ในกลศาสตร์วงโคจรการกำหนดสูตรตัวแปรสากลเป็นวิธีการที่ใช้แก้ปัญหาเคปเลอร์แบบสองวัตถุ มันเป็นรูปแบบทั่วไปของสมการของเคปเลอร์โดยขยายขอบเขตการใช้งานไม่เพียงแต่กับวงโคจรวงรี เท่านั้น แต่ยังรวมถึงวงโคจรพาราโบลาและ ไฮเปอร์โบลา ซึ่งพบได้ทั่วไปในยานอวกาศที่ออกจากวงโคจรของดาวเคราะห์ นอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้กับการดีดตัวของวัตถุขนาดเล็กในระบบสุริยะจากบริเวณใกล้เคียงดาวเคราะห์ขนาดใหญ่ ซึ่งในระหว่างกระบวนการดังกล่าว วงโคจรแบบสองวัตถุโดยประมาณสามารถมีค่าความเยื้องศูนย์กลาง ที่แตกต่างกันอย่างมาก โดยเกือบทุกครั้งe ≥ 1

ปัญหาทั่วไปในกลศาสตร์วงโคจรมีดังนี้: กำหนดให้วัตถุอยู่ในวงโคจรและมีเวลาเริ่มต้นคงที่${\displaystyle \ t_{\mathsf {o}}\ ,}$ค้นหาตำแหน่งของร่างกายในเวลาต่อมา${\displaystyle \ t~.}$สำหรับวงโคจรวงรีที่ มี ความเยื้องศูนย์ค่อนข้างน้อยการแก้สมการของเคปเลอร์ด้วยวิธีการต่างๆ เช่นวิธีของนิวตันจะให้ผลลัพธ์ที่ดีเยี่ยม อย่างไรก็ตาม เมื่อวงโคจรเข้าใกล้เส้นทางหลุดพ้น ความเยื้องศูนย์ก็จะเพิ่มมากขึ้นเรื่อยๆการลู่เข้าของการวนซ้ำเชิงตัวเลขอาจช้าลงจนใช้งานไม่ได้ หรืออาจไม่ลู่เข้าเลยสำหรับe ≥ 1 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

โปรดทราบว่าสมการของเคปเลอร์ในรูปแบบปกติไม่สามารถนำไปใช้กับวงโคจรแบบพาราโบลาและ ไฮเปอร์โบลา ได้โดยไม่ต้องปรับเปลี่ยนเป็นพิเศษ เพื่อรองรับจำนวนเชิงซ้อนเนื่องจากรูปแบบปกติของสมการนั้นถูกออกแบบมาเฉพาะสำหรับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์เท่านั้น วิถีการหลุดพ้นจึงใช้ ฟังก์ชัน sinhและcosh ( ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลา ) แทน

แม้ว่าสมการที่คล้ายกับสมการของเคปเลอร์จะสามารถหาได้สำหรับวงโคจรแบบพาราโบลาและไฮเปอร์โบลาแต่การแนะนำตัวแปรอิสระใหม่เข้ามาแทนที่ค่าความเยื้องศูนย์ นั้นสะดวกกว่า${\displaystyle \ E\ ,}$และมีสมการเดียวที่สามารถแก้ไขได้โดยไม่ขึ้นอยู่กับความเยื้องศูนย์ของวงโคจร ตัวแปรใหม่${\displaystyle \ s\ }$ถูกกำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์ ต่อไปนี้ :

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} s}{\ \operatorname {d} t\ }}={\frac {\ 1\ }{r}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \ r\equiv r(t)\ }$คือระยะ ทางเชิงสเกลาร์ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาไปยังจุดศูนย์กลางของแรงดึงดูด

(ในสูตรทั้งหมดต่อไปนี้ โปรดสังเกตความแตกต่างระหว่างค่าสเกลาร์ อย่างระมัดระวัง)${\displaystyle \ r\ ,}$เป็นตัวเอียงและเวกเตอร์${\displaystyle \ \mathbf {r} \ ,}$( ตัวหนา และตัวตรง )

เราสามารถ ปรับ สมการพื้นฐานให้เป็นแบบปกติได้

${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} t^{2}\ }}+\mu {\frac {\ \mathbf {r} \ }{~r^{3}\ }}=\mathbf {0} \ ,\quad }$

ที่ไหน${\displaystyle ~~\mu \equiv G\left(m_{1}+m_{2}\right)~~}$คือค่าคงที่การปรับขนาดแรงโน้มถ่วงของระบบ

โดยการใช้การเปลี่ยนตัวแปรจากเวลา${\displaystyle \ t\ }$ถึง${\displaystyle \ s\ }$ซึ่งให้ผลลัพธ์^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{2}\ }}+\alpha \ \mathbf {r} =-\mathbf {P} \ }$

ที่ไหน${\displaystyle \ \mathbf {P} \ }$เป็นเวกเตอร์คงที่ที่ยังไม่ได้กำหนดและ: ${\displaystyle \ \alpha \ }$คือพลังงานวงโคจร ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\ \mu \ }{a}}~.}$

