ในทฤษฎีจำนวนความหนาแน่นตามธรรมชาติหรือที่เรียกว่าความหนาแน่นเชิงอะซิมโทติกหรือความหนาแน่นเชิงเลขคณิตคือมาตรวัดว่าเซตย่อยของเซตของจำนวนธรรมชาติมีขนาด "ใหญ่" เพียงใด โดยอาศัยความน่าจะเป็นที่จะพบสมาชิกของเซตย่อยที่ต้องการเมื่อทำการสำรวจช่วง[1, n ]เมื่อnมีค่ามากขึ้น

ตัวอย่างเช่น อาจดูเหมือนว่าโดยสัญชาตญาณแล้วมีจำนวนเต็มบวกมากกว่ากำลังสองสมบูรณ์เพราะกำลังสองสมบูรณ์ทุกตัวเป็นจำนวนบวกอยู่แล้ว และยังมีจำนวนเต็มบวกอื่นๆ อีกมากมาย อย่างไรก็ตาม เซตของจำนวนเต็มบวกนั้นไม่ได้ใหญ่กว่าเซตของกำลังสองสมบูรณ์แต่อย่างใด ทั้งสองเซตเป็นอนันต์และนับได้ดังนั้นจึงสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งได้ ถึงกระนั้นหากเราพิจารณาจำนวนธรรมชาติ กำลังสองสมบูรณ์ก็จะลดน้อยลงเรื่อยๆ แนวคิดเรื่องความหนาแน่นของจำนวนธรรมชาติทำให้สัญชาตญาณนี้ชัดเจนขึ้นสำหรับเซตย่อยหลายๆ เซตของจำนวนธรรมชาติ แต่ไม่ใช่ทุกเซต (ดูความหนาแน่นของ Schnirelmannซึ่งคล้ายกับความหนาแน่นของจำนวนธรรมชาติ แต่กำหนดไว้สำหรับเซตย่อยทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ)${\displaystyle \mathbb {N} }$)

ถ้าสุ่มเลือกจำนวนเต็มหนึ่งจำนวนจากช่วง[1, n ]ความน่าจะเป็นที่จำนวนนั้นจะอยู่ในเซตAคืออัตราส่วนของจำนวนสมาชิกของAในช่วง[1, n ]ต่อจำนวนสมาชิกทั้งหมดในช่วง[1, n ]ถ้าความน่าจะเป็นนี้มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าจำกัด บางค่า เมื่อnเข้าสู่ค่าอนันต์ ค่าจำกัดนี้จะเรียกว่าความหนาแน่นเชิงอะซิมโทติกของAแนวคิดนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นชนิดหนึ่งของการเลือกจำนวนจากเซตAแท้จริงแล้ว ความหนาแน่นเชิงอะซิมโทติก (รวมถึงความหนาแน่นประเภทอื่นๆ ด้วย) ได้รับการศึกษาในทฤษฎีจำนวนเชิงความน่าจะเป็น

เซตย่อยAของจำนวนเต็มบวกจะมีค่าความหนาแน่นตามธรรมชาติเท่ากับαถ้าสัดส่วนของสมาชิกในเซตA ใน บรรดาจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ตั้งแต่1ถึงnลู่เข้าสู่αเมื่อnมีค่าเข้าสู่∞

กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น หากเรากำหนดฟังก์ชันการนับa ( n ) สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใดๆ ให้เป็นจำนวนองค์ประกอบของAที่น้อยกว่าหรือเท่ากับnแล้วความหนาแน่นตามธรรมชาติของAที่เป็นαหมายความว่า^{[ 1 ]}

