ในกลศาสตร์เชิงสถิติฟังก์ชันเออร์เซลล์หรือฟังก์ชันสหสัมพันธ์แบบเชื่อมต่อคือค่าสะสมของตัวแปรสุ่มโดยส่วนใหญ่สามารถหาได้จากการรวมผลลัพธ์จากแผนภาพไฟน์แมน แบบเชื่อมต่อกัน (ผลรวมของแผนภาพไฟน์แมนทั้งหมดจะให้ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ )

ฟังก์ชัน Ursell ได้รับการตั้งชื่อตามHarold Ursellผู้ซึ่งคิดค้นฟังก์ชันนี้ขึ้นในปี 1927

ถ้าXเป็นตัวแปรสุ่มโมเมนต์s และค่าสะสม (เช่นเดียวกับฟังก์ชัน Ursell) u จะเป็นฟังก์ชันของXที่สัมพันธ์กันด้วยสูตรเลขชี้กำลัง :

$${\displaystyle \operatorname {E} (\exp(zX))=\sum _{n}s_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n}u_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}$$

( ความคาดหวังอยู่ ที่ไหน ) ${\displaystyle \operatorname {E} }$

ฟังก์ชัน Ursell สำหรับตัวแปรสุ่มหลายตัวแปรถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันกับข้างต้น และในลักษณะเดียวกับคัมมูแลนต์หลายตัวแปร^{[ 1 ]}

${\displaystyle u_{n}\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)=\left.{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\log \operatorname {E} \left(\exp \sum z_{i}X_{i}\right)\right|_{z_{i}=0}}$

ฟังก์ชัน Ursell ของตัวแปรสุ่มเดี่ยวXได้มาจากสิ่งเหล่านี้โดยการตั้งค่าX = X 1 ⋯ = X

รายชื่อแรกๆ มาจาก $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}(X_{1})={}&\operatorname {E} (X_{1})\\[1ex]u_{2}(X_{1},X_{2})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\[1ex]u_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{1})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\\&+2\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\\[1ex]u_{4}\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right)={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})\\&-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{1}X_{3}X_{4})\\&-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{4})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})\\&-\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{2}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{3}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\&-6\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})\end{aligned}}}$$

เพอร์คัส (1975)แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเออร์เซลล์ ซึ่งถือเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวแปรของตัวแปรสุ่มหลายตัว จะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยมีค่าคงที่เพียงค่าเดียว เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านี้มีค่าเป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่ตัวแปรX สามารถแบ่งออกเป็นสองเซตอิสระที่ไม่ว่างเปล่าได้

• คูมูลันต์