จำนวนe ^{π √ 163}เรียกว่าค่าคงที่ของรามานุจันการขยายทศนิยมของค่านี้มีดังนี้

e ^{π √ 163} =262 537 412 640 768 743 .999 999 999 999 250 072 59 ... ( ลำดับA060295ในOEIS )

ซึ่งปรากฏว่าใกล้เคียงกับจำนวนเต็ม640320 ³ + 744 มาก นี่คือการประยุกต์ใช้จำนวน Heegnerโดยที่ 163 คือจำนวน Heegner ที่กล่าวถึง จำนวนนี้ถูกค้นพบในปี 1859 โดยนักคณิตศาสตร์Charles Hermite [ ^{8 ] ใน}บทความApril Fool ปี 1975 ในนิตยสารScientific American ^{[ 9 ]}คอลัมนิสต์ "Mathematical Games" Martin Gardnerได้กล่าวอ้างหลอกลวงว่าจำนวนนี้เป็นจำนวนเต็ม และอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ชาวอินเดียSrinivasa Ramanujanได้ทำนายไว้—จึงเป็นที่มาของชื่อนี้ ค่าคงที่ของ Ramanujan ก็เป็นจำนวนอดิศัยเช่นกัน

ความใกล้เคียงโดยบังเอิญ ซึ่งห่างกันเพียงหนึ่งในล้านล้านส่วนของจำนวน640320 ³ + 744นั้น อธิบายได้ด้วยการคูณเชิงซ้อนและการขยายqของค่าคงที่ jโดยเฉพาะ: $${\displaystyle j{\big (}(1+{\sqrt {-163}})/2{\big )}=(-640\,320)^{3}}$$ และ $${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right),}$$ โดยที่พจน์ความคลาดเคลื่อน $${\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75,}$$ ซึ่งอธิบายว่าทำไมe ^{π √ 163}จึงเป็น0.000 000 000 000 75ต่ำกว่า640320 ³ + 744 .

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการพิสูจน์นี้ โปรดอ่านบทความเกี่ยวกับจำนวนฮีกเนอร์ (Heegner numbers )

จำนวนe ^π − πก็ใกล้เคียงกับจำนวนเต็มมากเช่นกัน โดยการขยายทศนิยมของมันมีดังนี้

e ^π − π =19.999 099 979 189 475 767 26 ... (ลำดับA018938ในOEIS )

คำอธิบายสำหรับความบังเอิญที่ดูเหมือนน่าทึ่งนี้ ได้รับการให้ไว้โดย A.  Doman ในเดือนกันยายน 2023 และเป็นผลมาจากผลรวมที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน Jacobi thetaดังต่อไปนี้: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(8\pi k^{2}-2)e^{-\pi k^{2}}=1.}$$ พจน์แรกมีอิทธิพลเหนือกว่า เนื่องจากผลรวมของพจน์ต่างๆ${\displaystyle k\geq 2}$ทั้งหมด${\displaystyle \ซิม 0.0003436.}$ดังนั้น ผลรวมจึงสามารถตัดทอนได้เป็น${\displaystyle (8\pi -2)e^{-\pi }\approx 1,}$โดยการแก้ปัญหาสำหรับ${\displaystyle e^{\pi }}$ให้${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$เขียนการประมาณใหม่สำหรับ${\displaystyle e^{\pi }}$และใช้การประมาณค่าสำหรับ${\displaystyle 7\pi \approx 22}$ให้ $${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$ ดังนั้น การจัดเรียงพจน์ใหม่จะได้${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}$ที่น่าขันก็คือ การประมาณค่าอย่างหยาบๆ สำหรับ${\displaystyle 7\pi }$ส่งผลให้มีความแม่นยำเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งลำดับขนาด^{[ 10 ]}

การกระจายทศนิยมของπ ^eคือ

${\displaystyle \pi ^{e}=}$22.459 157 718 361 045 473 42 ... (ลำดับA059850ในOEIS )

ยังไม่ทราบแน่ชัดว่าจำนวนนี้เป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่ โปรดทราบว่า ตามทฤษฎีบทของ Gelfond–Schneiderเราสามารถสรุปได้อย่างแน่ชัดว่าa และ^bเป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่ ก็ต่อเมื่อaและbเป็นจำนวนพีชคณิต ( โดยที่ aและbถือเป็นจำนวนเชิงซ้อน )

ในกรณีของe ^πเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนนี้เป็นจำนวนอดิศัยเนื่องจากคุณสมบัติของรูปแบบเลขชี้กำลังเชิงซ้อนและความสมมูลข้างต้นที่กำหนดเพื่อแปลงเป็น(−1) ^{− i}ซึ่งทำให้สามารถใช้ทฤษฎีบท Gelfond–Schneider ได้

π ^eไม่มีความเท่าเทียมกันเช่นนั้น และด้วยเหตุนี้ เนื่องจากทั้ง πและ eเป็นจำนวนอดิศัย เราจึงไม่สามารถใช้ทฤษฎีบท Gelfond–Schneider เพื่อสรุปเกี่ยวกับความเป็นจำนวนอดิศัยของ π ^e ได้ อย่างไรก็ตาม ข้อสันนิษฐานของ Schanuelที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ในปัจจุบันจะบ่งชี้ถึงความเป็นจำนวนอดิศัยของมัน ^{[ 11 ]}

โดยใช้ค่าหลักของลอการิทึม เชิงซ้อน$${\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}.}$$ การกระจายทศนิยมของ คือ

${\displaystyle i^{i}=}$0.207 879 576 350 761 908 54 ... (ลำดับA049006ในOEIS )

ความเหนือธรรมชาติของมันเป็นผลโดยตรงจากความเหนือธรรมชาติของe ^πและเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทของ Gelfond–Schneider