สัมประสิทธิ์ของ Wartenbergเป็นมาตรวัดความสัมพันธ์ที่พัฒนาโดยนักระบาดวิทยาDaniel Wartenberg [ ^{1 ] สัมประสิทธิ์}นี้เป็นการขยายแบบหลายตัวแปรของความสัมพันธ์อัตโนมัติเชิงพื้นที่ซึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่ออธิบายการพึ่งพาเชิงพื้นที่ของข้อมูลในขณะที่ศึกษาความแปรปรวนร่วม [ ^{2 ] สถิติ}เวอร์ชันที่แก้ไขแล้วมีอยู่ในแพ็กเกจR adespatial ^{[ 3 ]}

สำหรับข้อมูล${\displaystyle x_{i}}$วัดที่${\displaystyle N}$ค่าMoran's Iเป็นตัววัด ความสัมพันธ์ เชิงพื้นที่ ของข้อมูล โดยการ ทำให้ ข้อมูลเป็นมาตรฐาน${\displaystyle z_{i}=(x_{i}-{\bar {x}})/s}$โดยการลบค่าเฉลี่ยและหารด้วยค่าความแปรปรวน รวมทั้งปรับค่าเมทริกซ์น้ำหนักเชิงพื้นที่ให้เป็นมาตรฐานดังนี้${\displaystyle \sum _{ij}w_{ij}=1}$เราสามารถเขียน Moran's Iได้ดังนี้

${\displaystyle I=\sum _{ij}w_{ij}z_{i}z_{j}}$

วาร์เทนเบิร์กได้สรุปแนวคิดนี้โดยปล่อยให้${\displaystyle z_{i}}$เป็นเวกเตอร์ของ${\displaystyle M}$การสังเกตการณ์ที่${\displaystyle i}$และกำหนดตำแหน่ง:

${\displaystyle I=Z^{T}WZ}$

• ${\displaystyle W}$คือ${\displaystyle N\times N}$เมทริกซ์น้ำหนักเชิงพื้นที่
• ${\displaystyle Z}$คือ${\displaystyle N\times M}$เมทริกซ์ข้อมูลมาตรฐาน
• ${\displaystyle Z^{T}}$คือการสลับตำแหน่งของ${\displaystyle Z}$
• ${\displaystyle I}$คือ${\displaystyle M\times M}$เมทริกซ์ความสัมพันธ์เชิงพื้นที่

สำหรับตัวแปรสองตัว${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ความสัมพันธ์แบบทวิภาคคือ

${\displaystyle I_{xy}={\frac {N\sum _{ij}w_{ij}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{j}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$

สำหรับ${\displaystyle M=1}$สิ่งนี้ลดทอนลงเหลือของโมแรน${\displaystyle I}$สำหรับค่าที่มากขึ้นของ${\displaystyle M}$เส้นทแยงมุมของ${\displaystyle I}$โดยที่ คือดัชนีโมแรนสำหรับแต่ละตัวแปร และค่าที่อยู่นอกแนวทแยงมุมจะให้ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์วาร์เทนเบิร์กที่สอดคล้องกัน${\displaystyle I}$เป็นตัวอย่างของสถิติ Mantel ดังนั้นจึงสามารถประเมินความสำคัญได้โดยใช้^การทดสอบ Mantel [ ^{4 ]}

ลี^{[ 5 ]}ชี้ให้เห็นปัญหาบางประการเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์นี้ ได้แก่:

• มีปัจจัยเพียงข้อเดียวเท่านั้น${\displaystyle W}$ในตัวเศษ ดังนั้นการเปรียบเทียบจึงเป็นการเปรียบเทียบระหว่างค่าดิบ${\displaystyle x}$ข้อมูลและค่าเฉลี่ยเชิงพื้นที่${\displaystyle y}$ข้อมูล.
• ${\displaystyle I_{xy}\neq I_{yx}}$สำหรับเมทริกซ์น้ำหนักเชิงพื้นที่ที่ไม่สมมาตร

เขาเสนอค่าสัมประสิทธิ์ทางเลือกที่มีปัจจัยสองตัว${\displaystyle W}$ในตัวเศษและมีความสมมาตรสำหรับเมทริกซ์น้ำหนักใดๆ

• สัมประสิทธิ์ของ Tjøstheim