θ 4 ( x ) 2 ] { 1 2 π x E [ θ 3 ( x ) 2 − θ 4 ( x ) 2 θ 3 ( x ) 2 + θ 4 ( x ) 2 ] − θ 4 ( x ) 2 4 x } {\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}} θ 4 ′ ( x ) = d d x θ 4 ( x ) = θ 4 ( x ) [ θ 3 ( x ) 2 + θ 4 ( x ) 2 ] { 1 2 π x E [ θ 3 ( x ) 2 − θ 4 ( x ) 2 θ 3 ( x ) 2 + θ 4 ( x ) 2 ] − θ 3 ( x ) 2 4 x } {\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{3}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}} สูตรสองสูตรสุดท้ายที่กล่าวถึงนั้นใช้ได้กับจำนวนจริงทั้งหมดในช่วงนิยามของจำนวนจริง:− 1 < x < 1 ∩ x ∈ R {\displaystyle -1<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R} }
และฟังก์ชันอนุพันธ์ทีต้าสองตัวสุดท้ายที่กล่าวถึงนี้มีความสัมพันธ์กันในลักษณะนี้:
ϑ 4 ( x ) [ d d x ϑ 3 ( x ) ] − ϑ 3 ( x ) [ d d x θ 4 ( x ) ] = 1 4 x θ 3 ( x ) θ 4 ( x ) [ θ 3 ( x ) 4 − θ 4 ( x ) 4 ] {\displaystyle \vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{3}(x){\biggr ]}-\vartheta _{3}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}} อนุพันธ์ของผลหารจากฟังก์ชันทีต้าสองในสามฟังก์ชันที่กล่าวถึงในที่นี้ จะมีความสัมพันธ์เชิงตรรกะกับฟังก์ชันทั้งสามนั้นเสมอ:
d d x θ 2 ( x ) θ 3 ( x ) = θ 2 ( x ) θ 4 ( x ) 4 4 x θ 3 ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{3}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{3}(x)}}} d d x θ 2 ( x ) θ 4 ( x ) = θ 2 ( x ) θ 3 ( x ) 4 4 x θ 4 ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{3}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}} d d x θ 3 ( x ) θ 4 ( x ) = θ 3 ( x ) 5 − θ 3 ( x ) θ 4 ( x ) 4 4 x θ 4 ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{3}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{3}(x)^{5}-\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}} สำหรับที่มาของสูตรการคำนวณเหล่านี้ โปรดดูบทความเรื่องNome (คณิตศาสตร์) และฟังก์ชันแลมบ์ดาแบบโมดูลาร์ !
อินทิกรัลของฟังก์ชันทีตา สำหรับฟังก์ชันทีต้า อินทิกรัลเหล่านี้[ 13 ]
∫ 0 1 θ 2 ( x ) d x = ∑ k = − ∞ ∞ 4 ( 2 k + 1 ) 2 + 4 = π tanh ( π ) ≈ 3.129881 {\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{2}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3.129881} ∫ 0 1 θ 3 ( x ) d x = ∑ k = − ∞ ∞ 1 k 2 + 1 = π coth ( π ) ≈ 3.153348 {\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{3}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3.153348} ∫ 0 1 θ 4 ( x ) d x = ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k k 2 + 1 = π csch ( π ) ≈ 0.272029 {\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{4}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,\operatorname {csch} (\pi )\approx 0.272029} ผลลัพธ์สุดท้ายที่แสดงในขณะนี้อ้างอิงจากสูตรผลรวมโคชีทั่วไป
คำตอบของสมการความร้อน ฟังก์ชัน Jacobi theta เป็นคำตอบพื้นฐาน ของ สมการความร้อน หนึ่งมิติที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ เชิง พื้นที่ [ 14 ] z = x τ = it t เป็นจำนวนจริงและเป็นบวก เราสามารถเขียนได้ว่า
ϑ ( x ; i t ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ exp ( − π n 2 t ) cos ( 2 π n x ) {\displaystyle \vartheta (x;it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)} ซึ่งแก้สมการความร้อน
∂ ∂ t ϑ ( x ; i t ) = 1 4 π ∂ 2 ∂ x 2 ϑ ( x ; i t ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x;it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x;it).} คำตอบของฟังก์ชันทีตา (theta-function solution) นี้เป็นฟังก์ชันคาบ 1 ในx และเมื่อt → 0ฟังก์ชันเดลต้า แบบคาบ หรือหวีของดิแรก (Dirac comb ) ในแง่ของการกระจายตัว
