ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันของโวลเทอร์ราซึ่งตั้งชื่อตามวีโต โวลเทอร์ราเป็นฟังก์ชันค่าจริงV ที่กำหนดบนเส้นจำนวนจริงRโดยมีคุณสมบัติที่น่าสนใจดังต่อไปนี้:

• Vสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่
• อนุพันธ์V ′ มีค่าจำกัดทุกที่
• อนุพันธ์นี้ไม่สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้

ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดโดยการใช้เซต Smith–Volterra–Cantorและส่วนต่างๆ ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยจำนวนอนันต์หรือ "สำเนา"

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin(1/x),&x\neq 0\\0,&x=0.\end{cases}}}$

การสร้างVเริ่มต้นด้วยการหาค่าx ที่มากที่สุด ในช่วง [0, 1/8] ซึ่งทำให้f ′( x ) = 0 เมื่อได้ค่านี้แล้ว (สมมติว่าเป็นx ₀ ) ให้ขยายฟังก์ชันไปทางขวาด้วยค่าคงที่ของf ( x ₀ ) จนถึงจุด 1/8 เมื่อทำเช่นนี้แล้ว สามารถสร้างภาพสะท้อนของฟังก์ชันได้โดยเริ่มจากจุด 1/4 และขยายลงไปทาง 0 ฟังก์ชันนี้จะถูกกำหนดให้เป็น 0 นอกช่วง [0, 1/4] จากนั้นเราจะแปลงฟังก์ชันนี้ไปยังช่วง [3/8, 5/8] เพื่อให้ฟังก์ชันที่ได้ ซึ่งเราเรียกว่าf ₁มีค่าไม่เป็นศูนย์เฉพาะในช่วงตรงกลางของส่วนเติมเต็มของเซต Smith–Volterra–Cantor เท่านั้น

ในการสร้างf ₂ นั้น จะพิจารณา f ′ในช่วงที่เล็กกว่า [0,1/32] ตัดทอนที่ตำแหน่งสุดท้ายที่อนุพันธ์เป็นศูนย์ ขยาย และสะท้อนในลักษณะเดียวกันกับก่อนหน้านี้ จากนั้นจึงนำสำเนาที่แปลแล้วสองชุดของฟังก์ชันที่ได้ไปบวกกับf ₁เพื่อสร้างฟังก์ชันf ₂ฟังก์ชันของโวลเทอร์ราจะได้มาจากการทำซ้ำขั้นตอนนี้สำหรับทุกช่วงที่ถูกตัดออกในการสร้างเซตสมิธ-โวลเทอร์รา-แคนเตอร์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันVคือลิมิตของลำดับของฟังก์ชันf ₁ , f ₂ , ...

ฟังก์ชันของ Volterra สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ เช่นเดียวกับf (ตามที่นิยามไว้ข้างต้น) เราสามารถแสดงได้ว่าf ′( x ) = 2 x sin(1/ x ) - cos(1/ x ) สำหรับx ≠ 0 ซึ่งหมายความว่าในบริเวณใกล้เคียงศูนย์ใดๆ จะมีจุดที่f ′ มีค่าเป็น 1 และ −1 ดังนั้นจึงมีจุดที่V ′ มีค่าเป็น 1 และ −1 ในทุกบริเวณใกล้เคียงของจุดปลายแต่ละจุดของช่วงที่ถูกตัดออกในการสร้างเซต Smith–Volterra–Cantor Sในความเป็นจริงV ′ ไม่ต่อเนื่องที่ทุกจุดของSแม้ว่าVเองจะหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดของSโดยมีอนุพันธ์เป็น 0 ก็ตาม อย่างไรก็ตามV ′ ต่อเนื่องบนแต่ละช่วงที่ถูกตัดออกในการสร้างS ดังนั้นเซตของจุดไม่ต่อเนื่องของV ′ จึงเท่ากับS

เนื่องจากเซต Smith–Volterra–Cantor Sมีมาตรวัด Lebesgue เป็นบวก นั่นหมายความว่าV ′ ไม่ต่อเนื่องบนเซตที่มีมาตรวัดเป็นบวก ตามเกณฑ์ของ Lebesgue สำหรับความสามารถในการหาปริพันธ์แบบ Riemannแล้วV ′ จึงไม่สามารถหาปริพันธ์แบบ Riemann ได้ หากเราสร้างฟังก์ชันของ Volterra ซ้ำอีกครั้งโดยใช้เซต Cantor C ที่มีมาตรวัดเป็น 0 แทนเซต Cantor Sที่มีมาตรวัดเป็นบวกเราจะได้ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกันหลายอย่าง แต่ค่าอนุพันธ์จะไม่ต่อเนื่องบนเซตC ที่มีมาตรวัดเป็น 0 แทนที่จะเป็นเซต Sที่มีมาตรวัดเป็นบวกดังนั้นฟังก์ชันที่ได้จะมีค่าอนุพันธ์ที่สามารถหาปริพันธ์แบบ Riemann ได้

• ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส

• การต่อสู้กับทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส: ฟังก์ชันของโวลเทอร์รา (เก็บถาวรเมื่อ 2020-11-23 ที่ Wayback Machine)การบรรยายโดยเดวิด มาริอุส เบรสซูด
• ตัวอย่างของอนุพันธ์ที่ไม่สามารถหาปริพันธ์ได้ของ Volterraเก็บถาวรเมื่อ 2016-03-03 ที่ Wayback Machine ( PPT ) การบรรยายโดย David Marius Bressoud