จากนิยาม จะได้ว่า ถ้าเซตAมีความหนาแน่นตามธรรมชาติαแล้ว0 ≤ α ≤ 1

• สำหรับเซตจำกัด ใดๆ Fของจำนวนเต็มบวกd ( F ) = 0
• ถ้าd ( A ) มีอยู่สำหรับเซตA บางเซต และA ^{c หมายถึง} เซตส่วนเติมเต็ม ของเซต นั้นโดยสัมพันธ์กับ${\displaystyle \mathbb {N} }$จากนั้นd ( A ^c ) = 1 − d ( A )
  • บทสรุป: ถ้า${\displaystyle F\subset \mathbb {N} }$มีค่าจำกัด (รวมถึงกรณีดังกล่าวด้วย)${\displaystyle F=\emptyset }$), ${\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1.}$
• ถ้า${\displaystyle d(A),d(B),}$และ${\displaystyle d(A\cup B)}$มีอยู่จริงแล้ว$${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}$$
• ถ้า${\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}$ถ้า A คือเซตของกำลังสองทั้งหมดd ( A ) = 0
• ถ้า${\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}}$ถ้า A คือเซตของจำนวนคู่ทั้งหมดd ( A ) = 0.5 ในทำนองเดียวกัน สำหรับลำดับเลขคณิตใดๆ${\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}}$เราได้รับ${\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}$
• สำหรับเซตPของจำนวนเฉพาะ ทั้งหมด เราจะได้จากทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะว่าd ( P ) = 0
• เซตของจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลัง สอง มีค่าความหนาแน่น${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$โดยทั่วไปแล้ว เซตของจำนวนทั้งหมดที่ไม่มีกำลังn สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใดๆ จะมีความหนาแน่น${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}$ที่ไหน${\displaystyle \zeta (n)}$คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
• เซตของจำนวนที่อุดมสมบูรณ์มีความหนาแน่นไม่เป็นศูนย์^{[ 3 ]} Marc Deléglise แสดงให้เห็นในปี 1998 ว่าความหนาแน่นของเซตของจำนวนที่อุดมสมบูรณ์อยู่ระหว่าง 0.2474 และ 0.2480 ^{[ 4 ]}
• ชุด$${\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}}$$กลุ่มของตัวเลขที่มีการขยายเลขฐานสองเป็นจำนวนหลักคี่ เป็นตัวอย่างของเซตที่ไม่มีความหนาแน่นเชิงเส้นกำกับ เนื่องจากความหนาแน่นสูงสุดของเซตนี้คือ$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},}$$ในขณะที่ความหนาแน่นที่ต่ำกว่านั้นคือ$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.}$$
• เซตของตัวเลขที่มีการขยายทศนิยมเริ่มต้นด้วยเลข 1 ก็ไม่มีความหนาแน่นตามธรรมชาติเช่นกัน: ความหนาแน่นต่ำสุดคือ 1/9 และความหนาแน่นสูงสุดคือ 5/9 ^{[ 1 ]} (ดูกฎของเบนฟอร์ด )
• พิจารณาลำดับที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ใน${\displaystyle [0,1]}$และกำหนดตระกูลโมโนโทน${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$ของชุด:$${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N}$$ :\alpha _{n}<x\}.} จากนั้น ตามคำนิยาม${\displaystyle d(A_{x})=x}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x}$.
• ถ้าSเป็นเซตที่มีความหนาแน่นบนเป็นบวกทฤษฎีบทของ Szemerédiกล่าวว่าS ประกอบด้วย ลำดับเลขคณิตจำกัดขนาดใหญ่ตามอำเภอใจและทฤษฎีบทของ Furstenberg–Sárközyกล่าวว่า สมาชิกสองตัวในS บางตัว จะแตกต่างกันด้วยจำนวนกำลังสอง

ฟังก์ชันความหนาแน่นอื่นๆ บนเซตย่อยของจำนวนธรรมชาติอาจถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างเช่นความหนาแน่นเชิงลอการิทึมของเซตAถูกกำหนดให้เป็นลิมิต (ถ้ามีอยู่) $${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}.}$$

ความหนาแน่นลอการิทึมบนและล่างถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

หลักการพื้นฐานเบื้องหลังการใช้งาน${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ในพจน์บวกนั้น มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าอนุกรมฮาร์มอนิกเข้าใกล้ค่าประมาณเชิงเส้นกำกับ${\displaystyle \log n+\gamma }$, ที่ไหน${\displaystyle \gamma =0.577\ldots }$คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีดังนั้น นิยามนี้จึงรับประกันว่าความหนาแน่นเชิงลอการิทึมของจำนวนธรรมชาติคือ${\displaystyle 1}$.

สำหรับเซตของพหุคูณของลำดับจำนวนเต็มทฤษฎีบท Davenport–Erdősระบุว่าความหนาแน่นตามธรรมชาติ เมื่อมีอยู่ จะเท่ากับความหนาแน่นลอการิทึม^{[ 5 ]}

• ความหนาแน่นของ Dirichlet
• ข้อสันนิษฐานของ Erdős เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต