ให้X ,  ..., X และY , ..., Y เป็นตัวอย่างอิสระและ มีการแจกแจงเหมือนกันจากประชากรสองกลุ่มซึ่งมาจาก ตระกูลการแจกแจงตำแหน่ง-มาตราส่วน เดียวกัน พารามิเตอร์มาตราส่วนถือว่าไม่ทราบค่าและไม่จำเป็นต้องเท่ากัน และปัญหาคือการประเมินว่าพารามิเตอร์ตำแหน่งสามารถถือว่าเท่ากันได้อย่างสมเหตุสมผลหรือไม่ Lehmann ^{[ 1 ]}ระบุว่า "ปัญหา Behrens–Fisher" ถูกใช้ทั้งสำหรับรูปแบบทั่วไปของแบบจำลองนี้เมื่อตระกูลการแจกแจงเป็นแบบใดก็ได้ และเมื่อมีการจำกัดให้เป็นการแจกแจงแบบปกติในขณะที่ Lehmann กล่าวถึงแนวทางต่างๆ มากมายสำหรับปัญหาทั่วไป โดยส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับแบบไม่ใช้พารามิเตอร์^{[ 2 ]}แหล่งข้อมูลอื่นๆ ส่วนใหญ่ดูเหมือนจะใช้ "ปัญหา Behrens–Fisher" เพื่ออ้างถึงเฉพาะกรณีที่ถือว่าการแจกแจงเป็นแบบปกติเท่านั้น บทความนี้ส่วนใหญ่ใช้สมมติฐานนี้   

มีการนำเสนอวิธีแก้ปัญหาของ Behrens–Fisher ที่ใช้ มุมมอง การอนุมาน แบบ คลาสสิกหรือแบบ เบย์เซียน และวิธีแก้ปัญหาใดวิธีหนึ่งก็อาจไม่ถูกต้องตามหลักการหากพิจารณาจากมุมมองของอีกมุมมองหนึ่ง หากพิจารณาเฉพาะการอนุมานทางสถิติแบบคลาสสิกเท่านั้น ก็สามารถหาวิธีแก้ปัญหาการอนุมานที่ง่ายต่อการนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้ โดยให้ความสำคัญกับความเรียบง่ายมากกว่าความไม่แม่นยำในข้อความความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้อง ในกรณีที่ต้องการความแม่นยำของระดับนัยสำคัญของการทดสอบทางสถิติ อาจมีข้อกำหนดเพิ่มเติมว่ากระบวนการควรใช้ประโยชน์จากข้อมูลทางสถิติในชุดข้อมูลให้มากที่สุด เป็นที่ทราบกันดีว่าสามารถได้การทดสอบที่แม่นยำโดยการสุ่มทิ้งข้อมูลจากชุดข้อมูลขนาดใหญ่จนกว่าขนาดตัวอย่างจะเท่ากัน รวบรวมข้อมูลเป็นคู่ๆ และหาผลต่าง จากนั้นใช้การทดสอบt แบบธรรมดา เพื่อทดสอบว่าค่าเฉลี่ยต่างเป็นศูนย์หรือไม่ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าวิธีนี้ไม่ใช่ "วิธีที่ดีที่สุด" ในทุกแง่มุม

การระบุช่วงประมาณค่าสำหรับปัญหานี้เป็นงานที่วิธีการทางสถิติแบบความถี่ไม่สามารถให้คำตอบที่แน่นอนได้ แม้ว่าจะสามารถประมาณค่าได้บ้างก็ตาม วิธีการแบบเบย์เซียนมาตรฐานก็ไม่สามารถให้คำตอบที่สามารถแสดงออกมาในรูปสูตรที่ง่ายและตรงไปตรงมาได้เช่นกัน แต่ระเบียบวิธีคำนวณสมัยใหม่ของการวิเคราะห์แบบเบย์เซียนช่วยให้สามารถหาคำตอบที่แน่นอนได้ดังนั้น การศึกษาปัญหานี้จึงสามารถนำมาใช้เพื่ออธิบายความแตกต่างระหว่างวิธีการทางสถิติแบบความถี่และวิธีการแบบเบย์เซียนในการประมาณค่าช่วงได้

โรนัลด์ ฟิชเชอร์ในปี พ.ศ. 2478 ได้นำการอนุมานเชิงความน่าเชื่อถือ^{[ 3 ] [ 4 ]}มาใช้ในปัญหานี้ เขาอ้างอิงถึงบทความก่อนหน้าของวอลเตอร์-อุลริช เบห์เรนส์จากปี พ.ศ. 2462 เบห์เรนส์และฟิชเชอร์เสนอให้ค้นหาการแจกแจงความน่าจะเป็นของ

${\displaystyle T\equiv {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2} \over {\sqrt {s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}}}$

ที่ไหน${\displaystyle {\bar {x}}_{1}}$และ${\displaystyle {\bar {x}}_{2}}$โดยที่ และ คือ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างทั้งสองและs และs คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวอย่างทั้งสอง ดูการแจกแจงของเบห์เรนส์-ฟิชเชอร์ฟิชเชอร์ประมาณการแจกแจงนี้โดยไม่สนใจความผันแปรแบบสุ่มของขนาดสัมพัทธ์ของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

${\displaystyle {s_{1}/{\sqrt {n_{1}}} \over {\sqrt {s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}}.}$

วิธีแก้ปัญหาของ Fisher ก่อให้เกิดข้อโต้แย้งเนื่องจากไม่มีคุณสมบัติที่ว่าสมมติฐานของค่าเฉลี่ยที่เท่ากันจะถูกปฏิเสธด้วยความน่าจะเป็น αหากค่าเฉลี่ยเท่ากันจริง ๆ มีการเสนอวิธีการอื่น ๆ ในการจัดการปัญหานี้มามากมายตั้งแต่นั้นมา และได้มีการตรวจสอบผลกระทบต่อช่วงความเชื่อมั่นที่ได้มา^{[ 5 ]}

วิธีการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือวิธีของBL Welch [ ^{6 ] ซึ่ง}เช่นเดียวกับ Fisher อยู่ที่University College Londonความแปรปรวนของความแตกต่างเฉลี่ย

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}$

ส่งผลให้

${\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}={\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}.}$

เวลช์ (1938) ประมาณการการกระจายของ${\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}}$โดย การแจกแจงแบบเพียร์สันประเภท III ( การแจกแจงไคกำลัง สองแบบปรับขนาด) ซึ่ง โมเมนต์สองค่าแรกตรงกับของ${\displaystyle s_{\bar {d}}^{2}}$หลักการนี้ใช้กับจำนวนองศาอิสระ (df) ต่อไปนี้ ซึ่งโดยทั่วไปไม่ใช่จำนวนเต็ม:

${\displaystyle \nu \approx {(\gamma _{1}+\gamma _{2})^{2} \over \gamma _{1}^{2}/(n_{1}-1)+\gamma _{2}^{2}/(n_{2}-1)}\quad {\text{ โดยที่ }}\gamma _{i}=\sigma _{i}^{2}/n_{i}.}$

ภายใต้สมมติฐานว่างของความคาดหวังที่เท่ากันμ = μ การแจกแจงของสถิติ Behrens–Fisher Tซึ่งขึ้นอยู่กับอัตราส่วนความแปรปรวนσ ² / σ ² ด้วยนั้น สามารถประมาณได้ด้วยการแจกแจง t ของ Studentที่มี ระดับความเป็นอิสระ ν เหล่านี้ แต่ν นี้ ประกอบด้วยความแปรปรวนของประชากรσ ²ซึ่งไม่ทราบค่า การประมาณค่าต่อไปนี้เป็นการแทนที่ความแปรปรวนของประชากรด้วยความแปรปรวนของตัวอย่างเท่านั้น:

${\displaystyle {\hat {\nu }}\approx {\frac {(g_{1}+g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}/(n_{1}-1)+g_{2}^{2}/(n_{2}-1)}}\quad {\text{ โดยที่ }}g_{i}=s_{i}^{2}/n_{i}.}$