lim t → 0 ϑ ( x ; i t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n ) {\displaystyle \lim _{t\to 0}\vartheta (x;it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)} คำตอบทั่วไปของ ปัญหาค่าเริ่มต้นแบบ คาบเชิงพื้นที่สำหรับสมการความร้อน อาจได้มาจากการนำข้อมูลเริ่มต้นที่t = 0
ความสัมพันธ์กับกลุ่มไฮเซนเบิร์ก ฟังก์ชันเธต้าของจาโคบีไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มไฮเซนเบิร์ก ความไม่เปลี่ยนแปลงนี้ได้ถูกนำเสนอไว้ในบทความเกี่ยวกับการแสดงเธต้า ของกลุ่มไฮเซนเบิร์ก
การสรุปโดยทั่วไป ถ้าF เป็นรูปแบบกำลังสองบวกแน่นอน ใน ตัวแปร n ตัว แล้วฟังก์ชันทีต้าที่เกี่ยวข้องกับF คือ
θ F ( z ) = ∑ m ∈ Z n e − π z F ( m ) {\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{-\pi zF(m)}} โดยผลรวมนั้นครอบคลุมแลตทิซ ของจำนวนเต็มฟังก์ชันทีต้านี้เป็นรูปแบบโมดูลาร์ ของน้ำหนัก Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} n / 2 กลุ่มมอดูลาร์ ในการขยายอนุกรมฟูริเยร์
θ ^ F ( z ) = ∑ k = 0 ∞ R F ( k ) e 2 π i k z , {\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},} ตัวเลขR F ( k )ตัวเลขแทน ในรูปแบบ
อนุกรมเธต้าของอักขระดิริชเลต์ สำหรับχ ซึ่งเป็น อักขระ Dirichlet ดั้งเดิมโมดูลq และν = 1 − χ (−1) / 2
θ χ ( z ) = 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ χ ( n ) n ν e 2 i π n 2 z {\displaystyle \theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}} เป็น 1 / 2 ν รูปแบบโมดูลา ร์ ของระดับ 4 q 2 และอักขระ
χ ( d ) ( − 1 d ) ν , {\displaystyle \chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu },} ซึ่งหมายความว่า[ 15 ]
θ χ ( a z + b c z + d ) = χ ( d ) ( − 1 d ) ν ( θ 1 ( a z + b c z + d ) θ 1 ( z ) ) 1 + 2 ν θ χ ( z ) {\displaystyle \theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)} เมื่อใดก็ตาม
a , b , c , d ∈ Z 4 , a d − b c = 1 , c ≡ 0 mod 4 q 2 . {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.}
ฟังก์ชันเธต้าของรามานุจัน
ฟังก์ชันเธต้าของรีมันน์ อนุญาต
H n = { F ∈ M ( n , C ) | F = F T , Im F > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}} เป็นเซตของเมทริก ซ์จัตุรัสสมมาตร ที่มีส่วนจินตนาการเป็นบวกแน่นอน เรียกว่าระนาบครึ่งบนของซีเกล (Siegel upper half-space) และเป็นอนาล็อกหลายมิติของ ระนาบ ครึ่งบน (upper half-plane ) อนาล็อก n มิติของกลุ่มมอดูลาร์ (modular group) คือกลุ่มซิมเพล็กติก (symplectic group ) สำหรับn = 1 อนาล็อกn มิติ ของกลุ่มย่อยคอนกรุเอนซ์ (congruence subgroups) คือ H n {\displaystyle \mathbb {H} _{n}} Sp ( 2 n , Z ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )} Sp ( 2 , Z ) = SL ( 2 , Z ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}
ker { Sp ( 2 n , Z ) → Sp ( 2 n , Z / k Z ) } . {\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.} จากนั้น เมื่อกำหนดให้ฟังก์ชันเธต้าของรีมันน์ จะถูกนิยามดังนี้ τ ∈ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}
θ ( z , τ ) = ∑ m ∈ Z n exp ( 2 π i ( 1 2 m T τ m + m T z ) ) . {\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).} ในที่นี้เป็น เวกเตอร์เชิงซ้อน n มิติ และสัญลักษณ์T เหนือตัวอักษร หมายถึงการสลับแถว และคอลัมน์ ฟังก์ชันเธตาของจาโคบีเป็นกรณีพิเศษ โดยที่n = 1 และคือระนาบครึ่งบน การประยุกต์ใช้ที่สำคัญอย่างหนึ่งของฟังก์ชันเธตาของรีมันน์คือ ช่วยให้สามารถกำหนดสูตรที่ชัดเจนสำหรับฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนพื้นผิวรีมันน์ แบบกะทัดรัด รวมถึงวัตถุเสริมอื่นๆ ที่มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีฟังก์ชัน โดยการกำหนดให้τ เป็นเมทริกซ์คาบเทียบกับฐานแคนอนิกสำหรับกลุ่มโฮโมโลยี แรกของ มัน z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} τ ∈ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } H {\displaystyle \mathbb {H} }
ทฤษฎีบทเธต้าของรีมันน์ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอในเซตย่อยกระชับของ C n × H n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}}
สมการเชิงฟังก์ชันคือ
θ ( z + a + τ b , τ ) = exp ( 2 π i ( − b T z − 1 2 b T τ b ) ) θ ( z , τ ) {\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp \left(2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\right)\theta (z,\tau )} ซึ่งใช้ได้กับเวกเตอร์ทั้งหมดและใช้ได้กับทุกค่าของ และa , b ∈ Z n {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}} z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} τ ∈ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}
อนุกรมปวงกาเร เป็นการขยายอนุกรมทีตาไปสู่รูปแบบอัตโนมัติโดยสัมพันธ์กับกลุ่มฟุคเซียน ใด ๆ
การหาค่าของธีตา
เอกลักษณ์ของฟังก์ชันเบตาของออยเลอร์ ต่อไปนี้จะเป็นตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันทีต้าที่สำคัญสามค่า:
นี่คือวิธี การกำหนด ฟังก์ชันเบต้าของออยเลอร์ ในรูปแบบย่อ:
β ( x ) = Γ ( x ) 2 Γ ( 2 x ) {\displaystyle \beta (x)={\frac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}} โดยทั่วไปสูตรของฟังก์ชันเบตาของออยเลอร์นี้ใช้ได้กับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน: n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
4 − 1 / ( n + 2 ) n + 2 csc ( π n + 2 ) β [ n 2 ( n + 2 ) ] = ∫ 0 ∞ 1 x n + 2 + 1 d x {\displaystyle {\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\mathrm {d} x}
ตัวอย่างอินทิกรัลเชิงวงรี ต่อไปนี้ จะกล่าวถึง ค่าเอกลักษณ์อินทิกรัลเชิงวงรี บางส่วน [ 16 ]
และฟังก์ชันต่อไปนี้มีอนุพันธ์ผกผันเชิงวงรีดังต่อไปนี้:
1 x 8 + 1 = {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{8}+1}}}=} = d d x 1 4 sec ( π 8 ) F { 2 arctan [ 2 cos ( π / 8 ) x x 4 + 2 x 2 + 1 − x 2 + 1 ] ; 2 2 4 sin ( π 8 ) } + 1 4 sec ( π 8 ) F { arcsin [ 2 cos ( π / 8 ) x x 2 + 1 ] ; tan ( π 8 ) } {\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}} สำหรับค่าดังกล่าว จะปรากฏเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้: n = 6 {\displaystyle n=6}
1 8 2 4 csc ( π 8 ) β ( 3 8 ) = ∫ 0 ∞ 1 x 8 + 1 d x = {\displaystyle {\frac {1}{8{\sqrt[{4}]{2}}}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{8}+1}}}\,\mathrm {d} x=} = ⟨ 1 4 sec ( π 8 ) F { 2 arctan [ 2 cos ( π / 8 ) x x 4 + 2 x 2 + 1 − x 2 + 1 ] ; 2 2 4 sin ( π 8 ) } + 1 4 sec ( π 8 ) F { arcsin [ 2 cos ( π / 8 ) x x 2 + 1 ] ; tan ( π 8 ) } ⟩ x = 0 x = ∞ = {\displaystyle ={\biggl \langle }{\color {blue}{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}}{\biggr \rangle }_{x=0}^{x=\infty }=} = 1 4 sec ( π 8 ) F [ π ; 2 2 4 sin ( π 8 ) ] = 1 2 sec ( π 8 ) K ( 2 2 − 2 ) = 2 sin ( π 8 ) K ( 2 − 1 ) {\displaystyle ={\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\bigl [}\pi ;2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {1}{2}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}K({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\bigr )}=2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}K({\sqrt {2}}-1)} ผลลัพธ์นี้ได้มาจากการเรียงลำดับสมการดังกล่าว:
K ( 2 − 1 ) = 1 8 2 4 ( 2 + 1 ) β ( 3 8 ) {\displaystyle {\color {ForestGreen}K({\sqrt {2}}-1)={\frac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {2}}+1)\,\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}}}
การรวมกันของเอกลักษณ์เชิงปริพันธ์กับนาม ฟังก์ชันนามวงรีมีค่าสำคัญดังต่อไปนี้:
q ( 1 2 2 ) = exp ( − π ) {\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=\exp(-\pi )} q [ 1 4 ( 6 − 2 ) ] = exp ( − 3 π ) {\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )} q ( 2 − 1 ) = exp ( − 2 π ) {\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )} สำหรับหลักฐานยืนยันความถูกต้องของค่าโนมเหล่านี้ โปรดดูบทความเรื่อง โนม (คณิตศาสตร์) !
โดยอาศัยเอกลักษณ์เชิงปริพันธ์เหล่านี้ และนิยามและเอกลักษณ์ของฟังก์ชันทีตา ที่กล่าวถึงข้างต้น ในส่วนเดียวกันของบทความนี้ เราจะกำหนดค่าศูนย์ของทีตาที่เป็นตัวอย่างดังต่อไปนี้:
θ 3 [ q ( k ) ] = 2 π − 1 K ( k ) {\displaystyle \theta _{3}[q(k)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}
θ 3 [ exp ( − π ) ] = θ 3 [ q ( 1 2 2 ) ] = 2 π − 1 K ( 1 2 2 ) = 2 − 1 / 2 π − 1 / 2 β ( 1 4 ) 1 / 2 = 2 − 1 / 4 π 4 Γ ( 3 4 ) − 1 {\displaystyle \theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}}=2^{-1/2}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{4}})^{1/2}=2^{-1/4}{\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}}^{-1}} θ 3 [ exp ( − 3 π ) ] = θ 3 { q [ 1 4 ( 6 − 2 ) ] } = 2 π − 1 K [ 1 4 ( 6 − 2 ) ] = 2 − 1 / 6 3 − 1 / 8 π − 1 / 2 β ( 1 3 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}}=2^{-1/6}3^{-1/8}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}} θ 3 [ exp ( − 2 π ) ] = θ 3 [ q ( 2 − 1 ) ] = 2 π − 1 K ( 2 − 1 ) = 2 − 1 / 8 cos ( 1 8 π ) π − 1 / 2 β ( 3 8 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/8}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}} θ 4 [ q ( k ) ] = 1 − k 2 4 2 π − 1 K ( k ) {\displaystyle \theta _{4}[q(k)]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}
θ 4 [ exp ( − 2 π ) ] = θ 4 [ q ( 2 − 1 ) ] = 2 2 − 2 4 2 π − 1 K ( 2 − 1 ) = 2 − 1 / 4 cos ( 1 8 π ) 1 / 2 π − 1 / 2 β ( 3 8 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/4}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}
ลำดับพาร์ติชันและผลิตภัณฑ์ Pochhammer
ลำดับหมายเลขพาร์ติชันปกติ ลำดับการแบ่งพาร์ติชันปกติบ่งบอกถึงจำนวนวิธีที่จำนวนเต็ม บวก สามารถแบ่งออกเป็นผลบวกจำนวนเต็มบวกได้ สำหรับตัวเลขตั้งแต่ ถึงตัวเลขการแบ่งพาร์ติชันที่เกี่ยวข้องพร้อมกับพาร์ติชันตัวเลขที่เกี่ยวข้องทั้งหมดแสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้: P ( n ) {\displaystyle P(n)} n {\displaystyle n} n = 1 {\displaystyle n=1} n = 5 {\displaystyle n=5} P {\displaystyle P}
ค่าตัวอย่างของ P(n) และการแบ่งกลุ่มตัวเลขที่เกี่ยวข้อง n พี(น) การจ่ายเงินแบ่งส่วน 0 1 () พาร์ติชันว่าง/ ผลรวมว่าง 1 1 (1) 2 2 (1+1), (2) 3 3 (1+1+1), (1+2), (3) 4 5 (1+1+1+1), (1+1+2), (2+2), (1+3), (4) 5 7 (1+1+1+1+1), (1+1+1+2), (1+2+2), (1+1+3), (2+3), (1+4), (5)
ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับเลขแบ่งพาร์ติชันปกติสามารถแสดงได้โดยใช้ผลคูณของ Pochhammer ในลักษณะต่อไปนี้:
∑ k = 0 ∞ P ( k ) x k = 1 ( x ; x ) ∞ = θ 3 ( x ) − 1 / 6 θ 4 ( x ) − 2 / 3 [ θ 3 ( x ) 4 − θ 4 ( x ) 4 16 x ] − 1 / 24 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x)_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{-1/6}\theta _{4}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}} การหาผลรวมของผลคูณ Pochhammer ที่กล่าวถึงในที่นี้ อธิบายได้ด้วยทฤษฎีบทจำนวนห้าเหลี่ยม ในลักษณะนี้:
( x ; x ) ∞ = 1 + ∑ n = 1 ∞ [ − x Fn ( 2 n − 1 ) − x Kr ( 2 n − 1 ) + x Fn ( 2 n ) + x Kr ( 2 n ) ] {\displaystyle (x;x)_{\infty }=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}} คำจำกัดความพื้นฐานต่อไปนี้ใช้กับตัวเลขห้าเหลี่ยม และตัวเลขบ้านไพ่:
Fn ( z ) = 1 2 z ( 3 z − 1 ) {\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)} Kr ( z ) = 1 2 z ( 3 z + 1 ) {\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)} การประยุกต์ใช้เพิ่มเติม[ 17 ] ผลคูณออยเลอร์ :
( x ; x ) 3 = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x n ) 3 = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m + 1 ) x m ( m + 1 ) / 2 {\displaystyle (x;x)^{3}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{3}=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(2m+1)x^{m(m+1)/2}}
ลำดับหมายเลขพาร์ติชันที่เข้มงวด และลำดับการแบ่งพาร์ติชันที่เข้มงวดจะระบุจำนวนวิธีที่จำนวนเต็มบวกดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็นผลรวมจำนวนเต็มบวกได้ โดยที่ผลรวมแต่ละส่วนจะปรากฏได้มากที่สุดเพียงครั้งเดียว[ 18 ] [ 19 ] Q ( n ) {\displaystyle Q(n)} n {\displaystyle n}
ค่าตัวอย่างของ Q(n) และการแบ่งกลุ่มตัวเลขที่เกี่ยวข้อง n Q(n) การแบ่งตัวเลขโดยไม่มีตัวเลขที่ซ้ำกัน การแบ่งตัวเลขที่มีเฉพาะตัวเลขคี่ในการบวก 0 1 () พาร์ติชันว่าง/ ผลรวมว่าง () พาร์ติชันว่าง/ ผลรวมว่าง 1 1 (1) (1) 2 1 (2) (1+1) 3 2 (1+2), (3) (1+1+1), (3) 4 2 (1+3), (4) (1+1+1+1), (1+3) 5 3 (2+3), (1+4), (5) (1+1+1+1+1), (1+1+3), (5) 6 4 (1+2+3), (2+4), (1+5), (6) (1+1+1+1+1+1), (1+1+1+3), (3+3), (1+5) 7 5 (1+2+4), (3+4), (2+5), (1+6), (7) (1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+3), (1+3+3), (1+1+5), (7) 8 6 (1+3+4), (1+2+5), (3+5), (2+6), (1+7), (8) (1+1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1+3), (1+1+3+3), (1+1+1+ 5), (3+5), (1+7)
ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับเลขแบ่งพาร์ติชันที่เข้มงวดสามารถแสดงได้โดยใช้ผลคูณของ Pochhammer:
∑ k = 0 ∞ Q ( k ) x k = 1 ( x ; x 2 ) ∞ = θ 3 ( x ) 1 / 6 θ 4 ( x ) − 1 / 3 [ θ 3 ( x ) 4 − θ 4 ( x ) 4 16 x ] 1 / 24 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}}
Overpartition number sequence The Maclaurin series for the reciprocal of the function ϑ01 over partition sequence as coefficients with a positive sign:[ 20]
1 θ 4 ( x ) = ∏ n = 1 ∞ 1 + x n 1 − x n = ∑ k = 0 ∞ P ¯ ( k ) x k {\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {P}}(k)x^{k}} 1 θ 4 ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + 14 x 4 + 24 x 5 + 40 x 6 + 64 x 7 + 100 x 8 + 154 x 9 + 232 x 10 + … {\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+14x^{4}+24x^{5}+40x^{6}+64x^{7}+100x^{8}+154x^{9}+232x^{10}+\dots } If, for a given number k {\displaystyle k} [ 21] k {\displaystyle k} P ¯ ( k ) {\displaystyle {\overline {P}}(k)}
First example:
P ¯ ( 4 ) = 14 {\displaystyle {\overline {P}}(4)=14} These 14 possibilities of partition markings exist for the sum 4:
(4), (4 ), (3+1), (3 +1), (3+1 ), (3 +1 ), (2+2), (2 +2), (2+1+1), (2 +1+1), (2+1 +1), (2 +1 +1), (1+1+1+1), (1 +1+1+1)
Second example:
P ¯ ( 5 ) = 24 {\displaystyle {\overline {P}}(5)=24} These 24 possibilities of partition markings exist for the sum 5:
(5), (5 ), (4+1), (4 +1), (4+1 ), (4 +1 ), (3+2), (3 +2), (3+2 ), (3 +2 ), (3+1+1), (3 +1+1), (3+1 +1), (3 +1 +1), (2+2+1), (2 +2+1), (2+2+1 ), (2 +2+1 ), (2+1+1+1), (2 +1+1+1), (2+1 +1+1), (2 +1 +1+1), (1+1+1+1+1), (1 +1+1+1+1)
Relations of the partition number sequences to each other In the Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), the sequence of regular partition numbers P ( n ) {\displaystyle P(n)} Q ( n ) {\displaystyle Q(n)} P ¯ ( n ) {\displaystyle {\overline {P}}(n)} n = 1 {\displaystyle n=1}
The sequence of superpartitions P ¯ ( n ) {\displaystyle {\overline {P}}(n)} [ 22] [ 23]
P ¯ ( n ) = ∑ k = 0 n P ( n − k ) Q ( k ) {\displaystyle {\overline {P}}(n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(k)} In the following table of sequences of numbers, this formula should be used as an example:
n P(n) Q(n) P ¯ ( n ) {\displaystyle {\overline {P}}(n)} 0 1 1 1 = 1*1 1 1 1 2 = 1 * 1 + 1 * 1 2 2 1 4 = 2 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1 3 3 2 8 = 3 * 1 + 2 * 1 + 1 * 1 + 1 * 2 4 5 2 14 = 5 * 1 + 3 * 1 + 2 * 1 + 1 * 2 + 1 * 2 5 7 3 24 = 7 * 1 + 5 * 1 + 3 * 1 + 2 * 2 + 1 * 2 + 1 * 3
Related to this property, the following combination of two series of sums can also be set up via the function ϑ01 :
θ 4 ( x ) = [ ∑ k = 0 ∞ P ( k ) x k ] − 1 [ ∑ k = 0 ∞ Q ( k ) x k ] − 1 {\displaystyle \theta _{4}(x)={\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}}
Notes ^ See e.g. https://dlmf.nist.gov/20.1. Note that this is, in general, not equivalent to the usual interpretation ( e z ) α = e α Log e z {\displaystyle (e^{z})^{\alpha }=e^{\alpha \operatorname {Log} e^{z}}} z {\displaystyle z} − π < Im z ≤ π {\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi } Log {\displaystyle \operatorname {Log} } complex logarithm . ^ θ 1 ( q ) = 0 {\displaystyle \theta _{1}(q)=0} q ∈ C {\displaystyle q\in \mathbb {C} } | q | < 1 {\displaystyle |q|<1}
Further reading Farkas, Hershel M. (2008). "Theta functions in complex analysis and number theory". In Alladi, Krishnaswami (ed.). Surveys in Number Theory . Developments in Mathematics. Vol. 17. Springer-Verlag . pp. 57– 87. ISBN 978-0-387-78509-7 . Zbl 1206.11055. Schoeneberg, Bruno (1974). "IX. Theta series". Elliptic modular functions . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 203. Springer-Verlag . pp. 203– 226. ISBN 978-3-540-06382-7 .แอคเคอร์แมน, ไมเคิล (1 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2522) "ฟังก์ชันกำเนิดของซีรีส์ไอเซนสไตน์บางซีรีส์" คณิตศาตร์อันนาเลน . 244 (1): 75– 81. ดอย : 10.1007/BF01420339 . S2CID 120045753 . Harry Rauch ร่วมกับ Hershel M. Farkas: ฟังก์ชันเธต้ากับการประยุกต์ใช้กับพื้นผิวรีมันน์, Williams and Wilkins, Baltimore MD 1974, ISBN 0-683-07196-3 .
Charles Hermite: Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus, CR Acad วิทยาศาสตร์ ปารีส, หมายเลข 11 มีนาคม พ.ศ. 2401
