ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมไวเนอร์ หรือการขยายฟังก์ชันไวเนอร์จี มี ที่มาจากหนังสือของนอร์เบิร์ต ไวเนอร์ ในปี 1958 เป็นการขยายเชิงตั้งฉากสำหรับฟังก์ชัน ไม่เชิงเส้น ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับอนุกรมโวลเทอร์รา และมีความสัมพันธ์เช่นเดียวกับการขยายพหุนามเฮอร์ไมต์เชิง ตั้งฉากกับ อนุกรมกำลัง ด้วยเหตุนี้จึงเรียกอีกชื่อหนึ่งว่าการขยายไวเนอร์-เฮอร์ไม ต์ ค่าที่เทียบเท่ากับสัมประสิทธิ์เรียกว่าเคอร์เนลไวเนอร์ พจน์ ของอนุกรมเป็นเชิงตั้งฉาก (ไม่สัมพันธ์กัน) เมื่อเทียบกับอินพุตทางสถิติของสัญญาณรบกวนสีขาว คุณสมบัตินี้ทำให้สามารถระบุพจน์ในการใช้งานโดยวิธีลี-เชตเซน ได้
อนุกรมวิเนอร์มีความสำคัญในการระบุระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น ในบริบทนี้ อนุกรมดังกล่าวประมาณความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของเอาต์พุตกับประวัติทั้งหมดของอินพุตของระบบ ณ เวลาใดๆ อนุกรมวิเนอร์ถูกนำไปประยุกต์ใช้เป็นส่วนใหญ่ในการระบุระบบทางชีวภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านประสาท วิทยาศาสตร์
ชื่ออนุกรมเวียนเนอร์ (Wiener series) แทบจะใช้เฉพาะในทฤษฎีระบบ เท่านั้น ในเอกสารทางคณิตศาสตร์ ปรากฏในรูปของการขยายอนุกรมอิโต (Itô expansion) (1951) ซึ่งมีรูปแบบที่แตกต่างกัน แต่เทียบเท่ากันโดยสมบูรณ์
ไม่ควรสับสนอนุกรมไวเนอร์ (Wiener series) กับตัวกรองไวเนอร์ (Wiener filter ) ซึ่งเป็นอัลกอริธึมอีกตัวหนึ่งที่พัฒนาโดยนอร์เบิร์ต ไวเนอร์ (Norbert Wiener) และใช้ในการประมวลผลสัญญาณ
การแสดงออกของฟังก์ชัน Wiener G กำหนดให้ระบบมีคู่ของอินพุต/เอาต์พุต( x ( ที ) , y ( ที ) ) {\displaystyle (x(t),y(t))} y ( n ) = ∑ พี ( จี พี x ) ( n ) {\displaystyle y(n)=\sum _{p}(G_{p}x)(n)}
ต่อไปนี้จะแสดงนิพจน์ของฟังก์ชัน G จนถึงอันดับที่ห้า:
{{ชี้แจง}} ( จี 0 x ) ( n ) = เค 0 = อี { y ( n ) } ; {\displaystyle (G_{0}x)(n)=k_{0}=E\left\{y(n)\right\};} ( จี 1 x ) ( n ) = ∑ τ 1 = 0 เอ็น 1 − 1 เค 1 ( τ 1 ) x ( n − τ 1 ) ; {\displaystyle (G_{1}x)(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{1}-1}k_{1}(\tau _{1})x(n-\tau _{1});} ( จี 2 x ) ( n ) = ∑ τ 1 , τ 2 = 0 เอ็น 2 − 1 เค 2 ( τ 1 , τ 2 ) x ( n − τ 1 ) x ( n − τ 2 ) − เอ ∑ τ 1 = 0 เอ็น 2 − 1 เค 2 ( τ 1 , τ 1 ) ; {\displaystyle (G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});} ( จี 3 x ) ( n ) = ∑ τ 1 , … , τ 3 = 0 เอ็น 3 − 1 เค 3 ( τ 1 , τ 2 , τ 3 ) x ( n − τ 1 ) x ( n − τ 2 ) x ( n − τ 3 ) − 3 เอ ∑ τ 1 = 0 เอ็น 3 − 1 ∑ τ 2 = 0 เอ็น 3 − 1 เค 3 ( τ 1 , τ 2 , τ 2 ) x ( n − τ 1 ) ; {\displaystyle (G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});} ( จี 4 x ) ( n ) = ∑ τ 1 , … , τ 4 = 0 เอ็น 4 − 1 เค 4 ( τ 1 , τ 2 , τ 3 , τ 4 ) x ( n − τ 1 ) x ( n − τ 2 ) x ( n − τ 3 ) x ( n − τ 4 ) + − 6 เอ ∑ τ 1 , τ 2 = 0 เอ็น 4 − 1 ∑ τ 3 = 0 เอ็น 4 − 1 เค 4 ( τ 1 , τ 2 , τ 3 , τ 3 ) x ( n − τ 1 ) x ( n − τ 2 ) + 3 เอ 2 ∑ τ 1 , τ 2 = 0 เอ็น 4 − 1 เค 4 ( τ 1 , τ 1 , τ 2 , τ 2 ) ; {\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}} ( จี 5 x ) ( n ) = ∑ τ 1 , … , τ 5 = 0 เอ็น 5 − 1 เค 5 ( τ 1 , τ 2 , τ 3 , τ 4 , τ 5 ) x ( n − τ 1 ) x ( n − τ 2 ) x ( n − τ 3 ) x ( n − τ 4 ) x ( n − τ 5 ) + − 10 เอ ∑ τ 1 , … , τ 3 = 0 เอ็น 5 − 1 ∑ τ 4 = 0 เอ็น 5 − 1 เค 5 ( τ 1 , τ 2 , τ 3 , τ 4 , τ 4 ) x ( n − τ 1 ) x ( n − τ 2 ) x ( n − τ 3 ) + 15 เอ 2 ∑ τ 1 = 0 เอ็น 5 − 1 ∑ τ 2 , τ 3 = 0 เอ็น 5 − 1 เค 5 ( τ 1 , τ 2 , τ 2 , τ 3 , τ 3 ) x ( n − τ 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\เทา _{3},\เทา _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}} 
![{\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9203f29478e73c5ab5163580b3bd3aab3f2469bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\เทา _{3},\เทา _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3433f80b66008362b9a97a6c615e43ec111abc63)