ในทางคณิตศาสตร์เมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักที่มีอันดับและน้ำหนักคือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกจากเซตโดยที่${\displaystyle n}$${\displaystyle w}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \{0,1,-1\}}$

${\displaystyle WW^{\mathsf {T}}=wI_{n},}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์ทรานสโพสของและเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์อันดับน้ำหนักยังเรียกว่าดีกรีของเมทริกซ์ เพื่อความสะดวก เมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักอันดับและน้ำหนักอาจแสดงด้วย^{[ 1 ]}${\displaystyle W^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle w}$${\displaystyle n}$${\displaystyle w}$${\displaystyle W(n,w)}$

เมทริกซ์การชั่งน้ำหนักถูกเรียกเช่นนั้นเนื่องจากใช้ในการวัดน้ำหนักของวัตถุหลายชิ้นได้อย่างเหมาะสม เมื่ออุปกรณ์ชั่งน้ำหนักเป็นเครื่องชั่งแบบสมดุลความแปรปรวนทางสถิติของการวัดสามารถลดให้น้อยที่สุดได้โดยการชั่งน้ำหนักวัตถุหลายชิ้นพร้อมกัน รวมถึงวัตถุบางชิ้นในถาดด้านตรงข้ามของเครื่องชั่งซึ่งจะหักลบออกจากการวัด^{[ 2 ] [ 3 ]}

คุณสมบัติบางอย่างได้มาจากนิยามโดยตรง ถ้าเป็นแล้ว:${\displaystyle W}$${\displaystyle W(n,w)}$

• แถวของ เมท ริกซ์ตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ ในทำนองเดียวกัน คอลัมน์ของเมทริกซ์ก็ตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ เช่นกัน${\displaystyle W}$
• แต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์มีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ จำนวนหนึ่งเท่านั้น${\displaystyle W}$${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle W^{\mathsf {T}}W=wI}$เนื่องจากนิยามหมายความว่าโดยที่คือส่วนกลับของ${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle W^{-1}}$${\displaystyle W}$
• ${\displaystyle \det W=\pm w^{n/2}}$โดยที่ตัวกำหนดของ${\displaystyle \det W}$${\displaystyle W}$

เมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักเป็นการวางนัยทั่วไปของเมทริกซ์ Hadamardซึ่งไม่อนุญาตให้มีค่าเป็นศูนย์^{[ 1 ]}ในกรณีพิเศษสองกรณี a คือเมทริกซ์ Hadamard ^{[ 1 ]}และ a เทียบเท่ากับเมทริกซ์การประชุม${\displaystyle W(n,n)}$${\displaystyle W(n,n-1)}$

ในแผนภาพเมทริกซ์น้ำหนักนี้ สัญลักษณ์ถูกใช้แทนค่า −1 ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน:${\displaystyle -}$

นี่คือ:${\displaystyle W(2,2)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}}$

นี่คือ:${\displaystyle W(4,3)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&-&0&1\\1&0&-&-\\0&1&-&1\end{pmatrix}}}$

นี่คือ:${\displaystyle W(7,4)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&-&-&1&0\end{pmatrix}}}$

อื่น:${\displaystyle W(7,4)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-&1&1&0&1&0&0\\0&-&1&1&0&1&0\\0&0&-&1&1&0&1\\1&0&0&-&1&1&0\\0&1&0&0&-&1&1\\1&0&1&0&0&-&1\\1&1&0&1&0&0&-\end{pmatrix}},}$