ลิงก์ภายนอก โมอิเซฟ อิกอร์. "ฟังก์ชันเชิงวงรีสำหรับ Matlab และ Octave " บทความนี้ได้นำเนื้อหาจาก Integral representations of Jacobi theta functions บนPlanetMath มา ใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee051ca15813825e13589298c0efd02e3f68e0cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38521d263e968c6643113cb856744c3d8417638)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbc490b1dd786cc2ef221b6b0834661d3f41ac3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2f486ca65bf1df31851e9591220ff601cf6fb0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\คณิตศาสตร์ {d} u.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd32c29ab16bda39187ec29c1169e8019bcb54af)
![{\displaystyle \theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e26186736a2e273adfa2732fea7ee65263231d4)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942b823ba5f2a5d89016b6493ca9cc3b187cb86f)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc3a6cd1621989208f56af90722f5230eecf7b6)
![{\displaystyle {\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d462b60e5965c30acaf2837ae9770eb3a3560f5)
![{\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80285f837f55ecc6e8a2d0b82edd47eb6a50467b)
![{\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b778736b39bddab58af391077803cffab7928c6c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,\eta \left({\sqrt {-1}}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\sqrt[{8}]{108}}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {2+{\sqrt[{4}]{8}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {5}}}{5}}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{12^{3}}}}\\\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}}{{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {\sqrt[{16}]{7}}}}\\\varphi \begin{e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{64}}+{\sqrt[{4}]{80}}+{\sqrt[{4}]{81}}+{\sqrt[{4}]{100}}}}{\sqrt[{4}]{200}}}\\\varphi \left(e^{-11\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {11+{\sqrt {11}}+(5+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt{2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06e5700e306ee31cbf5d9565847590b4d4b966a)
![{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087f2996a1cad31a875a6346e7b52be98453668f)
![{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f01f0cb2fd209abfbb1ac4c204c509f2b3f47b74)
![{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51aea624bd4ccfed27077389532d4b07efda771e)
![{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\ชื่อผู้ดำเนินการ {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3839f652515fbc383f7fa265b6541beaa7582c59)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a018fbcd1409ba1ebb0c85d8178fb163fa3ba0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s(q)&={\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&={\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de23ddbf5b96a5a2470d73ba10f05153d2a7e37d)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913e0c2a4e7f8efd215821d4423789caf3cc7382)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}{\frac {1}{15}}\,2^{3/8}\times \\&&\times {\biggl [}{\sqrt[{3}]{5}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\biggl (}{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}-3{\sqrt {3}}}}\,{\biggr )}-{\bigl (}2-{\sqrt {2}}\,{\bigr )}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\,{\biggr ]}\\\varphi \left(\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{-13/24}3^{-1/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {5}{12}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{5/24}3^{-1/8}\sin({\tfrac {5}{24}}\pi )\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f37f7d59609f062b1826b22a23db9ff7a12a95)
![{\displaystyle \theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49fdbf249a5c77891ea7be62a7abdb74bfca9c20)
![{\displaystyle \theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab78a4868b53c96cb965bc889ba12f8e4fd5bd44)
![{\displaystyle 27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8b22b2491acbf41acf156847592744fe5efda4)
![{\displaystyle 27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db22a825f23c8747194677df1ba5b9cd6776c58)
![{\displaystyle [\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21698abd5cd7e4f2b57023ecd5dd70b3fd545ffb)
![{\displaystyle [\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc5563a31bcb890a22ebb282ad224297a82b287)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41eb7bba4644993c0994d693977d751526d68a1)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d0741127e031b7079dffa001160094eb9b03c9)
![{\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122911c8d5591255a99de086a6643e60e8496af8)
![{\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bef51d2716d70a8054cd882a9c6a98aa234b16)