สมการนี้เหมือนกับสมการของระบบสั่นแบบฮาร์มอนิกซึ่งเป็นสมการที่รู้จักกันดีทั้งในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์คงที่ที่ไม่ทราบค่าทำให้เกิดความไม่สะดวกเล็กน้อย เมื่อทำการหาอนุพันธ์อีกครั้ง เราจะกำจัดเวกเตอร์คงที่นั้นได้${\displaystyle \ \mathbf {P} \ ,}$โดยแลกกับการได้สมการเชิงอนุพันธ์กำลังสาม:

${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{3}\ }}+\alpha {\frac {\ \operatorname {d} \mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} s\ }}=\mathbf {0} \ }$

เพื่อความสะดวก ตระกูลของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้^{[ 2 ]}จะเขียนในเชิงสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันทั้งสาม${\displaystyle \ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\ }$${\displaystyle \ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,}$และ${\displaystyle \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\$ } โดยที่ฟังก์ชันต่างๆ${\displaystyle \ c_{k}\!(x)\ ,}$เรียกว่าฟังก์ชันสตัมป์ฟ (Stumpff functions)ซึ่งเป็นการขยายทั่วไปแบบตัดทอนของอนุกรมไซน์และโคไซน์ สมการการเปลี่ยนตัวแปร${\displaystyle \ {\tfrac {\operatorname {d} t}{\ \operatorname {d} s\ }}=r\ }$ให้สมการอินทิกรัลสเกลาร์

${\displaystyle \ \int _{{\tilde {t}}=t_{\mathsf {o}}}^{t}\operatorname {d} {\tilde {t}}=\int _{{\tilde {r}}=r_{\mathsf {o}},\ {\tilde {s}}=0}^{r,\ s}~{\tilde {r}}(\ {\tilde {s}}\ )~\operatorname {d} {\tilde {s}}~.}$

หลังจากพีชคณิตและการแทนค่าย้อนกลับอย่างละเอียดแล้ว คำตอบที่ได้คือ^{[ 2 ] :สมการ 6.9.26}

${\displaystyle \ t-t_{\mathsf {o}}=r_{\mathsf {o}}\ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+r_{\mathsf {o}}{\frac {~\operatorname {d} r_{\mathsf {o}}\ }{\ \operatorname {d} t\ }}\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ }$

ซึ่งเป็นการกำหนดสูตรตัวแปรสากลของสมการของเคปเลอร์

ไม่มีคำตอบเชิงวิเคราะห์แบบปิด แต่สมการของเคปเลอร์ในรูปแบบตัวแปรสากลนี้สามารถแก้ได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข${\displaystyle \ s\ ,}$โดยใช้อัลกอริทึมการหาค่ารากเช่นวิธีของนิวตันหรือวิธีของลากูร์สำหรับเวลาที่กำหนด${\displaystyle \ t\ ~.}$มูลค่าของ${\displaystyle \ s\ }$ค่าที่ได้มานั้นจะถูกนำไปใช้ในการคำนวณต่อไป${\displaystyle \ f\ }$และ${\displaystyle \ g\ }$หน้าที่และ${\displaystyle \ {\dot {f}}\ }$และ${\displaystyle \ {\dot {g}}\ }$ฟังก์ชันที่จำเป็นในการหาตำแหน่งและความเร็วปัจจุบัน:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ f(s)&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{~r_{\mathsf {o}}\ }}\right)s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ g(s)&=t-t_{\mathsf {o}}-\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {f}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} f\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=-\left({\frac {\ \mu \ }{\ r_{\mathsf {o}}r\ }}\right)s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {g}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} g\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{r}}\right)\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)~.\\[-1ex]\end{aligned}}}$

ค่าของ${\displaystyle \ f\ }$และ${\displaystyle \ g\ }$หน้าที่ต่างๆ จะกำหนดตำแหน่งของร่างกายในขณะนั้น${\displaystyle \ t\ }$:

$${\displaystyle \ \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ f(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ g(s)\ }$$

นอกจากนี้ ความเร็วของวัตถุ ณ เวลาดังกล่าว${\displaystyle \ t\ }$สามารถค้นหาได้โดยใช้${\displaystyle \ {\dot {f}}(s)\ }$และ${\displaystyle \ {\dot {g}}(s)\ }$ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \ \mathbf {v} (t)=\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ {\dot {f}}(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ {\dot {g}}(s)\ }$

ที่ไหน${\displaystyle \ \mathbf {r} (t)\ }$และ${\displaystyle \ \mathbf {v} (t)\ }$โดยที่ และ คือเวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์ความเร็ว ณ เวลา ตามลำดับ${\displaystyle \ t\ ,}$และ${\displaystyle \ \mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ }$และ

${\displaystyle \ \mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ }$คือตำแหน่งและความเร็ว ณ เวลาเริ่มต้นใดๆ${\displaystyle \ t_{\mathsf {o}}~.}$