ซึ่งเป็น เมทริกซ์ แบบวงกลม กล่าวคือ แต่ละแถวเป็นการเลื่อนแบบวนรอบของแถวก่อนหน้า เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่า a และถูกกำหนดโดยแถวแรก เมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักแบบวงกลมมีความน่าสนใจเป็นพิเศษ เนื่องจากโครงสร้างพีชคณิตทำให้ง่ายต่อการจำแนกประเภท อันที่จริง เรารู้ว่าเมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักแบบวงกลมที่มีอันดับและน้ำหนักต้องมี น้ำหนัก กำลังสองดังนั้น น้ำหนักจึงอนุญาตได้ และน้ำหนักได้รับการจำแนกประเภทอย่างสมบูรณ์แล้ว^{[ 10 ]} กรณีพิเศษสองกรณี (และในความเป็นจริง กรณีสุดขั้ว) ของเมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักแบบวงกลมคือ (A) เมทริกซ์ Hadamard แบบวงกลม ซึ่งคาดการณ์ว่าไม่มีอยู่จริง เว้นแต่ว่าอันดับของมันจะน้อยกว่า 5 ข้อสันนิษฐานนี้ ข้อสันนิษฐาน Hadamard แบบวงกลมที่ Ryser ยกขึ้นเป็นครั้งแรก เป็นที่ทราบกันว่าเป็นจริงสำหรับหลายอันดับ แต่ยังคงเปิดอยู่ (B) ที่มีน้ำหนักและอันดับขั้นต่ำมีอยู่ ถ้าเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะและเมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักแบบวงกลมดังกล่าวสามารถหาได้โดยการทำเครื่องหมายส่วนเติมเต็มของระนาบเชิงโปรเจกทีฟจำกัดเนื่องจากทั้งหมดสำหรับได้รับการจำแนกประเภทแล้ว กรณีเปิดแรกคือ กรณีแรกที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขสำหรับเมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักทั่วไป (ซึ่งไม่ใช่เมทริกซ์แบบวงกลมแน่นอน) คือ.${\displaystyle CW(n,k)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1,4,9,16,...}$${\displaystyle k\leq 25}$${\displaystyle CW(n,k)}$${\displaystyle k=s^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle CW(n,k)}$${\displaystyle k\leq 25}$${\displaystyle CW(105,36)}$${\displaystyle W(35,25)}$

เมทริกซ์การชั่งน้ำหนักสองเมทริกซ์จะถือว่าเทียบเท่ากันหากเมทริกซ์หนึ่งสามารถได้มาจากอีกเมทริกซ์หนึ่งโดยการเรียงสับเปลี่ยนและการปฏิเสธของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ การจำแนกเมทริกซ์การชั่งน้ำหนักจะสมบูรณ์สำหรับกรณีที่เช่นเดียวกับทุกกรณีที่[ ^{11 ] อย่างไรก็ตาม}มีการดำเนินการเพียงเล็กน้อยนอกเหนือจากนี้ ยกเว้นการจำแนกเมทริกซ์การชั่งน้ำหนักแบบวงกลม^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle w\leq 5}$${\displaystyle n\leq 15}$

คำถามสำคัญข้อหนึ่งเกี่ยวกับเมทริกซ์การถ่วงน้ำหนักคือการมีอยู่ของเมทริกซ์นั้น: สำหรับค่าใดของและจึงมีเมทริกซ์อยู่? ข้อสันนิษฐานต่อไปนี้ได้รับการเสนอเกี่ยวกับการมีอยู่ของเมทริกซ์: ^{[ 7 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle w}$${\displaystyle W(n,w)}$${\displaystyle W(n,w)}$

1. ถ้าเช่นนั้นจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อเป็นผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสองจำนวน${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$${\displaystyle W(n,w)}$${\displaystyle w<n-1}$
2. ถ้าเช่นนั้นจะมีอยู่สำหรับแต่ละ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}}$${\displaystyle W(n,w)}$${\displaystyle w<n}$
3. ถ้าเช่นนั้นจะมีแบบแผนเชิงตั้งฉากสำหรับทุกค่าโดยที่คือผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสามจำนวน${\displaystyle n\equiv 4{\pmod {8}}}$${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,1)}$${\displaystyle k<n}$${\displaystyle k}$
4. ถ้าเช่นนั้นจะมีการออกแบบเชิงตั้งฉากสำหรับทุกสิ่ง${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {8}}}$${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,k)}$${\displaystyle k<n}$
5. ถ้าเช่นนั้นจะมีแบบแผนเชิงตั้งฉากสำหรับทุกค่าที่ทำให้เป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,k)}$${\displaystyle k<n-1}$${\displaystyle k=a^{2}}$${\displaystyle a}$

แม้ว่าสมมติฐานสามข้อสุดท้ายจะเป็นข้อความเกี่ยวกับการออกแบบเชิงตั้งฉาก แต่ก็มีการแสดงให้เห็นว่าการมีอยู่ของการออกแบบเชิงตั้งฉากเทียบเท่ากับการมีอยู่ของเมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักลำดับที่มีน้ำหนัก^{[ 7 ]}${\displaystyle \mathrm {OD} (n;s_{1},\dots ,s_{u})}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{u}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$

คำถามที่สำคัญไม่แพ้กันแต่หลายคนมักมองข้ามเกี่ยวกับการถ่วงน้ำหนักเมทริกซ์ก็คือ การแจงนับเมทริกซ์เหล่านั้น: สำหรับค่าและ ที่กำหนดให้ จะมีเมทริก ซ์ อยู่กี่ เมทริกซ์?${\displaystyle n}$${\displaystyle w}$${\displaystyle W(n,w)}$