![{\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd8befdabb6ac82b6c4fff8f0a5bb89a1a5ac55)
![{\displaystyle S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q^{2})R(q)}}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr }}^{2/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968499610c12ca2700607ba9048ff01e2f8fe303)
![{\displaystyle {\frac {\theta _{3}(q^{1/5})}{\theta _{3}(q^{5})}}-1={\frac {1}{S(q)}}{\bigl [}S(q)^{2}+R(q^{2}){\bigr ]}{\bigl [}1+R(q^{2})S(q){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1f9826acfe6b0205eb7dec745ce83aae7e6d01)
![{\displaystyle 1-{\frac {\theta _{4}(q^{1/5})}{\theta _{4}(q^{5})}}={\frac {1}{R(q)}}{\bigl [}R(q^{2})+R(q)^{2}{\bigr ]}{\bigl [}1-R(q^{2})R(q){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6fd08483ead704a199a261edcf54d483835ad9)
![{\displaystyle \theta _{3}(q^{1/5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}={\bigl [}\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1+{\frac {1}{R(q^{2})S(q)}}+R(q^{2})S(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}+{\frac {1}{S(q)}}-S(q){\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87e7c0cdbc5280e1ca49f87d77c2924e364d6c6)
![{\displaystyle \theta _{4}(q)^{2}-\theta _{4}(q^{1/5})^{2}={\bigl [}\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1-{\frac {1}{R(q^{2})R(q)}}-R(q^{2})R(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}-{\frac {1}{R(q)}}+R(q){\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4601790cf31b8e82943713c410b532e4d75980)
![{\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece5e6b2598db08419e115b84fa8dc058e3980b8)
![{\displaystyle \theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cc179f3c7fab7e4f664ea3a9ad3bed2c751a65)
![{\displaystyle \theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0b0e95b8b6fd152fc74a01c0f7fbab2b9a6555)
![{\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0608e409cfd0018afa26a9e4561bc8ce04b7c964)
![{\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d9399dd8871346e454374d0965a18caba1db5c)
![{\displaystyle \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24c901354972a0b0861ecf1304c11b74666f25b)
![{\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc07d14cd349f46b4f18689ce8fc44277e67902)
![{\displaystyle \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76245ff2f6bee7a43882f3f4ebbcad691b406a96)
![{\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05e65a1d4c792ec63055ed7d1d9a08f7faf285e)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}/2}{\biggr ]}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0218550f8623ef9dce9705bde847639ee6e6919)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\,\theta _{2}(\พี ^{-2})^{4}-\theta _{3}(\พี ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c7f301cb452442a43e1fcd9c91ea78bc820ef9)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a2e2b5ff5d3f65182b77f5be772944bc4d6ea2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428f8073ad45e4e54778db88a3dbb2f5b0ab1f30)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdb60358dddb241ffda786440efa91cc0844ca9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2358dd2d333a2740823f158700af932d247a2c7e)
![{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4e8c4e1616502c6de3e16bb661c1372b93c0fd)
![{\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\theta _{2}(x)\theta _{3}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\theta _{2}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}}}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a311084c05bdae1b514737c2f0108933b9f8bae)
![{\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104d1b3737a0be4eda8a3a1e245186de9134a6e9)
![{\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{3}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5be9c018c56615a9085df89d3db2ca5d7d26b5)
![{\displaystyle \vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{3}(x){\biggr ]}-\vartheta _{3}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88237a98911175d2efc60c4d21094300a862abd)
![{\displaystyle {\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\คณิตศาสตร์ {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48152e52c3eb9c14398e29907e759b53900153c6)
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{2}}F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c42e35cf46076ad7140865bd7327f051d0af90)