นี้${\displaystyle {\hat {\nu }}}$เป็นตัวแปรสุ่ม การแจกแจง t ที่มีจำนวนองศาอิสระแบบสุ่มนั้นไม่มีอยู่จริง อย่างไรก็ตามสามารถเปรียบเทียบค่า Behrens–Fisher T กับควอนไทล์ที่สอดคล้องกันของ การแจกแจง t ของ Studentที่มีจำนวนองศาอิสระที่ประมาณไว้เหล่านี้ได้${\displaystyle {\hat {\nu }}}$ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่จำนวนเต็ม ด้วยวิธีนี้ ขอบเขตระหว่างบริเวณการยอมรับและการปฏิเสธของสถิติการทดสอบTจะถูกคำนวณโดยอิงจากความแปรปรวนเชิงประจักษ์s ²ในลักษณะที่เป็นฟังก์ชันเรียบของค่าเหล่านี้

วิธีการนี้ก็ไม่ได้ให้ค่าอัตราที่ระบุไว้อย่างแม่นยำเช่นกัน แต่โดยทั่วไปแล้วก็ไม่คลาดเคลื่อนมากนัก อย่างไรก็ตาม หากความแปรปรวนของประชากรเท่ากัน หรือหากตัวอย่างมีขนาดค่อนข้างเล็กและสามารถสันนิษฐานได้ว่าความแปรปรวนของประชากรใกล้เคียงกัน การใช้การ ทดสอบt ของ Studentจะแม่นยำกว่า

มีการเสนอแนวทางที่แตกต่างกันหลายประการสำหรับปัญหาทั่วไป ซึ่งบางแนวทางอ้างว่าสามารถ "แก้ไข" ปัญหาบางเวอร์ชันได้ ในบรรดาแนวทางเหล่านี้ ได้แก่^{[ 7 ]}

• ของแชปแมนในปี พ.ศ. 2493 ^{[ 8 ]}
• ของ Prokof'yev และ Shishkin ในปี 1974 ^{[ 9 ]}
• ของ Dudewicz และ Ahmed ในปี 1998 ^{[ 10 ]}
• ของ Chang Wang ในปี 2022 ^{[ 11 ]}

ในการเปรียบเทียบวิธีการที่เลือกโดย Dudewicz ^{[ 7 ]}พบว่าขั้นตอน Dudewicz–Ahmed เป็นสิ่งที่แนะนำสำหรับการใช้งานจริง

เป็นเวลาหลายทศวรรษที่เชื่อกันโดยทั่วไปว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอนสำหรับปัญหา Behrens–Fisher ทั่วไปอย่างไรก็ตาม ในปี 1966 ได้มีการพิสูจน์ว่ามีวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอน^{[ 12 ]}ในปี 2018 ได้มีการพิสูจน์ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจง Behrens–Fisher แบบทั่วไปที่ มีค่าเฉลี่ย mค่าและ ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน mค่าที่แตกต่างกันจาก ตัวอย่าง mตัวอย่างที่มีขนาดแตกต่างกันจากการแจกแจงปกติอิสระที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่แตกต่างกัน และเอกสารยังได้ตรวจสอบการประมาณค่าเชิงอะซิมโทติกด้วย^{[ 13 ]}เอกสารติดตามผลแสดงให้เห็นว่า การทดสอบ t แบบจับคู่แบบคลาสสิ กเป็นปัญหา Behrens–Fisher แบบศูนย์กลางที่มีสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ประชากรที่ไม่เป็นศูนย์ และได้มาจากฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันโดยการแก้ปัญหา Behrens–Fisher แบบไม่ศูนย์กลางที่เกี่ยวข้องที่มีสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ประชากรที่ไม่เป็นศูนย์^{[ 14 ]}นอกจากนี้ยังได้แก้ปัญหา Behrens–Fisher แบบไม่ศูนย์กลางทั่วไปที่มีสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ประชากรที่ไม่เป็นศูนย์ในภาคผนวกด้วย^{[ 14 ]}