![{\displaystyle {\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{4}}{\bigr )}\beta {\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}{\color {blue}{\frac {1}{2}}F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\biggr ]}}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce35084cada7d06712bd0cf775c1560f9a43ab7e)
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{6}+1}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{6}}{\sqrt[{4}]{27}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{\sqrt {x^{2}+1}}}{\biggr )};{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3186259fdf61a7ebb632f3d02d679cae524c35f7)
![{\displaystyle {\frac {1}{6{\sqrt[{3}]{2}}}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{6}}{\bigr )}\beta {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{6}+1}}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}{\color {blue}{\frac {1}{6}}{\sqrt[{4}]{27}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{\sqrt {x^{2}+1}}}{\biggr )};{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\biggr ]}}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeaa28cc9c443e551ccbc434cd63421302cae2b)
![{\displaystyle ={\frac {1}{6}}{\sqrt[{4}]{27}}F{\bigl [}2\arctan({\sqrt[{4}]{3}});{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\frac {2}{9}}{\sqrt[{4}]{27}}K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\frac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{3}}K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55b9913617b5871c7a524c0eeec8168828a1c5a)
![{\displaystyle {\color {ForestGreen}K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}}}\beta {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffa258bf7309994a5d54ae0f95d4614975d1ec2)
![{\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9418c896b8d195e1c5bce8b760e71d95bd9cf29e)
![{\displaystyle {\frac {1}{8{\sqrt[{4}]{2}}}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{8}+1}}}\,\mathrm {d} x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e13acda89a6825a0a7a6477bf0e2d072b3ce9e)
![{\displaystyle ={\biggl \langle }{\color {blue}{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}}{\biggr \rangle __{x=0}^{x=\infty }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab622f4004af8bce9bb3de38a20ecb4d4219a21)
![{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\bigl [}\pi ;2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {1}{2}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}K({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\bigr )}=2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}K({\sqrt {2}}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a8ad3dc4c269cf0392b1260587f5471ae5e932)
![{\displaystyle {\color {ForestGreen}K({\sqrt {2}}-1)={\frac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {2}}+1)\,\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177a0e98ca0233f21a20d37c9dd285369ecf1cda)
![{\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d8a66693d1cd78fa0422519e6a5f523cfa1f69)
![{\displaystyle \theta _{3}[q(k)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5de1ea9f13775acb606c8cb4c2c8268c77ad546)
![{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}}=2^{-1/2}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{4}})^{1/2}=2^{-1/4}{\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3b3090803e98069d65099cffee88f085fb58b6)
![{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}}=2^{-1/6}3^{-1/8}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2456d11eb2e069e9d2eac7d2cc91561418429672)
![{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/8}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e6d7302b7c5a86bd706212afbf5c0dddc4be6d)
![{\displaystyle \theta _{4}[q(k)]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18cb501a0e5521687946e420015ea2bfb8e9367)
![{\displaystyle \theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/4}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c0cdf2fb31e0ad42c1c55d8562d70da28f2203)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x)_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{-1/6}\theta _{4}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45936d0522b1f639420fa97f49e237424fa4a51)
![{\displaystyle (x;x)_{\infty }=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab59cb2fcf2f3ddc6f1e10561a526de51f516f3)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf3d08f52a11ebbc9e5b9289d4f784f60f103d7)
![{\displaystyle \theta _{4}(x)={\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed01dd893d339d67b7cffd351479d11bd83f819)
